1.2《一定是直角三角形吗》课件 2024-2025学年北师大版八年级数学上册

1.2 一定是直角三角形吗 北师大版·数学 八年级上册 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 学习目标 1.了解直角三角形的判定条件(勾股定理的逆定理)，并熟悉一些常见的勾股数。(重点) 2.能够运用勾股数解决简单实际问题．(难点) 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 复习回顾 1.常见大于10整数的平方： 112 = 122 = 132 = 142 = 152 = 162 = 172 = 182 = 192 = 202 = 242 = 252 = 302 = 402 = 412 = 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 576 625 900 1600 1681 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 复习回顾 直角三角形. 2.勾股定理应用的前提条件是什么： 思考：将勾股定理反过来，如果一个三角形满足了“两边的平方和等于第三边的平方”，那么它一定是直角三角形吗？ 条件：在Rt△ABC中，∠C=90° 结论：a2＋b2=c2 b B A C a c 条件：在△ABC中，a2＋b2=c2 结论：△ABC为Rt△ABC，∠C=90° 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 探索新知 【探究一】勾股定理的逆定理 活动1：下面有三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c： ①5，12，13; ②7，24，25; ③8，15，17. 回答下列问题： 1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？ 2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 探索新知 【探究一】勾股定理的逆定理 5 12 13 24 7 25 15 8 17 实验结果： ① 5，12，13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ② 7，24，25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ③ 8，15，17满足a2+b2=c2 ,可以构成直角三角形. 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 探索新知 【探究一】勾股定理的逆定理 活动2：从上述问题中，能发现什么结论吗？ 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 条件：在△ABC中，a2＋b2=c2 . 结论：△ABC为Rt△ABC，∠C=90°. 测量结果可能有误差，你能给出一个更有说服力的理由吗? 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 需要进行理论论证 探索新知 【探究一】勾股定理的逆定理 活动3：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2.你能否判断 △ABC是直角三角形？并说明理由. 作一个直角∠MC1N， 在C1M上截取C1B1=a=CB， 在C1N上截取C1A1=b=CA， 连接A1B1. a c b A C B b a C1 M N B1 A1 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 需要进行理论论证 探索新知 【探究一】勾股定理的逆定理 活动3：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2.你能否判断 △ABC是直角三角形？并说明理由. 在Rt△A1C1B1中，由勾股定理，得 A1B12=a2+b2=c²=AB2 . ∴ A1B1=AB =c， ∴ △ABC ≌△A1B1C1 . (SSS) ∴ ∠C=∠C1=90°， 因此△ABC是直角三角形. a c b A C B b a C1 M N B1 A1 c 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 需要进行理论论证 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c 满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形，这是勾股定理的逆定理. 总结归纳 几何语言： 在△ABC中 ，∵ a2+b2=c2, ∴ △ABC是直角三角形，且∠C=90°. b B A C a c 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 利用这个定理，可以判断直角三角形 10 1.判断由线段a，b，c组成的三角形是否是直角三角形？如果是直角三角形，请指出哪一个角是直角． (1)a=9，b=40，c=41 (2)a=7，b=9，c=13 当堂检测 解：∵a2＋b2＝c2，∴该三角形是直角三角形，边c所对的角是直角． 解：∵a2＋b2≠c2，∴该三角形不是直角三角形． 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 2.(变式)若△ABC 的三边长a，b，c满足|a－5|＋|12－b|＋(c－13)2＝0，则△ABC是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 当堂检测 A 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 3.(变式)若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c. 试判断△ABC 的形状. 当堂检测 解：∵ a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c， ∴ a2−6a + 9 + b2−8b + 16 + c2 −10c + 25 = 0， 即 (a−3)² + (b−4)² + (c−5)² = 0. ∴ a = 3，b = 4，c = 5. ∴ a2 + b2 = c2. ∴△ABC 是直角三角形. 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 4.如图，在正方形 ABCD 中，AB = 4，AE = 2，DF = 1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流. 当堂检测 4 1 2 2 4 3 A B C D E F 解：图中共有4个直角三角形，分别为： Rt△ABE，Rt△BCF，Rt△DEF，Rt△BEF. 理由： ∵在正方形ABCD中∠A=∠C=∠D=90° ∴△ABE,△BCF,△DEF都为直角三角形 在△ABE中，由勾股定理，得BE²=2²+4²=20, 同理EF2=22+12=5，BF2=32+42=25 ∴BE2+EF2=BF2 ∴△BEF是直角三角形. 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 方法总结 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： (1)根据定义判断(找直角)； (2)根据三边关系判断(勾股定理的逆定理)。 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 探索新知 【探究二】勾股数 1.定义：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数. 2.常见勾股数： ①3，4，5； ②5，12，13； ③6，8，10； ④7，24，25；⑤8，15，17； ⑥9，40，41；等. 3.拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组 数同样是勾股数. 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 需要进行理论论证 5.下列各组数中，是勾股数的为(　　) A.1，2，3 B.32，42，52 C.3，4，5 D.0.3，0.4，0.5 6.能与8，15组成一组勾股数的是(　　) A.6 B.8 C.17 D.20 当堂检测 C C 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 探索新知 【探究三】勾股定理逆定理的简单应用 视频来源：B站大神wzw 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 探索新知 【探究三】勾股定理逆定理的简单应用 例：某中学有一块四边形空地ABCD，如图所示. 现计划在该空地上种植草皮，经测量，∠B=90°，AB=400 m，AD=1300 m，CD=1200 m，BC=300 m，请计算种植的草皮的面积. A B C D 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 探索新知 【探究三】勾股定理逆定理的简单应用 解：连接AC. ∵∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形. 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AC2=AB2+BC2=4002+3002，解得AC=500 m. 在△ACD中，AC2+CD2=5002+1 2002=1 3002=AD2, ∴△ACD是直角三角形. ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= ×300×400+ ×500×1 200=360 000(m2). 答：种植的草皮的面积为360 000 m2. 400 m 1300 m 1200 m 300 m A B C D 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 7.(变式)如图，四边形 ABCD 中，AB⊥AD，已知 AD =3 cm，AB = 4 cm，CD = 12 cm，BC = 13 cm，求四边形 ABCD 的面积. 当堂检测 解：连接 BD. 在 Rt△ABD 中，由勾股定理， 得 BD2 = AB2 + AD2， ∴ BD = 5 cm. 又∵ CD = 12 cm，BC = 13 cm， ∴ BC2 = CD2 + BD2. ∴△BDC 是直角三角形. S四边形ABCD = S△BCD－S△ABD = BD•CD－ AB•AD = ×(5×12－4×3) = 24 (cm2)． C B A D 3 4 12 13 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 8.(变式)如图，在四边形 ABCD 中，AC⊥DC，△ADC 的面积为30 cm2，DC=12 cm，AB=3 cm，BC=4 cm，求△ABC 的面积. 当堂检测 解：∵ S△ACD =30 cm2，DC=12 cm. S△ACD = AC•CD = ×12×AC=30 ∴ AC = 5 cm. 又∵AB2+BC2=32+42=52=AC2 ∴△ABC 是直角三角形，且∠B 是直角. ∴S△ABC = AB•BC = ×3×4=6(cm2) 12 3 4 D C B A 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 课堂小结 一定是直角三角形吗 勾股定理的逆定理： 勾股数： 如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形. 满足a2 +b2=c2 的三个正整数，称为勾股数. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)， 得到一组新数，这组数同样是勾股数. 勾股定理逆定理的简单应用 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 9.下列各组数分别为三条线段长，能作为直角三角形三边长的是(　　) A.9，12，15 B.2，3，5 C.8，12，15 D.6，12，14 10.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a2－b2＝c2，则下列说法正确的是(　　) A.∠C是直角 B.∠B是直角 C.∠A是直角 D.∠A是锐角 当堂检测 A C 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 11.(易错)已知两线段的长分别是4，3，则第三条线段长度的平方是____时，这三条线段构成直角三角形． 12.如图，正方形网格的每个小方格边长均为1， △ABC的顶点在格点上．S△ABC＝_____； 当堂检测 25或7 5 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 13.阅读以下解题过程： 已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，判断△ABC的形状． 解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，① ∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2).② ∴c2＝a2＋b2.③ ∴△ABC为直角三角形．④ (1)上述解题过程从哪一步开始出现错误？写出错误的步骤序号：______； 当堂检测 ③ 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 13.阅读以下解题过程： 已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，判断△ABC的形状． 解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，① ∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2).② ∴c2＝a2＋b2.③ ∴△ABC为直角三角形．④ (2)错误的原因是_________________________； (3)本题正确的结论是_________________________________． 当堂检测 忽略了a2－b2＝0的情况 △ABC是等腰三角形或直角三角形 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 14.如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC=600 m，BC=800 m，AB=1 000 m，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路最短，请你帮工厂C的负责人设计一种方案，并求出新建的路的长. 当堂检测 解：过点C作公路AB的垂线，垂足为D， 则线段CD即为新建的路. ∵AC2+BC2=6002+8002=1 0002，AB2=1 0002， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC为直角三角形. ∴AB·CD= AC·BC，∴ ×1 000·CD= ×600×800， 解得CD=480 m， 答：新建的路的长为480 m. 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout $$