综合质量评估卷(一)-【高考总复习】2025年高考数学一轮达标测试卷

综合质量评估卷(一) 1.B　根据A＝{0，1，2}，A∪B＝{0，1，2，3}可得B是集合{0，1，2，3}的子集，且3∈B； 当B＝{3}时，满足题意. 若B＝{3}，则0∉B，故A错误； 若B＝{3}，则3∈B，所以3∉∁RB，故B正确； 若B＝{3}，则A∩B＝∅，故C错误； 若B＝{3}，则A⃘B，故D错误. 故选B. 2.C　a·＝a2＋a·b＝1＋1×2×cos ＝1－1＝0.故选C. 3.C　因为sin2α－2sin αcos α＝0，所以sin α(sin α－2cos α)＝0，即sin α－2cos α＝0或sin α＝0，所以tan α＝2或tan α＝0，故“sin2α－2sin αcos α＝0是“tan α＝2”的必要不充分条件.故选C. 4.C　9910＝(100－1)10＝(1－100)10＝1－C×100＋C×1002－…＋10010， 所以展开式中从第二项开始都是1 000的倍数，因此9910被1 000除的余数是1. 故选C. 5.B　设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－2|＝|x－2＋yi|＝＝1，所以(x－2)2＋y2＝1，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：(x－2)2＋y2＝1，如图， 又|z－i|＝ |x＋(y－1)i|＝， 所以|z－i|表示圆C上的动点到定点A(0，1)的距离， 所以|z－i|的最小值为|CA|－1＝－1， 故选B. 6.C　如图，取BC的中点M，连接FM，连接AC交GF于N. 由题意知FM⊥BC，设∠FCB＝θ， 在直角三角形CFM中，CF＝. 在直角三角形CFN中，＝sin， 即＝sin， 所以cos θ＝sin＝cos θ－sin θ， 化简得sin θ＝cos θ， 结合sin2θ＋cos2θ＝1，0<θ<，解得cos θ＝， 所以CF＝＝， CN＝＝2. 过点P作PO⊥平面EFGH，连接ON， 如图，则正四棱锥P­EFGH的高PO＝＝＝，所以正四棱锥P­EFGH的体积V＝SEFGH·PO＝·22·＝. 故选C. 7.B　设甲组数据的平均数为x1，方差为s， 乙组数据的平均数为x2，方差为s， 混合后的新数据的平均数为x，方差为s2， 则x1＝3，s＝5. 对于A，新的一组数据平均数x＝×3＋×3＝3，A正确； 对于B，由于不能确定乙组数据的平均数，故由公式s2＝＋可知无法确定新的一组数据方差，B错误； 对于C，因为乙组数据的平均数为3，方差为5，即x2＝3，s＝5，所以x＝×3＋×3＝3， 所以s2＝＋＝＋＝5，C正确； 对于D，因为乙组数据的平均数为5，方差为3，即x2＝5，s＝3，所以x＝×3＋×5＝4， 所以s2＝＋＝＋＝5，D正确.故选B. 8.D　已知a，b，c均为正实数，a＝bec，|ln a|>|ln b|，当b＝1，c＝1时，a＝e，满足|ln a|＝1>|ln b|＝0成立， 对于A，a＋b＝e＋1>ab＝e，故A错误； 对于B，ab＝e>ba＝1，故B错误； 对于C，c＝1>＝，故C错误； 对于D，由已知a＝bec>be0＝b，则ln a－ln b>0. 由|ln a|>|ln b|，则2－2>0， 所以ln a＋ln b>0，即ab>1，得b>，a＝bec>ec，即a2>ec. 下面证明ec>c＋1，c>0. 设f(c)＝ec－c－1，f′(c)＝ec－1>0，所以f(c)在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以f(c)＝ec－c－1>f(0)＝e0－1＝0，即ec>c＋1. 所以a2>c＋1，故D正确.故选D. 9.BC　由函数解析式可知，a是不变号零点，b是变号零点， A.由图可知，变号零点是0，则b＝0，则f(x)＝0，不成立，故A错误； B.由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则b<0，a＝0，此时f(x)＝bx2，当x<b时，f(x)>0，当b<x<0时，f(x)<0，当x>0时，f(x)<0，满足图象，故B正确； C.由图可知，b>a>0，f(x)＝b2，当x<a时，f(x)<0，当a<x<b时，f(x)<0，当x>b时，f(x)>0，满足图象，故C正确； D.由图可知，a<b<0，f(x)＝b2，当x<a时，f(x)>0，与图象不符，所以D错误.故选BC. 10.BC　对于A：由kx－y＋2k＝0可得y＝k(x＋2)，过定点P(－2，0)，A错误；对于B：直线l到原点的距离即原点到直线l的距离，过原点作OM⊥直线l于点M(图略)，因为|OM|≤|OP|，所以直线l到原点距离的最大值即为原点到定点P的距离2，B正确；对于C：圆O的半径为4，因为|OP|＝2＜4，故P(－2，0)在圆内，故直线l与圆O相交，C正确；对于D：若k＝－1，则直线l的方程为x＋y＋2＝0，所以圆心O到直线l的距离为＝，所以直线l被圆O截得弦长为2＝2，D错误.故选BC. 11.ABD　对于A，如图，设E为C1D1中点，F为B1C1中点，连接EF，DE，BF， 由图可知，EC1∥DC，FC1∥BC，且EC1＝DC，FC1＝BC， 设DE∩CC1＝G，BF∩CC1＝H，则C1G＝C1H＝CC1⇒G，H重合，即DE与BF相交，故A错误； 对于B，因为AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°， 所以2＝2＝2＝1， ·＝·＝·＝1×1×cos 60°＝， 所以||2＝2＝(＋－)2＝2＋2＋2＋2·－2·－2·＝1＋1＋1＋1－1－1＝2， 所以||＝，故B错误； 因为M为AA1中点，连接AC交BD于点O， 再连接OM，BM，DM， 则在△ACA1中，A1C∥OM， A1C⊄平面BDM，OM⊂平面BDM， 所以A1C∥平面BDM，C正确； 对于D：在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中， 四边形ABCD是菱形，则AC⊥BD， 又·＝·＝·－·＝0， 所以BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACA1，所以BD⊥平面ACA1， 又因为BD⊂平面ABCD， 所以平面ACA1⊥平面ABCD， 过点A1作A1P⊥AC于点P， 平面ACA1∩平面ABCD＝AC， A1P⊂平面ACA1，所以A1P⊥平面ABCD， 所以直线A1C与平面ABCD所成角为∠A1CA， ＝＋，||＝＝，所以||2＋||2＝||2， 所以AA1⊥A1C，所以sin∠A1CA＝＝，故D错误；故选ABD. 12.解析　由f(x)＝ex得f′(x)＝ex，设切点坐标为， 则解得故答案为. 答案　 13.解析　由随机抽样的概率可知，＝， 解得m＋n＝9，且＝，得mn＝20，且m>n，解得m＝5，n＝4，所以＝. 由题意得ξ可能的取值为0，1，2， P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 答案　　 14.解析　设M，N，P，其中x0＝－1，显然点P在椭圆内， 记坐标原点为O，直线l，OP，PQ的斜率分别为kMN，kOP，kPQ，易知三条直线斜率均存在， 又两式相减整理可得－＝＝·kMN，即kMN·kOP＝－，又kMN·kPQ＝－1，所以两式相比可得＝，即＝，代入x0＝－1，整理可得＝，所以离心率e＝＝＝.故答案为. 答案　 15.解析　(1)由题意可得：甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂果， 所以甲购买一盒猕猴桃的概率P＝1－0.2×＝0.96. (2)用“√”表示购买，“×”表示不购买，乙第5周购买有如下可能： 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 √ √ √ √ √ √ × √ √ √ √ √ × √ √ √ × √ × √ √ √ √ × √ 故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率P＝4＋0.2×0.8×0.8＋0.8×0.2×0.8＋0.2×0.2＋0.8×0.8×0.2＝0.833 6. 16.解析　(1)因为动圆M与圆E：(x＋)2＋y2＝和圆F：(x－)2＋y2＝都外切，设动圆M的半径为r，则|ME|＝r＋，|MF|＝r＋， 所以|ME|－|MF|＝4<|EF|， 所以圆心M的轨迹是以(－，0)，(，0)为焦点，2a＝4的双曲线的右支，即圆心M的轨迹方程C为－＝1(x≥2). (2)设P(x，y)，A(8，0)， 则＝(x－8，y)，＝(x，y)， 所以·＝(x－8)x＋y2，且－＝1(x≥2)， 所以·＝x2－8x＋3＝x2－8x－3(x≥2)，当x＝时，(·)min＝－. 17.(1)证明　因为PA垂直于圆O所在的平面， 即PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC， 又因为AC为圆O的直径，所以BC⊥AB， PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB，AN⊂平面PAB， 所以BC⊥AN， 又因为AN⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC， 所以AN⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， 所以AN⊥PC， 又因为AS⊥PC，AS∩AN＝A，AS，AN⊂平面ASN， 所以PC⊥平面ASN，SN⊂平面ASN， 所以PC⊥SN， 所以∠ASN是二面角A­PC­B的平面角. (2)解析　设AC＝2a，因为∠ACB＝30°，∠PCA＝45°， 所以AB＝a，PA＝2a，BC＝a， 过点B作AP的平行线为z轴，并以BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建系如图， 则A(0，a，0)，B(0，0，0)，C(a，0，0)，P(0，a，2a)， 设平面APC的法向量为m＝(x，y，z)， ＝(0，0，2a)，＝(a，－a，0)， 所以令x＝1，则y＝，z＝0， 所以m＝(1，，0)， 设平面PBC的法向量为n＝(x1，y1，z1)， ＝(a，0，0)，＝(0，a，2a)， 所以令y1＝2， 则x1＝0，z1＝－1，所以n＝(0，2，－1)， 设二面角A­PC­B的大小为θ，则 |cos θ|＝|cos〈m，n〉|＝＝＝， 所以sin θ＝＝. 18.解析　(1)T＝π＝⇒ω＝2， 当x＝时，sin＝0⇒＋φ＝kπ， 因为0<φ<π，取φ＝， 所以f(x)＝sin＝cos 2x， 将函数f(x)图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y＝cos x，再将所得图象向右平移个单位长度后，得到g(x)＝cos＝sin x. (2)由(1)得F(x)＝cos 2x－asin x＝－2sin2x－asin x＋1，x∈， 令2sin2x＋asin x－1＝0，不妨设sin x＝t1或sin x＝t2，显然t1≠0，t2≠0， 若sin x∈且sin x≠0，则F(x)在上必有偶数个零点， 所以t1，t2中至少有一个为1或－1， 不妨设sin x＝t1＝1或－1， 当t1＝1时，则a＝－1⇒t2＝－， 此时F(x)在(0，π)上有1个零点，在(π，2π)上有2个零点，即F(x)在上有3个零点，如图所示， 又2 023＝674×3＋1，所以只需nπ＝674×2π＋π＝1 349π即可满足题意； 当t1＝－1时，则a＝1⇒t2＝， 此时F(x)在(0，π)上有2个零点，在(π，2π)上有1个零点，即F(x)在上有3个零点，如图所示， 又2 023＝674×3＋1，当n＝1 348时，F(x)在(0，1 348π)上有2 022个零点，当n＝1 349时，增加2个零点，即F(x)在(0，1 349π)上有2 024个零点，故a＝1不符合题意. 综上所述，a＝－1，n＝1 349. 19.(1)解析　由题意可得：a1＝4，a2＝3，a3＝2，a4＝1，a5＝0，a6＝1，a7＝2，a8＝3，a9＝4，如果p＝4，则有： ①2p＝8<9； ②对于任意n∈[1，4]，存在k＝10－n∈[6，9]，满足an＝ak； 故4为映射焦点. 如果p＝5，则2p＝10>9，故5不是映射焦点. (2)证明　当p≤4时，则有： ①2p≤8<N； ②对于任意n∈[1，p]，存在k＝∈N*，且k＝∈[p，N]，满足an＝a＝log26－log2n. 故p≤4均为映射焦点； 当p＝5时，则有： ①2p≤10<N； ②取n＝5∈[1，5]，令ak＝a5， 则|log2k－log26|＝log26－log25， 解得k＝或k＝5， 但k＝∉N*，k＝5∉[6，N]， 即不存在k∈[6，N]，满足ak＝a5； 故5不是映射焦点； ∵an＝|log2n－log26|＝log2n－log26当n≥6时为递增数列，故当p≥6时，不存在k∈[p＋1，N]，满足ak＝ap， 故p≥6均不是映射焦点. 综上所述，p的最大值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 综合质量评估卷(一) (本卷满分150分　考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A＝{0，1，2}，A∪B＝{0，1，2，3}, 则选项正确的是(　　) A.0∈B　　　　　　 B.3∉∁RB C.A∩B＝{0，1，2} D.A⊆B 2.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝，则a·＝(　　) A.－2 B.－1 C.0 D.2 3.“sin2α－2sin αcos α＝0”是“tan α＝2”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.9910被1 000除的余数是(　　) A.－1 B.－99 C.1 D.901 5.复平面内复数z满足|z－2|＝1，则|z－i|的最小值为(　　) A.1 B.－1 C.＋1 D.3 6.如图，大正方形的中心与小正方形的中心重合，且大正方形边长为3，小正方形边长为2，截去图中阴影部分后，翻折得到正四棱锥P­EFGH(A，B，C，D四点重合于点P)，则此四棱锥的体积为(　　) A. B. C. D. 7.现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据满足如下条件时，若将这两组数据混合成一组，则关于新的一组数据说法错误的是(　　) A.若乙组数据的平均数为3，则新的一组数据平均数为3 B.若乙组数据的方差为5，则新的一组数据方差为5 C.若乙组数据的平均数为3，方差为5，则新的一组数据方差为5 D.若乙组数据的平均数为5，方差为3，则新的一组数据方差为5 8.已知a，b，c均为正实数，e为自然对数的底数，若a＝bec，|ln a|>|ln b|，则下列不等式一定成立的是(　　) A.a＋b<ab B.ab<ba C.c< D.a2>c＋1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.函数f(x)＝b(x－a)2(x－b)的图象可以是(　　) 10.已知直线l：kx－y＋2k＝0和圆O：x2＋y2＝16，则(　　) A.直线恒过定点(2，0) B.直线l到原点距离的最大值为2 C.直线l与圆O相交 D.若k＝－1，直线l被圆O截得弦长为4 11.在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，则下列说法错误的是(　　) A.E为C1D1中点，F为B1C1中点，则DE与BF为异面直线 B.线段A1C的长度为 C.M为AA1中点，则A1C∥平面BDM D.直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数f(x)＝ex的图象与直线y＝kx＋2k相切，则k＝________. 13.某校有m名男教师和n名女教师(m>n)，从中任取两名教师去西部支教，甲被抽中的概率为，一名男教师和一名女教师被抽中的概率为，则＝________，记去支教的教师中男教师的人数是ξ，则E(ξ)＝________. 14.已知直线l与椭圆E：＋＝1(a>b>0)交于M，N两点，线段MN中点P在直线x＝－1上，且线段MN的垂直平分线交x轴于点Q，则椭圆E的离心率是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加.在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2. (1)顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率； (2)顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率. 16.(15分)在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M与圆E：(x＋)2＋y2＝和圆F：(x－)2＋y2＝都外切. (1)求圆心M的轨迹方程C； (2)已知点O为原点，点A(8，0)，点P是曲线C上任意一点，求·的最小值. 17.(15分)如图，AC为圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，连接PB，PC，AB，BC，作AS⊥PC于点S，AN⊥PB于点N. (1)求证：∠ASN是二面角A­PC­B的平面角； (2)若∠ACB＝30°，∠PCA＝45°，求二面角A­PC­B的正弦值. 18.(17分)已知函数f(x)＝sin(ω>0，0<φ<π)的周期为π，图象的一个对称中心为，将函数f(x)图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象. (1)求函数f(x)与g(x)的解析式； (2)求实数a与正整数n，使得F(x)＝f(x)－ag(x)在内恰有2 023个零点. 19.(17分)数列{an}项数为N，我们称p为{an}的“映射焦点”，如果p满足：①2p∈{2，4，…，N}；②对于任意n∈[1，p]，存在k∈[p＋1，N]，满足an＝ak，并将最小的k记作kn； (1)若N＝9，判断an＝|n－5|时，4是否为映射焦点？5是否为映射焦点？ (2)若N>40，an＝|log2n－log26|时，p是映射焦点，证明：p的最大值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $$