滚动测试卷(2)-【高考总复习】2025年高考数学一轮达标测试卷

滚动测试卷(二) (本卷满分150分　考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M＝{x∈Z|100<2x<1 000}，则M的元素个数为(　　) A.3　　　　　　B.4　　　　　C.9　　　　　D.无穷多个 2.若＝，则tan＝(　　) A.－3 B.3 C.－2 D.2 3.已知a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 4.“0<x<”是“0<sin x<”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝ .根据此公式，若acos B＋(b－c)cos A＝0，且b2＋c2－a2＝，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D. 6.将函数y＝sin x＋cos x的图象向左平移m个单位长度后，所得到的函数为偶函数，则m的最小值是(　　) A. B. C. D. 7.设a，b，c∈R且a≠0，函数g(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝(x＋2)g(x)，若f(x)＋f(－x)＝0，则下列判断正确的是(　　) A.g(x)的最大值为－a B.g(x)的最小值为－a C.g＝g D.g＝g(－x) 8.已知函数f(x)＝sin，若存在x1，x2，x3∈，且x3－x2＝2(x2－x1)＝4x1，使f＝f＝f>0，则φ的值为(　　) A.－ B. C. － D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题为真命题的是(　　) A.“a－b＝0”的充要条件是“＝1” B.“a>b”是“<”的既不充分也不必要条件 C.命题“∃x∈R，x2－2x<0”的否定是“∀x∉R，x2－2x≥0” D.“a>2，b>2”是“ab>4”的充分条件 10.已知f(x)是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数y＝sin(ωx＋φ)图象的一部分(如图所示)，则(　　) A.f(x)的定义域为 B.当x＝时，f(x)取得最大值 C.当x<0时，f(x)的单调递增区间为 D.当x<0时，f(x)有且只有两个零点－和－ 11.如图，一个半径为3 m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒Р离水面的最大距离为5.2 m，旋转一周需要60 s.以P刚浮出水面时开始计算时间，Р到水面的距离d(单位：m)(在水面下则d为负数)与时间t(单位：s)之间的关系为d＝Asin＋K(A>0，ω>0，－<φ<)，t∈，则下列说法正确的是(　　) A.K＝2.2 B.ω＝ C.sin φ＝ D.P离水面的距离不小于3.7 m的时长为20 s 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知点P是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________. 13.定义在R上的函数f(x)满足以下两个性质：①f(－x)＋f(x)＝0，②f＝f，满足①②的一个函数是________________________________________________________________________. 14.设函数f(x)的定义域为R，值域为，且cosf(x)＝sin f，f(1)＝1，则kf＝________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知cos α＝，tan(α＋β)＝，且α，β∈. (1)求cos的值； (2)求tan β的值. 16.(15分)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.设f(x)＝. (1)求a，b的值； (2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1，1]上有解，求实数k的取值范围. 17.(15分)已知向量m＝，n＝，ω>0，函数f(x)＝m·n，且满足函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求f(x)的表达式，并求方程f(x)＝1在闭区间上的解； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos B＝bcos C，f＝2，求cos A的值. 18.(17分)在△ABC中，D为边BC上一点，∠BAD＝90°，∠B＝∠DAC，12BD＝7AC. (1)求tan 2B； (2)若AB＝7，求△ABC内切圆的半径. 19.(17分)英国数学家泰勒发现了如下公式：sin x＝x－＋＋＋…，其中n！＝1×2×3×…×n.利用该公式可以得到：当x∈时，sin x＜x，sin x＞x－，sin x＜x－＋，…. (1)证明：当x∈时，＞； (2)设f(x)＝msin x，当f(x)的定义域为[a，b]时，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“和谐区间”，当m＝－2时，f(x)是否存在“和谐区间”？若存在，求出f(x)的所有“和谐区间”；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 滚动测试卷(二) 1.A　由函数y＝2x在R上单调递增，及26＝64，27＝128，29＝512，210＝1 024，可得M＝{7，8，9}，则其元素个数为3，故选A. 2.A　因为＝＝，解得tan α＝2， 所以tan＝＝＝－3，故选A. 3.B　由a－b＝＋－，且(＋)2＝5＋2>7，故a>b； 由a－c＝2－，且(2)2＝8>6，故a>c； b－c＝－，且2＝9＋2>9＋2＝2，故c>b. 所以a>c>b，故选B. 4.A　由0<x<，可得0<sin x<，而⊆，所以“0<x<” ⇒ “0<sin x<”；当x∈，k∈Z时，都有0<sin x<，故“0<sin x<”推不出“0<x<”，所以“0<x<”是“0<sin x<”的充分不必要条件，故选A. 5.A　因为acos B＋(b－c)cos A＝0，所以sin Acos B＋cos A＝0，sin Acos B＋sin Bcos A＝sin Ccos A，即sin＝sin C＝sin Ccos A， ∵sin C≠0，∴cos A＝，cos A＝＝⇔＝，解得bc＝1， 根据面积公式可知S＝ ＝ ＝.故选A. 6.A　y＝sin x＋cos x＝sin，图象向左平移m(m>0)个单位长度后得到y＝sin，由函数为偶函数， 有sin＝sin(－x＋m＋)， ∴sin xcos＋cos xsin＝－sin xcos(m＋)＋cos xsin，得sin xcos＝0， ∴cos＝0，∴m＋＝kπ＋，k∈Z， 即m＝kπ＋，k∈Z. 由m>0，所以当k＝0时，m的最小值为.故选A. 7.D　依题意，f(x)＝(x＋2)(ax2＋bx＋c)＝ax3＋(2a＋b)x2＋(2b＋c)x＋2c， 因为f(x)＋f(－x)＝0，则f(x)是奇函数，于是得即b＝－2a，c＝0， 因此，g(x)＝ax2－2ax＝a(x－1)2－a，而a≠0，当a>0时，g(x)的最小值为－a；当a<0时，g(x)的最大值为－a，A，B都不正确； g(2＋x)＝a(x＋1)2－a，g(2－x)＝a(－x＋1)2－a，g(－x)＝a(－x－1)2－a＝a(x＋1)2－a， 即g≠g，g＝g(－x)，因此，C不正确，D正确，故选D. 8.A　令t＝2x＋φ，因为x1，x2, x3∈， 所以t1，t2, t3∈，|φ|<， 因为f＝f＝f>0，结合y＝sin t的图象(如图所示)， 得到t1＋t2＝π，t2＋t3＝3π或t1＋t2＝3π，t2＋t3＝5π， 因为x3－x2＝2＝4x1， 所以x2＝3x1，x3＝7x1， 则解得φ＝－， 此时x1＝，x2＝，x3＝，满足题意， 或解得φ＝，不符合题意舍去，故选A. 9.BD　对A：由＝1⇒a－b＝0，但a＝b＝0满足a－b＝0，但推不出＝1，所以“＝1”是“a－b＝0”的充分不必要条件，故选项A错误；对B：取a＝2，b＝－1，满足a>b，但>，所以a>b推不出>；同理取a＝－1，b＝2，满足<，但a<b，所以<推不出a>b，所以“a>b”是“<”的既不充分也不必要条件，故选项B正确；对C：命题“∃x∈R，x2－2x<0”的否定是“∀x∈R，x2－2x≥0”，故选项C错误；对D：因为a>2，b>2⇒ab>4，但ab>4⇒/ a>2，b>2，所以“a>2，b>2”是“ab>4”的充分不必要条件，故选项D正确.故选BD. 10.BCD　由图得f＝sin φ＝，且位于增区间上，所以φ＝＋2kπ，k∈Z，又因为0<φ<π， 所以φ＝， 则得 所以ω＝2，所以f(x)＝sin，由图可知，原点右侧的第二个零点为＋＝＋＝， 所以f(x)的定义域为，故A错误； 当x∈时，f(x)＝sin， 因为f＝sin＝1为最大值，则当x＝时，f(x)取得最大值，故B正确； 当x>0时，令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ， 则＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 又因为x∈， 所以当x>0时，f(x)的单调递减区间为， 因为函数f(x)为偶函数，所以当x<0时，f(x)的单调递增区间为，故C正确； 当x∈时，2x＋∈， 令f(x)＝sin＝0， 得2x＋＝π或2π，则x＝或， 因为函数f(x)为偶函数，所以当x<0时，f(x)有且只有两个零点－和－，故D正确，故选BCD. 11.ABD　由题意，d的最大值为5.2，最小值为－0.8，则A＋K＝5.2，－A＋K＝－0.8， 所以A＝3，K＝2.2，故A正确； 由旋转一周需要60 s，得函数的周期T＝＝60， 所以ω＝，故B正确； 故d＝3sin＋2.2， 当t＝0时，d＝0，则3sin φ＋2.2＝0， 所以sin φ＝－，故C错误； 由sin φ＝－，－<φ<，得－<φ<0， 因为t∈，所以t＋φ∈， 由－<φ<0，得<2π＋φ<2π， 令d＝3sin＋2.2≥3.7， 得sin≥， 所以≤t＋φ≤，故5－φ≤t≤25－φ， 所以P离水面的距离不小于3.7 m的时长为25－φ－＝20 s，故D正确.故选ABD. 12.解析　因为P是角θ终边上一点，且sin θ＝－，所以＝－(y<0)，解得y＝4(舍去)，或y＝－4，故答案为－4. 答案　－4 13.解析　f(x)＝sin x满足题意，因为f(－x)＝sin＝－sinx＝－f(x)，即满足性质①， 又因为f＝sin＝sin， f＝sin＝sin，且＋＝π， 所以f＝f，即满足性质②， 故答案可以为f(x)＝sinx. 答案　f(x)＝sinx(答案不唯一) 14.解析　由题意可知，对任意的x∈R，f(x)∈，由cosf(x)＝sin f可得sin f＝sin，则0<－f(x)<， 因为函数y＝sin x在上单调递增， 所以f＝－f(x)，则f(x)＋f＝，可得f＋f＝， 所以f＝f(x)，故函数f(x)是以2为周期的周期函数， 因为f(1)＝1，则f(2)＝－f(1)＝－1，故当x为奇数时，f(x)＝1；当x为偶数，f(x)＝－1. 因此，kf＝12＝12＝6π－24. 故答案为6π－24. 答案　6π－24 15.解析　(1)因为α∈，cos α＝，所以sin α＝，所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝. (2)由(1)可知tan α＝＝，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝. 16.解析　(1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a， 因为a＞0，所以g(x)在区间[2，3]上是增函数， 故解得 (2)由(1)可得g(x)＝x2－2x＋1， 所以f(x)＝x＋－2， 所以f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x， 即1＋－2·≥k. 令t＝，则k≤t2－2t＋1. 因为x∈[－1，1]，所以t∈. 记h(t)＝t2－2t＋1，因为t∈， 所以h(t)max＝1， 所以实数k的取值范围是(－∞，1]. 17.解析　(1)因为m＝， n＝， 所以f(x)＝m·n＝sin ωx·2cos ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin. 因为＝，所以T＝π＝，故ω＝1， 即f(x)＝2sin. 因为x∈，所以2x＋∈. 又f(x)＝2sin＝1，所以sin＝， 所以2x＋＝或2x＋＝或2x＋＝，即x＝0或x＝或x＝π.所以方程f(x)＝1在闭区间上的解为x＝0或x＝或x＝π. (2)由(1)知f＝2sin＝2， 所以C＋＝＋2kπ，k∈Z，即C＝＋2kπ，k∈Z. 因为C∈，所以C＝，sin C＝，cos C＝. 又cos B＝bcos C， 由正弦定理＝＝， 得cos B＝sin Bcos C， 整理得3sin Acos B＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin＝sin A. 因为A∈，所以sin A≠0，所以cos B＝. 又B∈， 得sin B＝ ＝ ＝， 所以cos A＝cos＝－cos＝－cos Bcos C＋sin Bsin C＝－×＋×＝. 18.解析　(1)设∠B＝∠DAC＝α， ∴∠ADC＝90°＋α，∠C＝90°－2α， 在△ADC中，由正弦定理可得＝，即＝， 在Rt△ABD中，AD＝BDsin α，又∵AC＝BD， ∴＝，∴sin αcos α＝cos 2α， ∴sin 2α＝cos 2α， ∴tan 2α＝，即tan 2B＝. (2)∵tan 2B＝＝， ∴(3tan B＋4)(4tan B－3)＝0，又易知B为锐角， ∴tan B＞0， ∴tan B＝，∴sin B＝，cos B＝， ∵AB＝7，∴BD＝，AC＝15. cos∠BAC＝cos(90°＋B)＝－sin B＝－. 在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝400，∴BC＝20. 设△ABC的内切圆半径为r， 由S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝(AB＋AC＋BC)r，得r＝2.即△ABC内切圆的半径为2. 19.(1)证明　由题意，得sin x＞x－， 所以＞1－＞1－＝1－＞， 所以当x∈时，＞. (2)解析　当m＝－2时，假设存在“和谐区间”，则由－2≤f(x)≤2，知－2≤a＜b≤2， ①若a，b≥0，则由[a，b]⊆[0，π)，知f(x)≤0，矛盾，故不存在“和谐区间”. ②同理a，b≤0时，也不存在“和谐区间”， 下面讨论a≤0≤b， ③若b≥，则⊆[a，b]，故f(x)最小值为－2，于是a＝－2，所以⊆[a，b]， 所以f(x)最大值为2，故b＝2，此时f(x)的定义域为[－2，2]，值域为[－2，2]，符合题意. ④若b＜，当a≤－时，同理可得a＝－2，b＝2，舍去； 当a＞－时，f(x)在[a，b]上单调递减， 所以于是a＋b＝－2(sin a＋sin b). 若b＞－a，即a＋b＞0，则sin b＞sin(－a)， 故sin b＋sin a＞0，－(sin a＋sin b)＜0， 与a＋b＝－2(sin a＋sin b)矛盾； 若b＜－a，同理，矛盾， 所以b＝－a，即＝sin b. 由(1)知当x∈时，sin x＞， 因为b∈，所以b＝0，从而，a＝0，从而a＝b，矛盾， 综上所述，f(x)有唯一的“和谐区间”[－2，2]. 学科网（北京）股份有限公司 $$