专题训练一 集合与常见逻辑用语、不等式 ——2025届高三数学一轮复习

专题一 集合与常用逻辑用语、不等式 基础点1 集合 【例题】1.若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.设集合，集合满足，则（ ） A. B. C. D. 3.已知集合，，若，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【原创好题】 1.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.设集合，，则中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 3.已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 4.定义集合运，若，，则集合中的子集个数为（ ） A. B. C. D. 5.设集合，若，则 . 6.已知集合，若集合B满足且，写出一个符合要求的集合B为 . 7.已知集合有两个非空真子集，则的取值范围为 . 8.设集合，，，若中的元素与中的元素相同，则的取值范围为 . 9.定义，叫做集合的对称差，若集合，，则 . 【真题变练】 10.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 10-1.设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 10-2.设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 10-3.已知函数，集合，，则 . 11.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 11-1.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 11-2.（多选）设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 12.已知集合，则A中元素的个数为（ ） A.9 B.8 C.5 D.4 12-1.记表示集合M中元素的最大值，已知集合，则（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 12-2.已知集合，，则中的元素个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.4 12-3.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 12-4.若集合，，，则集合B中元素的个数为（ ） A.4 B.5 C.8 D.9 基础点2 常用逻辑用语 【考查点1—全称量词与存在量词】 【例题】已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【原创好题】 1.下列命题中，为真命题的是（ ） A.， B.若，均为无理数，则也为无理数 C.， D.若，,则 2.命题“，”的否定是（ ） A.， B.， C.， D.， 3.已知命题：函数为奇函数，若为假命题，则的值为 . 【考查点2—必要条件、充分条件、充要条件】 【例题】等比数列的公比为，前项和为.设甲：，乙：是递增数列，则（ ） A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【原创好题】 1.“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知，，则使得“⊥”成立的一个充分不必要条件可以是 . 【真题变练】 3.设，为两个平面，则∥的充要条件是（ ） A.内有无数条直线与平行 B.内有两条相交直线与平行 C.，平行于同一条直线 D.，垂直于同一平面 3-1.已知为平面，为直线，则直线⊥平面的充要条件是（ ） A.直线与平面内的无数条直线垂直 B.直线垂直于平面内的两条相交直线 C.直线与平面垂直于同一个平面 D.直线与平面平行于同一条直线 3-2.若，则“”是“在复平面上对应的点位于第三象限”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3-3.“直线：与圆:相离”是“”成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 基础点3 不等式 【例题1】已知，且，则以下不正确的是（ ） A. B. C. D. 【例题2】若实数，满足，且，则的最大值为 . 【原创好题】 1.已知，则（ ） A. B. C. D. 2.已知，是方程的两个根，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 3.下列函数中，最小值是4的是（ ） A. B. C. D. 4.（多选）下列命题为真命题的是（ ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，且，则 5.的值域为 . 6.已知，，若，则在 时取得最小值，最小值为 . 7.若，，且，则的取值范围是 . 8.“权方和不等式”作为基本不等式的一个变化，广泛运用于求二元变量最值，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.那么根据权方和不等式，若，且满足，则的最小值是 . 9.已知三个不等式：①；②；③，选取其中两个作为条件 （填序号），可证明余下的一个作为结论成立 （填序号）. 10.已知，，则的取值范围是 . 11.勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大.如果一个直角三角形的周长等于6 cm，则三角形面积取得最大值时的斜边边长为 cm. 12.已知，均为正数，且满足，若对，都有恒成立，则实数的取值范围是 . 综 合 检 测（建议：45分钟） 1.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4.已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 5.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 6.定义集合，已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 7.数学中有一类数字被称为水仙花数，水仙花数是指一个三位数，它的每一位数字的3次幂之和等于它本身，例如：.设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 8.命题“，是奇函数”的否定是（ ） A.，是偶函数 B.，不是奇函数 C.，是偶函数 D.，不是奇函数 9.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 10.设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12.已知命题：若，则且；命题：若，则.下列是真命题的是（ ） A. B. C. D. 13.已知集合，，则中元素的个数为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 14.若，，，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 15.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设，，为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记作.例如，，则.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 16.“”是“在区间内恒成立”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 17.规定表示，中的最小值.已知，，，且，记的最小值为，的最小值为，若，则（ ） A. B. C. D. 18.（多选）已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D.的真子集个数是7 19.（多选）下列说法错误的是（ ） A.命题“，”的否定为“，” B.命题“，都有”的否定为“，使得” C.“”是“”的充要条件 D.“”是“”的充分不必要条件 20.已知集合，则集合A的子集个数为 . 21.设命题：，命题：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 22.已知集合.①；②；③，.在以上三个条件中任选一个，则 . 23.已知集合，，若，则实数的值为 24.已知正实数，，满足，且恒成立，写出一个符合题意的的值 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题一 集合与常用逻辑用语、不等式 基础点1 集合 【例题】1.若集合，，则（ D ） A. B. C. D. 2.设集合，集合满足，则（ A ） A. B. C. D. 3.已知集合，，若，则的取值集合为（ C ） A. B. C. D. 【原创好题】 1.设集合，，则（ D ） A. B. C. D. 2.设集合，，则中的元素个数为（ C ） A. B. C. D. 3.已知全集，，，则（ B ） A. B. C. D. 4.定义集合运，若，，则集合中的子集个数为（ C ） A. B. C. D. 5.设集合，若，则 1或 . 6.已知集合，若集合B满足且，写出一个符合要求的集合B为 . 7.已知集合有两个非空真子集，则的取值范围为 . 8.设集合，，，若中的元素与中的元素相同，则的取值范围为 . 9.定义，叫做集合的对称差，若集合，，则 . 【真题变练】 10.设集合，，则（ C ） A. B. C. D. 10-1.设集合，，，则（ B ） A. B. C. D. 10-2.设全集，集合，，则（ A ） A. B. C. D. 10-3.已知函数，集合，，则 . 11.设集合，，则（ B ） A. B. C. D. 11-1.设集合，，则（ D ） A. B. C. D. 11-2.（多选）设全集，集合，，则（ CD ） A. B. C. D. 12.已知集合，则A中元素的个数为（ A ） A.9 B.8 C.5 D.4 12-1.记表示集合M中元素的最大值，已知集合，则（ B ） A.4 B.5 C.6 D.7 12-2.已知集合，，则中的元素个数为（ C ） A.0 B.1 C.2 D.4 12-3.已知集合，则（ C ） A. B. C. D. 12-4.若集合，，，则集合B中元素的个数为（ D ） A.4 B.5 C.8 D.9 基础点2 常用逻辑用语 【考查点1—全称量词与存在量词】 【例题】已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是（ A ） A. B. C. D. 【原创好题】 1.下列命题中，为真命题的是（ D ） A.， B.若，均为无理数，则也为无理数 C.， D.若，,则 2.命题“，”的否定是（ A ） A.， B.， C.， D.， 3.已知命题：函数为奇函数，若为假命题，则的值为 . 【考查点2—必要条件、充分条件、充要条件】 【例题】等比数列的公比为，前项和为.设甲：，乙：是递增数列，则（ B ） A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【原创好题】 1.“”是“”的（ A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知，，则使得“⊥”成立的一个充分不必要条件可以是 . 【真题变练】 3.设，为两个平面，则∥的充要条件是（ B ） A.内有无数条直线与平行 B.内有两条相交直线与平行 C.，平行于同一条直线 D.，垂直于同一平面 3-1.已知为平面，为直线，则直线⊥平面的充要条件是（ B ） A.直线与平面内的无数条直线垂直 B.直线垂直于平面内的两条相交直线 C.直线与平面垂直于同一个平面 D.直线与平面平行于同一条直线 3-2.若，则“”是“在复平面上对应的点位于第三象限”的（ B ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3-3.“直线：与圆:相离”是“”成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 基础点3 不等式 【例题1】已知，且，则以下不正确的是（ D ） A. B. C. D. 解题思路——由题知，，则 ，又，，则 ， 因为，所以，即 ，又，所以，由知 （或）. 【例题2】若实数，满足，且，则的最大值为 1/4 . 解题思路——由题知，即 2 ， ，当且仅当 ，即时取等号，故的最大值为. 【原创好题】 1.已知，则（ D ） A. B. C. D. 2.已知，是方程的两个根，则的最小值是（ B ） A. B. C. D. 3.下列函数中，最小值是4的是（ D ） A. B. C. D. 4.（多选）下列命题为真命题的是（ AC ） A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，且，则 5.的值域为 . （解析：由题知在定义域内，） 6.已知，，若，则在 8/3 时取得最小值，最小值为 9/5 . 7.若，，且，则的取值范围是 . （解析：，得或（舍），当且仅当，时等号成立） 8.“权方和不等式”作为基本不等式的一个变化，广泛运用于求二元变量最值，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.那么根据权方和不等式，若，且满足，则的最小值是 8 . 9.已知三个不等式：①；②；③，选取其中两个作为条件 （填序号），可证明余下的一个作为结论成立 （填序号）.（答案：①②，③或①③，②） 10.已知，，则的取值范围是 . 11.勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大.如果一个直角三角形的周长等于6 cm，则三角形面积取得最大值时的斜边边长为 cm. （解析：设直角边长为，，则，则，则三角形面积的最大值为，当且仅当时，等号成立，此时斜边长为） 12.已知，均为正数，且满足，若对，都有恒成立，则实数的取值范围是 . （解析：由得，则，当且仅当时，等号成立，设，则，则，即） 综 合 检 测（建议：45分钟） 1.设集合，，则（ C ） A. B. C. D. 2.已知集合，，则（ D ） A. B. C. D. 3.已知集合，则（ D ） A. B. C. D. 4.已知，，若，则（ C ） A. B. C. D. 5.已知集合，，则（ A ） A. B. C. D. 6.定义集合，已知集合，，，则（ C ） A. B. C. D. 7.数学中有一类数字被称为水仙花数，水仙花数是指一个三位数，它的每一位数字的3次幂之和等于它本身，例如：.设集合，，，则（ A ） A. B. C. D. 8.命题“，是奇函数”的否定是（ B ） A.，是偶函数 B.，不是奇函数 C.，是偶函数 D.，不是奇函数 9.设集合，，则（ C ） A. B. C. D. 10.设，则“”是“直线与直线平行”的（ A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.已知集合，，若，则实数的取值范围为（ D ） A. B. C. D. 12.已知命题：若，则且；命题：若，则.下列是真命题的是（ A ） A. B. C. D. 13.已知集合，，则中元素的个数为（ C ） A.3 B.2 C.1 D.0 14.若，，，，则下列不等式恒成立的是（C ） A. B. C. D. 15.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设，，为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记作.例如，，则.设集合，，则（ B ） A. B. C. D. （解析：由题得，，） 16.“”是“在区间内恒成立”的（ B ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 （解析：，等价于，令，结合对勾函数的性质可知在内单调递减，所以，则） 17.规定表示，中的最小值.已知，，，且，记的最小值为，的最小值为，若，则（ D ） A. B. C. D. （解析：，当且仅当时等号成立，则，又，故，即，解得） 18.（多选）已知全集，集合，，则（ ACD ） A. B. C. D.的真子集个数是7 19.（多选）下列说法错误的是（ BC ） A.命题“，”的否定为“，” B.命题“，都有”的否定为“，使得” C.“”是“”的充要条件 D.“”是“”的充分不必要条件 20.已知集合，则集合A的子集个数为 8 . 21.设命题：，命题：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 22.已知集合.①；②；③，.在以上三个条件中任选一个，则 . 23.已知集合，，若，则实数的值为 -2 . 24.已知正实数，，满足，且恒成立，写出一个符合题意的的值 2 . （解析：，则，当且仅当时等号成立，则，所以，解得，又，所以） 学科网（北京）股份有限公司 $$