精品解析：广东省汕头市潮阳启声学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

潮阳启声学校2023—2024学年度第二学期第一次月考 高二年级数学科试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一､单选题（每题5分，共40分） 1. 已知是虚数单位，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由公式结合复数模的运算即可得解. 【详解】由题意. 故选：C. 2. 已知向量，则（ ） A. // B. // C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算结合条件逐项判断即可. 【详解】易知，因为， 所以，故成立，则//不成立，故A错误，D正确， 而，显然，， 则，//不成立，故BC错误. 故选：D 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数单调性解出集合，再利用并集含义即可. 【详解】，则. 故选：A. 4. 已知函数 是R上的可导函数， 的导数 的图像如图，则下列结论正确的是 A. a, c分别是极大值点和极小值点 B. b，c分别是极大值点和极小值点 C. f(x)在区间（a，c）上是增函数 D. f(x)在区间（b，c）上是减函数 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：对于A，在x=a处导数左负右正，为极小值点，在x=c处导数左正右正，不为极值点，故A错；对于B，在x=b处导数不为0，在x=c处导数左正右正，不为极值点，故B错；对于C，f（x）在区间（a，c）上的导数大于0，则f（x）在区间（a，c）上是增函数，故C对；对于D，f（x）在区间（b，c）上的导数大于0，则f（x）在区间（b，c）上是增函数，故D错．故选C． 考点：利用导数研究函数的单调性． 5. 学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】分领导在最左侧和最右侧，再结合全排列公式即可得到答案. 【详解】领导可以在最左边或者最右边，剩余的3名同学全排列即可， 则共有不同的站位顺序共有种. 故选：B. 6. 已知甲乙两人投篮的命中率分别是0.5和0.9，且两人投篮相互没有影响，若投进一球得2分，未投进得0分，则每人投篮一次，得分相等的概率为（ ） A. 0.40 B. 0.45 C. 0.50 D. 0.05 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件同时发生的概率公式即可求解. 【详解】若两人都没有投进，概率， 若两人都投进，概率， 则得分相等的概率. 故答案为：C. 7. 某产品的销售收入，生产成本，产量之间满足以下函数，，要使利润最大，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数求出利润的最大值即可得解. 【详解】依题意，，，求导得， 当时，；当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，利润最大. 故选：A 8. 若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由恒成立，分离常数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】依题意，即对任意恒成立， 即恒成立，因为（当且仅当时取“=”）， 所以. 故选：D 二､多选题（每题6分，选错0分，部分正确按比例得分，共18分） 9. 已知椭圆，则下列说法中正确的是（ ） A. 椭圆的焦点在轴上 B. 椭圆的长轴长是 C. 椭圆的焦距为 D. 椭圆的离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，根据椭圆方程可判断焦点位置，并求，由此判断A，结合相关定义判断BCD. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 因为椭圆的方程为， 所以椭圆的焦点在上，且，A正确， 所以椭圆的长轴长为，B正确， 椭圆的焦距为，C错误； 椭圆的离心率，D正确. 故选：ABD. 10. 过点且与曲线相切的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设过点的切线与曲线相切于点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出，即可得解. 【详解】设过点的切线与曲线相切于点， 因为，则曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以，解得或， 故切线方程为或. 故选：BC. 11. 已知函数，则（ ） A. 是最小正周期是 B. 是的一个极值点 C. 的最小值是 D. 在上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】通过可判断A；求导得，根据极值点定义即可判断B；根据B中导函数，分析其单调性即可判断CD. 【详解】对A，假设是最小正周期是为， 则, 显然根据正弦的诱导公式知的最小正值为，则是最小正周期是，故A正确； 对B， ， ，且当时，， 当时，，则在的左右两侧，导函数符号不变，故不是的一个极值点，故B错误； 对C，， 当时，，函数单调递增； 当，时，，函数单调递减； 所以，故C错误； 对D，由C项分析可知，令，则的一个单调减区间为， 则在上单调递减，故D正确； 故选：AD. 三､填空题（每题5分，共15分） 12. 函数在处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数可求得切线斜率，结合直线过点可得切线方程. 【详解】，所以切线的斜率为， 所以函数在处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知是各项均为正的等比数列，为其前项和，若，，则公比___________，____________． 【答案】 ①. 2 ②. 15 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，由此求得，进而求得. 【详解】依题意，，，解得， 所以. 故答案为：； 14. 已知函数，，请写出函数和的图象的一条公共切线的方程为______. 【答案】（或） 【解析】 【分析】设切点坐标分别为，，由切线斜率可得，结合公切线方程解得或，进而可得公切线方程. 【详解】因为，，则，， 设函数上的切点坐标为，切线斜率为， 函数上的切点坐标为，切线斜率为， 由切线斜率可得，即， 可得公切线方程为， 代入点可得， 代入可得， 整理得，解得或， 所以切线方程为或. 故答案为：（或）. 四､解答题（15题13分，16-17题15分，18-19题17分，共77分） 15. 某公司对25家连锁店进行了考核，将各连锁店的评估分数按分成4组，划分为四个等级，等级评定标准如表所示. 评估分数 评定等级 （1）估计各连锁店评估得分的第52百分位数； （2）从评估分数不小于80的连锁店中随机抽取2家介绍经验，求至少抽到1家等级的概率. 【答案】（1）75； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出评估分数在的频率，再利用频率分布直方图估算第52百分位数. （2）求出评估分数不小于80的连锁店家数，再利用列举法求出古典概率即得. 【小问1详解】 依题意，评估分数在的频率为， 评估得分的第52百分位数，则，解得， 所以各连锁店评估得分的第52百分位数是75. 【小问2详解】 评估分数不小于80的连锁店共有家，其中在内的有4家，记为， 在内的有2家，记为，从6家连锁店中随机抽取2家的样本空间： ，共15个样本点， 至少抽到1家等级的事件，共9个样本点， 所以至少抽到1家等级的概率. 16. 已知函数在处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）的极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）求出，由导数的几何意义可得，可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值； （2）利用导数分析函数的单调性，利用极值与导数的关系可求得该函数的极值. 【小问1详解】 因为，则， 因为函数在处的切线方程为， 则，解得. 【小问2详解】 函数的定义域为， 则， 由可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数的单调减区间为，单调增区间为， 故函数的极小值为，无极大值. 17. 如图，在四面体中，平面为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）求四面体外接球的表面积. 【答案】（1） 因为平面，平面，所以. 又因为，，平面， 所以平面，又平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线线垂直得平面，进而得； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量为和平面的一个法向量为，利用法向量求二面角即可； （3）取的中点为，由线段长相等即可证得为四面体的外接球的球心，进而可求球的表面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，设的中点为，的中点为，连接，， 因为平面，且，所以平面， 由，且，可得，，两两垂直， 所以分别以，，所在直线为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，. 所以，，. 设平面的一个法向量为， 由，，得令，得. 设平面的一个法向量为， 由，，得令，得. 所以. 由图可知，二面角的平面角为锐角，故余弦值为. 【小问3详解】 根据（2），记的中点为， 由题意，为直角三角形，斜边，所以. 由（1）得平面，因为平面，所以. 在直角中，为斜边的中点， 所以. 所以为四面体的外接球的球心， 故四面体的外接球的表面积. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求出导数，对分三种情况讨论判断的正负，得解； （2）先通过特例，得，然后利用（1）的结论，求解函数的最大值即可. 【小问1详解】 由题，， 令，得或， 当时，令，解得或， 令，解得， 当时，， 当时，令，解得或， 令，解得， 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 因为，对恒成立， 所以，得， 若，由（1）知在和上单调递增，在上单调递减， ，即，解得， ； 若，在上单调递增，恒成立， ； 若，在和上单调递增，在上单调递减. ，即，解得， 又， ， ， 综上，符合题意的实数的取值范围为. 19. 已知函数. （1）证明：恰有一个零点，且； （2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取，实施如下步骤：在点处作的切线，交轴于点：在点处作的切线，交轴于点；一直继续下去，可以得到一个数列，它的各项是不同精确度的零点近似值. （i）设，求的解析式； （ii）证明：当，总有. 【答案】（1） ，定义域为， 所以，在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 因为， ， 所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点，且； （2）（i）， （ii）证明：对任意的，由（i）知，曲线在,处的切线方程为：， 故令， 令， 所以，， 所以，当时，，单调递增，当,时，，单调递减， 所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立， 另一方面，由（i）知，，且当时，， （若，则，故任意，显然矛盾）， 因为是的零点， 所以， 因为为单调递增函数， 所以，对任意的时，总有， 又因为， 所以，对于任意，均有， 所以，，， 所以， 综上，当，总有． 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可； （2）（i）由导数的几何意义得曲线在处的切线方程为，进而得； （ii）令，进而构造函数，结合函数单调性证明，再根据，证明即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以，曲线在处的切线斜率为， 所以，曲线在处的切线方程为，即， 令得， 所以，切线与轴的交点，即， 所以，； （ii）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮阳启声学校2023—2024学年度第二学期第一次月考 高二年级数学科试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一､单选题（每题5分，共40分） 1. 已知是虚数单位，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. // B. // C. D. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数 是R上的可导函数， 的导数 的图像如图，则下列结论正确的是 A. a, c分别是极大值点和极小值点 B. b，c分别是极大值点和极小值点 C. f(x)在区间（a，c）上是增函数 D. f(x)在区间（b，c）上是减函数 5. 学校里获奖的3名同学和一名颁奖领导排成一排上台拍照，要求领导站在最边上，则不同的站位顺序共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 6. 已知甲乙两人投篮的命中率分别是0.5和0.9，且两人投篮相互没有影响，若投进一球得2分，未投进得0分，则每人投篮一次，得分相等的概率为（ ） A. 0.40 B. 0.45 C. 0.50 D. 0.05 7. 某产品的销售收入，生产成本，产量之间满足以下函数，，要使利润最大，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（每题6分，选错0分，部分正确按比例得分，共18分） 9. 已知椭圆，则下列说法中正确的是（ ） A. 椭圆的焦点在轴上 B. 椭圆的长轴长是 C. 椭圆的焦距为 D. 椭圆的离心率为 10. 过点且与曲线相切的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 是最小正周期是 B. 是的一个极值点 C. 的最小值是 D. 在上单调递减 三､填空题（每题5分，共15分） 12. 函数在处的切线方程为__________. 13. 已知是各项均为正的等比数列，为其前项和，若，，则公比___________，____________． 14. 已知函数，，请写出函数和的图象的一条公共切线的方程为______. 四､解答题（15题13分，16-17题15分，18-19题17分，共77分） 15. 某公司对25家连锁店进行了考核，将各连锁店的评估分数按分成4组，划分为四个等级，等级评定标准如表所示. 评估分数 评定等级 （1）估计各连锁店评估得分的第52百分位数； （2）从评估分数不小于80的连锁店中随机抽取2家介绍经验，求至少抽到1家等级的概率. 16. 已知函数在处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）求函数的极值. 17. 如图，在四面体中，平面为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）求四面体外接球的表面积. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）证明：恰有一个零点，且； （2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取，实施如下步骤：在点处作的切线，交轴于点：在点处作的切线，交轴于点；一直继续下去，可以得到一个数列，它的各项是不同精确度的零点近似值. （i）设，求的解析式； （ii）证明：当，总有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $