第13章轴对称（13.3，13.4）课时作业　2024—2025学年人教版数学八年级上册

轴对称（13.3，13.4）课时作业 1.已知一个等腰三角形的顶角等于100°，则它的底角等于（　　） A.100° B.40°或100° C.50°或100° D.40° 2.已知等腰三角形的一边长为2，一边长为6，则此等腰三角形的周长为（　　） A.14 B.12 C.10 D.10或14 3.若等腰三角形的顶角为30°，腰长为6，则此等腰三角形的面积为（　　） A.36 B.18 C.9 D.3 4.老师在黑板上画出了如图1所示的3个三角形，则下列说法中错误的是（　　） A.①是不等边三角形 B.②③都是等腰三角形 C.③是等边三角形 D.①②都是等腰三角形 5.如图2，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，∠2=40°，则∠1的度数为（　　） A.80° B.70° C.60° D.50° 6.如图3，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（　　） A.10 B.11 C.13 D.15 7.如图4，△ABC是等边三角形，D，E分别在BC和AC上，BD＝CE，连接BE交AD于P点，则∠APB的度数是（　　） A.60° B.90° C.120° D.150° 8.如图5，在△ABC中，AB＝AC，点D和点E分别在BC和AC上，AD＝AE，下列结论正确的是（　　） A.∠1+2∠2＝90° B.∠1＝2∠2 C.2∠1+∠2＝90° D.∠1+∠2＝45° 9.如图6，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，若AP＝2，则AC的长为（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 10.如图7，在等腰△ABC中，∠A=56°，AB=AC.在边AC上任取一点A1，延长BC到C1，使A1C=CC1，得到△A1CC1；在边A1C1上任取一点A2，延长CC1到C2，使A2C1=C1C2，得到△A2C1C2……按此做法继续下去，则∠A2 024C2 024C2 023的度数是（　　） A.（）2 022×62° B.（）2 023×62° C.（）2 024×62° D.（）2 025×62° 11.如图8，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是______. 12.某城市几条道路的位置关系如图9所示，道路AB∥CD，道路CD与DF的夹角∠CDF=54°.城市规划部门想新修一条道路BF，要求BE=EF，则∠B的度数为_______. 13.如图10，在凸四边形ABCD中，连接BD，已知AB=BC=BD，∠ABC=80°，则∠ADC=_____. 14.【易错题】如图11，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP=________. 15.如图12，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD=2.5，点P，Q分别为AB，AD上的两个定点且BP=AQ=3，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为________. 16.（8分）如图13，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°. （1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA＝PB（不写作法，保留作图痕迹）. （2）连接AP，若AP平分∠CAB，求∠B的度数. 17.（10分）如图14，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E. （1）求证：△ADE是等边三角形. （2）求证：AEAB. 18.（10分）如图15，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°. （1）求海岛B到灯塔C的距离. （2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 19.（12分）如图16，在平面直角坐标系中，已知A（1，4），B（3，1），C（3，5）. （1）请画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1. （2）在y轴上取点D，使得△ABD为等腰三角形，这样的点D共有多少个？ 培优题（本大题共2小题，共20分） 1.（10分）（1）操作实践：如图1，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数.（要求用两种不同的分割方法） （2）分类探究：在△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值. （3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请至少写出两个条件，无需证明） 2.（10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上. 活动一：如图2所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒. 【数学思考】（1）小棒能无限摆下去吗？答：____.（填“能”或“不能”） （2）若AA1＝A1A2＝A2A3，求θ的大小. 活动二：如图3所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1＝A2A3＝A3A4＝…. 【规律探索】（3）按图中依次标出θ1，θ2，θ3，…，求θ2 024的大小.（用含θ的式子表示） 参考答案 一、1.D 2.A 3.C 4.D 5.A 6.B 7.C 8.B 9.C 10.C【提示】∵∠A=56°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=62°.∵A1C=CC1，∴∠A1C1C=∠C1A1C=∠ACB=×62°.∵A2C1=C1C2，∴∠A2C2C1=∠C2A2C1=∠A1C1C=（）2×62°.同理，∠A3C3C2=∠C3A3C2=∠A2C2C1=（）3×62°.∴∠A2 024C2 024C2 023=（）2 024×62°. 二、11.20 12.27° 13.140°【提示】∵AB=BC=BD，∴∠ADB=（180°-∠ABD），∠CDB=（180°-∠CBD）.∴∠ADC=∠ADB+∠CDB=（180°-∠ABD）+（180°-∠CBD）=180°-（∠ABD+∠CBD）=180°-∠ABC=180°-×80°=180°-40°=140°. 14.120°或75°或30°【提示】∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC=30°.如图1，①当点D位于D1处时，OD1=PD1，则∠AOP=∠OPD1=30°.∴∠OD1P=180°-30°-30°=120°.②当点D位于D2处时，OP=OD2，则∠OPD2=∠OD2P=（180°-30°）=75°.③当点D位于D3处时，OP=D3P，则∠OD3P=∠AOP=30°.综上所述，∠ODP的度数为120°或75°或30°. 15.8【提示】∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠A=60°.∵BD⊥AC，AQ=3，QD=2.5，∴AD=DC=AQ+QD=5.5.∴AC=2AD=11.如图2，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于点E，连接QE，此时PE+QE的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ′=PQ′.∵QD=DQ′=2.5，∴CQ′=BP=3.∴AP=AQ′=8.∵∠A=60°，∴△APQ′是等边三角形.∴PQ′=AP=8.∴PE+QE的最小值为8. 三、16.（1）如图3，作线段AB的垂直平分线，交AB于点P，则点P即为所求. （2）∵PD是线段AB的垂直平分线， ∴PA＝PB.∴∠B＝∠PAB. ∵AP平分∠CAB，∴∠CAP＝∠PAB. ∴∠B＝∠PAB＝∠CAP. ∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠PAB+∠CAP＝90°. ∴∠B＝30°. 17.（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°.∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°. ∴△ADE是等边三角形. （2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC. ∵BD平分∠ABC，∴ADAC. ∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD.∴AEAB. 18.（1）由题意，得AB＝15×2＝30（海里）. ∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°， ∴∠ACB＝∠NBC-∠NAC＝30°. ∴∠ACB＝∠NAC.∴AB＝BC＝30海里. ∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里. （2）如图4，过点C作CP⊥AB于点P. ∴根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°. 又∵∠NBC＝60°， ∴∠PCB＝180°-∠BPC-∠CBP＝30°.在Rt△CBP中，∠BCP＝30°， ∴海里，15÷15＝1（小时）. 故还要经过1小时，小船与灯塔C的距离最短. 19.（1）如图5所示，△A1B1C1即为所求. （2）以点A为顶点，AB为腰的等腰△ABD，且点D在y轴上的有2个； 以点B为顶点，BA为腰的等腰△ABD，且点D在y轴上的有2个； 以AB为底边的等腰三角形，且点D在y轴上的点只有1个. 所以这样的点D共有5个. 培优题 1.（1）如图1所示： （2）设分割线为AD，相应用的角度如图2所示： 图2①的最大角＝39°+78°＝117°，图2②的最大角＝24°+180°-2×48°＝108°，图2③的最大角＝24°+66°＝90°，图2④的最大角＝84°.故△ABC的最大内角可能值是117°或108°或90°或84°. （3）若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一： ①该三角形是直角三角形； ②该三角形有一个角是最小角的2倍； ③该三角形有一个角是其中一个角的3倍. 2.（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上， ∴小棒能继续摆下去.故填能. （2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3，∴∠A2A1A3＝45°. ∴∠AA2A1+θ＝45°. ∵∠AA2A1＝θ，∴θ＝22.5°. （3）∵A1A2＝AA1，∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ. ∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ＝2θ. 同理可得θ2＝3θ，θ3＝4θ. 依规律可得θ2 024＝2 025θ. 学科网（北京）股份有限公司 $$