【每周一卷】2024-2025学年苏科版九年级数学第二周周测卷

第二周周测卷 测试范围：1.1—2.2 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A．3x21＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．ax2﹣x+2＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 2．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（　　） A．点A在⊙C内 B．点A在⊙C上 C．点A在⊙C外 D．无法确定 4．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（　　） A．100（1+x）2＝121 B．100（1+x%）2＝121 C．100（1+2x）＝121 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝121 5．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的直径AB为（　　） A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm 6．将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（　　） A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8 7．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2 8．若α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2015 B．2022 C．﹣2015 D．4010 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．若关于x的方程x2+2x﹣m＝0的一个根是x＝3，则m的值为 　 　． 10．为积极响应国家“双减”政策，某县推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次，设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程 　 　． 11．关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　． 12．若（m+1）2x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　 　． 13．某施工队在修建高铁时，需修建隧道，如图是高铁隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝24米，净高CD＝18米，则此圆的半径OA的长为 　 　． 14．关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+k＝0与a2（x﹣m）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ab的值为 　 　． 15．如图所示，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC＝3，则DE的长为 　 　． 16．如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，现以点A为圆心作圆，如果 B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r的取值范围是 　 　． 17．已知m，n是x2﹣4x+3＝0的两个根，则m2﹣3m+n＝　 　． 18．已知点P是半径为4的⊙O上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段OQ的长度a的范围为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）解一元二次方程： （1）x2+4x﹣2＝0； （2）（x﹣3）2＝6﹣2x． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m为实数且m≠1）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 21．（6分）如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB＝75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE＝AO，求∠E的度数． 22．（8分）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为34米，宽为20米．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为480平方米、求车道的宽度． 23．（8分）某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套．为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%，设这种纪念品每套上涨x元． （1）平均每天的销售量为 　 　套（用含x的代数式表示）； （2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 24．（8分）如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G． （1）求证：ED＝EG； （2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径． 25．（8分）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣9x+20＝0是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值： （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，且a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值． 26．（10分）阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： ∴代数式x2+4x+2的最小值为﹣2． ∴代数式﹣x2+4x+3的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式x2﹣4x+1的最小值为 　 　； （2）已知A＝2x2﹣3x+2，B＝x2﹣x﹣1，请比较A与B的大小，并说明理由； （3）已知x+y＝3，代数式x2+y+3x﹣2的最小值为 　 　． 【拓展提高】 （4）苏科版七上数学书第7页试一试第2题：学校打算把16m长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？ 请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二周周测卷 测试范围：1.1—2.2 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A．3x21＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．ax2﹣x+2＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：A、是分式方程，故A错误； B、是二元二次方程，故B错误； C、a＝0时，是一元一次方程，故C错误； D、是一元二次方程，故D正确； 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】根据根的判别式可以求得一元二次方程x2+x﹣1＝0 的根的情况，从而可以解答本题． 【解答】解：x2+x﹣1＝0， ∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， ∴一元二次方程x2+x﹣1＝0 有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是由根的判别式可以判断一元二次方程根的情况． 3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（　　） A．点A在⊙C内 B．点A在⊙C上 C．点A在⊙C外 D．无法确定 【分析】利用勾股定理求得BC边的长，然后通过比较AC与半径BC的长即可得到结论． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10， ∴BC8， ∵AC＝6＜BC， ∴点A在⊙C内， 故选：A． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系． 4．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（　　） A．100（1+x）2＝121 B．100（1+x%）2＝121 C．100（1+2x）＝121 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝121 【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意即可列出方程求解． 【解答】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x， 根据题意得100（1+x）2＝121． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，掌握为增长率问题的一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量是解决问题的关键． 5．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的直径AB为（　　） A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm 【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为4cm，求出直径即可． 【解答】解：如图，连接OD、OC， ∵BC＝CD＝DA＝4cm， ∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°． 又OA＝OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴OA＝AD＝4cm， ∴⊙O的直径AB为8cm． 故选：D． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定，解题的关键是利用“有一内角是60度的等腰三角形为等边三角形”证得△AOD是等边三角形． 6．将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（　　） A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0， ∴x2﹣6x＝﹣1， 则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8， 故选：A． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 7．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】直接利用一元二次方程的解的意义将x＝﹣1代入求出答案． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根是﹣1， ∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）+m＝0， 解得：m＝﹣3． 故选：A． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的意义是解题关键． 8．若α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2015 B．2022 C．﹣2015 D．4010 【分析】由根与系数的关系，得到α+β＝﹣2，α•β＝﹣2024，由方程的根可得α2+2α＝2024，然后代入变形后的式子求值，即可得到答案． 【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根， ∴α+β＝﹣2，α2+2α＝2024， ∴原式＝α2+2α+α+β ＝2024+（﹣2） ＝2022． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式变形求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．若关于x的方程x2+2x﹣m＝0的一个根是x＝3，则m的值为 　15　． 【分析】把x＝3代入x2+2x﹣m＝0得32+6﹣m＝0，然后解关于m的方程即可． 【解答】解：把x＝3代入x2+2x﹣m＝0，得32+6﹣m＝0， 解得m＝15． 故答案为：15． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 10．为积极响应国家“双减”政策，某县推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次，设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程 　2（1+x）2＝2.42　． 【分析】设受益学生人次的平均增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”列出方程，即可求解． 【解答】解：设受益学生人次的平均增长率为x，根据题意得： 2（1+x）2＝2.42． 故答案为：2（1+x）2＝2.42． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意． 11．关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＜1且k≠0　． 【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×1＞0， 解得k＜1且k≠0． ∴k的取值范围为k＜1且k≠0． 故答案为：k＜1且k≠0． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 12．若（m+1）2x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　1　． 【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答． 【解答】解：因为原式是关于x的一元二次方程， 所以m2+1＝2， 解得m＝±1． 又因为m+1≠0， 所以m≠﹣1， 于是m＝1． 【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．本题容易忽视的条件是m+1≠0． 13．某施工队在修建高铁时，需修建隧道，如图是高铁隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝24米，净高CD＝18米，则此圆的半径OA的长为 　13　． 【分析】根据垂径定理可得，用半径表示出OD＝18﹣r，再根据勾股定理即可得到答案． 【解答】解：∵CD⊥AB且CD经过点O， ∴， ∵CD＝18， ∴OD＝18﹣r， 在Rt△ADO中根据勾股定理可得， r2＝122+（18﹣r）2， 解得r＝13． 故答案为：13． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理，勾股定理是关键． 14．关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+k＝0与a2（x﹣m）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ab的值为 　﹣50　． 【分析】根据同族二次方程的定义把式子进行变形，然后列出二元一次方程组，即可求出a与b的值，进一步求出ab的值． 【解答】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”， ∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1， 即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3， ∴， 解得：． ∴ab＝﹣50． 故答案为：﹣50． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的知识、二元一次方程组的知识、代数式求值的知识，难度不大．解题关键是列出二元一次方程组． 15．如图所示，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC＝3，则DE的长为 　8　． 【分析】根据勾股定理求出CD，根据垂径定理即可得到答案． 【解答】解：∵AB＝10， ∴OD＝5， ∵DE⊥AB， ∴DE＝2CD，CD4， ∴DE＝2CD＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 16．如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，现以点A为圆心作圆，如果 B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么⊙A半径r的取值范围是 　6＜r＜10　． 【分析】根据勾股定理求出AC的长，根据点与圆的位置关系即可得出答案． 【解答】解：如图，连结AC，BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴AC10， ∵以点A为圆心作圆，如果 B、C、D至少有一点在圆内， ∴r＞6， ∵至少有一点在圆外， ∴r＜10， ∴⊙A半径r的取值范围是：6＜r＜10． 故答案为：6＜r＜10． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，掌握点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r； ②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r是解题的关键． 17．已知m，n是x2﹣4x+3＝0的两个根，则m2﹣3m+n＝　1　． 【分析】根据题意，利用根与系数的关系求出m+n的值，把x＝m代入得到关系式，原式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：∵m，n是x2﹣4x+3＝0的两个根， ∴m2﹣4m+3＝0， ∴m2﹣4m＝﹣3，m+n＝4， 则m2﹣3m+n＝（m2﹣4m）+（m+n）＝﹣3+4＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查根与系数的关系，根据题意，具体地方关键是学会用整体代入的思想解决问题． 18．已知点P是半径为4的⊙O上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段OQ的长度a的范围为 　2≤a≤6　． 【分析】如图，当点Q在圆外且O，Q，P三点共线时，线段OQ的长度的最大，当点Q在圆内且O，Q，P三点共线时，线段OQ的长度的最小，据此得到结论． 【解答】解：如图，当点Q在圆外且O，Q，P三点共线时，线段OQ的长度的最大，最大值为4+2＝6； 当点Q在圆内且O，Q，P三点共线时，线段OQ的长度的最小，最小值为4﹣2＝2， 所以，线段OQ的长度a的范围为2≤a≤6． 故答案为：2≤a≤6． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，正确的作出图形是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）解一元二次方程： （1）x2+4x﹣2＝0； （2）（x﹣3）2＝6﹣2x． 【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）x2+4x﹣2＝0， x2+4x＝2， x2+4x+4＝2+4， （x+2）2＝6， ， x+2或x+2， x12，x12； （2）（x﹣3）2＝6﹣2x， （x﹣3）2＝2（3﹣x）， （x﹣3）2﹣2（3﹣x）＝0， （x﹣3）2+2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣1）＝0， x﹣3＝0或x﹣1＝0， x1＝3，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣4）x﹣3＝0（m为实数且m≠1）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，配方法，偶次方的非负性证明； （2）利用因式分解法解出方程，根据题意求出m． 【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝（m﹣4）2﹣4（m﹣1）×（﹣3） ＝m2﹣8m+16+12m﹣12 ＝m2+4m+4 ＝（m+2）2． ∵（m+2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵（x+1）[（m﹣1）x﹣3]＝0， ∴x1＝﹣1，， ∵方程的两个实数根都是整数，且m是正整数， ∴m﹣1＝1或m﹣1＝3， ∴m＝2或m＝4． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 21．（6分）如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB＝75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE＝AO，求∠E的度数． 【分析】连接OC，如图，由CE＝AO，OA＝OC得到OC＝EC，则根据等腰三角形的性质得∠E＝∠1，再利用三角形外角性质得∠2＝∠E+∠1＝2∠E，加上∠D＝∠2＝2∠E， 所以∠BOD＝∠E+∠D，即∠E+2∠E＝75°，然后解方程即可． 【解答】解：连接OC，如图， ∵CE＝AO， 而OA＝OC， ∴OC＝EC， ∴∠E＝∠1， ∴∠2＝∠E+∠1＝2∠E， ∵OC＝OD， ∴∠D＝∠2＝2∠E， ∵∠BOD＝∠E+∠D， ∴∠E+2∠E＝75°， ∴∠E＝25°． 【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质． 22．（8分）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为34米，宽为20米．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为480平方米、求车道的宽度． 【分析】设车道的宽度为x米，则停车位可合成长为（34﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，根据停车位的总占地面积为480平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设车道的宽度为x米，则停车位可合成长为（34﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形， 根据题意得：（34﹣x）（20﹣x）＝480， 整理得：x2﹣54x+200＝0， 解得：x1＝4，x2＝50（不符合题意，舍去）． 答：车道的宽度为4米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（8分）某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套．为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%，设这种纪念品每套上涨x元． （1）平均每天的销售量为 　（500﹣10x）　套（用含x的代数式表示）； （2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 【分析】（1）由题意即可得出结论； （2）设这种纪念品每套上涨x元，则每套纪念品应定价为（40+x）元，平均每天的销售量为（500﹣10x）套，根据这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，平均每天的销售量为（500﹣10x）套， 故答案为：（500﹣10x）； （2）设这种纪念品每套上涨x元，则每套纪念品应定价为（40+x）元，平均每天的销售量为（500﹣10x）套， 由题意得：（40+x﹣30）（500﹣10x）＝8000， 整理得：x2﹣40x+300＝0， 解得：x1＝10，x2＝30（不符合题意，舍去）， ∴40+x＝50， 答：每套纪念品应定价50元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（8分）如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G． （1）求证：ED＝EG； （2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接BD，容易得到∠GBE和∠DBE相等，利用ASA证明△BGE和△BDE全等即可； （2）连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，根据ED＝EG容易求出OE，再根据垂径定理求出AE的值，最后在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值即可． 【解答】（1）证明：如图：连接BD， ∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F， ∴∠CFG＝∠GEB， ∵∠CGF＝∠BGE， ∴∠C＝∠GBE， ∵∠C＝∠DBE， ∴∠GBE＝∠DBE， ∵AB⊥CD于E， ∴∠GEB＝∠DEB， 在△GBE和△DBE中， ， ∴△BGE≌△BDE（ASA）， ∴ED＝EG． （2）解：如图： 连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1， 由（1）可知ED＝EG， ∴OE， ∵AB⊥CD于E，AB＝8， ∴AE＝BE＝4， ∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2， 即（）2+42＝r2， 解得：r， 即⊙O的半径为． 【点评】本题考查了垂径定理的应用，关键是结合勾股定理和全等三角形证明垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧． 25．（8分）如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣9x+20＝0是否是“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值： （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，且a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值． 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于m的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a与b的关系式，再由t＝12a﹣b2，得t与a的关系，化简即可． 【解答】解：（1）x2﹣9x+20＝0， （x﹣4）（x﹣5）＝0， x﹣4＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝5 x2＝4， ∵5﹣4＝1， ∴是邻根方程． （2）解方程得：（x﹣m）（x+1）＝0， ∴x1＝m，x2＝﹣1， ∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”， ∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1， ∴m＝0或﹣2； （3）解方程ax2+bx+1＝0得， x1，x2， ∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，且a＞0）是“邻根方程”， ∴1， ∴a， ∴b2﹣4a＝a2， ∴b2＝a2+4a≥0， ∴a≥0或a≤﹣4， ∵a＞0，t＝12a﹣b2， ∴t＝12a﹣（a2+4a）＝﹣a2+8a＝﹣（a2﹣8a）＝﹣（a﹣4）2+16， 当a＝4时，t有最大值16． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型． 26．（10分）阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： ∴代数式x2+4x+2的最小值为﹣2． ∴代数式﹣x2+4x+3的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式x2﹣4x+1的最小值为 　﹣3　； （2）已知A＝2x2﹣3x+2，B＝x2﹣x﹣1，请比较A与B的大小，并说明理由； （3）已知x+y＝3，代数式x2+y+3x﹣2的最小值为 　0　． 【拓展提高】 （4）苏科版七上数学书第7页试一试第2题：学校打算把16m长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？ 请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 【分析】（1）依据题意，由x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，又对于任意的x都有（x﹣2）2≥0，故x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3≥﹣3．，进而可以判断得解； （2）依据题意，作差A﹣B＝2x2﹣3x+2﹣（x2﹣x﹣1）＝（x﹣1）2+2，又对于任意的x都有（x﹣1）2≥0，进而可以判断得解； （3）依据题意，由x+y＝3，从而y＝3﹣x．，故x2+y+3x﹣2＝x2+3﹣x+3x﹣2＝（x+1）2，再结合对于任意的x都有（x+1）2，≥0，进而可以判断得解； （4）依据题意，设AB＝x m，长方形 ABCD的面积为S，从而 S＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+16，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3， 又对于任意的x都有（x﹣2）2≥0， ∴x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3≥﹣3． ∴代数式x2﹣4x+1的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3． （2）A＞B，理由如下： ∵A﹣B＝2x2﹣3x+2﹣（x2﹣x﹣1） ＝2x2﹣3x+2﹣x2+x+1 ＝x2﹣2x+3 ＝（x﹣1）2+2， 又对于任意的x都有（x﹣1）2≥0， ∴A﹣B＝（x﹣1）2+2≥2＞0． ∴A＞B． （3）由题意，∵x+y＝3， ∴y＝3﹣x． ∴x2+y+3x﹣2＝x2+3﹣x+3x﹣2 ＝x2+2x+1 ＝（x+1）2． ∵对于任意的x都有（x+1）2，≥0， ∴x2+y+3x﹣2＝（x+1）2，≥0． ∴代数式x2+y+3x﹣2的最小值为0． 故答案为：0． （4）由题意，设 AB＝x m，长方形 ABCD的面积为S， ∴S＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+16． ∴当x＝4时，即AB＝4m时围可使小兔的活动范围较大，最大面积为m2． 答：长方形生物园的最大面积为 16m2． 【点评】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、偶次方、完全平方公式的几何背景等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$