专题06 等腰三角形、直角三角形中的分类讨论重难点题型专训（2大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题06 等腰三角形、直角三角形中的分类讨论重难点题型专训（2大题型+15道拓展培优） 题型一 等腰三角形中的分类讨论问题专训 题型二 直角三角形中的分类讨论问题专训 【知识梳理】 1、等腰三角形中的分类讨论： 【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可． 1.无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论． 2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解） 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰 方法：两圆一线 具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外） 注意：本专题部分题目涉及勾股定理，希各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练． 勾股定理公式：a2+b2=c2 【经典例题一 等腰三角形中的分类讨论问题专训】 【例1】如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点A向点C以的速度运动．若P，Q两点分别从B，A两点同时出发，回答下列问题：    (1)经过后，此时______，______； (2)在（1）的条件下，证明：； (3)求经过多少秒后，为等腰三角形且周长为? 1．（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，在中，为线段上—动点（不与点重合），连接，作交线段于点，以下四个结论：①；②当为的中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，其中正确的有______． A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 2．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．（2023八年级上·江苏·专题练习）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使为等腰三角形，则点P有（　　）    A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 4．（22-23八年级上·广西防城港·阶段练习）如图，在中，，D是边上的一个动点（点D不与点B、C重合），将沿AD折叠，点B落在点处，连接，，若是等腰三角形，则符合条件的点D的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）在某等腰三角形中，一条腰上的中垂线与另一条腰所在直线的夹角为，则该等腰三角形顶角的度数为 ． 6．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 7．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 8．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 9．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图，在中，，，点D为边上一动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作，射线交边于点E． (1)求证：； (2)试探究当的长为多少时，？请给出你的结论，并说明理由； (3)过点A在右侧作，交射线于点F，连接．当为等腰三角形时，求的度数． 10．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)___________（用的代数式表示）． (2)当点在边上运动时，出发 ___________秒后，是等腰三角形． (3)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ 11．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． (3)在中，其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数． 12．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图所示，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，______； (2)当的长为多少时，与全等？请说明理由． (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，请判断当等于多少度时，是等腰三角形，说明理由． 【知识梳理】 2、直角三角形中的分类讨论： 【解题技巧】 1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论． 2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解） 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成 方法：两线一圆 具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） ②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） ③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外） 【经典例题二 直角三角形中的分类讨论问题专训】 【例2】如图1所示，在边长为12的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动设点P的运动时间为，． (1)当_____时，是直角三角形； (2)如图2．若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发，那么当_____时，是直角三角形 (3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线方向运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接交于点D，过点P作于E，试问线段的长度是否变化？若変化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 1．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图，将边长为的等边沿射线平移得到，点，分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时， ．    2．（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，在中，，动点从点A出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以以的速度同时出发．设运动时间为在运动过程中，的形状不断发生变化，当 时，是直角三角形． 3．（23-24七年级下·河南信阳·期末）中，，点M、N分别在边上，将沿折叠，使点B落在直线上的点处，当为直角三角形时，的度数为 ． 4．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，动点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向点A移动，同时点E从点C出发以每秒3个单位长度的速度匀速向点B移动，当D、E两点中有一点到达终点时，两点同时停止运动，设点D的运动时间为t秒． （1）若为等边三角形，则 ． （2）若为直角三角形，则 ． 5．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为/s，点N的速度为2/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．当点M、N运动 秒后，可得到直角三角形． 6．（22-23八年级上·江西南昌·期末）如图，在的纸片中，，，点D在边上，以AD为折痕将折叠得到，与边交于点E．若为直角三角形，则的大小是 ． 7．（22-23八年级上·江苏常州·期中）如图，等边的边长是2，点D在等边的边BC所在直线上，以AD为一边作等边，顶点A、D、E逆时针排序．若是直角三角形时，则CD的长度是 ． 8、（20-21八年级下·重庆江津·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝8，若点P是边AB上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从A→B→A运动，同时点Q从B→C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t，若△BPQ为直角三角形，则t的值是 ． 9．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图1，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都是． ． (1)连接、交于点，则在、运动的过程中，的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)何时是直角三角形； (3)如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、的交点为，则的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 10．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，，点D从点A以的速度向点C运动，同时点E从点C以的速度向点B运动，运动时间为． (1)当t= 时，为等边三角形；（直接写结果） (2)当t为何值时，为直角三角形？ 11．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点P到达点B时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由． (2)则当t为何值时，是直角三角形？ 12．（22-23八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，等边的边长为，点，分别是边，上的动点，点，分别从顶点，同时出发，且它们的速度都为．设运动时间为秒． (1)如图，在，运动的过程中，能否成为直角三角形？若不能，请说明理由；若能，请求出此时的值． (2)如图，连接，交于点．在点，运动的过程中，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． 1．（23-24七年级下·山东济宁·期末）在中，，D是边上的动点（不与B、C重合），连接，若为等腰三角形，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 3．（23-24八年级上·广东汕头·期末）中，，过B的直线将分成两个等腰三角形，则符合条件形状不同的有（　　）种． A．2 B．3 C．4 D．5 4．（22-23九年级上·河北保定·阶段练习）如图，中，，，，，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为（    ）    A．2 B．2或7 C．2或5 D．2或5或7 5．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在边长为6的等边三角形中，点E是边或上的一点，点F是边上一点，且，连接，若为直角三角形，则的长为 ． 7．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为 ． 8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，D为边上一点．线段将分成了两个三角形，其中为直角三角形，为等腰三角形，则的度数为 ． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ． 10．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，，点D在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点G，连接，，当的值等于 °时，是等腰三角形． 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，现有一动点从点出发，以秒的速度沿射线运动，试回答下列问题： (1)运动几秒时为等腰三角形？ (2)运动几秒时为直角三角形？ 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）操作实践：中，，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法） （2）分类探究：中，最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值； （3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明） 13．（23-24八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)　　　　　（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 14．（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图：等边三角形中，、分别是、边上的点，，与相交于点，，是射线上的动点．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)若为直角三角形，求的值． 15．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图1，是边长为5厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为1厘米/秒，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为． (1)当运动时间为t秒时，的长为______厘米，的长为______厘米；（用含t的式子表示） (2)当是直角三角形时，求t的值； (3)如图2，连接、，相交于点M，则点P、Q在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 等腰三角形、直角三角形中的分类讨论重难点题型专训（2大题型+15道拓展培优） 题型一 等腰三角形中的分类讨论问题专训 题型二 直角三角形中的分类讨论问题专训 【知识梳理】 1、等腰三角形中的分类讨论： 【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可． 1.无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论． 2.“两定一动”等腰三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解） 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成等腰 方法：两圆一线 具体图解：①当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ②当时，以点为圆心，长为半径作⊙，点在⊙上（，除外） ③当时，作的中垂线，点在该中垂线上（除外） 注意：本专题部分题目涉及勾股定理，希各位同学可以学习完第3章后再完成该专题训练． 勾股定理公式：a2+b2=c2 【经典例题一 等腰三角形中的分类讨论问题专训】 【例1】如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点A向点C以的速度运动．若P，Q两点分别从B，A两点同时出发，回答下列问题：    (1)经过后，此时______，______； (2)在（1）的条件下，证明：； (3)求经过多少秒后，为等腰三角形且周长为? 【答案】(1)4，4 (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）由题意得出，则，求出； （2）由，得出，证明，得出，由三角形的外角性质即可得出结论； （3）设当两点同时出发运动t秒时，有，由题意得出，要使是等腰三角形，则可分为三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别得出方程，解方程，再进行判断即可． 【详解】（1）当两点分别从两点同时出发运动2秒时，有， ∴， 故答案为：4，4； （2）由（1）得：，， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴；    （3）设经过t秒后，为等腰三角形， 由题意可得：，，， ∵的周长为， ∴， ①当时，，所以； ②当时，，所以； ③当时，，所以， 综上，当或或时，为等腰三角形且周长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 1．（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，在中，为线段上—动点（不与点重合），连接，作交线段于点，以下四个结论：①；②当为的中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，其中正确的有______． A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到；根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和，分或，得到或，根据全等三角形的性质得到． 【详解】解：①∵， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ②∵D为中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴或， 当时，， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴的度数为或，故③错误， ④∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上分析可知，正确的是①②④． 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形性质及构造等腰三角形的方法．根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造中垂线；②以为圆心，长为半径作圆；③以为圆心，长为半径作圆；他们与直线或射线的交点即是点，从而得到结论 【详解】解：分三种情况： ①构造中垂线，、即为所求，如图所示： ②以为圆心，长为半径作圆，、即为所求，如图所示： ③以为圆心，长为半径作圆，即为所求，如图所示： 综上所述，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，符合条件的点有、、、、共5个， 故选：B． 3．（2023八年级上·江苏·专题练习）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使为等腰三角形，则点P有（　　）    A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】分三种情况讨论：以为腰，点为顶角顶点；以为腰，点为顶角顶点；以为底． 【详解】解：如图：如图，以为腰，点为顶角顶点的等腰三角形有5个；以为腰，点为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以为底的等腰，所以合计8个． 故选：C．    【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键． 4．（22-23八年级上·广西防城港·阶段练习）如图，在中，，D是边上的一个动点（点D不与点B、C重合），将沿AD折叠，点B落在点处，连接，，若是等腰三角形，则符合条件的点D的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，根据折叠的性质和等腰三角形的性质分情况讨论证明即可得到结论． 【详解】解：如图1，当时，是等腰三角形， 如图2，当时，是等腰三角形， 如图3，当时，是等腰三角形， ， ， 与重合， 与重合，故不符合题意， 故若是等腰三角形，则符合条件的点D的个数是2， 故选：C． 5．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）在某等腰三角形中，一条腰上的中垂线与另一条腰所在直线的夹角为，则该等腰三角形顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等，理解图形的基本性质是解题关键． 根据等腰三角形的性质以及中垂线的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】解：①如图1所示，当顶角为锐角时， 由题意，， ； ②如图2所示，当顶角为钝角时， 由题意，， ； 故答案为：或． 6．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、解二元一次方程组，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分多种情况求解即可． 【详解】解：①过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点A为顶点的等腰三角形为，如下图， ∴， ∴， 若是等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ②过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点C为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ③过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点M为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设不成立； ④过顶点A作一条直线把分成两个等腰三角形，等腰三角形为只能以点C为顶点，如图， 设，， 则， ∴， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， 解得， 故假设成立； ⑤由题得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 若过顶点B作直线交于点M，等腰三角形为以点C为顶角，如图， ∵，故矛盾； 综上所述，的度数为：或或， 故答案为：或或． 7．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键． 设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：4． 8．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 综上分析可知：的度数为：或或或． 故答案为：或或或． 9．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图，在中，，，点D为边上一动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作，射线交边于点E． (1)求证：； (2)试探究当的长为多少时，？请给出你的结论，并说明理由； (3)过点A在右侧作，交射线于点F，连接．当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)的度数为或 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形外角性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）根据，，即可证得； （2）根据，可得，再结合，，可证得，从而求得的长； （3）根据题意画出草图，利用等腰三角形性质证明，得到，根据为等腰三角形，分①当时， ②当时， ③，三种情况讨论，再结合等腰三角形性质以及三角形外角性质求解，即可解题． 【详解】（1）证明：由图可知：， ， ； （2）解：时，理由如下： ， 为等腰三角形，， 又， 在与中： ， ， 此时； （3）解：，，， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时， ， ， ， ③， ， 与点D为边上一动点产生矛盾， 故此类型不存在； 综上所述，的度数为或． 10．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)___________（用的代数式表示）． (2)当点在边上运动时，出发 ___________秒后，是等腰三角形． (3)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ 【答案】(1)； (2)； (3)为或或． 【分析】（）根据线段和差即可求解； （）用可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和，三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值； 本题考查了等腰三角形的性质，方程思想和分类讨论思想，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由题意可知，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， ∴出发秒后，能形成等腰三角形； 故答案为：； （3）当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， 则， ∴； 当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当为或或时，是等腰三角形． 11．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数． (3)在中，其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的度数为或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，三角形的内角和与三角形的外角性质，解题的关键是数形结合、分类讨论． （1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求； （2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解； （3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）如图即为所求： （3）当，时，， ， ， ； 当，时，， ， ； 当时，， ， ， ； 当，时，，， ， ， 此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意； 综上所述，的度数为或或． 12．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图所示，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，______； (2)当的长为多少时，与全等？请说明理由． (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，请判断当等于多少度时，是等腰三角形，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，，理由见解析 (3)当或时，是等腰三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等： （1）利用三角形内角和定理即可解题； （2）根据三角形的外角性质和三角形的判定证明即可； （3）分为三种情况：①当时，，根据，得出此时不符合；②当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出，根据三角形的内角和定理求出即可；③当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为；； （2）解：当时，， 理由：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ①当时，， ∵D不与B、C重合，则， ∴此时不符合题意； ②当时，即， ∵， ∴； ∴； ③当时，， ∴， ∴； ∴当或时，是等腰三角形． 【知识梳理】 2、直角三角形中的分类讨论： 【解题技巧】 1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论． 2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解） 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成 方法：两线一圆 具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） ②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） ③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外） 【经典例题二 直角三角形中的分类讨论问题专训】 【例2】如图1所示，在边长为12的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动设点P的运动时间为，． (1)当_____时，是直角三角形； (2)如图2．若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发，那么当_____时，是直角三角形 (3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线方向运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接交于点D，过点P作于E，试问线段的长度是否变化？若変化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 【答案】(1)3 (2)2或4 (3)线段长度不变， 【分析】（1）根据等边三角形的性质，当，即为的中点时，是直角三角形，据此求解即可； （2）分①当时，②当时，根据含30度角的直角三角形的性质，建立一元一次方程求解即可； （3）过作，进而证明，可得，问题得解． 【详解】（1）解：依题意，， 当是直角三角形时，， 是等边三角形， 则此时为的中点， ， ， 故答案为：3； （2）解：依题意，，， ①当时，如图， 是等边三角形， ，， ，则， 在中，， ， ， 即， 解得； ②当时，如图， 同理可得， 即， 解得； 综上所述，当t为或时，是直角三角形； （3）线段长度不变，理由如下： 如图，过点作，交于点F， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ∴， ， ， ， ，， 的速度相等， ， ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键． 1．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图，将边长为的等边沿射线平移得到，点，分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时， ．    【答案】或/8或4 【分析】先根据为直角三角形进行分类讨论：当时，根据直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，即可求出，进而求出，长度即可；当时，根据直角三角形中，角所对直角边是斜边长度的一半，可以求出，进而求出，长度就解决了． 【详解】解：如图，当时，      ∵， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 故将向右平移个单位即可， ∴； 如图，当时，    ∵，是等边三角形，点，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 故将向右平移个单位即可， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，平移的基本规律，熟练掌握平移的基本特点，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键． 2．（23-24七年级下·山东威海·期中）如图，在中，，动点从点A出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以以的速度同时出发．设运动时间为在运动过程中，的形状不断发生变化，当 时，是直角三角形． 【答案】或 【分析】本题主要考查了含度角的直角三角形的性质；分两种情况讨论：当时，当时，结合直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ， 当运动时，，，， ∵是直角三角形， ∴或， ①当时， ， ， ， 即， 解得：； ②当时， ， ， ， 即， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形． 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·河南信阳·期末）中，，点M、N分别在边上，将沿折叠，使点B落在直线上的点处，当为直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质等知识．分情况求解是解题的关键．由题意知，当为直角三角形时，分①，②，两种情况计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由折叠的性质可知，，， 当为直角三角形时，分①，②，两种情况求解； ①当时，， ∴； ②当时，， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 4．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，动点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向点A移动，同时点E从点C出发以每秒3个单位长度的速度匀速向点B移动，当D、E两点中有一点到达终点时，两点同时停止运动，设点D的运动时间为t秒． （1）若为等边三角形，则 ． （2）若为直角三角形，则 ． 【答案】 7， 或5 【分析】本题考查了解含30度角的直角三角形、等边三角形的性质以及解一元一次方程，解题的关键是利用30度角的对边等于斜边的一半找出关于的一元一次方程． （1）由列出方程并求解，此题得解； （2）分及两种情况进行讨论，利用30度角的对边等于斜边的一半，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】 由意得，，， （1）若为等边三角形，则， ， 解得：， 故答案为：7； （2）若为直角三角形， ①当时， ， ， ， ， 解得：， ②当时， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：或5 5．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为/s，点N的速度为2/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．当点M、N运动 秒后，可得到直角三角形． 【答案】或或或9 【分析】分点N在，，上运动的三种情况，再分别就和列方程求解可得． 【详解】当点N在上运动时，如图3， 若， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 解得； 如图4，若， 由得， 解得； 当点N在上运动时，点M也在上，此时A，M，N不能构成三角形； 当点N在上运动时， 如图5， 当点N位于中点处时，由是等边三角形知，即是直角三角形， 则， 解得； 如图6， 当点M位于中点处时，由时等边三角形知，即是直角三角形， 则； 综上，当或或或9时，可得到直角三角形． 故答案为：或或或9． 【点睛】此题是三角形的综合问题，主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的定义与性质、一元一次方程的应用，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系． 6．（22-23八年级上·江西南昌·期末）如图，在的纸片中，，，点D在边上，以AD为折痕将折叠得到，与边交于点E．若为直角三角形，则的大小是 ． 【答案】或 【分析】当是直角三角形时，分两种情况求解，根据题意作图，然后分别根据三角形内角和定理、外角的性质、翻折的性质等计算求解即可． 【详解】解：根据题意，当是直角三角形时，分两种情况讨论： ①当时，如图1， 由翻折的性质可知， ∴， 又∵， ∴， ∴ ②当时，如图2， ∴， ∴， 综上所述，的大小为或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 7．（22-23八年级上·江苏常州·期中）如图，等边的边长是2，点D在等边的边BC所在直线上，以AD为一边作等边，顶点A、D、E逆时针排序．若是直角三角形时，则CD的长度是 ． 【答案】或/2或1 【分析】根据等边三角形的性质，结合，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，得出，进而得出，再根据线段之间的数量关系，得出，同理得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，得出，进而得出，再根据线段之间的数量关系，得出，综合即可得出结果． 【详解】解：如图，当时， ∵是边长为2的等边三角形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， 同理，可得：， ∴，， 又∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或时，是直角三角形． 故答案为：或 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 8、（20-21八年级下·重庆江津·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝8，若点P是边AB上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从A→B→A运动，同时点Q从B→C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t，若△BPQ为直角三角形，则t的值是 ． 【答案】或或 【分析】先利用直角三角形的性质可得，再根据点的运动路径和速度求出的取值范围为，然后分和两种情况，分别利用直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：在中，， ， 点从点运动到点所需时间为（秒），最后返回到点所需时间为（秒）；点从点运动到点所需时间为（秒）， 当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动， ， 由题意，分以下两种情况： （1）如图，当时，为直角三角形， ①当时， ， 在中，，即， 解得，符合题设； ②当时， ， 在中，，即， 解得，不符题设，舍去； （2）如图，当时，为直角三角形， ①当时， ， 在中，，即， 解得，符合题设； ②当时， ， 在中，，即， 解得，符合题设； 综上，的值是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质等知识点，正确判断出的取值范围，并分情况讨论是解题关键． 9．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图1，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都是． ． (1)连接、交于点，则在、运动的过程中，的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)何时是直角三角形； (3)如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、的交点为，则的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【答案】(1)不变， (2)当第2秒或第4秒时，为直角三角形 (3)不变， 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键． （1）因为点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，所以，，，因而运用边角边定理可知．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数； （2）设时间为，则，．分别就①当时；②当时利用直角三角形的性质定理求得的值； （3）首先利用定理证得，再利用全等三角形的性质定理得到．再运用三角形角间的关系求得的度数． 【详解】（1）解：，不变． 等边三角形中，，， 又由条件得， 在与中， ， ， ， ； （2）设时间为，则，， ①当时， ， ，得，； ②当时， ， ，得，； 当第2秒或第4秒时，为直角三角形； （3），不变． 在等边三角形中，，， ， 又由条件得， 在与中， ， ， ， 又， ． 10．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，，点D从点A以的速度向点C运动，同时点E从点C以的速度向点B运动，运动时间为． (1)当t= 时，为等边三角形；（直接写结果） (2)当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1)1 (2)或 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，熟练掌握度角的直角三角形的边角关系是解题的关键. （1）根据等边三角形的性质列出方程求出t的值； （2）分两种情况讨论: ①当为直角时, ②当为直角时，分别利用度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出的值. 【详解】（1）解：根据题意可得,， ∵， ∴, ∵, 为等边三角形, ∴,即, 解得：, ∴当为时, 为等边三角形； （2）①当为直角时, , ，即 解得； ②当为直角时, , ∴即 解得. ∴当为 或时,为直角三角形. 11．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿方向匀速移动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点P到达点B时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由． (2)则当t为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)； (2)当或时，是直角三角形． 【分析】本题考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握含的直角三角形的性质是解题关键． （1）由等边三角形的性质列方程即可求解； （2）分情况讨论，由直角三角形的性质列方程即可求解． 【详解】（1）解：能，∵为等边三角形， 根据题意得，， ， ． 时，为等边三角形， ， 解得； （2）解：根据题意得，， ， 当时， ， ， ， 即， 解得； 当时，同理 即，解得． 综上所述：当或时，是直角三角形． 12．（22-23八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，等边的边长为，点，分别是边，上的动点，点，分别从顶点，同时出发，且它们的速度都为．设运动时间为秒． (1)如图，在，运动的过程中，能否成为直角三角形？若不能，请说明理由；若能，请求出此时的值． (2)如图，连接，交于点．在点，运动的过程中，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． 【答案】(1)能，或 (2)的大小不变， 【分析】（1）根据题意得出，求出，根据等边三角形的性质得出，然后分两种情况讨论：当时，，根据含度角的直角三角形的性质得出，从而得出方程，求出方程的解即可；当时，，根据含度角的直角三角形的性质得出，从而得出方程，求出方程的解即可； （2）根据等边三角形的性质得出，，根据全等三角形的判定定理得出，根据全等三角形的性质定理得出，根据三角形外角的性质求出，再求出答案即可． 【详解】（1）解：能成为直角三角形， 理由如下： 由题意得：， ， 是等边三角形， ， 分两种情况： 当时， ， ， 即， 解得：； 当时， ， ， 即， 解得：； 综上所述：当或时，是直角三角形； （2）解：的大小不变， 理由如下： 是等边三角形， ，， 即， 在和中， ， ， ， ， 的大小不变，． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形的性质，解一元一次方程，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 1．（23-24七年级下·山东济宁·期末）在中，，D是边上的动点（不与B、C重合），连接，若为等腰三角形，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，体现了分类讨论的思想．掌握等腰三角形的两个底角相等是解题的关键． 根据三角形内角和为为等腰三角形，分三种情况分别计算即可． 【详解】解： ∵， ， ， ∵为等腰三角形， 当时，， ； 当时，， 这时点与点重合，不符合题意， 当时，， ， 综上，的度数为或． 故选：D． 2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边与延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故选：A．    3．（23-24八年级上·广东汕头·期末）中，，过B的直线将分成两个等腰三角形，则符合条件形状不同的有（　　）种． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】分是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，根据等腰三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：由题意知，符合条件形状不同的有4种： ①当是直角三角形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，将分成两个等腰三角形；如图1， ②当是顶角为的等腰三角形，底角的平分线把它分成了两个等腰三角形；如图2； ③当是底角为的等腰三角形，时，将分成了两个等腰三角形，如图3； ④当中，时，可以使时构成两个等腰三角形，如图4． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 4．（22-23九年级上·河北保定·阶段练习）如图，中，，，，，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为（    ）    A．2 B．2或7 C．2或5 D．2或5或7 【答案】D 【分析】由条件可求得，再求出点从点运动到点所需的时间为6秒，然后根据和两种情况，根据当为直角三角形时，只有或，利用含角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：在中，，，，， ∴， ∵点以的速度从点出发，沿着的方向运动， 点从点运动到点所需的时间为秒， 则分以下两种情况： ①当时，，， 当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得，符合题设； 当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得，符合题设； ②当时，， 当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得，不符合题设，舍去； 当时， ∵， ∴， ∴，即， 解得，符合题设； 综上，的值为2或5或7， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，正确分情况讨论是解题关键． 5．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由三角形为等边三角形，得到三边相等，且内角为，根据题意得到，利用得到，则可得，可判定①正确；由全等三角形的性质得，从而可证明，，即可得出，可判定②正确；分与为直角两种情况求出的值，即可判定③；当时，求得，，从而可证明是等边三角形，，继而证得  ，即可判定④正确． 【详解】解：设点、Q运动时间为t秒， 根据题意得：， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ∴，故①正确； ∵ ， 在中，， ， 在中，， ， ， ，故②正确； 若，由，得到， ∴，即， 解得：； 若，由，得到， ∴，即， 解得：， 综上，当第秒或第秒时，为直角三角形，故③正确； 当时，则，， ∵ ∴P、Q是、边的中点，即、是的中线， ∴， 为等边三角形， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④共4个， 故选：D． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形重心的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 6．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在边长为6的等边三角形中，点E是边或上的一点，点F是边上一点，且，连接，若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】3或2或 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论，当点在上时，或，点在上时，或，分别画出图形，然后进行求解即可． 【详解】解：（1）当点在上时， 设， ， ， ； ①如图1，当时，， 即， 解得； ②如图2，当时， 是等边三角形， ， ， ， 即， 解得； （2）当点在上时， 设， ， ， ； ③如图3，当时， 此时，即， 解得； ④如图4，当时， 在中，， 即， 解得：； 综上所述，的长为3或2或． 故答案为：3或2或． 7．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】4或2/2或4 【分析】当为直角三角形时，分两种情况和，然后根据30度角的直角三角形的性质结合求解即可．本题考查了折叠的性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． ∵将沿翻折，点A的对应点为F， ∴，， ∴， ∴当为直角三角形时，分两种情况： ①当时， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ②当时，如图， 则：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：4或2． 8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，D为边上一点．线段将分成了两个三角形，其中为直角三角形，为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理、三角形外角定理，分和两种情况进行解答即可． 【详解】解：∵为直角三角形， ∴的三个内角的度数分别为，，， 当时， ∵是等腰三角形，那么只存在这种情况， ∴ ∵， ∴， 当时，，，那么只存在这种情况， ∴ ∵， ∴， 综上可知，的度数为或， 故答案为：或． 9．（2024八年级上·江苏·专题练习）定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ． 【答案】或或 【详解】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．注意分类讨论数学思想的应用． 根据题意三角形得到和都是等腰三角形，讨论：①当时，，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；②当，时，时；③当时，，分别利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；④当，，设设，则，根据题意列方程即可． 【解答】解：∵是特异三角形， ∴和都是等腰三角形， ①当时，则， 若，则， 此时； 由于，则与不成立； ②当，则，所以， 若，则， 此时，不合题意舍去； 若，则，此时； ③当时，则， 若，则，此时； 由于，则与不成立； ④当，， 设，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴； 综上所述，的度数为或或． 故答案为或或． 10．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，，点D在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点G，连接，，当的值等于 °时，是等腰三角形． 【答案】或或 【分析】首先由轴对称可以得出，就可以得出，，在证明就可以得出，就可以求出的值；再分三种情况讨论解答即可，①当时，②当时，③当时，从而求出结论． 【详解】解：∵，， ∴． ∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上：当或或时，为等腰三角形． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键． 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，现有一动点从点出发，以秒的速度沿射线运动，试回答下列问题： (1)运动几秒时为等腰三角形？ (2)运动几秒时为直角三角形？ 【答案】(1)运动4秒或8秒时为等腰三角形 (2)运动2秒或5秒时为直角三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质； （1）由于点在线段上时，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，然后求出，再根据时间路程速度计算即可得解；根据有一个外角是时可得出的长，故可得出结论； （2）分和两种情况求出，再求出的长，然后根据时间路程速度计算即可得解． 【详解】（1）当点在线段上时，如图1， ，为等腰三角形， ∴是等边三角形， ， ， 运动时间为：秒， 当点在线段外时，如图2， ， ， 此时，， 时间等于． 故运动4秒或8秒时为等腰三角形； （2）时，， ， 运动时间为：秒， 时，， ， 运动时间为：秒， 故运动2秒或5秒时为直角三角形． 12．（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）操作实践：中，，，请画出一条直线把分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法） （2）分类探究：中，最小内角，若被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出最大内角的所有可能值； （3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，本题创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”等数学思想． （1）按要求画图（作的中垂线或作的中垂线）即可； （2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把的三角形分成两个等腰三角形的各种情形，一共有5种情况，分别画图即可； （3）根据（1）（2）中的图形总结即可． 【详解】解：（1）所画图形如下图所示： （2）设分割线为，相应用的角度如图所示： 图1的最大角， 图2的最大角， 图3的最大角， 图4的最大角， 图5的最大角，因为不是最小内角，此种情况不符合题意， 故的最大内角可能值是或或或； （3 ）若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一： ①该三角形是直角三角形； ②该三角形有一个角是最小角的2倍； ③该三角形有一个角是其中一个角的3倍． 13．（23-24八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)　　　　　（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒 (3)11秒或12秒 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）由题意可知，， ， ， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，      则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，    则， ， 综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 14．（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图：等边三角形中，、分别是、边上的点，，与相交于点，，是射线上的动点．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)若为直角三角形，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或． 【分析】（）由等边三角形可得，，即可由证明； （）由全等三角形的性质可得，再利用三角形外角性质即可求解； （）分和两种情况，利用直角三角形的性质即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：如图，    ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴； 综上，或． 15．（19-20八年级上·河南商丘·期中）如图1，是边长为5厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为1厘米/秒，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为． (1)当运动时间为t秒时，的长为______厘米，的长为______厘米；（用含t的式子表示） (2)当是直角三角形时，求t的值； (3)如图2，连接、，相交于点M，则点P、Q在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 【答案】(1)，； (2)t的值为或； (3)不会变化， 【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征，三角形内角和定理及外角的性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）由等边三角形的性质可得厘米，设点P的运动时间为，则厘米，厘米，再表示出的长度即可； （2）由题意可知，厘米，厘米，厘米，当是直角三角形时，分两种情况讨论：和，根据30度角所对的直角边等于斜边一半列方程，求出t的值即可； （3）根据等边三角形的性质，证明，得到，推出，再根据三角形外角的性质，即可得出的度数． 【详解】（1）解：是边长为5厘米的等边三角形， 厘米， 设点P的运动时间为， 由题意可知，厘米，厘米， 厘米， 故答案为：，； （2）解：是边长为5厘米的等边三角形， 厘米，， 设点P的运动时间为， 则厘米，厘米，厘米， 当是直角三角形时， 若，则， ， ， 解得：； 若，则， ， ， 解得：， 综上可知，当是直角三角形时，t的值为或； （3）解：不会变化，理由如下： 是等边三角形， ，， 点P、Q分别从顶点A、B以相同速度同时出发，沿线段、运动， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是的外角， ， 即不会变化，度数为． 学科网（北京）股份有限公司 $$