精品解析：广东省汕头市潮南区2024-2025学年高三上学期摸底考试数学试题

2025届潮南区高三摸底测试试题 数学科 本试题满分150分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必用黑色字迹签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代入方程求出，再求集合即可. 【详解】由可知， 当时，，解得：或，即. 故选：B 2. 设复数z在复平面内对应的点为，则的模为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数对应点得出复数，再应用乘法除法计算即可得出复数，最后计算求模. 【详解】因为复数z在复平面内对应的点为,所以, 所以. 故选：A. 3. ，为单位向量，当，的夹角为135°时，向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量公式结合模长和夹角的数量积公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为 故选：D. 4. 双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 【详解】由双曲线方程易知C的渐近线为， 所以，则. 故选：C 5. 已知数列，则数列的前100项中的最小项和最大项分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先化简，再借助函数的单调性分析得解. 【详解】， 因为， 所以时，数列单调递增，且；时，数列单调递增，且. ∴在数列的前100项中最小项和最大项分别是. 故选：B. 6. 已知三棱锥中，，，则其外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三棱锥的特征把三棱锥的顶点放在长方体的顶点处，结合长方体的外接球半径公式计算即可. 【详解】 三棱锥的特征把三棱锥的顶点放在长方体的顶点处,三棱锥的外接球就是长方体的外接球 设长方体的长宽高分别是,则, 所以, 设长方体的外接球半径为，则， 所以外接球表面积为. 故选：D. 7. 已知函数的图象与的图象关于点对称，且的图象与直线相切，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】运用对称性先求出，再根据切线性质，结合根判别式可解. 【详解】设的点，关于对称点为.则,得(∗) 在上.则.将(∗)代入得到 整理得.即. 由于的图象与直线相切，则联立方程组，得到， 整理得到.则，即， 解得. 故选：C. 8. 如图为一款电子触控灯面板，每个方格中的灯只有“亮”与“不亮”两种状态，触摸灯一次，将导致自身和所有相邻的灯状态发生改变.例如，在面板灯全不亮状态下，触摸E号灯时，E号灯亮起，周围的B、D、F、H号灯也发亮，其他号灯仍保持“不亮”状态.如果在面板灯都“不亮”状态下，只要A号灯亮，则需要触摸面板灯最少次数为（ ） A. 5 B. 7 C. 1 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，要只改变的状态，则只有在及周边按动开关才可以实现开关的次数最少，利用表格分析即可. 【详解】根据题意可知：只有在及周边按动开关，才可以使按开关的次数最少，具体原因如下： 开始按动前所有开关均为闭合状态，要只改变的状态，在按动后，，也改变， 下一步可同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动，但会导致周边的，也改变，因此会按动开关更多的次数；所以接下来逐一恢复，至少需按开关次； 这样沿着周边的开关再按动，可以实现最少的开关次数，即按动次可以满足要求. 如下表所示：（按顺时针方向开关，逆时针也可以） 按动 开 开 关 开 关 关 关 关 关 按动 开 关 开 开 关 开 关 关 关 按动 开 关 关 开 开 关 关 关 开 按动 开 关 关 开 关 关 开 开 关 按动 开 关 关 关 关 关 关 关 关 则需按开关的最少次数为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：1．在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论； 2．在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质； 3．归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（ ） 参考数据：；； A. 这次考试等级分的标准差为5 B. 这次考试等级分超过80分的约有45人 C. 这次考试等级分在内的人数约为48人 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据的含义易判断A,B两项，对于C,D,先把范围转换成用表示，利用概率值求出相应范围的概率值，再进行估算即可. 【详解】对于A，因，则，故A正确； 对于B，因，即这次考试等级分超过80分的学生约占一半，故B错误； 对于C，因, 故这次考试等级分在内的人数约为人，故C正确； 对于D，因 , 故D正确. 故选：ACD. 10. 函数图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，的一条对称轴，且，下列叙述正确的是（ ） A. 函数的解析式为 B. 的一个对称中心，且在上单调递减 C. 向左平移个单位得到的图象关于y轴对称且 D. 对任意，恒成立时，满足条件的a值可为1 【答案】AB 【解析】 【分析】先利用函数最高点与最低点的横坐标相差得出周期，再结合对称轴得出解析式判断A，平移变换及函数值判断C,结合对称性及单调区间判断B,先应用恒成立结合三角函数最值得出D． 【详解】对于A，由题意可知，，∴，则，， 的一条对称轴，,, 或, 当时,舍 当时,, 所以，A选项正确； 对于B，，所以的一个对称中心为， 单调递减,在上单调递减,B选项正确； 对于C，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得, 即，得到的图象关于y轴对称, ,C错误； 对于D，对任意，恒成立时，满足条件的， 当时，，，故， 所以,满足条件的a值不可为1，D选项错误. 故选:AB. 11. 已知曲线C上点满足：到定点与定直线y轴的距离的差为定值m，其中，分别为曲线C上的两点，且点恒在点的右侧，选项正确的为（ ） A. 若，则曲线C的图像为一条抛物线 B. 若，则曲线C的方程为 C. 当时，对于任意的和，都有 D. 当时，曲线C不存在 【答案】AD 【解析】 【分析】设曲线上的点，由题意求出的方程，分、化简后逐项判断可得答案. 【详解】对于A，若，设曲线上的点，由题意可得， 化简得，当时，为抛物线， 当时，，因为，所以，而，显然不成立， 综上，若，则曲线的图象为一条抛物线，故A正确； 对于B，若，设曲线上的点， 由题意可得， 化简得，当时，为抛物线， 当时，为一条射线，故B错误； 对于C，若，设曲线上的点， 由题意可得， 化简得， 因为， 当时，， 为开口向右，顶点为的抛物线的一部分，， 当时，， 为开口向左，顶点为的抛物线的一部分，， 且与关于对称,其图象大致如下， 因为，两点的纵坐标相同， 根据对称性可得，故C错误； 对于D，若，设曲线上的点， 由题意可得， 因为， 所以， 又，所以无解，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设曲线上的点，求出点的轨迹方程，数形结合求出答案. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据诱导公式及同角三角函数关系化简，再应用一元二次不等式求解. 【详解】因为，所以， 左右两边平方得， 所以,, 所以或. 故答案为：或 13. 已知函数的定义域为，数列满足，已知两个条件：①函数在是减函数；②是递减数列.写出一个满足①和②的函数解析式：______；写出一个满足②但不满足①的函数解析式：______． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】第一个空，根据函数的性质，可构造指数函数，利用指数函数的单调性即可判断；第二个空令，利用导数研究其在不单调递减情况下m的范围，且保证在上递减，即可写出一个函数解析式. 【详解】由题意可知：函数在是减函数，数列满足且是递减数列， 可根据等比数列的单调性及函数特性可取：， 由指数函数性质可知函数在是减函数，是递减数列. 设，则， 要满足题设条件则，即， 此时，上，递增；上，递减； 不妨令，则，则在上单调递增；上单调递减； 由，当时递减，故是递减数列. 综上，满足条件的一个函数有. 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一） 14. 某填空题有两小问，按目前掌握信息：十个人中有四人能够答对第一问；在第一问答错情况下，第二问答对的概率仅为0.05；第一问答对的情况下，第二问答错的概率为0.7．用频率估计概率，选择有效信息估计该题两小问均答错的概率：______． 【答案】0.57 【解析】 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件结合条件概率公式分析求解. 【详解】设“第一问做出”为事件A，“第二问做出”为事件B， 由题意可得：， 则， 所以. 故答案为：0.57 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在五边形ABCDE中，，，，，. （1）求BE的长度； （2）求三角形ABE周长的最大值为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理，可求得，在中，由余弦定理可得关于BE方程，解之即可； （2）在中，结合余弦定理和基本不等式求得的最大值为，即可得解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理知，所以，解得， 在中，由余弦定理知 ，所以， 化简得，解得或（舍负）， 故BE的长度为； 【小问2详解】 在中，由余弦定理知，， 所以，所以， 即，当且仅当时，等号成立， 此时，的最大值为， 所以三角形ABE周长的最大值为． 16. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在该椭圆上，且该椭圆的右焦点F的坐标为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，过点F且斜率为k直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的半焦距和椭圆上的已知点列出方程组，计算即得椭圆方程； （2）先考虑直线斜率为0时满足，再设直线的横截距式方程，与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，写出韦达定理，并发现内在关系，计算并消去，得其分子为，代入前式，计算即得分子为0，则得证. 【小问1详解】 依题意，可得，解得， 故椭圆C的标准方程为：； 【小问2详解】 如图，当直线l的斜率时，可得，显然满足； 当时，不妨设直线，由消去，整理得，， 显然，设，则由韦达定理，故， 因,则， 则， 此式的分子为：， 故得，即，得证. 17. 多面体的底面为梯形，，，，，且四边形为矩形，点P为线段上一点（异于点）． （1）若点P为线段中点，求证：平面； （2）是否存在点P，使直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先用余弦定理证明为等腰直角三角形，取的中点F，证明，结合条件可判定面面平行，再证线面平行即可； （2）取的中点O，利用勾股定理及逆定理结合线面垂直的判定先证底面，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可. 【小问1详解】 由条件可知， 则 即为等腰直角三角形，所以， 取的中点F，连接， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为四边形为矩形，点P为线段中点，所以， 同理有平面， 而平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面； 【小问2详解】 取的中点O，连接， 根据题意知，即为等腰直角三角形， ， 则， 因为底面，所以底面， 过O作，易知， 如图所示建立空间直角坐标系，易知， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 设直线与平面所成的角为，， 解之得，即. 18. 为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制《中国人群身体活动指南（2021）》（以下简称《指南》）正式发布.《指南》建议18-64岁的成年人每周进行150-300分钟中等强度或75-150分钟高强度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”）.经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访.记采访的18-64岁的市民数为随机变量，且该市随机抽取的18-64岁的市民是达标成年人的概率为，抽查结果相互独立. （1）求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率； （2）若抽取的18-64岁的市民数X不超过n的概率大于，求整数n的最小值． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）依题意，可判断随机变量服从二项分布，应用概率公式计算即得； （2）由题意，列出随机变量的分布列，则得，利用错位相减法求和将其转化成，判断数列的单调性，代值验证即得整数n的最小值. 【小问1详解】 依题意，采访的前四位中有一位是达标成年人，第五位必是达标成年人， 因抽取市民只有 “是达标成年人”或“不是达标成年人”两个结果，且抽查结果相互独立，故这是个重伯努利概型. 故“这一天采访刚好到第五位可停止当天采访”的概率为； 【小问2详解】 依题意，可列出随机变量的分布列： 2 3 4 5 于是， 化简得，， 即（*） 不妨记 则 由①-②，可得，， 即， 故得，，代入（*）整理得，. 设， 由可知，是递减数列， 又，而，故整数n的最小值为7. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查二项分布的概率公式应用和错位相减法求数列的和，属于较难题. 解题关键在于，把握题意，准确判断概率模型，列出随机变量的分布列；在求解多项和时，要观察其特征，符合等差数列乘以等比数列的通项求和时，应运用错位相减法. 19. 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象.现定义双曲正弦函数，回答以下问题： （1）类比三角函数的导数关系：，，写出与的导数关系式，并证明； （2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； （3）求的最小值． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）0 【解析】 【分析】（1）类比，写出平方关系，和角关系和导数关系，并进行证明； （2）构造函数，，求导，分和两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案； （3）多次求导，结合（2）中结论，先得到在内单调递增，再求出为偶函数，从而得到在内单调递减，求出. 【小问1详解】 平方关系：； 和角公式：； 导数：． 理由如下：平方关系， ； ， 和角公式： 故； 导数：，； 【小问2详解】 构造函数，，由（1）可知， i．当时，由可知， 故，故单调递增， 此时，故对任意，恒成立，满足题意； ii．当时，令，， 则，可知单调递增， 由与可知，存在唯一，使得， 故当时，，则在内单调递减， 故对任意，，即，矛盾； 综上所述，实数a的取值范围为． 【小问3详解】 ，， 令，则， 令，则， 当时，由（2）可知，，则， 令，则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 因为, 即为偶函数，故在内单调递减， 则，故当且仅当时，取得最小值0. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届潮南区高三摸底测试试题 数学科 本试题满分150分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必用黑色字迹签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z在复平面内对应点为，则的模为（ ） A 1 B. 2 C. D. 0 3. ，为单位向量，当，的夹角为135°时，向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 已知数列，则数列前100项中的最小项和最大项分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知三棱锥中，，，则其外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象与的图象关于点对称，且的图象与直线相切，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 4 8. 如图为一款电子触控灯面板，每个方格中的灯只有“亮”与“不亮”两种状态，触摸灯一次，将导致自身和所有相邻的灯状态发生改变.例如，在面板灯全不亮状态下，触摸E号灯时，E号灯亮起，周围的B、D、F、H号灯也发亮，其他号灯仍保持“不亮”状态.如果在面板灯都“不亮”状态下，只要A号灯亮，则需要触摸面板灯最少次数为（ ） A. 5 B. 7 C. 1 D. 9 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为，若等级分，则（ ） 参考数据：；； A. 这次考试等级分的标准差为5 B. 这次考试等级分超过80分的约有45人 C. 这次考试等级分在内人数约为48人 D. 10. 函数图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，的一条对称轴，且，下列叙述正确的是（ ） A. 函数的解析式为 B. 的一个对称中心，且在上单调递减 C. 向左平移个单位得到的图象关于y轴对称且 D. 对任意，恒成立时，满足条件a值可为1 11. 已知曲线C上点满足：到定点与定直线y轴的距离的差为定值m，其中，分别为曲线C上的两点，且点恒在点的右侧，选项正确的为（ ） A. 若，则曲线C的图像为一条抛物线 B. 若，则曲线C的方程为 C. 当时，对于任意的和，都有 D. 当时，曲线C不存在 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则______． 13. 已知函数的定义域为，数列满足，已知两个条件：①函数在是减函数；②是递减数列.写出一个满足①和②的函数解析式：______；写出一个满足②但不满足①的函数解析式：______． 14. 某填空题有两小问，按目前掌握信息：十个人中有四人能够答对第一问；在第一问答错情况下，第二问答对的概率仅为0.05；第一问答对的情况下，第二问答错的概率为0.7．用频率估计概率，选择有效信息估计该题两小问均答错的概率：______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在五边形ABCDE中，，，，，. （1）求BE的长度； （2）求三角形ABE周长的最大值为多少？ 16. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在该椭圆上，且该椭圆的右焦点F的坐标为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，过点F且斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，求证：． 17. 多面体的底面为梯形，，，，，且四边形为矩形，点P为线段上一点（异于点）． （1）若点P为线段中点，求证：平面； （2）是否存在点P，使直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求；若不存在，请说明理由． 18. 为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的《中国人群身体活动指南（2021）》（以下简称《指南》）正式发布.《指南》建议18-64岁的成年人每周进行150-300分钟中等强度或75-150分钟高强度的有氧运动（以下简称为“达标成年人”）.经过两年的宣传，某体育健康机构为制作一期《达标成年人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时，停止当天采访.记采访的18-64岁的市民数为随机变量，且该市随机抽取的18-64岁的市民是达标成年人的概率为，抽查结果相互独立. （1）求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率； （2）若抽取的18-64岁的市民数X不超过n的概率大于，求整数n的最小值． 19. 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象.现定义双曲正弦函数，回答以下问题： （1）类比三角函数的导数关系：，，写出与的导数关系式，并证明； （2）对任意，恒有成立，求实数a的取值范围； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$