综合质量评估卷(二)-【高考总复习】2025年高考数学一轮达标测试卷

综合质量评估卷(二) (本卷满分150分　考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知数列，3，，，…，则是这个数列的第(　　) A.8项　　 B.7项　　 C.6项　 D.5项 2.已知复数z的共轭复数为，若zi＝2＋i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为(　　) A.－i B.i C.－ D. 3.如图，在平行四边形ABCD中，M是边CD的中点，N是AM的一个三等分点(|AN|<|NM|)，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A. B. C.－ D.－ 4.已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为104π，则其母线长为(　　) A.2 B.2 C. D. 5.回文数是指从左往右读与从右往左读都是一样的正整数，如323，5 445等，在所有小于200的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于5的概率为(　　) A. B. C. D. 6.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动.现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4 m，盛水筒M从点P0处开始运动， OP0与水平面所成的角为30°，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m)与时间t(单位： s)之间的函数关系式的图象可能是(　　) 7.已知函数f(x)＝x3＋x，且f(y2－2y)＋f(x2)≤0，则当x≥0时，的最大值为(　　) A. B.1 C. D.2 8.已知函数f(x)＝eax－2ln x－x2＋ax，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a5＝－4，S5＝－40，则(　　) A.a10＝6 B.S10＝－30 C.当且仅当n＝6时，Sn取得最小值 D.a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0 10.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列命题正确的是 (　　) A.AC⊥BD B.AC∥截面PQMN C.AC＝BD D.异面直线PM与BD所成的角为45° 11.已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A，B是抛物线上两点，则下列结论正确的是(　　) A.点F的坐标为(0，1) B.若A，F，B三点共线，则·＝3 C.若直线OA与OB的斜率之积为－，则直线AB过点F D.若|AB|＝6，则AB的中点到x轴距离的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(1＋x)4的展开式中x3的系数为12，则a＝________. 13.写出与两圆(x－1)2＋y2＝1，x2＋y2－10x＋6y＋18＝0均相切的一条直线方程为________________. 14.过点M的直线l交椭圆＋＝1于A，B两点，F为椭圆的右焦点，当△ABF的周长最大时，△ABF的面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin A－acos B＝0. (1)求角B； (2)若C>A，a＋c＝4且△ABC的面积为，求b的值. 16.(15分)如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，A1O⊥底面ABCD，AB＝2，AA1＝3. (1)证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D； (2)若∠BAD＝60°，求D点到平面B1BC的距离. 17.(15分)某次进口博览会共有145个国家、地区和国际组织参展，企业商业展延续食品及农产品、汽车、技术装备、消费品、医疗器械及医药保健、服务贸易六大展区设置.进口博览会的举办向世界展示了中国扩大开放的决心与自信、气魄与担当.为调查上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况，从上海各高校抽取400名学生进行问卷调查，得到部分数据如下表： 是否了解情况 性别 合计 男 女 了解 80 不了解 160 合计 200 400 (1)完成上述2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况是否与性别有关； (2)据调查，上海某高校学生会宣传部6人中有3人了解进口博览会展区设置情况，现从这6人中随机抽取4人参加进口博览会志愿服务，设抽取的人中了解进口博览会展区设置情况的人数为X，求X的分布列与数学期望. 参考公式：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. 参考数据： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18.(17分)在一张纸片上，画有一个半径为4的圆(圆心为M)和一个定点N，且MN＝2，若在圆上任取一点A，将纸片折叠使得A与N重合，得到折痕BC，直线BC与直线AM交于点P. (1)若以MN所在直线为y轴，MN的垂直平分线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程； (2)在(1)中点P的轨迹上任取一点D，以D点为切点作点P的轨迹的切线l，分别交直线y＝2x，y＝－2x于S，T两点，求证：△SOT的面积为定值，并求出该定值； (3)在(1)基础上，在直线y＝2x，y＝－2x上分别取点G，Q，当G，Q分别位于第一、二象限时，若＝λ，λ∈，求△GOQ面积的取值范围. 19.(17分)设函数f(x)的导函数为f′(x)，若不等式f(x)≥f′(x)对任意实数x恒成立，则称函数f(x)是“超导函数”. (1)请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明； (2)若函数g(x)与h(x)都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数F(x)＝g(x)h(x)是“超导函数”； (3)若函数y＝φ(x)是“超导函数”且方程φ(x)＝φ′(x)无实根，φ(1)＝e(e为自然对数的底数)，判断方程φ(－x－ln x)＝e－x－ln x的实数根的个数并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 综合质量评估卷(二) 1.B　数列，3，，，…可化为数列，，，，…，则数列的通项公式为an＝，当an＝＝时，6n－3＝39，解得n＝7，故是这个数列的第7项.故选B. 2.D　设z＝a＋bi，a，b∈R，则＝a－bi， ∵zi＝2＋i， ∴i＝2＋i，－b＋ai＝2a＋i， 即解得∴z＝－＋i， 故复数z的虚部为.故选D. 3.C　因为N是AM的一个三等分点(|AN|<|NM|)，所以＝.因为M是边CD的中点，所以＝＝.又＝－＝－＝－＝－＝－＋，所以λ＋μ＝－＋＝－.故选C. 4.B　依题意，圆台的体积V＝π·h＝·h＝104π，解得h＝6，故圆台的母线长l＝＝2， 故选B. 5.B　列出所有小于200的三位回文数如下：101，111，121，131，141，151，161，171，181，191共10个，从中任取两个数共有C＝45种情况， 其中两个回文数的三位数字之和均大于5有C＝15种情况，故所求概率为P＝＝. 故选B. 6.D　以O为圆心，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系： ∵∠xOP0＝30°＝， ∴OP在t内转过的角为t＝t， ∴以x轴正半轴为始边，以OP为终边的角为t－， ∴P点的纵坐标为4sin， ∴H与t之间的函数关系式为H＝4sin＋2， 当sin＝1时，Hmax＝4＋2＝6， 当sin＝－1时，Hmin＝－4＋2＝－2， 对A，B，由图象易知Hmax＝－Hmin，故A，B错误； 对C，Hmax<－Hmin，故C错误；对D，Hmax>－Hmin，故D正确.故选D. 7.B　因为f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1>0，故f(x)在R上单调递增.又因为f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝－x3－x＝－f(x)，故f(x)为奇函数.因为f(y2－2y)＋f(x2)≤0，所以f(y2－2y)≤－f(x2)＝f(－x2)，即y2－2y≤－x2，x2＋y2－2y≤0，故点(x，y)在以(0，1)为圆心，以1为半径的圆上及内部.又因为表示点(x，y)与点(－2，0)构成的直线的斜率，且x≥0，由图可知，当时，取最大值1.故选B. 8.A　f(x)>0等价于eax＋ax>x2＋2ln x＝e2ln x＋2ln x. 令函数g(x)＝ex＋x，则g′(x)＝ex＋1>0，故g(x)是增函数. 所以eax＋ax>e2ln x＋2ln x等价于ax>2ln x(x>0)，即a>. 令函数h(x)＝，则h′(x)＝. 当x∈时，h′(x)>0，h(x)单调递增； 当x∈时，h′(x)<0，h(x)单调递减. 所以h(x)max＝h＝，故实数a的取值范围为. 故选A. 9.AB　设数列{an}的公差为d，由a5＝－4，S5＝－40，得解得所以an＝2n－14，Sn＝＝n2－13n，则a10＝6，S10＝－30，A，B正确；令an＝2n－14≤0，得n≤7，且a7＝0，则n＝6或n＝7时，Sn取得最小值，C错误；因为a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝5a7＝0，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝6≠0，D错误.故选AB. 10.ABD　因为截面PQMN是正方形， 所以PQ∥MN，PN∥QM， 又MN⊂平面DAC，PQ⊄平面DAC， 所以PQ∥平面DAC， 又PQ⊂平面BAC，平面BAC∩平面DAC＝AC， 所以PQ∥AC∥MN，AC∥截面PQMN，故B正确； 同理可证PN∥BD∥MQ， 因为PN⊥NM，所以AC⊥BD，故A正确； 又∠PMQ＝45°，所以异面直线PM与BD所成的角为45°，故D正确； AC和 BD不一定相等，故C错误.故选ABD. 11.ACD　抛物线x2＝4y的焦点为F，A选项正确. 若A，F，B三点共线，则直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋1， 联立得x2－4kx－4＝0，x1·x2＝－4，y1y2＝·＝1，所以·＝－3，B选项错误. kOA·kOB＝＝－，x1x2＋4y1y2＝0，x1x2≠0， 设直线AB的方程为y＝kx＋b，联立得x2－4kx－4b＝0，x1x2＝－4b， y1y2＝·＝b2，Δ＝16k2＋16b>0，k2＋b>0，x1＋x2＝4k，因为x1x2＋4y1y2＝0，所以－4b＋4b2＝0，b＝0(舍去)或b＝1. 所以直线AB的方程为y＝kx＋1，过F，C选项正确. |AB|＝·＝·＝6， 得4＝9，即b＝－k2， y1＋y2＝k＋2b＝4k2＋2b， 所以AB的中点到x轴的距离 d＝2k2＋b＝2k2＋－k2＝k2＋ ＝k2＋1＋－1 ≥2－1＝2， 当且仅当k2＋1＝，即k2＝时等号成立. 故AB的中点到x轴距离的最小值为2，D选项正确.故选ACD. 12.解析　由(1＋x)4的展开式通项为Tk＋1＝Cxk，所以含x3项为Cx3＋(－ax2)Cx＝(C－aC)x3，故C－aC＝4－4a＝12，可得a＝－2.故答案为－2. 答案　－2 13.解析　由(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1，0)，半径为1； 由x2＋y2－10x＋6y＋18＝0得(x－5)2＋(y＋3)2＝16，圆心为(5，－3)，半径为4； 所以圆心距为＝5＝1＋4，故两圆外切，如下图， 公切线斜率存在，设为y＝kx＋m， 所以解得 或或 所以，公切线方程有y＝1或4x－3y－9＝0或24x＋7y＋1＝0. 故答案为y＝1(答案不唯一). 答案　y＝1(答案不唯一) 14.解析　由题意，椭圆的左、右焦点坐标分别为F1，F， 又由椭圆的定义可得|AF|＝4－|AF1|，|BF|＝4－|BF1|，所以△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝8＋|AB|－， 显然|AF1|＋|BF1|≥|AB|，当且仅当A，B，F1共线时，△ABF的周长最大，最大值为8， 此时直线l的方程为x－2y＋2＝0， 联立方程组可得3y2－4y－2＝0， 则y1＋y2＝，y1y2＝－， 所以|y1－y2|＝ ＝， 所以此时△ABF的面积为×4×＝. 答案　 15.解析　(1)因为bsin A－acos B＝0， 所以sin Bsin A－sin Acos B＝0， 即sin A(sin B－cos B)＝0，因为A，B∈， 所以sin A≠0，tan B＝，所以B＝. (2)因为△ABC的面积为， 所以S△ABC＝acsin B＝，解得ac＝3， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝2－3ac＝7，所以b＝. 16.(1)证明　∵A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴A1O⊥BD.∵四边形ABCD是菱形，∴CO⊥BD， ∵A1O∩CO＝O，A1O，CO⊂平面A1CO， ∴BD⊥平面A1CO， ∵BD⊂平面BB1D1D， ∴平面A1CO⊥平面BB1D1D. (2)解析　根据题意可得A1A＝3，AO＝， 所以A1O＝，A1D＝， 所以cos∠A1AD＝＝＝， sin∠A1AD＝，所以S△ADA1＝×3×2×＝，易知△B1BC≌△A1AD， 所以S△BCB1＝，由S△BCD＝，A1O＝， 设D点到平面B1BC的距离为h， 根据等体积法VD­B1BC＝VB1­BCD可得S△BCB1·h＝S△BCD·A1O，代入数据可得h＝，所以D点到平面B1BC的距离为. 17.解析　(1)根据已知完成2×2列联表如下， 是否了解情况 性别 合计 男 女 了解 80 40 120 不了解 120 160 280 合计 200 200 400 零假设为H0：上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝≈19.048＞10.828＝x0.001， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况与性别有关. (2)根据题意，X的可能取值为1，2，3， P＝＝， P＝＝， P＝＝， 则X的分布列为： X 1 2 3 P 则E(X)＝1×＋2×＋3×＝2. 18.(1)解析　过点N作圆M的切线，切点分别为E，F. 由题意知，BC是线段AN的垂直平分线， 因为直线BC与直线AM交于点P， 所以|PA|＝|PN|， 当点A在劣弧EF上时，点P在射线MA上， 所以|PM|－|PN|＝|PM|－|PA|＝|MA|＝4； 当点A在优弧EF上时，点P在射线AM上， 所以|PN|－|PM|＝|PA|－|PM|＝|MA|＝4. 所以||PM|－|PN||＝4<2， 所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线. 设该双曲线的标准方程为－＝1， 则2a＝4，2c＝2， 所以a＝2，c＝，b2＝c2－a2＝1， 所以点P的轨迹方程为－x2＝1. (2)证明　双曲线的渐近线为y＝±2x.由题意知直线l的斜率存在，设S，T， 当直线l的斜率为0时，易知△SOT是以ST为底边的等腰三角形， |y1|＝|y2|＝2，|x1|＝|x2|＝1，则|ST|＝2，此时S△SOT＝×2×2＝2. 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝ty＋n，联立消去x得y2－8nty－4n2－4＝0， Δ＝64n2t2＋4＝0⇒4t2＝n2＋1.① 设直线l与y轴交于点H，则|OH|＝， 则S△SOT＝S△SOH＋S△TOH＝|OH|·|x1－x2|＝·|t|·|y1－y2|. (直接求△SOT的面积不易求得，将△SOT进行拆分) 联立⇒S， 联立⇒T. 则S△SOT＝·|t|·＝·|t|·＝··|t|·＝2(定值). 综上所述，△SOT的面积为定值2. (3)解析　由题可设P，G，Q，＝，＝(x4－x0，－2x4－y0). 因为＝λ， 所以⇒ 将点P的坐标代入双曲线方程有2－2＝1，化简得x3x4＝－. 故S△GOQ＝|x3y4－x4y3|＝|x3－x4·2x3|＝2|x3x4|＝＝. (三角形面积公式S＝|x3y4－x4y3|) 因为λ∈， 所以由对勾函数性质得λ＋∈， 故S△GOQ＝∈， 即△GOQ面积的取值范围为. 19.(1)解析　举例：函数f(x)＝1是“超导函数”， 因为f(x)＝1，f′(x)＝0，满足f(x)≥f′(x)对任意实数x恒成立，故f(x)＝1是“超导函数”. (注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分.) (2)证明　∵F(x)＝g(x)h(x)， ∴F′(x)＝g′(x)h(x)＋g(x)h′(x)， ∴F(x)－F′(x)＝g(x)h(x)－g′(x)h(x)－g(x)h′(x) ＝－g′(x)h′(x)， 因为函数g(x)与h(x)都是“超导函数”，所以不等式g(x)≥g′(x)与h(x)≥h′(x)对任意实数x都恒成立，故g(x)－g′(x)≥0，h(x)－h′(x)≥0，① 而g(x)与h(x)一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，故g′(x)h′(x)≤0，② 由①②得F(x)－F′(x)≥0对任意实数x都恒成立， 所以函数F(x)＝g(x)h(x)是“超导函数”. (3)解析　∵φ＝e，所以方程φ＝e－x－ln x可化为＝， 设函数G(x)＝，x∈R， 则原方程即为G＝G，③ 因为y＝φ(x)是“超导函数”， ∴φ(x)≥φ′(x)对任意实数x恒成立， 而方程φ(x)＝φ′(x)无实根， 故G′(x)＝<0恒成立， 所以G(x)在R上单调递减， 故方程③等价于－x－ln x＝1，即x＋1＋ln x＝0， 设H(x)＝x＋1＋ln x，x∈(0，＋∞)， 则H′(x)＝1＋>0在(0，＋∞)上恒成立， 故H(x)在(0，＋∞)上单调递增， 而H＝－1<0，H＝>0， 且函数H(x)的图象在上连续不断， 故H(x)＝x＋1＋ln x在上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根. 学科网（北京）股份有限公司 $$