第01讲 集合（十一大重难点）-2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第01讲 集合 一、元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． 一、集合的基本概念 1．元素与集合的关系： 若属于集合，则记作； 若不属于集合，则记作； 2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法： 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. 二、集合间的基本关系 文字语言 符号语言 图示 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 三、集合的基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 重难点01集合中的元素 【解题必备】判断元素与集合关系的2种方法： （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 例1．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 例2．已知，则集合中所有元素的和为 ． 【跟踪练习】 练习1．用符号“”或“”填空． （1）0 ；                   （2） ； （3） ； （4）2017 ； 练习2．已知集合，则集合中全部元素之和为 ． 练习3．若集合，，则中元素的最大值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 练习4．若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点02根据集合的元素特征求参数 【解题必备】应用集合元素的特性解题的要点： （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么． （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 例3．设集合，若，则的值的集合为 . 例4．集合 (1)若A是空集，求a的取值范围． (2)若A中至多一个元素，求a的取值范围． 【跟踪练习】 练习1．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则中元素个数为 ． 练习2．（多选）关于的方程的解集是单元素集，则的可能值是（    ） A．0 B．27 C．2 D． 练习3．（多选）由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（    ） A．1 B． C． D．2 练习4．已知集合，且，则实数的值为 . 重难点03子集及子集个数 【解题必备】集合与集合子集关系的判断： 正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举 例5．已知集合，，则集合的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 例6．（多选）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 【跟踪练习】 练习1．满足集合为的子集且的集合的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．15 练习2．设集合，则集合的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 练习3．若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 练习4．已知集合的所有非空真子集的元素之和为2023，则 . 重难点04利用子集关系求参数 【解题必备】由集合间的关系求参数的2种方法： （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 例7．已知集合，集合.若集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例8．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【跟踪练习】 练习1．设集合，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 练习2．已知集合，且，则（    ） A．8或20 B．8或-20 C．或20 D．或 练习3．已知集合，，若，则由的值构成的集合为 . 练习4．已知集合，且，且.求实数k的取值范围. 重难点05交集运算及求参 【解题必备】求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路如下: ①将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。 ②将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集。 例9．设集合，若，则（    ） A． B．0 C．2 D． 例10．（多选）若集合，，满足，则实数的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 【跟踪练习】 练习1．集合，，则（    ） A． B． C． D． 练习2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 练习3．已知集合，若中只有1个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习4．设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 重难点06并集运算及求参 例11．设，则（    ） A． B． C． D． 例12．已知集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 练习2．（1）集合，或， ； （2）集合，，则 ． 练习3．设集合，．若；则a= ． 练习4．设集合,. (1)若，判断集合A与B的关系； (2)若，求实数的取值集合. 重难点07补集运算及求参 例13．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 例14．设全集，集合满足，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【跟踪练习】 练习1．已知全集，，则 ． 练习2．设全集，集合，若，则实数 ． 练习3．设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 练习4．（多选）已知全集，，且中有6个元素，则实数的值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 重难点08集合的混合运算及求参 例15．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例16．已知全集 . (1)求集合； (2)若集合，求实数的值. 【跟踪练习】 练习1．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 练习2．（多选）已知集合，，且．集合为的取值组成的集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 练习3．设全集，求，， . 练习4．已知全集，集合. (1)求； (2)已知集合，若，求实数的取值范围. 重难点09韦恩图的应用 【解题必备】判断元素与集合关系的2种方法： （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 例17．如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 例18．已知为全集的非空真子集，且不相等，若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知M，N均为R的子集，且，则为（    ） A．M B．N C． D．R 练习2．（多选）若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 练习3．（多选）已知全集，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 练习4．如图所示，集合是全集，圆表示集合的子集，请将图中所示的阴影区域用集合之间的运算表示为 . 重难点10集合中的分类讨论 【解题必备】常见的分类讨论情况 （1）若最高次系数含参时，需要讨论系数是否为0； （2）若，且集合中含参数，需讨论集合是否为； （3）若，且集合中含参数，需讨论集合是否为 例19．若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（    ） A． B． C． D． 例20．已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 【跟踪练习】 练习1．设，若，则实数的取值集合为 . 练习2．已知全集，集合，， (1)分别求； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 练习3．已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 练习4．已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 重难点11集合的新定义 【解题必备】解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点: （1）紧扣新定义。首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在； （2）用好集合的性质。解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质。 例21．已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例22．定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 . 【跟踪练习】 练习1．定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 练习2．（多选）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（    ） A．， B．， C． D． 练习3．设、是非空集合，定义且.已知，，则 . 练习4．对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为 ，的“大和数”为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第01讲 集合 一、元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． 一、集合的基本概念 1．元素与集合的关系： 若属于集合，则记作； 若不属于集合，则记作； 2．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 3．空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 4．常用数集及其记法： 集合 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 或 5．集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. 二、集合间的基本关系 文字语言 符号语言 图示 基本关系[来源:学科网ZXXK] 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素[来源:Zxxk.Com] 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 且 必记结论： （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 三、集合的基本运算 运算 文字语言 符号表示 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 重难点01集合中的元素 【解题必备】判断元素与集合关系的2种方法： （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 例1．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，因为，所以 所以，故A错误，B正确； 所以，故C错误； 所以，故D错误； 故选：B． 例2．已知，则集合中所有元素的和为 ． 【答案】 【详解】由于，所以，解得， 所以，故和， 因此集合中所有元素的和为， 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．用符号“”或“”填空． （1）0 ；                   （2） ； （3） ； （4）2017 ； 【答案】 【详解】（1）空集不含任何元素，故； （2）因为，所以； （3）因为，所以； （4）因为，所以2017. 故答案为：；；； 练习2．已知集合，则集合中全部元素之和为 ． 【答案】 【详解】 ，所以，即. 故集合A中全部元素之和为 故答案为:. 练习3．若集合，，则中元素的最大值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 【答案】C 【详解】由题意， . 故选：C 练习4．若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 重难点02根据集合的元素特征求参数 【解题必备】应用集合元素的特性解题的要点： （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么． （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，而且是互不相同的(互异性)，在书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 例3．设集合，若，则的值的集合为 . 【答案】 【详解】若，即时，，不满足互异性， 若，即或时，同理可验证时不满足互异性，成立， 若，即或，验证都不满足互异性. 综上，. 故答案为： 例4．集合 (1)若A是空集，求a的取值范围． (2)若A中至多一个元素，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由A是空集可知方程无解， 若，则方程必有解，不合题意； 若，由方程无解可得， 解得； 即a的取值范围为. （2）由A中至多一个元素可知方程至多一个实数根， 若，则方程有一解，符合题意； 若，则方程至多一个实数根， 即可得，解得； 综上可得，a的取值范围为或 【跟踪练习】 练习1．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则中元素个数为 ． 【答案】3 【详解】当都为正数时，， 当中有两个正数时，不妨设，则 ， 当中有一个正数时，不妨设，则 ， 当都为负数时，， 所以， 所以M中元素个数为3． 故答案为：3 练习2．（多选）关于的方程的解集是单元素集，则的可能值是（    ） A．0 B．27 C．2 D． 【答案】BD 【详解】由，得，即， 因为方程的解集为单元素集， 所以，或方程有一个根为3， 当时，得，此时方程的解为，符合题意， 当方程有一个根为3时，得，此时方程为， ，解得（舍去），或，符合题意， 综上，或， 故选：BD. 练习3．（多选）由，，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】ABD 【详解】当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，A错； 当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，B错； 当时，对应的值分别为，元素满足的互异性，能构成集合，C对； 当时，对应的值分别为，元素不满足互异性，不能构成集合，D错. 故选：ABD 练习4．已知集合，且，则实数的值为 . 【答案】或0. 【详解】若，则或 当时，，符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性，舍去 若，则或 当时，，符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性，舍去； 故答案为：或0. 【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系，检验集合元素的互异性排除不符合答案是解题的关键，属基础题. 重难点03子集及子集个数 【解题必备】集合与集合子集关系的判断： 正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举 例5．已知集合，，则集合的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【详解】通过列举，可知集合，含3个元素， 则集合的子集的个数为． 故选：B． 例6．（多选）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 【答案】AC 【详解】由题意得，，又. 所以，，故A正确； 当时，不满足，B错误， 集合的个数等价于集合的非空子集的个数， 所以集合的个数为，故C正确，D错误， 故选：AC. 【跟踪练习】 练习1．满足集合为的子集且的集合的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】C 【详解】因为集合， 则集合可以为,，，，，，， 共8个， 故选：C 练习2．设集合，则集合的真子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【详解】由且可知，可以取，则可取， 即，故集合的真子集个数为. 故选：C. 练习3．若集合，当时，集合的非空真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】C 【详解】根据题意，当时， 集合， 集合中有3个元素，所以集合的非空真子集个数为. 故选：C 练习4．已知集合的所有非空真子集的元素之和为2023，则 . 【答案】 【详解】因为集合的所有非空真子集为： ， ， 所以有. 故答案为：289 重难点04利用子集关系求参数 【解题必备】由集合间的关系求参数的2种方法： （1）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点． （2）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 例7．已知集合，集合.若集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，集合， 若集合，则. 故选：A. 例8．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 【跟踪练习】 练习1．设集合，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由已知得，若，解得，此时,，,1,，成立； 若，解得，此时,，,,，不成立； 若，解得，此时,，,3,，不成立； 综上所述：． 故选：B． 练习2．已知集合，且，则（    ） A．8或20 B．8或-20 C．或20 D．或 【答案】A 【详解】由题意得， 若中只有1个元素，则，且，解得， 当时，，此时， 当时，，此时， 若中有2个元素，则，则， 所以为方程的两根，故， 解得，满足，故， 所以或20. 故选：A 练习3．已知集合，，若，则由的值构成的集合为 . 【答案】 【详解】因为集合， 因为，当时，， 当时，即时，令，解得，则或， 则对应实数的值为，综上，由的值构成的集合为. 故答案为：. 练习4．已知集合，且，且.求实数k的取值范围. 【答案】 【详解】因为， 当，即时，，满足条件； 当，即时， 有，解得，此时； 综上所述，实数的取值范围为，故的范围为. 重难点05交集运算及求参 【解题必备】求集合运算中参数的值或取值范围的解题思路如下: ①将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系。 ②将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解或解集。 例9．设集合，若，则（    ） A． B．0 C．2 D． 【答案】C 【详解】集合，而，则， 经验证符合题意，所以. 故选：C 例10．（多选）若集合，，满足，则实数的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】BCD 【详解】因为，所以， 因为， 所以当时，，满足，即符合题意； 当时，，要满足，则有或，解得或； 综上所述，的值可能是. 故选：BCD. 【跟踪练习】 练习1．集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，其表示所有的奇数， 则. 故选：A. 练习2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 所以， 所以. 故选：A. 练习3．已知集合，若中只有1个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，得，且，所以， 因为，且中只有1个元素， 所以. 故选：B 练习4．设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 代入，可得， 所以方程变为，可解得或3， 所以， 故选：C. 重难点06并集运算及求参 例11．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得到或，所以， 又由，得到，所以，得到， 故选：A. 例12．已知集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，解得． 所以，实数的取值范围是. 故选：D. 【跟踪练习】 练习1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 练习2．（1）集合，或， ； （2）集合，，则 ． 【答案】 【详解】（1），或， . （2）为偶数集，为奇数集， 为全体整数，即， 故答案为：；． 练习3．设集合，．若；则a= ． 【答案】2 【详解】因为，， 所以， 所以是整数，且，再由集合中元素的互异性知，，． 所以a是整数，且，，，得． 当时，，，故，满足条件． 故答案为：2． 练习4．设集合,. (1)若，判断集合A与B的关系； (2)若，求实数的取值集合. 【答案】(1)是的真子集 (2) 【详解】（1）， 时，， 故是真的子集 （2），故， 当时，，满足要求， 当时，若时，，解得， 若时，，解得， 故实数的取值集合为. 重难点07补集运算及求参 例13．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由补集定义知：. 故选：C. 例14．设全集，集合满足，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得. 故选：A. 【跟踪练习】 练习1．已知全集，，则 ． 【答案】 【详解】，且， 当时，，故． 故答案为： 练习2．设全集，集合，若，则实数 ． 【答案】－3 【详解】因为，故，即，故，解得或； 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件； 故. 故答案为： 练习3．设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 【答案】D 【详解】因为，所以，且． 由题意得，，且，，，． 若，则，不满足，不符合题意； 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，，符合题意． 故选：D． 练习4．（多选）已知全集，，且中有6个元素，则实数的值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】AD 【详解】对于A中，当时，， 满足且中有6个元素，所以A正确； 对于B中，当时，，集合中无整数解，不符合题意； 对于C中，当时，，集合中无整数解，不符合题意； 对于D中，当时，， 满足且中有6个元素，所以D正确. 故选：AD. 重难点08集合的混合运算及求参 例15．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】,则.则. 故选：A. 例16．已知全集 . (1)求集合； (2)若集合，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）， 所以，； （2）由（1）得， 又，所以， 所以，得. 【跟踪练习】 练习1．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为，， 所以，所以，所以A错误， 对于B，因为，所以或， 因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以或，所以C错误， 对于D，因为，所以， 因为，所以，所以D正确. 故选：D 练习2．（多选）已知集合，，且．集合为的取值组成的集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为,所以， 因为，所以， 所以且, 所以,, 所以. 故选：ACD. 练习3．设全集，求，， . 【答案】，，， 【详解】依题意，，， 又，故， 又，故. 练习4．已知全集，集合. (1)求； (2)已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）全集，集合， ∴； （2）∵或， 又集合，且， ∴，解得， ∴实数的取值范围是． 重难点09韦恩图的应用 【解题必备】判断元素与集合关系的2种方法： （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 例17．如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在阴影部分区域内任取一个元素x ， 则 且，即且 ， 所以，阴影部分可表示为. 故选：D. 例18．已知为全集的非空真子集，且不相等，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，等价于，等价于， 且不相等，可知集合是集合的真子集，故A错误； 且，故B正确； 据此作出韦恩图， 可知，，故CD错误； 故选：B. 【跟踪练习】 练习1．已知M，N均为R的子集，且，则为（    ） A．M B．N C． D．R 【答案】A 【详解】因为M，N均为R的子集，且，作出韦恩图， 由韦恩图可知：. 故选：A. 练习2．（多选）若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由，可得，所以B正确； 如图所示，由，可得A错误，C正确； 又由，所以D错误. 故选：BC. 练习3．（多选）已知全集，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】依题意，图中阴影部分在集合中，不在集合中， 因此该阴影部分表示的集合为或，AC正确，BD错误. 故选：AC 练习4．如图所示，集合是全集，圆表示集合的子集，请将图中所示的阴影区域用集合之间的运算表示为 . 【答案】 【详解】由韦恩图可得，图中所示的阴影区域为的补集与的交集，即图中所示的阴影区域用集合之间的运算表示为. 故答案为： 重难点10集合中的分类讨论 【解题必备】常见的分类讨论情况 （1）若最高次系数含参时，需要讨论系数是否为0； （2）若，且集合中含参数，需讨论集合是否为； （3）若，且集合中含参数，需讨论集合是否为 例19．若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，故符合题意； 当时，由题意，解得，符合题意， 满足题意的值的集合是. 故选：D. 例20．已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）时，知： 当时，得； 当时，或， 解得； 综上，∴的取值范围为； （2）因为，所以，所以， 当时，得； 当时，解得； 综上可得，即m的取值范围是； 【跟踪练习】 练习1．设，若，则实数的取值集合为 . 【答案】 【详解】由可得, 由于,故, 因此， ， ， 故实数的取值集合为， 故答案为： 练习2．已知全集，集合，， (1)分别求； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) (3) 【详解】（1）集合 或， 或 （2）， ①当时，， ②当时，则， 解得， 综上所述，的取值范围为； （3）若， ①当时，， ②当时，或， 或， 综上所述，若，则的取值范围为， 所以若，则的取值范围． 练习3．已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）， ∵，∴． ∴，且 即，∴ （2）∵，∴ 若，即，则． 若为单元素集，即，则． 当时，，满足． 当时，，不满足． 若，则由韦达定理知，无解， 综上的取值范围为． 练习4．已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 重难点11集合的新定义 【解题必备】解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点: （1）紧扣新定义。首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在； （2）用好集合的性质。解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质。 例21．已知A、B为非空数集，为平面上的一些点构成的集合，集合，集合，给定下列四个命题，其中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】设，， 若，此时，，B错误； 若，此时，，错误，A错误； 若，则,则， 且，若，真包含A,故D正确，C错误. 故选：D． 例22．定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 . 【答案】 【详解】，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 所以，所以集合中所有元素之和为. 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以或 所以或，或 所以或，， 代入验证得点在该直线上， 故. 故选：D. 练习2．（多选）已知，如果实数满足对任意的，都存在，使得，则称为集合的“开点”，则下列集合中以0为“开点”的集合有（    ） A．， B．， C． D． 【答案】AC 【详解】对于，对任意的，存在，使得，故正确； 对于，假设集合，以0为“开点“，则对任意的，存在，， 使得，当时，该式不成立，故错误； 对于，假设集合以0为“开点“，则对任意的，存在， 使得，故正确； 对于，集合，，，当时，， 时，使得不成立，故错误． 故选：． 练习3．设、是非空集合，定义且.已知，，则 . 【答案】或 【详解】∵、是非空集合，且， 而，，∴，， 故或. 故答案为：或. 练习4．对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为 ，的“大和数”为 ． 【答案】 【详解】根据题意，的“小和数”为， 集合共有11个元素，则一共有个子集， 对于任意一个子集，总能找到一个子集，使得，， 且无重复，则与的“小和数”之和为的“小和数”， 这样的子集对共有个， 其中当时，，则子集对有， 则的“大和数”为. 故答案为：； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$