精品解析：河南省周口市郸城县郸城二高、郸城三高2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

2024-2025学年（上）高二年级开学考 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 3. 已知平面向量，则与垂直单位向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为异面直线，则过空间一点且与都平行的平面有（ ） A. 个或个 B. 个 C. 个 D. 无数个 5. 若古典概型的样本空间，事件，，则（ ） A B包含A B. A与B对立 C. A与B互斥 D. A与B相互独立 6. 已知圆柱和圆锥的高相等，底面半径均为2，若圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的倍，则圆柱的表面积为（ ） A. 8π B. 12π C. 16π D. 24π 7. 如图，图（1）和图（2）均为“单峰”频率分布直方图，图（1）的中位数和平均数分别为a，b，图（2）的中位数和平均数分别为c，d，则（ ） A. B. C. D. 8. 设正四棱锥的底面中心为O，以O为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥的体积为，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. D. 10. 设复数，，a，b，c，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在复平面内对应的点所在区域的面积为 11. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员各射击6次，记录每次射击命中的环数（均取整数，最低为1，最高为10），根据统计结果，可以判断一定命中了10环的是（ ） A. 甲：平均数为8，极差为7 B. 乙：中位数为8，平均数为7 C. 丙：平均数为8，方差为2 D. 丁：中位数为8，众数只有7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则k=________． 13. 在正方体中，为棱的中点，动点在正方形内运动，若，则直线与所成角的余弦值为________． 14. 如图，某课外实践活动小组为了测量某山的高度，在山脚A处测得山顶P的仰角为，然后由A沿倾斜角为的斜坡向上走100米到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，若点A，B，C，P，Q在同一铅垂面内，则山的高度为______米． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在一个不透明袋子中装有大小、质地完全相同的1个红球和1个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，观察其颜色后放回.甲连续摸球2次，乙连续摸球4次.用a表示摸出红球，b表示摸出白球. （1）分别写出甲和乙的摸球试验的样本空间及其包含样本点的个数； （2）设A=“甲恰有一次摸出红球”，B=“乙恰有两次摸出红球”，比较与的大小． 16. 如图，在四棱锥中，为正三角形，，，E为PD的中点，． （1）证明：平面PAD； （2）若，，求四棱锥的体积． 17. 某校随机抽取了100名同学参加“奥运会”知识竞赛，统计得到参加竞赛的每名同学的成绩（单位：分），然后按，，…，分成6组，并绘制成下面的频率分布直方图，已知． （1）求a，b的值，并估计参加竞赛的同学成绩的第30百分位数； （2）已知成绩在内所有同学的平均成绩为84分，方差为6，成绩在内所有同学的平均成绩为98分，方差为10，求成绩在内所有同学的平均成绩和方差． 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； （3）设点P在边AC上，且存在实数，使得，说明线段BP与关系． 19. 《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正切值； （3）求与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年（上）高二年级开学考 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则z虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用复数运算法则，求得，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数z满足，可得， 所以复数的虚部为. 故选：D. 2. 在中，若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式和正弦和角公式得，确定，得到答案. 【详解】， 故， 因为，所以，故，所以， 故为直角三角形. 故选：B 3. 已知平面向量，则与垂直的单位向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出单位向量，建立等式求解即可. 【详解】设该单位向量为，由题可知 解得 或，即或 故选：C 4. 已知为异面直线，则过空间一点且与都平行的平面有（ ） A. 个或个 B. 个 C. 个 D. 无数个 【答案】A 【解析】 【分析】在直线上任取一点， 过点作直线，在直线上任取一点，过点作直线，直线可以确定一平面， 记该平面为，直线可以确定一平面，记该平面为，讨论点的位置，确定满足条件的平面的个数. 【详解】在直线上任取一点，由已知， 过点作直线， 因为，故直线可以确定一平面，记该平面为， 在直线上任取一点，由已知， 过点作直线， 因为，故直线可以确定一平面，记该平面为， 当点或时，过点不存在与都平行的平面， 当点且时，如图， 过点作， 因为直线，所以直线，可以确定一个平面，记为平面， 因为，，， 所以直线，同理可证， 此时过点有且仅有一个平面与都平行. 故选：A. 5. 若古典概型的样本空间，事件，，则（ ） A. B包含A B. A与B对立 C. A与B互斥 D. A与B相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】由事件包含关系的定义判断选项A；由对立事件互斥事件的定义判断选项BC，由是否成立判断选项D. 【详解】事件A与B包含没有包含关系，A选项错误； 事件，所以A与B不互斥也不对立，BC选项错误； ，，， ，所以事件A与B相互独立，D选项正确. 故选：D. 6. 已知圆柱和圆锥的高相等，底面半径均为2，若圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的倍，则圆柱的表面积为（ ） A. 8π B. 12π C. 16π D. 24π 【答案】C 【解析】 【分析】估计圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的倍求出圆柱和圆锥的高，求出圆柱的表面积. 【详解】设圆柱和圆锥的高均为， 因为圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的倍， 所以， 所以，所以圆柱的表面积为. 故选：C. 7. 如图，图（1）和图（2）均为“单峰”频率分布直方图，图（1）的中位数和平均数分别为a，b，图（2）的中位数和平均数分别为c，d，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、平均数、中位数的计算公式，结合图（1）（2）可以判断出的大小,，进而判断A、B、C、D. 【详解】对于A，图（1）中，众数靠近0这一侧，因此平均数会受到较大值的影响而表现为平均数在中位数的右侧，因此，故A错误； 对于B，图（2）中，众数靠近最大的数这一侧，因此平均数会受到较小值的影响而表现为平均数在中位数的左侧，因此，故B错误； 对于C、D，因为，，由不等式的性质有，故C正确，D错误. 故选：C. 8. 设正四棱锥底面中心为O，以O为球心的球面与正四棱锥的所有棱均相切，若正四棱锥的体积为，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，的中心为，连接，，，计算即可得出为等腰直角三角形，所以再应用正四棱锥的体积即得,最后应用球O的体积公式计算. 【详解】如图， 取的中点， 的中心为，连接，, 设球的半径为，则， 球与正四棱锥的各棱均相切，则底面正方形棱长为， 过作，则，， ，为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 所以 正四棱锥的体积为， 所以， 球的半径为，则球O的体积为 故选:B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量相等、平行、加法、减法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】AB选项，若，则， 所以四边形是平行四边形，而E，F分别为AD，BC的中点， 所以，但与是否垂直无法判断， 所以A选项错误，B选项正确. CD选项，连接， 则， 所以C选项正确，D选项错误. 故选：BC 10. 设复数，，a，b，c，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则， B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在复平面内对应的点所在区域的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数模的运算公式、复数模的几何意义逐一判断即可, 【详解】A：， 所以，，因此本选项结论正确； B：， ，显然不一定恒成立， 因此本选项结论不正确； C： ，因此本选项结论正确； D：，则在复平面内对应的点形成的轨迹为： 以原点为圆心，以及半径的两个圆所夹的圆环，包括圆环的边界， 故在复平面内对应的点所在区域的面积为，因此本选项结论正确， 故选：ACD 11. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员各射击6次，记录每次射击命中的环数（均取整数，最低为1，最高为10），根据统计结果，可以判断一定命中了10环的是（ ） A. 甲：平均数为8，极差为7 B. 乙：中位数为8，平均数为7 C. 丙：平均数为8，方差为2 D. 丁：中位数为8，众数只有7 【答案】AD 【解析】 【分析】由平均数、极差、方差、中位数、众数的定义逐项判断即可. 【详解】对于甲：如果最高命中9环，由极差可知，最低为2环，由于平均数为8，所以总和为48环，48-9-2=37，其它4环最高36环，所以甲一定命中了10环. 对于乙：6次出现的点数为：3,6,8,8,8,9满足中位数为8，平均数为7，故错误； 对于丙：6次出现的点数为：7,8,8,8,8,9满足平均数为8，方差为2，故错误 对于丁：由于中位数为8，所以6次出现的点数按从小到大顺序可能为，或或； 对于，由于众数只有7，所以不能都是9，故， 对于不符合众数只有7， 对于也不符合众数只有7，故丁一定命中了10环. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则k=________． 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】向量，，若， 所以，所以. 故答案为： 13. 在正方体中，为棱的中点，动点在正方形内运动，若，则直线与所成角的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，得到，把异面直线与所成角，转化为与所成角，在直角中，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 因为分别为的中点，可得， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，设， 在正方体中，因为，且平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，由，所以. 故答案为：. 14. 如图，某课外实践活动小组为了测量某山的高度，在山脚A处测得山顶P的仰角为，然后由A沿倾斜角为的斜坡向上走100米到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，若点A，B，C，P，Q在同一铅垂面内，则山的高度为______米． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，设，表达出其他各边，利用列出方程，求出，从而求出山的高度 【详解】由题意得，， 过点作⊥于点，则， 则，，则， 设，则， 由于等腰直角三角形，故，即， 解得， 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在一个不透明的袋子中装有大小、质地完全相同的1个红球和1个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，观察其颜色后放回.甲连续摸球2次，乙连续摸球4次.用a表示摸出红球，b表示摸出白球. （1）分别写出甲和乙的摸球试验的样本空间及其包含样本点的个数； （2）设A=“甲恰有一次摸出红球”，B=“乙恰有两次摸出红球”，比较与的大小． 【答案】（1）答案详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用列举法写出样本空间并求得样本点的个数. （2）通过计算与，从而作出判断. 【小问1详解】 甲摸球试验的样本空间：，样本点个. 乙摸球试验的样本空间： ， ， 样本点个. 【小问2详解】 由（1）得，所以. 16. 如图，在四棱锥中，为正三角形，，，E为PD的中点，． （1）证明：平面PAD； （2）若，，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）为的中点，可证，由，得，又，可得证平面PAD； （2）为的中点，证明是四棱锥的高，体积公式计算四棱锥的体积． 【小问1详解】 分别为的中点，连接， 又E为PD中点，则有且， 由已知，， 所以，，四边形为平行四边形，有， 为正三角形，，则， 又，平面，， 所以平面PAD； 【小问2详解】 ，则有，又， 平面，，所以平面， 平面，则， 为的中点，有， 平面，，所以平面， 即是四棱锥的高， ，则， 得四棱锥的体积. 17. 某校随机抽取了100名同学参加“奥运会”知识竞赛，统计得到参加竞赛的每名同学的成绩（单位：分），然后按，，…，分成6组，并绘制成下面的频率分布直方图，已知． （1）求a，b的值，并估计参加竞赛的同学成绩的第30百分位数； （2）已知成绩在内所有同学的平均成绩为84分，方差为6，成绩在内所有同学的平均成绩为98分，方差为10，求成绩在内所有同学的平均成绩和方差． 【答案】（1），参加竞赛的同学成绩的第30百分位数估计为 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据在频率直方图所有小矩形的面积之和为，结合第30百分位数的性质进行求解即可； （2）根据由部分平均数、方差求总体平均数和方差的公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为在频率直方图所有小矩形的面积之和为， 所以， 于是有， 因为， 所以参加竞赛的同学成绩的第30百分位数估计在，设为， 于是有； 【小问2详解】 成绩在和成绩在内的学生人数之比为， 所以有， . 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； （3）设点P在边AC上，且存在实数，使得，说明线段BP与的关系． 【答案】（1） （2） （3）线段BP为的中线 【解析】 【分析】（1）由正余弦展开式结合特殊角的三角函数求出即可； （2）由三角形的面积公式结合正弦定理得到，再由三角恒等变换化简得到面积为，最后结合锐角三角形中角的范围和正弦函数的值域求出即可； （3）作出图形，结合正弦定义和平面向量的基本定理求解即可； 【小问1详解】 因为， 所以， 整理可得， 又， 所以， 【小问2详解】 为锐角三角形，且，， 所以， 由正弦定理可得， 所以， 因为为锐角三角形，， 所以，所以， 所以， 所以， 【小问3详解】 如图： 作于，取的中点，连接， 由图可得， 所以， 所以与共线， 又点P在边AC上，也在上， 所以重合， 所以线段BP为的中线. 19. 《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，，，，为棱的中点，为棱的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正切值； （3）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）二面角的正切值为； （3）与平面所成角的正弦值为. 【解析】 【分析】（1）先证明，根据线面平行判定定理证明平面，再证明平面，根据面面平行判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求二面角的余弦值，根据同角关系求结论； （3）求直线的方向向量和平面的法向量，由线面夹角公式求结论. 【小问1详解】 由已知，， 因为为棱的中点，为棱的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 连接，因为，， 因为为棱的中点，为棱的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由已知平面，平面， 所以，又， 所以直线两两垂直， 以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 ，，，，， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，所以， 取，可得，， 所以为平面的一个法向量， 又为平面的 法向量， 设二面角的平面角为， 所以， 观察可得，所以， 所以， 所以二面角的正切值为. 【小问3详解】 因为，， 所以， 因为平面平面，为平面的一个法向量， 所以为平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$