3.2.2双曲线的简单几何性质10题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

3.2.2双曲线的简单几何性质10题型分类 一、双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 二、等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为. 三、直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 四、弦长公式 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝. （一） 双曲线的标准方程与几何性质 1．由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 2．由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧：渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 题型1：由双曲线的方程研究几何性质 1-1．【多选】（2024高二下·山东临沂·期末）已知双曲线，则（    ） A．实轴长为1 B．虚轴长为2 C．离心率 D．渐近线方程为 1-2．【多选】（2024高二上·福建福州·期末）已知双曲线，则不因的值改变而改变的是（    ） A．焦距 B．顶点坐标 C．离心率 D．渐近线方程 1-3．【多选】（2024高二上·江苏盐城·期末）下列关于双曲线说法正确的是（    ） A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线 C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点 题型2：由双曲线的性质求双曲线的标准方程 2-1．（2024高二下·上海浦东新·阶段练习）已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为 . 2-2．（2024高二·全国·课后作业）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ． 2-3．（2024高二下·广东佛山·阶段练习）一双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆的离心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2-4．（2024高二上·辽宁营口·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． （二） 求双曲线的渐近线与离心率 双曲线的渐近线、离心率： 双曲线的方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 a,b,c的关系 c2＝a2＋b2 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 题型3：双曲线的渐近线问题 3-1．（2024高二上·河北保定·期中）双曲线的渐近线方程为（        ） A． B． C． D． 3-2．（2024高二下·河南平顶山·期末）双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为（    ） A．2 B． C．3 D．4 3-3．（2024高二下·四川达州·期末）已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3-4．（2024高三下·湖南·阶段练习）已知为双曲线的左、右焦点，过作直线的垂线分别交双曲线的左、右两支于两点（如图）.若构成以为顶角的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为 .    3-5．（2024·江苏）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 . 3-6．（2024高二下·江西赣州·阶段练习）如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（    ）    A．3 B． C． D． 题型4：双曲线的离心率问题 4-1．（2024高二上·江苏·期末）设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为 4-2．（2024高二下·湖南衡阳·期末）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率 . 4-3．（2024高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4-4．（2024高二上·全国·课后作业）已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 4-5．（2024高三下·贵州黔东南·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为 . 4-6．（2024高二下·四川凉山·期末）已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为 . 4-7．（2024高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 4-8．（2024·河北·三模）已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4-9．（2024·安徽合肥·模拟预测）双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4-10．（2024高三下·河南洛阳·开学考试）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． （三） 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 题型5：直线与双曲线的位置关系 5-1．（2024高二上·全国·单元测试）讨论直线与双曲线的公共点的个数． 5-2．（2024·上海崇明·模拟预测）双曲线与直线无公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为 ． 5-3．（2024高二上·湖北武汉·阶段练习）直线与双曲线的左支交于不同两点，则实数的取值范围为 ． 5-4．（2024高三·全国·专题练习）设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程． 题型6：求相交弦长 6-1．（2024高二上·四川凉山·期末）已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 6-2．（2024高二下·湖南湘潭·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 6-3．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点. (1)求C的标准方程； (2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度. 6-4．（2024高二上·辽宁·期末）已知双曲线C的渐近线为，且过点． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长． （四） 双曲线的中点弦与点差法 1、 双曲线的中点弦结论： 若直线(不平行于轴)过双曲线上－＝1(a>b>0)两点、，其中中点为，则有. 2、根与系数关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. 3．点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 题型7：双曲线的中点弦问题 7-1．（2024高二下·湖北孝感·期中）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 7-2．（2024·河南·三模）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7-3．（2024高二下·陕西榆林·期末）已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． （五） 双曲线的综合问题 双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况.另外，设而不求、韦达定理、消参也是常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度. 题型8：双曲线的定点、定值问题 8-1．（2024高三下·上海闵行·阶段练习）已知双曲线的左右顶点分别为.直线和两条渐近线交于点,点在第一象限且,是双曲线上的任意一点. (1)求双曲线的标准方程； (2)是否存在点P使得为直角三角形？若存在,求出点P的个数； (3)直线与直线分别交于点,证明：以为直径的圆必过定点. 8-2．（2024高二上·全国·期中）已知双曲线过点，且离心率 (1)求该双曲线的标准方程： (2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. 8-3．（2024高三上·浙江绍兴·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点. 8-4．（2024高二下·全国·开学考试）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 题型9：双曲线的向量问题 9-1．（2024高二上·安徽滁州·期末）已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求的值． 9-2．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线C的方程； (2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率． 9-3．（2024高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点A.已知直线与直线的斜率之积为3. (1)求A的轨迹； (2)记的左、右焦点分别为、.过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求的方程. 9-4．（2024高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的一条渐近线为，且点在C上． (1)求C的方程； (2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且，求l的斜率． 题型10：双曲线的实际应用 10-1．（2024高三上·河南·阶段练习）人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应（简称双耳效应）．根据双耳的时差，可以确定声源必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上．又若声源所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源对于测听者的方向偏角，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左右两耳相距约为，声源的声波传及甲的左、右两耳的时间差为，声速为，则声源对于甲的方向偏角的正弦值约为（    ） A．0.004 B．0.04 C．0.005 D．0.05 10-2．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（    ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上) A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m 10-3．（2024高二·全国·课后作业）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的大小为（    ） A． B． C． D． 10-4．（2024高三上·河南·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（    ） A．4米 B．米 C．米 D．米 一、单选题 1．（2024高三下·江西·阶段练习）已知双曲线，下列结论正确的是（    ） A．C的实轴长为 B．C的渐近线方程为 C．C的离心率为 D．C的一个焦点的坐标为 2．（2024高二上·全国·课后作业）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二下·山东济宁·阶段练习）双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北沧州·模拟预测）已知双曲线，为原点，分别为该双曲线的左，右顶点分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点在双曲线的渐近线上，为的平分线，且线段的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 5．（2024高二下·河南·阶段练习）已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（    ） A．2 B． C． D． 6．（2024·安徽六安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（    ） A．18 B．10 C．9 D．6 二、多选题 7．（2024高二上·山西太原·期末）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（2024高二上·全国·课后作业）直线与双曲线上支的交点个数为 ． 9．（2024高二上·广西北海·期末）若直线l过点，且与双曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有 条． 10．（2024高二下·上海徐汇·期中）已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是 ． 11．（2024高二下·安徽六安·开学考试）已知直线与双曲线相交于A，B两点，若A，B两点在双曲线的左支上，则实数a的取值范围是 ． 12．（2024·北京平谷·一模）已知双曲线的离心率为2，则实数 ． 13．（2024高二下·福建泉州·期末）已知直线是双曲线（）的一条渐近线，则的离心率为 . 14．（2024高二上·全国·课后作业）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ． 15．（2024高二下·四川南充·阶段练习）经过点且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 16．（2024高二·全国·课后作业）双曲线的一条弦的中点为，则此弦所在的直线方程为 . 17．（2024高二上·河南平顶山·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的焦点重合，点P在双曲线C的右支上，若，且，则的面积为 . 18．（2024·河南新乡·模拟预测）已知双曲线：（）的离心率为3，焦点分别为，，点在双曲线上.若的周长为，则的面积是 . 19．（2024高二下·湖北宜昌·阶段练习）已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是 . 20．（2024·安徽合肥·模拟预测）设点F为双曲线的左焦点，经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A､B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q.若，则双曲线C的离心率e的取值范围是 . 21．（2024高二下·福建福州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的左顶点为A，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 四、解答题 22．（2024高二下·四川资阳·期末）解答下列两个小题： （1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程； （2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程． 23．（2024·湖南·模拟预测）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为 （1）求双曲线的标准方程； （2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程. 24．（2024高二下·四川资阳·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程. 25．（2024高二·全国·课后作业）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线. (1)求证：与双曲线有两个不同的交点； (2)求线段的中点的坐标和. 26．（2024高二上·江苏连云港·期末）已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长； (3)在（2）的基础上，求的周长． 27．（2024高二上·甘肃庆阳·期末）在①C的渐近线方程为  ②C的离心率为这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答． 已知双曲线C的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，且______． (1)求C的标准方程； (2)已知C的右焦点为F，直线PF与C交于另一点Q，不与直线PF重合且过F的动直线l与C交于M，N两点，直线PM和QN交于点A，证明：A在定直线上． 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 28．（2024·湖北·二模）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）． (1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）； (2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由 29．（2024高二上·重庆北碚·阶段练习）双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为2． (1)求C的方程； (2)是否存在直线l，经过点且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由． 30．（2024高二下·江西萍乡·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点. (1)求C的标准方程； (2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 31．（2024·浙江·二模）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，是上一点，线段与交于点. (1)证明：； (2)若的面积为8，求直线的斜率. 32．（2024高二下·上海宝山·期中）已知双曲线，及直线. (1)若与有且只有一个公共点，求实数的值； (2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值. 33．（2024高二上·辽宁沈阳·期末）已知双曲线经过点，它的左焦点为，且到其渐近线的距离是． (1)求的方程； (2)过点的直线交左支于一点，且的斜率是，求长． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.2双曲线的简单几何性质10题型分类 一、双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 二、等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为. 三、直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 四、弦长公式 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝. （一） 双曲线的标准方程与几何性质 1．由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 2．由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧：渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 题型1：由双曲线的方程研究几何性质 1-1．【多选】（2024高二下·山东临沂·期末）已知双曲线，则（    ） A．实轴长为1 B．虚轴长为2 C．离心率 D．渐近线方程为 【答案】BCD 【分析】根据双曲线的性质求解. 【详解】由可知，，故实轴长为，虚轴长为， 离心率，渐近线方程为，即. 故选：BCD 1-2．【多选】（2024高二上·福建福州·期末）已知双曲线，则不因的值改变而改变的是（    ） A．焦距 B．顶点坐标 C．离心率 D．渐近线方程 【答案】CD 【分析】根据双曲线的标准方程，表示出，求得焦距、顶点坐标、离心率以及渐近线方程，可得答案. 【详解】由方程，则该双曲线的标准方程为，即，， 则焦距为，顶点坐标为，离心率，渐近线方程为. 故选：CD. 1-3．【多选】（2024高二上·江苏盐城·期末）下列关于双曲线说法正确的是（    ） A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线 C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点 【答案】ABD 【分析】先求出双曲线的基本量，然后逐一分析每个选项是否正确. 【详解】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确； 双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴， 故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确； 焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线， 根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误； 椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确. 故选：ABD 题型2：由双曲线的性质求双曲线的标准方程 2-1．（2024高二下·上海浦东新·阶段练习）已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】由离心率求出，再由求出可得双曲线方程． 【详解】由已知可得 ,即得,所以双曲线方程为:. 故答案为: . 2-2．（2024高二·全国·课后作业）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点代入，解得，即可求解． 【详解】解：设双曲线方程为，将点代入， 即，解得或（舍去）， 故所求双曲线方程为． 故答案为： 2-3．（2024高二下·广东佛山·阶段练习）一双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆的离心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆方程可确定焦点在轴上且离心率，从而得双曲线的焦点也在轴上，离心率，再结合离心率公式及所求双曲线的虚轴长为，即可求得双曲线的方程. 【详解】解：因为椭圆的焦点在轴上，离心率， 所以所求双曲线的焦点也在轴上，离心率， 即，所以， 又因为双曲线的虚轴长为， 即，所以， 即， 所以， 所以所求双曲线的方程为：. 故选：C. 2-4．（2024高二上·辽宁营口·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程可求焦点坐标为，根据焦点坐标及点可求双曲线的方程. 【详解】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为. 设双曲线的方程为， 故，解得， 故双曲线的标准方程为. 故选:A. （二） 求双曲线的渐近线与离心率 双曲线的渐近线、离心率： 双曲线的方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 a,b,c的关系 c2＝a2＋b2 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 题型3：双曲线的渐近线问题 3-1．（2024高二上·河北保定·期中）双曲线的渐近线方程为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知：该双曲线的方程为 故选：A 3-2．（2024高二下·河南平顶山·期末）双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】由双曲线方程求出渐近线方程和焦点坐标，再根据点到直线的距离公式可求出结果. 【详解】依题意得，，， 所以，，， 所以渐近线方程为，右焦点为， 所以点到渐近线的距离为. 故选：A 3-3．（2024高二下·四川达州·期末）已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离心率为2，利用双曲线的性质可得，由此可得渐近线的方程． 【详解】由得双曲线的渐近线方程为． ∵双曲线的离心率为2， ∴，解得， ∴双曲线的渐近线方程为 ． 故选：A． 3-4．（2024高三下·湖南·阶段练习）已知为双曲线的左、右焦点，过作直线的垂线分别交双曲线的左、右两支于两点（如图）.若构成以为顶角的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为 .    【答案】 【分析】由题意可得，再结合双曲线的定义可求得，，由余弦定理可得，由与渐近线垂直，于是，即，从而得，进而可得，从而可解. 【详解】由题意可得，由双曲线的定义及点在右支上，， 又点在左支上，则，则， 在中，由余弦定理可得， 而与渐近线垂直，于是，即，从而得， 所以，即，化简得，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 3-5．（2024·江苏）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 . 【答案】. 【分析】根据条件求，再代入双曲线的渐近线方程得出答案. 【详解】由已知得， 解得或， 因为，所以. 因为， 所以双曲线的渐近线方程为. 【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程. 3-6．（2024高二下·江西赣州·阶段练习）如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，由双曲线的定义得，， 根据，列出方程求得，在直角中，利用勾股定理求得，进而求得双曲线的渐近线． 【详解】设，则， 由双曲线的定义得，， 又由得，即，解得，所以， 在直角中，由勾股定理得，即， 整理得，则，双曲线的渐近线斜率为． 故选：B． 题型4：双曲线的离心率问题 4-1．（2024高二上·江苏·期末）设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据双曲线离心率公式进行求解即可 【详解】因为表示双曲线的方程， 所以有，因此， 因为， 所以由 ， 即k的取值范围为， 故答案为：. 4-2．（2024高二下·湖南衡阳·期末）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率 . 【答案】/ 【分析】由题意可得四边形为平行四边形，根据及托勒密定理可得四边形为矩形．利用双曲线的定义、直角三角形的边角关系即可得出结论． 【详解】由双曲线的左、右焦点分别为，及双曲线上关于原点对称的两点，， 则，，可得四边形为平行四边形，    又及托勒密定理，可得四边形为矩形． 设，， 在中，， 则，， ，，， ，解得． 双曲线的离心率为． 故答案为：． 4-3．（2024高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由双曲线的离心率为，结合离心率的定义，求得，即可求得渐近线的方程. 【详解】由题意，双曲线的离心率为， 可得，即，解得， 即双曲线的渐近线的方程为. 故选：B. 4-4．（2024高二上·全国·课后作业）已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得，再根据即可求解. 【详解】∵双曲线的渐近线方程为， ∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得. ∴双曲线的离心率为. 故选：C. 4-5．（2024高三下·贵州黔东南·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先求渐近线方程，再根据弦长可求的关系，故可求双曲线的离心率. 【详解】双曲线的渐近线的方程为. 圆的标准方程为：， 故该圆的圆心为，半径为2， 而圆心到渐近线的距离为， 故渐近线被该圆截得的弦长为， 整理得到：或， 而，故，故离心率为. 故答案为：. 4-6．（2024高二下·四川凉山·期末）已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可. 【详解】   如图所示，设，则， 所以， 又M在第一象限，即，故， 因为，过M作轴于D，， 故， 即，故， 解之得（负值舍去）. 故答案为： 4-7．（2024高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以， 即,解得或,又因为,即. 故选：A 4-8．（2024·河北·三模）已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再根据离心率的定义，用表示出离心率，进而可得其取值范围. 【详解】由双曲线（其中）， 得， 则双曲线离心率， 因为，所以，则， 所以， 所以，即双曲线离心率的取值范围为. 故选：A. 4-9．（2024·安徽合肥·模拟预测）双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先表示出直线的方程，利用距离公式表示出，，依题意可得，再根据、、的关系得到关于的不等式，解得即可. 【详解】依题意直线：，即，又， 所以，， 所以，所以， 即，即，解得， 又，所以. 故选：B 4-10．（2024高三下·河南洛阳·开学考试）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作渐近线的垂线，垂足为，则，再根据双曲线的定义得，进而转化为恒成立，再根据齐次式求解即可. 【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为， 设，则点到渐近线的距离. 由双曲线的定义可得，故， 所以，即的最小值为， 因为恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 所以，，即，即， 所以，，即，解得. 故选：A.    （三） 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点． 题型5：直线与双曲线的位置关系 5-1．（2024高二上·全国·单元测试）讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【答案】答案见解析 【分析】联立方程组得到，结合一元二次方程的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得， 当时，即时，具体为：当时，；当时，；此时直线与双曲线有一个交点； 当时，即时，可得， 由，即，可得且，此时直线与双曲线有两个交点； 由，即，可得，此时直线与双曲线只有一个交点； 由，即，可得或，此时直线与双曲线没有交点； 综上可得： 当时，直线与双曲线有两个公共点； 当或时，直线与双曲线有一个公共点； 当时，直线与双曲线没有公共点. 5-2．（2024·上海崇明·模拟预测）双曲线与直线无公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据直线与双曲线的位置关系求得的关系，结合离心率公式，即可容易求得离心率范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 若双曲线与直线无公共点， 等价为双曲线的渐近线的斜率，即， 即，即，即，则，则， ，离心率满足， 即双曲线离心率的取值范围是. 故答案为：. 5-3．（2024高二上·湖北武汉·阶段练习）直线与双曲线的左支交于不同两点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】联立直线与双曲线方程，消元得，依题意可得该方程有两个不等且小于的根，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】由，消去整理得， 因为该方程有两个不等且小于的根，所以 ， 解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 5-4．（2024高三·全国·专题练习）设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程． 【答案】. 【分析】将双曲线在某点的切线方程转化为曲线在某点的切线方程，利用导数求出在某点的切线斜率，进一步求出切线的方程. 【详解】由可得， 根据题目条件，可知求曲线在点P处的切线的方程， ∴曲线在点P处的切线斜率为 ∴曲线在点P处的切线方程为 化简得 ∴双曲线C在点P处的切线的方程为． 题型6：求相交弦长 6-1．（2024高二上·四川凉山·期末）已知双曲线的实轴长为2，右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程； （2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案. 【详解】（1）由已知，， 又，则， 所以双曲线方程为. （2）由，得， 则， 设，，则，， 所以. 6-2．（2024高二下·湖南湘潭·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，，以及，求解即可； （2）设直线的方程为与椭圆联立，利用弦长公式表示，根据点到直线的距离公式求解高，即可根据三角形面积公式进行求解. 【详解】（1）由题意得：，，， 解得：，，， 双曲线的标准方程为． （2）由题意可知，直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，，，，， 联立方程组，消去整理得， 则， 原点到直线的距离为 ， 所以， 解得或，故 或， 故直线方程为或 6-3．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点. (1)求C的标准方程； (2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度. 【答案】(1)=1 (2)3 【分析】 （1）根据双曲线的准线方程公式，结合双曲线的离心率公式进行求解即可. （2）根据题意设出直线l的方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、双曲线弦长公式进行求解即可. 【详解】（1）因为直线l经过C的右焦点， 所以该双曲线的焦点在横轴上， 因为双曲线C两条准线之间的距离为1， 所以有， 又因为离心率为2， 所以有代入中，可得， ∴C的标准方程为：； （2） 由上可知：该双曲线的渐近线方程为， 所以直线l的斜率为，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称， 所以两条直线与双曲线的相交弦相等. 又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值， 所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为， 方程为与双曲线方程联立为： ， 设，则有， 6-4．（2024高二上·辽宁·期末）已知双曲线C的渐近线为，且过点． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据渐近线方程可设双曲线方程为，代入可求得，整理可得结果； （2）联立直线与双曲线的方程，设，，故可得，，利用列等式可求得，然后利用弦长公式求即可 【详解】（1）由双曲线渐近线方程为，可设双曲线方程为：， 又双曲线过点， 双曲线的方程为： （2）设，，联立，化为． ∵直线与双曲线C相交于A，B两点，∴，化为． ∴，（*） ∵，∴．∴， 又，，∴， 把（*）代入上式得，化为．满足．∴． 由弦长公式可得 （四） 双曲线的中点弦与点差法 1、 双曲线的中点弦结论： 若直线(不平行于轴)过双曲线上－＝1(a>b>0)两点、，其中中点为，则有. 2、根与系数关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. 3．点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 题型7：双曲线的中点弦问题 7-1．（2024高二下·湖北孝感·期中）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法求解. 【详解】解：设，则， 两式相减得直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为， 经检验此时与双曲线有两个交点. 故选：A 7-2．（2024·河南·三模）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的垂直平分线的方程，即可求出的中点坐标，设，，利用点差法得到，最后利用离心率公式计算可得. 【详解】因为直线，所以， 由题可知的垂直平分线的方程为， 将与联立可得，即的中点坐标为． 设，，则，且，， 两式作差可得， 即，所以， 则双曲线的离心率为． 故选：D 7-3．（2024高二下·陕西榆林·期末）已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出，利用点差法即可求出结果. 【详解】设，则有，， 两式相减得到， 又线段的中点坐标为， 所以，得到， 所以的斜率为. 故选：B. （五） 双曲线的综合问题 双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况.另外，设而不求、韦达定理、消参也是常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度. 题型8：双曲线的定点、定值问题 8-1．（2024高三下·上海闵行·阶段练习）已知双曲线的左右顶点分别为.直线和两条渐近线交于点,点在第一象限且,是双曲线上的任意一点. (1)求双曲线的标准方程； (2)是否存在点P使得为直角三角形？若存在,求出点P的个数； (3)直线与直线分别交于点,证明：以为直径的圆必过定点. 【答案】(1) ；(2)4个；(3)证明过程见解析. 【分析】(1)根据,可知,根据题意求出点的坐标,根据,求出,这样可求出双曲线的标准方程； (2)分类讨论以三点为直角顶点时能否构成直角三角形,最后确定点P的个数； (3)设出点P的坐标,根据三点共线,结合斜率公式可以求出点的坐标,进而可求出以为直径的圆,最后根据圆的标准方程,可以判断出该圆所过的定点. 【详解】(1)因为,所以,双曲线的渐近线方程为：,由题意可知： 而,所以,因此双曲线的标准方程为：； (2)因为直线的斜率为,所以与直线垂直的直线的斜率为,设点的坐标为：,则有. 当时,所以且,解得或此时存在2个点； 当时,所以且,,解得或,此时存在2个点； 当时,此时点是以线段为直径圆上,圆的方程为：,与双曲线方程联立,无实数解, 综上所述：点P的个数为4个； (3)设点的坐标为,. 因为三点共线,所以直线的斜率相等,即 因为三点共线,所以直线的斜率相等,即 , 所以的中点坐标为： ,所以以为直径的圆的方程为：,即 令或,因此该圆恒过两点. 【点睛】本题考查了求双曲线方程,考查了关于圆过定点问题,考查了数学运算能力. 8-2．（2024高二上·全国·期中）已知双曲线过点，且离心率 (1)求该双曲线的标准方程： (2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据双曲线的离心率及双曲线过点可得方程； （2）设点与点的坐标，根据直线与直线的斜率互为相反数，可得直线的斜率. 【详解】（1）由题意，解得，， 故双曲线方程为 （2）设点，， 设直线的方程为， 代入双曲线方程，得， ，，， 同理， . 8-3．（2024高三上·浙江绍兴·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，进而根据的关系即可求解， （2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，根据两点坐标求解直线的方程，即可求解过定点. 【详解】（1）由题意，设右焦点的坐标为， 双曲线的渐近线方程为：， 右焦点到其中一条渐近线的距离为，可得， 又因为，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）当直线的斜率不为0时，设，则 联立方程组，得 整理得：. ，且 ，, ，令得， ， 直线过定点. 当直线的斜率为0时，此时直线:，此时均在轴上，故直线过定点. 综上：直线过定点. 8-4．（2024高二下·全国·开学考试）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由可得，即可求出，然后由可求出，即可得到答案； （2）设，然后可得，结合双曲线的方程可证明. 【详解】（1）因为，，分别是线段，，的中点， 所以，． 因为，所以， 所以由双曲线的定义知，解得． 设双曲线的半焦距为（）． 因为，所以， 所以，所以． 所以双曲线的标准方程为． （2）设（），则， 所以，所以，所以． 因为，，所以， 所以，为定值． 题型9：双曲线的向量问题 9-1．（2024高二上·安徽滁州·期末）已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）由题意知，取双曲线的一条渐近线，再根据点到直线的距离公式即可得到与关系式，从而求得，进而可求得的方程； （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则可得到，的坐标，进而可直接求解的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线的方程和的方程可得到关于的一元二次方程，从而可得到，，代入即可求解的值，综上，即可得到的值． 【详解】（1）由题意知，的一条渐近线方程为，即， 所以到的一条渐近线的距离为，所以， 又，解得，所以的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得，或，， 所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立，得， 所以，解得， 所以，， 所以 ． 综上，． 9-2．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线C的方程； (2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为和双曲线过点，联立求解； （2）由题意设直线方程为，令，得到M的坐标，设，根据，用k表示点Q的坐标，再根据点Q在双曲线上，代入双曲线方程求解. 【详解】（1）解：因为双曲线C：的渐近线方程为， 所以， 又因为双曲线C：过点， 所以，解得， 所以双曲线的方程为； （2）由（1）知：，则， 由题意设直线方程为，令，得，则， 设，则， 因为， 所以，则， 解得，因为点Q在双曲线上， 所以，解得， 所以直线l的斜率为. 9-3．（2024高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点A.已知直线与直线的斜率之积为3. (1)求A的轨迹； (2)记的左、右焦点分别为、.过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设，表示出直线与直线的斜率，由题可得A的轨迹； （2）设过定点的直线方程为，将其与联立，后由及韦达定理可得答案. 【详解】（1）设，由题意，化简可得 所以A的轨迹为. （2）由题设过定点的直线方程为，将其与 联立有：，消去y得： 因交于、两点，则 . 设，则由韦达定理有：. 又，则， ， 则. 又， ，解得， 则的方程为：或. 9-4．（2024高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的一条渐近线为，且点在C上． (1)求C的方程； (2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且，求l的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用渐近线方程可得，再将点代入即可求得结果；（2）设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理并根据向量定比即可求得l的斜率． 【详解】（1）由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为，所以， 可得， 将代入可得，解得； 所以双曲线C的方程为. （2）由（1）可知，上焦点， 设直线l的斜率为，，则直线l的方程为， 联立整理得； 所以 又，即，可得， 所以，即，解得； 所以直线l的斜率为 题型10：双曲线的实际应用 10-1．（2024高三上·河南·阶段练习）人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应（简称双耳效应）．根据双耳的时差，可以确定声源必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上．又若声源所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源对于测听者的方向偏角，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左右两耳相距约为，声源的声波传及甲的左、右两耳的时间差为，声速为，则声源对于甲的方向偏角的正弦值约为（    ） A．0.004 B．0.04 C．0.005 D．0.05 【答案】D 【解析】由已知求出、焦距，利用可得可得答案. 【详解】设两耳所在双曲线的实轴长为，焦距为，虚轴长为， 则，，由题意， 所以，所以． 故选：D． 10-2．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（    ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上) A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置. 【详解】如图，    以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系．设分别是西、东、北观测点，则 设为巨响为生点，由 同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，因点比点晚听到爆炸声，故， 由双曲线定义知点在以为焦点的双曲线左支上， 依题意得 故双曲线方程为，将 代入上式，得 ，即 故 . 故巨响发生在接报中心的西偏北距中心处． 故选：A. 10-3．（2024高二·全国·课后作业）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，勾股定理求m，应用和角余弦公式求的大小. 【详解】由得：，，． 设，则． 所以，解得（舍去）， 所以，， ， 所以． 故选：D． 10-4．（2024高三上·河南·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（    ） A．4米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】将代入双曲线得到，当得到，得到答案. 【详解】根据题意：，，故，解得，即， 当水面宽度为米时，即时，， 拱顶M到水面的距离为. 故选：D 一、单选题 1．（2024高三下·江西·阶段练习）已知双曲线，下列结论正确的是（    ） A．C的实轴长为 B．C的渐近线方程为 C．C的离心率为 D．C的一个焦点的坐标为 【答案】C 【分析】求出实半轴、虚半轴、半焦距，即可按定义逐个判断. 【详解】对A，C的实轴长为，A错； 对B，C的渐近线方程为，B错； 对C，C的离心率为，C对； 对D，C的焦点的坐标为，D错. 故选：C 2．（2024高二上·全国·课后作业）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离心率求出，再根据双曲线的渐近线方程即可得解. 【详解】设双曲线的方程为， 因为，所以，则， 所以渐近线方程为. 故选：C. 3．（2024高二下·山东济宁·阶段练习）双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将双曲线的方程化为标准方程判断焦点位置，写出焦点坐标即可. 【详解】因为双曲线方程为， 化为标准方程为：，所以， 由于焦点在轴上，所以焦点坐标为：. 故选：C. 4．（2024·河北沧州·模拟预测）已知双曲线，为原点，分别为该双曲线的左，右顶点分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点在双曲线的渐近线上，为的平分线，且线段的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求出点的坐标为，得，再根据为的平分线，推出，，由此可得离心率. 【详解】因为为的平分线，所以， 又因为，所以， 设，因为点在渐近线上，所以， 因为，所以，所以，所以， 又点在第二象限内，所以，，所以点的坐标为， 所以，所以，所以， 所以，可得，    故选：C. 5．（2024高二下·河南·阶段练习）已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形面积公式、余弦定理，结合双曲线的性质可得，即可求面积. 【详解】设，则， 而，且， 所以， 故， 故选：D. 6．（2024·安徽六安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（    ） A．18 B．10 C．9 D．6 【答案】C 【分析】由已知可得四边形为矩形，从而可得，，由双曲线的性质可求得，从而可得，利用勾股定理及双曲线的定义可求得，由三角形面积公式即可得解． 【详解】直线与双曲线交于，两点，若， 则四边形为矩形，所以，，    由双曲线可得，，则， 所以，所以， 又， 所以，解得， 所以． 故选：C． 二、多选题 7．（2024高二上·山西太原·期末）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】联立直线与双曲线的方程，由韦达定理结合方程根的情况列出不等式，求解可得的范围，判断选项即可. 【详解】联立，消去y得，. 因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 所以方程有一正一负根， 所以，整理得，解得. 所以的取值范围为，故A，D符合题意. 故选：AD. 三、填空题 8．（2024高二上·全国·课后作业）直线与双曲线上支的交点个数为 ． 【答案】2 【分析】直接解方程组，求得直线和双曲线上支的交点坐标，即可得到答案. 【详解】由，可得，解得或．当时，；当时，，所以直线与双曲线上支的交点个数为2． 故答案为：2 9．（2024高二上·广西北海·期末）若直线l过点，且与双曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有 条． 【答案】4 【分析】分情况讨论直线有斜率和无斜率，联立直线与双曲线的方程，根据方程根的个数即可求解直线的条数. 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线为，与曲线有且只有一个公共点． 当直线l的斜率存在时，可设直线为，代入曲线方程整理得，若，则，此时有两条分别平行于双曲线的两条渐近线的直线，与曲线有且只有一个公共点； 当时，则由，得，此时有一条直线与曲线相切，有且只有一个公共点．综上，这样的直线共有4条． 故答案为：4 10．（2024高二下·上海徐汇·期中）已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】联立直线与双曲线的方程，利用判别式及韦达定理求解作答. 【详解】由消去y得：，由于l与C的右支交于不同的两点， 则直线与双曲线的两个交点横坐标均为正，且不等， 于是，解得， 所以t的取值范围是. 故答案为：    11．（2024高二下·安徽六安·开学考试）已知直线与双曲线相交于A，B两点，若A，B两点在双曲线的左支上，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】联立直线与双曲线的方程，根据一元二次方程根的分布即可求解. 【详解】由得， 方程在有两个不相等的负实根， 所以,解得. 故答案为：. 12．（2024·北京平谷·一模）已知双曲线的离心率为2，则实数 ． 【答案】 【分析】由题知，，所以，求解即可得出答案. 【详解】由题知，，则方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，则， 所以，解得：. 故答案为：. 13．（2024高二下·福建泉州·期末）已知直线是双曲线（）的一条渐近线，则的离心率为 . 【答案】 【分析】根据渐近线方程得到，然后代入离心率公式求解. 【详解】因为直线是双曲线的一条渐近线， 所以，所以C的离心率为. 故答案为： 14．（2024高二上·全国·课后作业）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ． 【答案】 【分析】根据直线与双曲线相交，由韦达定理以及弦长公式即可求解. 【详解】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，， 所以． 故答案为： 【点睛】若直线与双曲线（，）交于，两点，则或（）． 15．（2024高二下·四川南充·阶段练习）经过点且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 【答案】 【分析】采用待定系数法，将点坐标代入所假设的双曲线方程即可求得结果. 【详解】设所求双曲线方程为：， 双曲线经过点，， 所求双曲线方程为：. 故答案为：. 16．（2024高二·全国·课后作业）双曲线的一条弦的中点为，则此弦所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】设弦的两端分别为，，代入双曲线方程相减，利用中点坐标可求得弦所在直线的斜率从而得到直线方程. 【详解】由双曲线的对称性可得此弦所在的直线斜率存在， 设弦的两端分别为，， 则有，两式相减得， 所以， 又因为弦的中点为，所以， 故直线斜率， 则所求直线方程为，整理得， 由得， ，故该直线满足题意， 故答案为： 17．（2024高二上·河南平顶山·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的焦点重合，点P在双曲线C的右支上，若，且，则的面积为 . 【答案】 【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出的值，然后代入三角形的面积公式，即可得到本题答案. 【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以， 设，则， 因为，所以， 则，解得， 所以，. 故答案为： 18．（2024·河南新乡·模拟预测）已知双曲线：（）的离心率为3，焦点分别为，，点在双曲线上.若的周长为，则的面积是 . 【答案】 【分析】设，由的周长为，得到，再由双曲线的定义得到，联立解得m，n，然后在中，利用余弦定理和三角形面积公式求解. 【详解】解：设， 因为双曲线：（）的离心率为3， 所以，即， 又的周长为， 所以， 由双曲线的定义得， 解得 ， 由余弦定理得 ， 则 ， 所以 ， 故答案为： 19．（2024高二下·湖北宜昌·阶段练习）已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意，根据双曲线的对称性得到点B也在双曲线的渐近线上，且B在第一象限，从而得到，再为直线的倾斜角，且，在中，由求解. 【详解】解：因为经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形， 所以由双曲线的对称性可知点B也在双曲线的渐近线上，且B在第一象限， 因为，所以，则， 因为为直线的倾斜角，且， 所以在中，，且， 则，即，即， 即，解得， 所以该双曲线离心率的取值范围是， 故答案为： 20．（2024·安徽合肥·模拟预测）设点F为双曲线的左焦点，经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A､B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q.若，则双曲线C的离心率e的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据双曲线的对称性得四边形为平行四边形，再结合得为直角三角形，设直线倾斜角为，从而求得离心率，求解函数的值域即可得范围. 【详解】设双曲线的右焦点为，根据双曲线方程知，，则. 因为直线过原点，由对称性，原点平分线段， 又原点平分线段，所以四边形为平行四边形. 在和中，分别有中位线，，， 因为，所以，所以四边形为矩形，为直角三角形. 不妨设在第一象限，设直线倾斜角为，则，且， 在Rt中可得：， 所以， 因为，所以， 又在上为增函数， 所以. 故答案为：    21．（2024高二下·福建福州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的左顶点为A，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的这条渐近线方程为， 联立可得P，Q两点坐标，再由可得该双曲线的离心率的取值范围. 【详解】依题意可得，以为直径的圆的方程为， 不妨设双曲线的这条渐近线方程为， 由，得：或，所以， 双曲线的左顶点为，则， 所以，， 因为，所以，化简得， 所以，所以，所以， 又，所以. 故答案为：    四、解答题 22．（2024高二下·四川资阳·期末）解答下列两个小题： （1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程； （2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由可得，再将点代入方程，联立解出答案，可得答案. （2）先求出椭圆的焦点，则双曲线的焦点在轴上，由条件可得，且，从而得出答案. 【详解】（1）由，得，即， 又，即， 双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得． 所以，双曲线的方程为． （2）椭圆的焦点为， 设双曲线的方程为， 所以，且， 所以， 所以，双曲线的方程为． 23．（2024·湖南·模拟预测）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为 （1）求双曲线的标准方程； （2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由题意，联立方程求出，即可得到双曲线方程； （2）利用点差法求出中点坐标，点斜式求出直线方程即可. 【详解】（1）由焦点可知， 又一条渐近线方程为 所以， 由可得 ,解得，， 故双曲线的标准方程为 （2）设，AB中点的坐标为 则①，②， ②①得：， 即，又， 所以， 所以直线的方程为，即 24．（2024高二下·四川资阳·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到，再由点到线的距离公式求出，最后根据计算可得； （2）设，，直线的斜率为，利用点差法计算可得； 【详解】（1）解：双曲线的渐近线为，即， 所以， 又焦点到直线的距离，所以， 又，所以，，所以双曲线方程为 （2）解：设，，直线的斜率为，则，， 所以，， 两式相减得，即 即，所以，解得， 所以直线的方程为，即， 经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件， 所以直线的方程为. 25．（2024高二·全国·课后作业）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线. (1)求证：与双曲线有两个不同的交点； (2)求线段的中点的坐标和. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）由双曲线方程可得，进而得到方程；将与双曲线联立，由可得结论； （2）由（1）可得韦达定理的形式，将代入方程即可求得点坐标；利用弦长公式可求得. 【详解】（1）由双曲线方程知：，则， 由得：，则， 与双曲线有两个不同的交点. （2）设，， 由（1）得：，，； ； . 26．（2024高二上·江苏连云港·期末）已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长； (3)在（2）的基础上，求的周长． 【答案】(1) (2)25 (3)54 【分析】（1）双曲线的焦点在轴上，设出双曲线方程，把已知条件代入解方程组即可； （2）写出直线AB的方程，与双曲线方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式求得； （3）由双曲线的定义及弦长AB得出的周长． 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为， 由题意得，解得，所以双曲线方程为. （2）依题意得直线AB的方程为，设，. 联立，得， ，且， 所以. （3）由（2）知A，B两点都在双曲线左支上，且， 由双曲线定义，， 从而， 的周长为． 27．（2024高二上·甘肃庆阳·期末）在①C的渐近线方程为  ②C的离心率为这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答． 已知双曲线C的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，且______． (1)求C的标准方程； (2)已知C的右焦点为F，直线PF与C交于另一点Q，不与直线PF重合且过F的动直线l与C交于M，N两点，直线PM和QN交于点A，证明：A在定直线上． 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据①②提供的渐近线方程和离心率得出之间的关系，再利用在双曲线上即可求得C的标准方程；（2）根据坐标位置可利用对称性求得Q点坐标，分别别写出直线PM和QN的直线方程，求得交点A的坐标表示，利用韦达定理即可证明. 【详解】（1）选① 因为C的渐近线方程为，所以， 故可设C的方程为， 代入点P的坐标得，可得， 故C的标准方程为． 选②． 因为C的离心率为，所以，得， 故可设C的方程为， 代入点P的坐标得，可得， 故C的标准方程为． （2）由（1）可知F的坐标为，由双曲线的对称性，可知点Q的坐标为． 设点M，N的坐标分别为，直线l的方程为， 联立直线和双曲线方程得， 所以，， 直线PM：，即， 直线QN：，即， 消去y，得， 整理得， 则． 因为，所以A的横坐标为1． 故A在定直线上． 28．（2024·湖北·二模）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）． (1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）； (2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由 【答案】(1)1 (2)是在定直线上，定直线 【分析】（1）根据题意列出方程组得到，设，，，利用点差法即可求解； （2）根据（1）的结论得出，，设直线l：，，设，，联立直线与曲线方程，利用韦达定理联立直线与直线的方程得出，进而得证. 【详解】（1）由题意得，所以， 设，，， 则， 作差得， 又MN的斜率，， 所以. （2）∵，∴，，， 直线l：，， 设，， 联立得， 所以，所以， 设直线AN：，BM：， 所以， 所以．故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上． 29．（2024高二上·重庆北碚·阶段练习）双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为2． (1)求C的方程； (2)是否存在直线l，经过点且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在；. 【分析】（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到，再由点到线的距离公式求出，最后根据计算可得； （2）设，，直线的斜率为，利用点差法计算可得； 【详解】（1）双曲线的渐近线为， 因为双曲线的一条渐近线方程为，所以， 又焦点到直线的距离，所以， 又，所以，，所以双曲线方程为 （2）假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，则，， 所以，， 两式相减得，即 即，所以，解得， 所以直线的方程为，即， 经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件， 所以直线的方程为. 30．（2024高二下·江西萍乡·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点. (1)求C的标准方程； (2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意得到，得出，再由C的一条渐近线经过点，求得，联立方程组，求得，即可求解； （2）设直线的斜率为，且，代入曲线方程得到，由，求得，得出直线的方程为，联立方程组，结合方程没有实根，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为双曲线C的右焦点为，所以，可得， 又因为双曲线C的一条渐近线经过点，可得，即， 联立方程组，解得， 所以双曲线C的标准方程为. （2）解：假设存在符合条件的直线，易知直线l的斜率存在， 设直线的斜率为，且， 则，两式相减得，所以， 因为的中点为，所以，所以，解得， 直线的方程为，即， 把直线代入，整理得， 可得，该方程没有实根，所以假设不成立， 即不存在过点的直线与C交于两点，使得线段的中点为. 31．（2024·浙江·二模）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，是上一点，线段与交于点. (1)证明：； (2)若的面积为8，求直线的斜率. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意在双曲线左支上，在右支上，设且得中点为，代入双曲线判断与双曲线的位置关系，即可证结论； （2）令得，设联立双曲线，应用韦达定理，结合已知求，即可得直线斜率. 【详解】（1）由题意在双曲线左支上，在右支上，令且， 而，则线段中点为，又，则， 所以，则中点在双曲线上或外部， 即，仅当重合时等号成立，故. （2）若，则， 令，，联立双曲线， 则，而，则，， 所以，故，可得（负值舍）， 所以，故直线斜率为. 32．（2024高二下·上海宝山·期中）已知双曲线，及直线. (1)若与有且只有一个公共点，求实数的值； (2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）联立方程组，消元后得到，分、两种情况求解即可； （2）先由题意可得，令直线l与y轴交于点，从而得到，再结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）由，消去，得①， 当，即时，方程①有一解，与仅有一个交点（与渐近线平行时）. 当，得与也只有一个交点（与双曲线相切时）， 综上得的取值是或； （2）设交点，由，消去，得， 首先由，得且， 并且， 又因为与的左右两支分别交于A､B两点， 所以，即，解得， 故. 因为直线l与y轴交于点， 所以， 故. 解得或. 因为，所以. 33．（2024高二上·辽宁沈阳·期末）已知双曲线经过点，它的左焦点为，且到其渐近线的距离是． (1)求的方程； (2)过点的直线交左支于一点，且的斜率是，求长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离可得的值，再将代入双曲线方程可得的值，即可求得双曲线方程； （2）由题意得直线的方程，代入双曲线方程可求得点横坐标，在根据弦长公式即可求得长． 【详解】（1）双曲线的左焦点为，渐近线方程为，即 则到渐近线的距离为， 又将代入双曲线方程得：，所以， 故双曲线方程为； （2）由题意可得直线的方程为：，即， 则，所以，解得，，即点横坐标为， 所以. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$