高二数学第一次月考卷（苏教版2019，选择性必修第一册第1章～第3章3.1）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期第一次月考

2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷 （苏教版2019） （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1章~第3章3.1。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角是（     ） A．0 B． C．π D．不存在 2．方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 3．已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 5．已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（    ） A． B．48 C．36或48 D．或48 6．过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 7．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：与圆：相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为2 D． 10．设为实数，若直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．直线恒过点 B．若直线在轴上的截距为2，则 C．存在使直线经过坐标原点 D．坐标原点到直线的最大距离为 11．已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（    ） A．弦的中点轨迹是直线 B．直线的交点在定圆上 C．线段的最小值为 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点，，，则△中边上的中线长 . 13．已知直线与交于，两点，则的面积为 . 14．数学月考出了这样一道题：设为椭圆上的两个动点，若直线上存在点，使得为直角，求实数的取值范围．小峰同学没有思路，于是求助数学老师，老师拍拍他的肩膀告诉他：从前，有个叫蒙日的数学家，发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆．小峰顿悟，于是写出了答案： ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）求经过点，且在轴上的截距为2的直线方程. （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为，求直线的方程 16．（15分） 已知椭圆：的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 17．（15分） 已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 18．（17分） 已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设，过点作与轴不重合的直线交曲线于两点. （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 19．（17分） 在平面直角坐标系中，对于点，，定义为点到点的“折线距离”. (1)已知，，求； (2)已知直线. （i）求坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值； （ii）求圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值. 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(1)求椭圆M的标准方程； (2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 17．（15分） 已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 18．（17分） 已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设，过点作与轴不重合的直线交曲线于两点. （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 19．（17分） 在平面直角坐标系中，对于点，，定义为点到点的“折线距离”. (1)已知，，求； (2)已知直线. （i）求坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值； （ii）求圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷 （苏教版2019） （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1章~第3章3.1。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角是（     ） A．0 B． C．π D．不存在 【答案】B 【解析】直线垂直于x轴，所以直线的倾斜角是. 故选：B. 2．方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】若表示椭圆，则有， 解得或. 故选：D. 3．已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知：，， 若，，可知直线的斜率存在， 设，则，， 则，即， 解得，即． 故选：D. 4．已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 【答案】C 【解析】因为可化为,则，半径， 因为可化为， 则，半径， 则，因为，所以两圆相交. 故选：C. 5．已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（    ） A． B．48 C．36或48 D．或48 【答案】D 【解析】将改写为， 因为两条直线平行，所以． 由，解得或， 所以或48． 故选：D. 6．过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【解析】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直， 又P是两条直线的交点，， 故, 当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选:A. 7．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】曲线即为半圆：， 其图象如图所示， 曲线与轴的交点为， 而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：B. 8．已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为椭圆的离心率，可得， 所以，即，可得， 则点，右焦点， 所以， 由题意可得直线的斜率， 所以，即， 由题意设直线的方程为， 直线的方程为， 设直线与直线的交点为， 联立，可得，，则， 可得为的中点，所以直线为线段的中垂线， 即，， 的周长为，可得， 所以，，所以椭圆的方程为：. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：与圆：相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为2 D． 【答案】ACD 【解析】对于AB，圆：的圆心，半径，A正确，B错误； 对于C，点到直线：的距离，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 10．设为实数，若直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．直线恒过点 B．若直线在轴上的截距为2，则 C．存在使直线经过坐标原点 D．坐标原点到直线的最大距离为 【答案】ABD 【解析】若直线的方程为，即， 则，解得，，即直线恒过，A正确，符合题意； 把代入直线的方程为，可得，B正确，符合题意； 当，时，显然矛盾，C错误，不符合题意； 由可知，故原点到直线的距离，D正确，符合题意． 故选：ABD． 11．已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（    ） A．弦的中点轨迹是直线 B．直线的交点在定圆上 C．线段的最小值为 D．的最大值为 【答案】BD 【解析】对于选项A：设， 因为，为弦的中点， 所以.而，半径为2， 则圆心到弦的距离为. 又圆心，所以， 即弦中点的轨迹是圆，故选项A不正确； 对于选项B：由，消去可得， 即，故选项B正确； 对于选项C：由选项A知，点的轨迹方程为：， 又由选项B知，点的轨迹方程为：， 所以，，，， 线段，故选项C不正确； 对于选项D，， 故，故， 由选项C知，， 所以，故选项D正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点，，，则△中边上的中线长 . 【答案】 【解析】设的中点的坐标为， 由中点公式可得， 即的坐标为，则. 故答案为：. 13．已知直线与交于，两点，则的面积为 . 【答案】 【解析】的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 面积为. 故答案为：. 14．数学月考出了这样一道题：设为椭圆上的两个动点，若直线上存在点，使得为直角，求实数的取值范围．小峰同学没有思路，于是求助数学老师，老师拍拍他的肩膀告诉他：从前，有个叫蒙日的数学家，发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆．小峰顿悟，于是写出了答案： ． 【答案】 【解析】因为椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆， 所以，直线围成的矩形外接圆即为该定圆：． 若直线上存在点使为直角， 即，为椭圆切线时，该直线与该圆有交点， 则，解得， 故答案为:． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）求经过点，且在轴上的截距为2的直线方程. （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为，求直线的方程 【解析】（1）由题意可知所求直线经过两点， 则直线的斜率， 所以直线方程为，即； （2）由题意可设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为，即. 16．（15分） 已知椭圆：的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 【解析】（1）由题意得，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设与平行的直线的方程为：， 由，得， 由，得， 则直线的斜截式方程为：. 17．（15分） 已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【解析】（1）设， 由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则， 解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为， 即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为. 18．（17分） 已知圆，点，点为圆上的动点，线段的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设，过点作与轴不重合的直线交曲线于两点. （i）过点作与直线垂直的直线交曲线于两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线与轴交于两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 【解析】（1）设， 因为点在圆上，所以  ①. 因为为中点，所以，整理得。 代入①式中得，整理得， 所以曲线的方程为. （2）（i）因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，即. 则直线为 设曲线的圆心到直线和直线的距离分别为. 则， 所以， ， 所以， 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立. 综上所述，四边形面积的最大值为7. （ii）设，联立，得. 则，. 因为曲线与轴交于两点，所以. 则直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程得， 直线与直线的交点在定直线上. 19．（17分） 在平面直角坐标系中，对于点，，定义为点到点的“折线距离”. (1)已知，，求； (2)已知直线. （i）求坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值； （ii）求圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值. 【解析】（1）. （2）（i）直线与轴的交点，与轴的交点， 设直线上任意一点. 当点在线段的延长线上时，； 当点在线段的延长线上时，； 当点在线段上时，， ， 则. 因为，， 所以. 综上，当点与点重合时，坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值为. （ii）由（i）可知，设是圆上任意一点，是直线上任意一点，当且仅当轴时，的最小值为，如图所示. 过作直线的垂线，垂足为，则，所以. 当取最小值时，取得最小值. 过点作直线的垂线，交单位圆于，垂足为， 当且仅当与重合时，取到最小值. 易知，所以的最小值为，即的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷（苏教版2019） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D D C D A B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）由题意可知所求直线经过两点， 则直线的斜率， 所以直线方程为，即；（6分） （2）由题意可设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为，即.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由题意得，得， 所以椭圆的标准方程为.（7分） （2）设与平行的直线的方程为：， 由，得，（11分） 由，得， 则直线的斜截式方程为：.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）设， 由得， 则，解得，故.（5分） （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则， 解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即，（7分） 又经过点，故， 所以直线的方程为， 即.（11分） （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）设， 因为点在圆上，所以  ①. 因为为中点，所以，整理得。 代入①式中得，整理得， 所以曲线的方程为.（4分） （2）（i）因为直线不与轴重合，所以设直线的方程为，即. 则直线为 设曲线的圆心到直线和直线的距离分别为. 则， 所以， ， 所以，（8分） 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立. 综上所述，四边形面积的最大值为7. （10分） （ii）设，联立，得. 则，.（12分） 因为曲线与轴交于两点，所以. 则直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程得， 直线与直线的交点在定直线上. （17分） 19．（17分） 【解析】（1）.（3分） （2）（i）直线与轴的交点，与轴的交点， 设直线上任意一点. 当点在线段的延长线上时，； 当点在线段的延长线上时，；（6分） 当点在线段上时，， ， 则. 因为，， 所以. 综上，当点与点重合时，坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值为.（9分） （ii）由（i）可知，设是圆上任意一点，是直线上任意一点，当且仅当轴时，的最小值为，如图所示. 过作直线的垂线，垂足为，则，所以.（11分） 当取最小值时，取得最小值. 过点作直线的垂线，交单位圆于，垂足为， 当且仅当与重合时，取到最小值. 易知，所以的最小值为，即的最小值为. （17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！