精品解析：辽宁省沈阳市东北育才学校2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试暨假期质量测试数学试卷

东北育才学校高中高三年级第一次模拟考试 暨假期质量测试数学科试卷 考试时长：120分钟 满分：150分 命题人：高三数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的． 1. 设集合，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 给出下列四个结论： ①“”是“”的充分不必要条件； ②若命题，则； ③若，则是的充分不必要条件； ④若命题q：对于任意为真命题，则 其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列函数中，既是奇函数又具有零点的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 5. 已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（且）满足，且函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 已知命题为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 C. 若随机事件A，B满足：，则事件A与B相互独立 D. 已知y关于x的回归直线方程为，则样本点的残差为 10. 已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. ，则周期为6 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 若数列满足，数列的前n项和为，则______ 13. 某校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为________.附， 0.05 0.01 3.841 6.635 14. 已知函数，若，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为奇函数，为常数. （1）求的值 （2）若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求证；数列是等比数列； （2）求证：. 17. 已知 （1）求的最小值； （2）若在内恒成立，求的取值范围. 18. 在高等数学中，我们将在处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式． （1）分别求在处的泰勒展开式； （2）若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：．（其中为虚数单位）； （3）当时，求证：．（参考数据） 19. 现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止． （1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率； （2）当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； （3）记n号盒子中红球的个数为，求的期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北育才学校高中高三年级第一次模拟考试 暨假期质量测试数学科试卷 考试时长：120分钟 满分：150分 命题人：高三数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的． 1. 设集合，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合M，N，然后根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【详解】因为，所以，所以， 由，得，所以， 所以， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2. 给出下列四个结论： ①“”是“”的充分不必要条件； ②若命题，则； ③若，则是的充分不必要条件； ④若命题q：对于任意为真命题，则 其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断①③；利用存在量词命题的否定判断②；利用全称量词为真求出的范围判断④即可得解. 【详解】对于①，不能推出，“”不是“”的充分不必要条件，①错误； 对于②，，②错误； 对于③，若，则且，反之，，， 成立， 因此是的充分不必要条件，③正确； 对于④，，而，则，④正确， 所以正确结论的个数为2. 故选：B 3. 下列函数中，既是奇函数又具有零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，将函数写成分段函数，即可判断；对于B，求出定义域，根据对数的基本运算及奇函数、零点的定义判断即可；对于C，由，可得函数没有零点，即可判断；对于D，求出定义域，化简得，即可判断. 【详解】解：对于A，，是奇函数，但无零点，不符题意； 对于B，因为， 所以， 所以函数是奇函数，且， 所以函数具有零点，满足题意； 对于C，因为，又因为， 所以函数不具有零点，不满足题意； 对于D，因为， 所以， 易知函数为偶函数，不满足题意. 故选:B. 4. 已知随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质可得，进而可得，再根据期望的性质分析求解. 【详解】由分布列可得，解得， 则， 所以. 故选：C． 5. 已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列和等差数列的性质结合基本不等式求解即可. 【详解】由为等差数列，为等比数列，， 可得. 由，当且仅当时取等， 可得，故A正确，C错误. 当时，； 当且仅当时取等， 当时，， 当且仅当时取等，故B，D都错误. 故选：A. 6. 已知函数（且）满足，且函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数满足，可得，所以函数在上单调递增，则，即可解得实数a的取值范围. 【详解】因为函数（且）满足， 即，所以， 又函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以. 故选：C. 7. 已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】由函数有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围 【详解】由函数有两个零点可得有两个零点， 即与的图象有两个交点，结合函数图象有以下几种情况， 与的图象如图1所示，则在定义域内不能是单调函数， 对于的值进行分类讨论，则： 当时，如图2所示；当时，如图3所示； 当时，如图4所示；当时，如图5所示；当时，如图6所示； 对于图2，有可能有两个交点，因为存在使得与二次函数有两个交点； 对于图3，因为图象是单调的，故不可能有两个交点； 对于图4，可能有两个交点，因为存在使得与分段函数有两个交点； 对于图5，不可能有两个交点； 对于图6，不可能有两个交点； 综上所述：当且成立； 故选：B 8. 已知命题为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由命题为假命题，得到为真命题.方法一：参数分离，并构造函数，通过导数求函数单调性求解；方法二：将转化为直线与曲线没有交点，通过导数求切斜方程即可. 【详解】法一：由题可得为真命题， 易知满足，符合题意，此时； 当时，可变形为， 令，则， 当时，；当时，， 当时，单调递减，且；当时，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，， 作出函数的图象如图①所示， 由题可知直线与函数的图象没有交点，数形结合可得. 法二：由题可得为真命题， 即直线与曲线没有交点. 设直线与曲线切于点， 由，得，则， 所以， 所以直线与曲线相切， 若直线与曲线没有交点，如图②所示，则. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 C. 若随机事件A，B满足：，则事件A与B相互独立 D. 已知y关于x的回归直线方程为，则样本点的残差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性、线性相关性的性质，结合独立事件的定义、残差的公式逐一判断即可. 【详解】因为，且，所以有， 因此，所以选项A正确； 根据线性相关有正相关和负相关，因此两个具有线性相关关系的变量的相关性越强， 则线性相关系数r的绝对值越接近于1，所以选项B不正确； 由， 显然，因此事件A与B相互独立，所以选项C正确； 在中，令，得， 因此样本点的残差为，所以选项D正确， 故选：ACD 10. 已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. ，则周期为6 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法，结合奇函数和偶函数的定义、函数周期性的定义逐一判断即可. 【详解】在中， 令中，得或，A不正确； 当时，在中， 令中，得， 因此函数既是奇函数又是偶函数，所以成立， 当时，在中， 令中，，所以函数是偶函数， 因此成立，B正确； 在中， 令中，得， 令，因为，所以，即有，显然成立，C正确； 当时，在中， 令中，得， 则有， 可得 ，因此周期为6，D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是针对不同的选项正确赋值. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对求导，利用导函数的符号判断的单调性即可得极值，可判断选项A；由的单调性以及函数值的符号可判断选项B；利用得单调性以及函数值与的关系可判断选项C；分离可得，计算的最大值可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A：函数定义域为，，令可得， 令可得，所以在单调递增，在单调递减， 所以在时取得极大值，故选项A正确 对于选项B：令，可得，因此只有一个零点，故选项B不正确； 对于选项C：显然，在单调递减， 可得，因为， 即，故选项C正确； 对于选项D：由题意知：在上恒成立， 令则 ，因为 易知当时.，当时，，所以在时取得极大值也是最大值，所以， 所以在上恒成立，则，故选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的极值的步骤： ①写定义域，对函数求导； ②在定义域内，解不等式和得到单调性； ③利用单调性判断极值点，代入解析式即可得极值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 若数列满足，数列的前n项和为，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】当时，， 而满足上式，因此，， . 故答案为： 13. 某校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为________.附， 0.05 0.01 3.841 6.635 【答案】20 【解析】 【分析】根据题意先列出列联表计算值，再根据计算出的最小值. 【详解】根据题意，列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男 3m 3m 6m 女 4m 2m 6m 合计 7m 5m 12m ， 有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，即， ，解得，又， 所以的最小值为. 故答案为：20. 14. 已知函数，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数的解析式及，可得，再代入，利用基本不等式求解好即可. 【详解】解：因为， 所以， 所以，， 又因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用基本不等式时，注意三个条件缺一不可. 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为奇函数，为常数. （1）求的值 （2）若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数求参数值，注意验证是否符合题设. （2）将问题转化为在上恒成立，根据解析式判断的区间单调性，即可求的范围. 【小问1详解】 由题设，， ∴， 即，故， 当时，，不成立，舍去； 当时，，验证满足. 综上：. 【小问2详解】 由，即， 又为增函数，由（1）所得解析式知：上递增， ∴在单调递增- 故，故. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求证；数列是等比数列； （2）求证：. 【答案】（1） 由已知得，又， 所以作差得，故 所以 又当时，，又，故 故数列是首项为2，公比为2的等比数列 （2） 由（1）可知：，故 所以 综上可知： 【解析】 【分析】（1），，作差得，则，即可证明数列为等比数列； （2）首先求出，而，最后通过裂项求出得到. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知 （1）求的最小值； （2）若在内恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） ；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数，求出函数的极值，并将它与函数的端点值进行比较即可. （2）要求若在内恒成立，即转化为在内恒成立，只需求内的最小值即可. 【详解】（1）函数的定义域为 设， 由得：，由得：， 所以在单调递减，在单调递增， ， （2）若在内恒成立， 可得在内恒成立， 令，， 因为， 所以，，，， 所以，可得在上单调递减， 所以当时，有最小值， 得，所以， 故的取值范围是， 【点睛】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及求函数恒成立问题，属于基础题. 18. 在高等数学中，我们将在处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式． （1）分别求在处的泰勒展开式； （2）若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：．（其中为虚数单位）； （3）当时，求证：．（参考数据） 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数在处的泰勒展开式的公式即可求解； （2）把在处的泰勒展开式中的替换为，利用复数的运算法则进行化简整理可得，从而即可证明； （3）根据在处的泰勒展开式，先证当时，恒成立，再证当时，恒成立，即可证得. 【小问1详解】 因为函数在处的泰勒展开式为 （其中表示的n次导数）， 所以，，在处的泰勒展开式分别为： ； ； . 【小问2详解】 把在处的泰勒展开式中的替换为，可得 ， 所以，即. 【小问3详解】 由在处的泰勒展开式，先证当时，， 令， ，又，则， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 再令，， 则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而， 所以当时，恒成立， 则 ， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题（3）问解题的关键是根据在处的泰勒展开式，先证当时，恒成立，再证当时，恒成立，即可证得. 19. 现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止． （1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率； （2）当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； （3）记n号盒子中红球的个数为，求的期望． 【答案】（1） （2）分布列： 1 2 3 P （3）【解析】 【分析】(1)由古典概率模型进行求解； (2) 可取，求出对应的概率，再列出分布列即可； (3) 记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则， 为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则， 则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，化解得，即可求解. 【小问1详解】 由题可知2号盒子里有2个红球的概率为； 【小问2详解】 由题可知可取， ， ， 所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为 1 2 3 P 【小问3详解】记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则， 为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则， 则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为， 且， 化解得， 得， 而则数列为等比数列,首项为，公比为， 所以， 又由求得： 因此． 【点睛】关键点点睛：记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $