滚动测试卷(5)-【高考总复习】2025年高考数学一轮达标测试卷

滚动测试卷(五) (本卷满分150分　考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a＝(　　) A.－1　　　　　　B.1　　　　　C.±1　　　　　D.2 2.已知a，b∈R，且2a－b－2＝0，则9a＋的最小值为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 3.已知圆C：2＋2＝R2，点A，B，则“R2>8”是“直线AB与圆C有公共点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝2 ，||＝1，则·＝(　　) A.2 B. C. D.－2 5.已知双曲线Γ：－＝1，其中a2，b2，c2成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后，黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为B，若将军从山脚下的点A处出发，河岸线所在直线方程为x＋2y＝3，则“将军饮马”的最短总路程为(　　) A. B.5 C. D. 7.如图，已知抛物线E：y2＝2px的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7，则E的方程为(　　) A.y2＝x B.y2＝2x C.y2＝4x D.y2＝8x 8.已知函数f(x)＝ln－x，若a＝f，b＝f，c＝f，则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知M为圆C：2＋y2＝2上的动点，P为直线l：x－y＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是(　　) A.直线l与圆C相切 B.直线l与圆C相离 C.|PM|的最大值为 D.|PM|的最小值为 10.已知函数f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx的零点构成一个公差为的等差数列，把f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则(　　) A.g(x)在上单调递增 B.是g(x)的一个对称中心 C.g(x)是奇函数 D.g(x)在区间上的值域为 11.已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则(　　) A.＝2a B.若焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为 C.若双曲线C为等轴双曲线，则直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之积为1 D.若双曲线C为等轴双曲线，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，则∠PA1A2＝ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________. 13.如图为四棱锥A­DEFG的侧面展开图(点G1，G2重合为点G)，其中AD＝AF，G1D＝G2F，E是线段DF的中点，请写出四棱锥A­DEFG中一对一定相互垂直的异面直线：________.(填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形) 14.设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，双曲线C的一条渐近线为l，以F为圆心的圆与l交于点M，N两点，MF⊥NF，O为坐标原点，＝λ，则双曲线C的离心率的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知等比数列{an}的各项均为正数，a3是4a1，2a2的等差中项，a5＝32，记bn＝log2a2n－1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设数列的前n项和为Tn，证明：Tn<. 16.(15分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为上顶点，P为椭圆上任一点(与左、右顶点不重合). (1)若AF1⊥AF2，求椭圆的离心率； (2)若P(－4，3)，且·＝0，求椭圆的方程. 17.(15分)已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点. (1)求圆A的方程； (2)当|MN|＝2时，求直线l的方程. 18.(17分)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上.当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|. (1)求C的离心率； (2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF. 19.(17分)法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，则称圆心在原点O，半径是 的圆为椭圆C的“伴随圆”，如图，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F(，0)，其短轴的一个端点到焦点F的距离为. (1)求椭圆C和其“伴随圆”的方程； (2)若点A是椭圆C的“伴随圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两个相异点，且BD⊥x轴，求·的取值范围； (3)在椭圆C的“伴随圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 滚动测试卷(五) 1.C　由题知，椭圆与双曲线的焦点都在x轴上，且焦点相同，所以c＝＝，解得a＝±1(经检验，都符合题意)，故选C. 2.C　 因为2a－b－2＝0，所以2a－b＝2. 因为32a>0，3－b>0, 所以9a＋＝32a＋3－b≥2＝2＝2＝6， 当且仅当即时，等号成立， 故9a＋的最小值为6，故选C. 3.A　圆C：2＋2＝R2的圆心为C，半径为R.由点A，B求出直线AB的方程为：x＋y－2＝0. 所以圆心C到直线AB的距离为d＝＝2. 充分性：R2>8时，有R>d，所以直线AB与圆C相交，有公共点，故充分性满足； 必要性：“直线AB与圆C有公共点”，则有R≥d，即“R2≥8”，故必要性不满足. 所以“R2>8”是“直线AB与圆C有公共点”的充分不必要条件，故选A. 4.A　在△ABC中，AD⊥AB，＝2 ，||＝1， 则·＝(＋)·＝·＋·＝·＝2 ·＝2(－)·＝2 2－2 ·＝2－0＝2.故选A. 5.B　由双曲线知a2＋b2＝c2，又a2，b2，c2成等差数列，得a2＋c2＝2b2，b2＝2a2，焦点在y轴上，则渐近线方程为y＝±x＝±x，故选B. 6.A　如图所示，设点B关于直线x＋2y＝3的对称点为C，在直线x＋2y＝3上取点P，连接PC，则|PB|＝|PC|. 由题意可得解得即点C，所以|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≥|AC|＝＝，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为.故选A. 7.C　易知F，直线AB的方程为y＝x－，四边形CMNF为梯形，且FC∥NM. 设A，B，M(x0，y0)， 则kAB＝＝＝＝1， 所以y1＋y2＝2p，所以y0＝p. 作MK⊥x轴于点K，则|MK|＝p. 因为直线AB的斜率为1， 所以△FMC为等腰直角三角形， 故|FK|＝|MK|＝|KC|＝p， 所以|MN|＝|OF|＋|FK|＝，|FC|＝2p， 所以四边形CMNF的面积为××p＝7，解得p＝2，故抛物线E的方程为y2＝4x.故选C. 8.B　f(x)的定义域为R，f′(x)＝·2e2x－1＝， 令f′(x)<0，得x<1，令f′(x)>0，得x>1， 所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 因为1<3＝<<e，所以e>>1， 所以f>f，即a>c. 因为f(2－x)－f(x)＝ln－(2－x)－ln＋x＝ln＋2x－2＝ln＋2x－2＝ln e2－2x＋2x－2＝2－2x＋2x－2＝0， 所以f(2－x)＝f(x)， 所以f＝f＝f， 因为3＝>e，所以>e>1， 又因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f>f，即f＝f>f，所以b>a， 综上所述b>a>c.故选B. 9.BD　圆C：2＋y2＝2得圆心C，半径r＝. ∵圆心C到直线l：x－y＋4＝0的距离d＝＝>r， ∴直线l与圆C相离，A不正确，B正确； |PM|≥|PC|－r≥d－r＝，C不正确，D正确； 故选BD. 10.AB　因为f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx， 所以f(x)＝2＝2sin(2ωx＋)， 因为函数f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx的零点依次构成一个公差为的等差数列， ∴·＝，∴ω＝1，所以f(x)＝2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到g(x)＝2sin＝2sin＝－2cos 2x，即g(x)＝－2cos 2x，所以g(x)为偶函数，故C错误；对于A：当x∈时，2x∈，因为y＝cos x在上单调递减，所以g(x)在上单调递增，故A正确；对于B：g＝－2cos＝－2cos＝0，故是g(x)的一个对称中心，故B正确；对于D：因为x∈，所以2x∈，所以cos 2x∈，所以g(x)∈，故D错误；故选AB. 11.BCD　对于A，在△PA1A2中，根据三角形两边之差小于第三边， 故<|A1A1|＝2a，故A错误； 对于B，焦点F2(c，0)，渐近线不妨取y＝x，即bx－ay＝0， 设F2关于双曲线C的渐近线的对称点为(m，n)，则得 即F2关于双曲线C的渐近线的对称点为， 由题意该点在双曲线上，故－＝1， 将c2＝a2＋b2 代入， 化简整理得：b4－3a2b2－4a4＝0，即b2＝4a2， 所以e2＝＝＝1＋＝5，故e＝，故B正确； 对于C，双曲线C为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2(a>0)， 设P(x0，y0)(y0≠0)，则x－y＝a2，则x－a2＝y， 故kPA1·kPA2＝·＝＝1，故C正确； 对于D, 双曲线C为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2(a>0)， 且∠A1PA2＝3∠PA1A2，设∠PA1A2＝θ，则∠A1PA2＝3θ，则∠PA2x＝4θ， 根据C的结论kPA1·kPA2＝1，即有tan θ·tan 4θ＝1， 在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，故θ＋4θ＝，所以θ＝，即∠PA1A2＝，故D正确；故选BCD. 12.解析　法一　 由题意得＝，即|2a＋3|＝|a＋6|， 所以2a＋3＝a＋6或2a＋3＋a＋6＝0， 解得a＝3或a＝－3. 法二　 因为A，B两点到直线l的距离相等， 则直线AB∥l或AB的中点在直线l上， 则＝－a或－a＋＋1＝0，得a＝－3或a＝3. 故答案为－3或3. 答案　－3或3 13.解析　如图所示，连接DF和GE，相交于点O，连接AO. 因为DG＝FG，DE＝EF，GE＝GE， 所以△GDE≌△GFE， 所以∠DGO＝∠FGO. 又因为DG＝GF，GO＝GO， 所以△DGO≌△FGO， 所以DO＝OF，∠GOD＝∠GOF＝， 所以DF⊥OE. 因为AD＝AF，OD＝OF，所以AO⊥DF. 又因为AO∩OE＝O，AO，OE⊂平面AOE， 所以DF⊥平面AOE，又因为AE⊂平面AOE， 所以DF⊥AE. 答案　AE和DF(AE和DG，AE和GF，AG和DF)(写出其中一对即可) 14.解析　由题可知，点F，如图所示，不妨取直线l的方程为y＝x，过点F作FE⊥l于点E，则点F到直线l的距离|EF|＝＝b， ∵MF⊥NF，且|MF|＝|NF|， ∴△MNF为等腰直角三角形， ∴|MN|＝2|EF|＝2b，|ME|＝|NE|＝b， ∴|OE|＝＝＝a，|OM|＝|OE|＋|ME|＝a＋b，|ON|＝|OE|－|NE|＝a－b， ∵＝λ，∴a＋b＝λ，即＝， ∴离心率e＝＝ ＝ ， 令f＝＝1－，λ∈， 则f∈， 即f∈，∴e∈. 故答案为. 答案　 15.(1)解析　设数列{an}的公比为q，则q>0， 由题意知 可得解得 所以an＝2·2n－1＝2n，bn＝log222n－1＝2n－1. (2)证明　因为＝＝(－)， 所以Tn＝[＋＋…＋]＝<. 16.解析　(1)由AF1⊥AF2，根据椭圆的对称性可知△F1AF2为等腰直角三角形，则AO＝OF2，即b＝c，故e＝＝＝. (2)由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)， 则＝(－c＋4，－3)，＝(c＋4，－3). ∵·＝0， ∴(－c＋4)(c＋4)＋9＝0，∴c2＝25. 又点P在椭圆＋＝1上， ∴解得 故椭圆的方程为＋＝1. 17.解析　(1)∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切， 所以A(－1，2)到直线l1的距离d0＝＝2＝r，故圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)①当直线l与x轴垂直时，易知直线l的方程为x＝－2， 此时，圆心A(－1，2)到直线l的距离为1， 从而弦长|MN|＝2＝2，满足题意； ②当直线l与x轴不垂直时， 设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0， 连接AQ，则AQ⊥MN， ∵|MN|＝2， 所以|AQ|＝＝＝1， 从而|AQ|＝＝1，得k＝， 故直线l的方程为3x－4y＋6＝0. 综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0. 18.(1)解析　设双曲线的离心率为e，焦距为2c， 在－＝1中， 当BF⊥AF时，点B的横坐标为c， 则点B的纵坐标为±， 因为|AF|＝|BF|， 所以a＋c＝，即a2＋ac＝b2，a2＋ac＝c2－a2， 所以e2－e－2＝0，又因为e＞1，解得e＝2. (2)证明　由(1)知2a＝c，b2＝3a2， 所以双曲线方程可化为－＝1. 如图，设B(x，y)(x＞0，y＞0)， 则kAB＝，kBF＝， 设∠BAF＝θ，则tan θ＝， 所以tan 2θ＝＝ ＝＝ ＝＝＝＝－kBF ＝tan∠BFA， 又因为0≤2∠BAF＜π，0≤∠BFA＜π， 所以∠BFA＝2∠BAF. 19.解析　(1)由题意知c＝， 且a＝＝，可得b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1，其“伴随圆”方程为x2＋y2＝4. (2)由题意，可设B(m，n)，D(m，－n)(－＜m＜)，则有＋n2＝1.又因为A点坐标为(2，0)，所以＝(m－2，n)，＝(m－2，－n)，故·＝(m－2)2－n2＝m2－4m＋4－＝m2－4m＋3＝. 又因为－＜m＜， 所以∈[0，7＋4)， 所以·的取值范围是[0，7＋4). (3)垂直.理由如下：设P(s，t)，则s2＋t2＝4. 当s＝±时，t＝±1，则l1，l2其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有l1⊥l2. 当s≠±时，设过P(s，t)且与椭圆有一个公共点的直线l的斜率为k，则l的方程为y－t＝k(x－s)，代入椭圆C方程可得x2＋3[kx＋(t－ks)]2＝3，即(3k2＋1)x2＋6k(t－ks)x＋3(t－ks)2－3＝0， 由Δ＝36k2(t－ks)2－4(3k2＋1)[3(t－ks)2－3]＝0，可得(3－s2)k2＋2stk＋1－t2＝0，其中3－s2≠0，设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是上述方程的两个根，故k1k2＝＝＝－1，即l1⊥l2. 综上可知，对于椭圆C上的任意点P，都有l1⊥l2. 学科网（北京）股份有限公司 $$