精品解析：山东省德州市第九中学2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题

24-25学年德州市第九中学九年级数学开学测试 一、选择题：每小题4分，共40分． 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行四边形 中，， ．以点 为圆心，任意长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ，分别以 ， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 并延长，交 于点 ，连接 ，恰好有，则 的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 3. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 4. 如图，在中，，将 绕点C逆时针旋转得到连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A. B. C. D. 3 5. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至 处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索 的长是（ ） A. 3.4m B. 5m C. 4m D. 5.5m 7. 已知点、点在一次函数的图像上，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与，在同一平面直角坐标系中的图象应该是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（　　） A. 对称轴是直线x＝1 B. 当x＜0时，函数y随x增大而增大 C. 图象的顶点坐标是（1，4） D. 图象与x轴的另一个交点是（4，0） 10. 如图，在正方形 中， 为 上一点，，过点 作于 ，交 于为 的中点，若．则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题：每小题4分，共20分 11. 若都是实数，且，的值为______． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______． 13. 已知关于 的一次函数与的图像如图所示，则关于 的不等式的解集是_________． 14. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则乙到达终点时，甲离终点还有______米． 15. 如图，在平面直角坐标系中，长方形MNPQ的顶点M，N分别在 轴， 轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN＝4，PN＝2，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值是________． 三、解答题：共6小题，共60分． 16. 计算： （1）； （2） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 18. 某校开展了“预防溺水、珍爱生命”的安全知识竞赛．先从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成四组，A．，B．，C．，D．）． 部分信息如下： 七年级10名学生竞赛成绩：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99； 八年级10名学生竞赛成绩在C组中的数据：94，94，91． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 b 92.5 d 49 八年级 92 c 100 46.8 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）__________，__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生安全知识竞赛成绩更好？请说明理由； （3）若该校七、八年级共2160人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动获得优秀成绩的学生有多少人． 19. 为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年均载客量如表： A型 B型 价格（万元/辆） a b 年均载客量（万人/年/辆） 60 100 若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元 （1）求购买每辆A型公交车和每辆B型公交车分别多少万元？ （2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车年均载客总和不少于680万人次，有哪几种购车方案？请你设计一个方案，使得购车总费用最少． 20. 如图，矩形的对角线 、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接 、、 ． （1）求证:四边形 是菱形． （2）若，，则菱形 的面积为 ． 21. 如图1，函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称. （1）求直线 的函数解析式： （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线 于点 P，交直线 于点Q. ①若 的长为4，求点M的坐标； ②如图2，连接，在点M的运动过程中是否存在点 P，使 若存在，请求出点 P坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24-25学年德州市第九中学九年级数学开学测试 一、选择题：每小题4分，共40分． 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义， 熟练掌握定义是解题的关键．根据化成最简式后，且被开方数相同，判定计算即可． 【详解】解：A. ，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B. ，与不是同类二次根式，不能合并，符合题意； C. ，与是同类二次根式，能合并，符合题意； D. ，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，在平行四边形 中，， ．以点 为圆心，任意长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ，分别以 ， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 并延长，交 于点 ，连接 ，恰好有，则 的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图 作已知角的角平分线，平行四边形的性质，勾股定理等知识，利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到， ，接着证明，然后利用勾股定理计算 ． 【详解】解：由作法得 平分， ， 四边形 为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 3. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 4. 如图，在中，，将 绕点C逆时针旋转得到连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，含 角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边，判断出是解本题的关键．先根据含 角的直角三角形的性质求出 ，再由旋转的性质得出，进而判断出，得出，求和即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∴， 由旋转知，， ∵点，B，A在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟记相关结论即可．若一元二次方程的两个根为，则． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ． 故选：A． 6. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至 处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索 的长是（ ） A. 3.4m B. 5m C. 4m D. 5.5m 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设 的长为 ，则故，在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， ， 设 的长为，则 ∴ 在直角中， 又∵ 解得： 故选：A． 7. 已知点、点在一次函数的图像上，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围． 【详解】解： ∵点P（-1，y1）、点Q（3，y2）在一次函数y=（2m-1）x+2的图象上， ∴当-1＜3时，由题意可知y1＞y2， ∴y随x的增大而减小， ∴2m-1＜0，解得m＜， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，得出一次函数的增减性是解题的关键． 8. 一次函数与，在同一平面直角坐标系中的图象应该是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象和性质，采用数形结合的思想是解决本题的关键．首先根据每个函数图象所在的象限，分别确定出各自a、b的符号，再根据各自a、b的符号是否相同逐项判定即可． 【详解】解：A．函数的图象经过第一、二、三象限，则 ， ， 函数的图象经过第一、二、四象限，则， ，故该选项错误； B．函数的图象经过第一、二、四象限，则 ， ， 函数的图象经过第一、三象限且经过原点，则， ，故该选项错误； C．函数的图象经过第一、二、四象限，则 ， ， 函数的图象经过第第一、二、三象限，则 ， ，故该选项错误； D．函数的图象经过第一、三、四象限，则 ，， 函数的图象经过第一、二、四象限，则， ，故该选项正确； 故选：D． 9. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是（　　） A. 对称轴是直线x＝1 B. 当x＜0时，函数y随x增大而增大 C. 图象的顶点坐标是（1，4） D. 图象与x轴的另一个交点是（4，0） 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数的图像与性质，判断选项的正误即可. 【详解】由函数图像可知，对称轴是直线x＝1故选项A正确； 当x＜0时，函数y随x增大而增大，故选项B正确； 图象的顶点坐标是（1，4），故选项C正确； 图象与x轴的另一个交点是（3，0），故选项D错误. 故选D 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握性质是解题的关键. 10. 如图，在正方形 中， 为 上一点，，过点 作于 ，交 于为 的中点，若．则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 根据正方形的性质可证，可得，根据题意可算出的值，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形 是正方形，，， ∴， ∴，则， 在直角中，， 在直角中，， ∵， ∴， 在直角中，点是 的中点， ∴，   故选：B ． 二、填空题：每小题4分，共20分 11. 若都是实数，且，的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，由题意得：，，从而得出 代入式子求得，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得： ， 将 代入得：， ， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横坐标和纵坐标都互为相反数，即可求出m、n的值，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为： ． 13. 已知关于 的一次函数与的图像如图所示，则关于 的不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】写出一次函数y1＝k1x的图象在y2＝k2x＋b的图象上方且都在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可得，关于 的不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标的取值范围． 14. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则乙到达终点时，甲离终点还有______米． 【答案】360 【解析】 【分析】设甲的速度为v1米/分钟，乙的速度为v2米/分钟，根据图象的信息科求出甲乙两人的速度，以及相遇所需要的时间，从而可求出答案． 【详解】解：设甲的速度为v1米/分钟，乙的速度为v2米/分钟， ∴v1＝＝60米/分钟， 由图象可知：乙追上甲需要12分钟， ∴12v2＝240+12×60， ∴v2＝80米/分钟， ∴此时乙共走了12×80＝960米， ∴乙离终点还有2400﹣960＝1440米， ∴乙到达终点时需要的时间为：＝18分钟， ∴甲离终点还有1440﹣18×60＝360米， 故答案为：360． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，准确计算是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，长方形MNPQ的顶点M，N分别在 轴， 轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN＝4，PN＝2，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】取MN的中点E，连接OE，PE，OP，根据勾股定理和矩形的性质解答即可． 【详解】解：如图，取MN的中点E，连接OE，PE，OP， ∵∠MON=90°， ∴Rt△MON中，OE=MN=2， 又∵∠MQP=90°，MN=4，PN=2，NE=2， ∴Rt△PNE中，， 又∵OP≤PE+OE=， ∴OP的最大值为， 即点P到原点O距离的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线定理，两点之间线段最短，解题关键是根据矩形的性质和勾股定理解答． 三、解答题：共6小题，共60分． 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，注意计算的准确性． （1）根据二次根式的混合运算法则即可求解； （2）计算完全平方公式、多项式乘多项式即可求解； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1）-2；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据判别式即可求出m的取值范围，进而得到答案； （2）根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意得，解得， ∴m的最小整数值为 ； （2）根据题意得， ∵， ∴， ∴，整理得，解得， ∵， ∴m的值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键． 18. 某校开展了“预防溺水、珍爱生命”的安全知识竞赛．先从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成四组，A．，B．，C．，D．）． 部分信息如下： 七年级10名学生竞赛成绩：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99； 八年级10名学生竞赛成绩在C组中的数据：94，94，91． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 b 92.5 d 49 八年级 92 c 100 46.8 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）__________，__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生安全知识竞赛成绩更好？请说明理由； （3）若该校七、八年级共2160人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动获得优秀成绩的学生有多少人． 【答案】（1），，， （2） 八年级学生成绩更好， 理由如下：八年级学生成绩的中位数、众数都比七年级的高，而方差比七年级的小，成绩比七年级稳定； （3）864人 【解析】 【分析】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． （1）根据平均数、中位数和众数的定义即可得到结论； （2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级，于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：， （分）， ∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数， A、B两组共有（人）， （分）； ∵在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多， ； 故答案为：，，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： （人）， 答：估计参加此次竞赛活动获得优秀成绩的学生约有864人． 19. 为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年均载客量如表： A型 B型 价格（万元/辆） a b 年均载客量（万人/年/辆） 60 100 若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元 （1）求购买每辆A型公交车和每辆B型公交车分别多少万元？ （2）如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车年均载客总和不少于680万人次，有哪几种购车方案？请你设计一个方案，使得购车总费用最少． 【答案】（1）购买每辆A型公交车100万元，购买每辆B型公交车150万元；（2）购买A型公交车8辆时，购车的总费用最小，为1100万元． 【解析】 【分析】（1）根据“购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列方程组求解可得； （2）设购买A型公交车x辆，则购买B型公交车（10-x）辆，根据“总费用不超过1200万元、年均载客总和不少于680万人次”求得x的范围，设购车的总费用为W，列出W关于x的函数解析式，利用一次函数的性质求解可得． 【详解】(1)根据题意,得： 解得： 答：购买每辆A型公交车100万元，购买每辆B型公交车150万元； (2)设购买A型公交车x辆,则购买B型公交车(10−x)辆， 根据题意得： 解得： 设购车的总费用为W， 则W=100x+150(10−x)=−50x+1500， ∵W随x的增大而减小， ∴当x=8时，W取得最小值，最小值为1100万元． 【点睛】考查二元一次方程组，一元一次不等式组以及一次函数的应用，读懂题意，找到题目中的等量关系或者不等关系是解题的关键. 20. 如图，矩形的对角线 、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接 、、 ． （1）求证:四边形 是菱形． （2）若，，则菱形 的面积为 ． 【答案】（1）证明： ， ∴四边形 是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形 是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识； 熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键. （1）先由对角线互相平分的四边形 是平行四边形，再由矩形的性质得出即可得出结论； （2）由矩形的性质得出由菱形的性质得出，的长，然后由菱形的面积公式即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ， ∵四边形 是菱形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为： ． 21. 如图1，函数 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称. （1）求直线 的函数解析式： （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线 于点 P，交直线 于点Q. ①若 的长为4，求点M的坐标； ②如图2，连接，在点M的运动过程中是否存在点 P，使 若存在，请求出点 P坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）直线 的解析式为； （2）①点M的坐标为或；②点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线解析式； （2）①先表示出 ，根据题意列式计算即可得出结论； ②分点M在y轴左侧和右侧，由对称得出，可得当时，利用勾股定理建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， 当 时，， 解得：， ∴点，， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴点， 设直线 的解析式为， ∴，解得：， ∴直线 的解析式为； 【小问2详解】 解：①设，则点，， 则， ∵ 的长为4， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为或； ②如图，当点M在y轴的左侧时， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，，， ∴， 解得：， ∴， 当点M在y轴的右侧时， 同理可得， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $