精品解析：河南省南阳市实验学校2024-2025学年上学期九年级数学开学综合测试试题

南阳市实验学校2024年秋九年级数学开学综合测试 一、单选题（共30′，每题3′） 1. 已知下列代数式：①；②；③；④，⑤．其中属于分式有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A B. C. D. 4. 中国北斗芯片实现了22纳米制程的突破，领先GPS芯片．已知1纳米米，则22纳米用科学记数法可表示为（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 若分式的值等于0，则x的值为（ ） A. 6 B. C. D. 3 6. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A B. C. D. 7. 下列二次根式中，属于最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若是一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（ ） A. B. C. D. 10. 若关于x的一元二次方程有实数根，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共15′，每题3′） 11. 若根式与为同类最简二次根式，则等于________． 12. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为______． 13. 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为___________． 14. 如图，已知，则与的相似比是______． 15. 已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简得结果是______． 三、解答题（共55′） 16. 计算 （1）． （2） （3） 17. 下面是小新同学进行分式化简的过程，请认真阅读． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 （1）第__________步开始出现错误，正确的化简结果是__________； （2）请从不等式组的整数解中选择一个合适的值作为x的值代入，求出的值． 18. 解方程： （1）；（用直接开平方法） （2）（用因式分解法） （3）（用配方法）； （4）（用公式法） 19. 为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为元时，每天可售出个；若销售单价每降低元，每天可多售出个．已知每个电子产品的固定成本为元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利元？ 20. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数和反比例函数表达式； （2）点E为y轴正半轴上一点，当的面积为9时，求点E的坐标． 21. 如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4． 求证：（1）△ABD∽△CBE； （2）△ABC∽△DBE． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南阳市实验学校2024年秋九年级数学开学综合测试 一、单选题（共30′，每题3′） 1. 已知下列代数式：①；②；③；④，⑤．其中属于分式的有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，对于两个整式A和B，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：①是分式； ②不分式； ③不是分式； ④是分式； ⑤是分式； ∴分式有3个， 故选：B． 2. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的定义对四个分式分别进行判断即可． 【详解】解：A. ，该选项不是最简分式，故不符合题意； B. ，该选项是最简分式，符合题意； C. ，该选项不是最简分式，故不符合题意； D. ，该选项不是最简分式，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了最简分式的定义，解题关键是理解最简分式的定义． 3. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． 4. 中国北斗芯片实现了22纳米制程的突破，领先GPS芯片．已知1纳米米，则22纳米用科学记数法可表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】22纳米米米， 故选：D． 5. 若分式的值等于0，则x的值为（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为0的条件，分式有意义的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．根据分式的值为0的条件得出，，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，，， 解得：， 故选：B． 6. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．直接利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．不存在分子、分母同减去一个数分式的值不变，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：B． 7. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式定义进行判定即可得到答案． 【详解】解：A、，不最简二次根式，故A不符合题意； B、，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C、是最简二次根式，故C选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，解题的关键在于能够熟练掌握最简二次根式的定义． 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断． 【详解】解：A、，所以A选项正确； B、，所以B选项错误； C、，所以C选项错误； D、与不能合并，所以D选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 9. 若是一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 10. 若关于x的一元二次方程有实数根，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键． 二、填空题（共15′，每题3′） 11. 若根式与为同类最简二次根式，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】依据最简二次根式的定义可得到一个关于x的方程，求出x的值，代入即可求出答案. 【详解】解：∵与为同类最简二次根式， ∴， 解得x=4， 将x=4代入得， ===， 故答案为. 【点睛】题目主要考查同类二次根式的定义及解一元一次方程，二次根式的化简，熟练掌握同类二次根式的含义以及二次根式的化简是解本题的关键. 12. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念，最高项系数为2，二次项系数不为零，由这两点即可确定a的值． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，且， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，即经整理后，如果方程含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，掌握此概念是关键，千万不要忘记二次项系数不为零． 13. 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为___________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的因式分解法和三角形三边之间的关系，先利用因式分解法解方程，然后三角形三边关系求得符合要求的第三边，即可求得周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴三角形的第三边长是4， ∴该三角形的周长为：． 故答案：11． 14. 如图，已知，则与的相似比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据平行可得，则相似比为． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴相似比为， 故答案为：． 15. 已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简得结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，根据数轴上点的位置确定出各自的正负，利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】根据数轴上点的位置得：， ∴， 则原式 故答案为． 三、解答题（共55′） 16. 计算 （1）． （2） （3） 【答案】（1）6 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式性质和二次根式混合运算法则进行计算即可； （3）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 17. 下面是小新同学进行分式化简的过程，请认真阅读． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 （1）第__________步开始出现错误，正确的化简结果是__________； （2）请从不等式组的整数解中选择一个合适的值作为x的值代入，求出的值． 【答案】（1）五， （2）取1，2分别对应的值为， 【解析】 【分析】（1）根据去括号法则可知第五步分子去括号过程中出现了错误； （2）先解不等式组，求出不等式组的整数解，再根据分式有意义的条件选项一个合适的值代入求解． 【小问1详解】 解：第五步开始出现错误，改正后为： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 故答案为：五，； 【小问2详解】 解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故该不等式组的解集为：，整数解为：1，2，3． 由，得， 故只能取1，2， 当时，原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握分式的运算法则，注意x的取值要使分式有意义． 18. 解方程： （1）；（用直接开平方法） （2）（用因式分解法） （3）（用配方法）； （4）（用公式法） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可； （3）用配方法解方程即可； （4）用公式法解方程即可． 【小问1详解】 ， ， ， ∴； 【小问2详解】 ， ∴ ， ∴或， ∴； 【小问3详解】 ， ∴， ， ∴， ， ， ∴； 【小问4详解】 ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为元时，每天可售出个；若销售单价每降低元，每天可多售出个．已知每个电子产品的固定成本为元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利元？ 【答案】销售单价为元时，公司每天可获利元 【解析】 【分析】根据题意设降价后的销售单价为元，由题意得到，则可得到答案. 【详解】解：设降价后的销售单价为元，则降价后每天可售出个， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． ，符合题意． 答：这种电子产品降价后的销售单价为元时，公司每天可获利元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的实际应用. 20. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数和反比例函数表达式； （2）点E为y轴正半轴上一点，当的面积为9时，求点E的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为；反比例函数解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质． （1）先确定反比例函数解析式，再确定点坐标，最后由待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设，则，再由，求出t的值即可求E点坐标． 【小问1详解】 设一次函数解析式为，反比例函数解析式为， ∵上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在上 ∴， ∴， 把，代入得， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 直线与y轴的交点， 设， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 21. 如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4． 求证：（1）△ABD∽△CBE； （2）△ABC∽△DBE． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△CBE； （2）先利用得到∠1=∠2得到∠ABC=∠DBE，再利用△ABD∽△CBE得 , 根据比例的性质得到 , 然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ABC与△DBE相似． 【详解】（1）相似．理由如下： ∵∠1=∠2，∠3=∠4． ∴△ABD∽△CBE； （2）相似．理由如下： ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠DBC=∠2+DBC，即∠ABC=∠DBE， ∵△ABD∽△CBE， ∴=， ∴=， ∴△ABC∽△DBE． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$