1.1.2《探索勾股定理》（第二课时）课件2024-2025学年北师大版数学八年级上册

1.1.2 探索勾股定理 北师大版 数学 八年级上册 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 学习目标 1.掌握用面积法验证勾股定理,并能应用勾股定理解决一些实际问题;(重点) 2.经历勾股定理的验证过程,体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.(难点) 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 复习回顾 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 1.勾股定理的文字表述: ∵在Rt ABC中 ,∠C=90 ,∴a2+b2=c2(勾股定理). 2.勾股定理的几何语言: 3.拓展知识:以直角三角形的三边向外做任意相似图形时,两个小的图形面积和 大的图形面积。 等于 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 探索新知 【探究一】验证勾股定理 上一节课,我们通过测量和数格子的方法发现了直角三角形三边的关系,但是这种方法是否具有普遍性呢? 5cm 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 探索新知 【探究一】验证勾股定理 请观察这四个全等的直角三角形,要如何拼出以斜边为边长的正方形? 有哪些拼法? 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 探索新知 【探究一】验证勾股定理 请观察这四个全等的直角三角形,要如何拼出以斜边为边长的正方形? 图 1 图 2 a b c a b c 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 探索新知 【探究一】验证勾股定理 如图1,你能表示大正方形的面积吗? 能用两种方法表示吗? 方法一:(a+b)2 方法二:c2+4 ab 你能验证勾股定理了吗? 图 1 a b c S大正方形= c2+2ab=(a+b)2 整理,得c2=a2+b2 验证方法一:毕达哥拉斯证法 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 探索新知 【探究一】验证勾股定理 如图2,你能表示大正方形的面积吗? 能用两种方法表示吗? 方法一:c2 方法二:4 ab+(b−a)2 你能验证勾股定理了吗? S大正方形= c2=2ab+b2−2ab+a2 整理,得c2=a2+b2 验证方法二:赵爽弦图 图 2 a b c b−a 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 知识拓展 我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”。2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽。 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 1.如图,四个全等的直角三角形围成一个大正方形 ABCD ,中间阴影部分是一个小正方形 EFGH,这样就组成一个“赵爽弦图”.若AB=10,AE=8,则正方形 EFGH 的面积为 . 当堂检测 4 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 探索新知 【探究一】验证勾股定理 如图,图中的三个三角形都是直角三角形,求证:a2+ b2=c2. b a a b c c 证明:∵S梯形= (a+b)(a+b) 且S梯形= ab+ ab+ c2 ∴ (a+b)(a+b)= ab+ ab+ c2 ∴a2+ b2=c2 . 验证方法三:“总统”证法 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 美国第二十任总统伽菲尔德 2.历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形:如图,两个全等的直角三角形的边AE,EB在一条直线上. 证明中用到的面积相等关系是( ) A. S EDA=S CEB B. S EDA+S CEB=S CDE C. S四边形CDAE=S四边形CDEB D. S EDA+S CDE+S CEB=S四边形ABCD 当堂检测 D 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 知识拓展 验证勾股定理的方法有很多,下面是我国古代利用“青朱出入图”验证勾股定理的思路。 a b 青方 朱方 c 青出 青入 朱出 朱入 青出 青入 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 知识拓展 视频来源:B站madoxi 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 探索新知 【探究一】验证勾股定理 观察右图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足 a2 + b2 = c2 . 锐角三角形:a2+b2>c2 钝角三角形:a2+b2<c2 直角三角形:a2+b2=c2 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 探索新知 【探究二】利用勾股定理解决实际问题 例:我方侦查员小王在距离东西向公路 400m 处侦查,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距 400m,10s 后,汽车与他相距 500m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?(单位km/h) 敌方汽车 B C A 公路 400m 500m 敌方汽车 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 探索新知 【探究二】利用勾股定理解决实际问题 敌方汽车 B C A 公路 400m 500m 敌方汽车 解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2, 即5002=BC2+4002, ∵BC>0,∴BC=300. ∴敌方汽车10s行驶了300m,那么它 1h行驶的距离为: 300 6 60=108000(m), 答:它行驶的速度为108km/h。 总结:在实际问题中,可以根据问题中的条件构造直角三角形,从而利用勾股定理来解答. 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 3.飞机在空中水平飞行,某时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4 km处,过了20 s,飞机距离这个男孩子头顶5 km,则飞机每小时飞行多少千米? 当堂检测 4 km 5 km A B C 解:设点A为男孩头顶,点C为正上方时飞机的位置, 点B为20 s后飞机的位置,如图, 在Rt ABC中, AB2=BC2+AC2, 即BC2=AB2−AC2=9 ,且BC>0 ∴BC=3 km ∵因为20s= h, ∴飞机的速度为 3 =540 (km/h), 答:飞机每小时飞行540千米. 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 4.如图是某沿江地区交通平面图,该地区拟修建一条连接M,O,Q三城市的沿江高速公路,已知沿江高速公路的建设成本是5 000万元/ km,该沿江高速的造价预计是多少? 当堂检测 解:在Rt MNO中,由勾股定理,得 OM2=MN2+NO2=3002+4002=5002 解得OM=500 km 同理,得OQ=1300 km OM+OQ=500+1300=1800 km ∴该沿江高速的造价为 1800 5000=9000 000 万元=90亿元 答:该沿江高速的造价预计是90亿元. M O N P Q 30 km 40 km 50 km 120 km 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 5.如图,某储藏室入口的截面是一个半径为1.2 m的半圆形,一个长、宽、高分别是1.2 m,1 m,0.8 m的箱子能放进储藏室吗? 当堂检测 能放进储藏室. 解:如图,四边形ABCD是半圆内长方形,O为圆心, ∴AB∥CD,AB=CD=1.2 m,OA=1.2 m. 作OE⊥AB交AB于点E,则OE平分AB,连接OA. ∴AE=0.6. ∴OE2=OA2-AE2=1.22-0.62=1.08. ∵0.82=0.64,1.08>0.64, ∴长、宽、高分别是1.2 m,1 m,0.8 m的箱子能 放进储藏室. 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 课堂小结 探索勾股定理 验证勾股定理 勾股定理应用: 验证方法一:毕达哥拉斯证法 在实际问题中,可以根据问题中的条件构造直角三角形,从而利用勾股定理来解答. 验证方法二:赵爽弦图 验证方法三:总统证法 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 6.如图,有一块长方形花圃,有少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了_ m长的路,却踩伤了花草. 当堂检测 2 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 7.小华与同学去玩探宝游戏,按照探宝图,他们从门口A处出发先往东走8 km,又往北走2 km,遇到障碍后又往西走3 km,再向北走6 km,最后往东走1 km找到了宝藏,则门口A到藏宝点B的直线距离是( ) A. 20 km B. 14 km C. 11 km D. 10 km 当堂检测 D 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 8.意大利著名画家达 芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理.左图中空白部分由边长分别为a,b的两个正方形和斜边为c的两个直角三角形组成,若设左图中空白部分的面积为S1,右图中空白部分的面积为S2,则下列表示S1,S2的等式成立的是( ) A. S1=a2+b2+2ab B. S1=a2+b2+ab C. S2=c2+2ab D. S2=c2+ ab 当堂检测 B 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 9.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置,连接CF,此时∠FAC=90 ,若设AB=a,BC=b,AC=c. 请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理:a2+b2=c2. 当堂检测 证明:由题意,得 FG=AE=AB=a ,AG=AD=BC=b 因为S梯形BCFG=S AFG+S AFC+S ACB = ab+ c2+ ab=ab+ c2 所以S梯形BCFG= (FG+BC) BG= (a+b)(a+b)= a2+ab+ b2 所以ab+ c2= a2+ab+ b2,∴a2+b2=c2 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 10.在 ABC 中,AB=20,AC=15,AD 为 BC 边上的高,且 AD = 12,求 ABC 的周长。 当堂检测 解:当高 AD 在 ABC 内部时,如图①. 在 Rt ABD 中,由勾股定理, 得 BD2=AB2-AD2=202-122=162, ∴ BD=16. 在 Rt ACD 中,由勾股定理, 得 CD2=AC2-AD2=152-122=81, ∴ CD=9. ∴ BC=BD+CD=25. ∴ ABC 的周长为 25+20+15=60. 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 10.在 ABC 中,AB=20,AC=15,AD 为 BC 边上的高,且 AD = 12,求 ABC 的周长。 当堂检测 解:当高 AD 在 ABC 外部时,如图②. 同理可得 BD=16,CD=9. ∴ BC=BD-CD=7. ∴ ABC 的周长为 7+20+15=42. 综上所述, ABC 的周长为 42 或 60 . 章节标题内容1 Use "Title Only" Layout 题中未给出图形,作高构造直角三角形时,易漏掉钝角三角形的情况.如在本例题中,易只考虑高AD 在 ABC 内的情形,忽视高 AD 在 ABC 外的情形. $$