达标测试卷(9) 计数原理、二项式定理、概率、随机变量及其分布-【高考总复习】2025年高考数学一轮达标测试卷

达标测试卷(九)　计数原理、二项 式定理、概率、随机变量及其分布 (本卷满分150分　考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.有两个事件，事件A：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件B：367人中至少有2人生日相同.下列说法正确的是(　　) A.事件A，B都是随机事件 B.事件A，B都是必然事件 C.事件A是随机事件，事件B是必然事件 D.事件A是必然事件，事件B是随机事件 2.在的展开式中，若二项式系数的和为32，则的系数为(　　) A.－80　　　　B.80　　　　C.－40　　　　　D.40 3.现从男、女共8名学生中选出2名男生和1名女生分别参加学校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女学生的人数分别是(　　) A.2，6 B.3，5 C.5，3 D.6，2 4.在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d(d＝1，2，…，9)的概率为lg，这被称为本福特定律.以此判断，一个数的首位数字是1的概率约为(　　) A.10% B.11% C.20% D.30% 5.已知离散型随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，且E(X)＝4，D(X)＝q，则＋的最小值为(　　) A.2 B. C. D.4 6.每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1 h，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1 h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为(　　) A. B. C. D. 7.某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 [5，10] (10，15] (15，20] (20，25] 男性人数 15 22 14 9 女性人数 5 11 17 7 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能(即概率最大)是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 8.某市环保局举办“六五世界环境日”宣传活动，进行现场抽奖.抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有环保会徽或绿色环保标志图案.参加者每次从盒中抽取2张卡片，若抽到2张都是印有绿色环保标志的即可获奖.已知从盒中抽2张都印有环保会徽的概率是.现有甲、乙、丙、丁4人依次抽奖，抽后放回另一人再抽，用ξ表示获奖的人数，则P(ξ＞2)＝(　　) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，则下列结果正确的是(　　) A.a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝1 B.a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝ C.＋＋…＋＝0 D.a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024＝4 048 10.已知某校高三年级有1 000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为，若使标准分X服从正态分布N，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 3，则(　　) A.这次考试标准分超过180分的约有450人 B.这次考试标准分在内的人数约为997 C.甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为 D.P＝0.042 8 11.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：P＝.某高校有甲、乙两家餐厅，王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学(　　) A.第二天去甲餐厅的概率为0.54 B.第二天去乙餐厅的概率为0.44 C.第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为 D.第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，若从该数列的前96项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为________. 13.为落实国务院提出的“双减”政策，某校在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣小组活动，其中有个课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型，并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为2024年春节的吉祥物，2个兴趣小组各派一名成员将模型随机拋出，两人都希望能拋出龙的图案朝上.2人各抛一次，则在第一人抛出龙的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为________. 14.产品质量检验过程主要包括进货检验(IQC)、生产过程检验(IPQC)、出货检验(OQC)三个环节.已知某产品IQC单独通过率为，IPQC单独通过率为p(0<p<1)，规定上一类检验不通过则不进入下一类检验，未通过可修复后再检验一次(修复后无需从头检验，通过率不变且每类检验最多两次)，且各类检验间相互独立.若该产品能进入OQC的概率为，则p＝________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题. 已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，________. (1)求＋＋…＋的值； (2)求a1＋2a2＋3a3＋…＋nan的值. 16.(15分)某校举办“复兴杯”羽毛球比赛活动，甲、乙两名选手进入最后的决赛，决赛采用三局两胜的赛制，决出最后的冠军，甲在第一局获胜的概率为，从第二局开始，甲每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局甲获胜的概率增加p(0<p<1)，若上局未获胜，则该局甲获胜的概率减小p(0<p<1)，且甲连胜两局获胜的概率为(每局比赛没有平局). (1)求甲2∶1获胜的概率； (2)若冠军奖金为1 600元，且在甲第一局获胜的情况下，由于不可抗拒力的原因，比赛被迫取消，请问：你认为甲、乙如何分配奖金比较合理？ 17.(15分)某地春运指挥部安排4名干部和3个部门(A，B，C)的16名职工到该地的4个高速路口担任志愿者，其中16名职工分别是A部门8人，B部门4人，C部门4人. (1)若从这16名职工中选出4人作为组长，求至少有2个组长来自A部门的概率； (2)若将这4名干部随机安排到四个高速路口(假设每名干部安排到各高速路口是等可能的，且各位干部的选择是相互独立的)，记安排到第一个高速路口的干部人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 18.(17分)工信部发布的《“十四五”促进中小企业发展规划》明确提出建立“百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”“小巨人”“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化，新颖化优势的中小企业.下表是某地各年新增企业数量的有关数据. 年份(年) 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码(x) 1 2 3 4 5 新增企业数量(y) 8 17 29 24 42 (1)请根据上表所给的数据，求出y关于x的经验回归方程，并预测2025年此地新增企业的数量； (2)若在此地进行考察，考察企业中有4个为“专精特新”企业，3个为普通企业，现从这7个企业中随机抽取3个，用X表示抽取的3个企业中为“专精特新”企业的个数，求随机变量X的分布列与期望. 参考公式：回归方程＝＋x中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为＝， ＝－ x. 19.(17分)“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立. 在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立. 已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第四名的概率为；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为. (1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动(两项活动均只参加一局)的总得分为X，求X的分布列与数学期望； (2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持续答题，若第一次答错时，答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个积分.某市某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1阶到n(n≥10)阶，规定每轮答题获得5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每次获得5个积分的概率互不影响，均为，记乙进到n阶的概率为Pn，求P12. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 达标测试卷(九)　计数原理、二项式定理、 概率、随机变量及其分布 1.C　对于事件A，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件A为随机事件； 对于事件B，一年有365天或366天，由抽屉原理可知，367人中至少有2人生日相同，事件B为必然事件.故选C. 2.A　二项式系数的和为2n＝32，所以n＝5，展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－k·＝(－2)kCx5－2k，令5－2k＝－1，则k＝3，所以的系数为(－2)3C＝－80.故选A. 3.B　设男生有x人，则女生有人，且8>x≥2.由题意可得CCA＝90，即×6＝90，解得x＝3，故8－x＝5，即男、女学生的人数分别是3，5.故选B. 4.D　根据题意，一个十进制数是1开头的概率为lg 2，而＝log162<lg 2<log82＝，以此判断，一个数的首位数字是1的概率约为30%.故选D. 5.C　离散型随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，所以有E(X)＝4＝np，D(X)＝q＝np(1－p)，所以4p＋q＝4，即p＋＝1(p＞0，q＞0)，所以＋＝＝＋＋≥＋2＝＋1＝，当且仅当q＝2p＝时等号成立，故选C. 6.A　令事件A1＝“玩手机时间超过1 h的学生”，A2＝“玩手机时间不超过1 h的学生”，B＝“任意调查一人，此人近视”，则样本空间Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，P＝0.2，P＝0.8，P＝0.5，P(b)＝0.45，依题意，P(b)＝PP＋PP＝0.2×0.5＋0.8×P＝0.45， 解得P＝，所以所求近视的概率为. 故选A. 7.C　 根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为＝，设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ， 则ξ～B，其中P(ξ＝k)＝Ck20－k，k＝0，1，2，…，20， 当k≥1时，由 得 化简得解得≤k≤， 又k∈Z，∴k＝4，∴这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4.故选C. 8.A　设盒中装有10张大小相同的精美卡片，其中印有环保会徽的有n张，印有绿色环保标志的有(10－n)张，由题意，得＝，所以n＝6.所以参加者每次从盒中抽取2张卡片，获奖的概率P＝＝，则ξ～B，所以P(ξ＞2)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝C××＋C×＝. 9.ABD　 令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝2 024＝1①，故A正确； 令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024＝32 024②， ①＋②可得2＝1＋32 024，故a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝，故B正确； 令x＝0可得a0＝12 024＝1③， 令x＝可得a0＋＋＋…＋＝0④， 把③代入④即可得出＋＋…＋＝－1，故C错误； 两边对x求导得－4 048(1－2x)2 023＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 024a2 024x2 023. 令x＝1可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024＝4 048，故D正确.故选ABD. 10.BC　依题意得μ＝180，σ2＝900，σ＝30， 因为P＝P＝， 所以这次考试标准分超过180分的约有×1 000＝500人，故A不正确； P＝P(180－3×30<X≤180＋3×30)＝P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 3， 所以这次考试标准分在内的约为1 000×0.997 3≈997人，故B正确； 依题意可知，每个人的标准分超过180分的概率为， 所以甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为C·2·＝，故C正确； P＝P(180＋2×30<X≤180＋3×30)＝P ＝ ＝＝0.021 4，故D不正确.故选BC. 11.AC　设A1：第一天去甲餐厅，A2：第二天去甲餐厅， B1：第一天去乙餐厅，B2：第二天去乙餐厅， 所以P＝0.4，P＝0.6，P(A2|A1)＝0.6， P(A2|B1)＝0.5， 因为P(A2|A1)＝＝0.6， P(A2|B1)＝＝0.5， 所以P(A2)P(A1|A2)＝0.24，P(A2)P(B1|A2)＝0.3， 所以有P＝PP＋PP＝0.4×0.6＋0.6×0.5＝0.54， 因此选项A正确， P＝1－P＝0.46，因此选项B不正确； 因为P(B1|A2)＝＝＝，所以选项C正确； P(A1|B2)＝＝＝＝，所以选项D不正确，故选AC. 12.解析　由题意可知，该数列连续三个数中有两个奇数，一个偶数，则该数列的前96项中奇数共有96－＝64(个)，所以若从该数列的前96项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为＝. 答案　 13.解析　设第一人抛出龙的图案的事件为A事件，第二人抛出龙的图案的事件为B事件，则P(a)＝，P＝＝，所以P＝＝＝， 即在第一人抛出龙的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为.故答案为. 答案　 14.解析　设Ai：第i次通过IQC(i＝1，2)；Bi：第i次通过IPQC. 由题意知P(A1B1＋A1A2B1＋A1B1B2＋A1A2B1B2)＝，即×p＋××p＋××p＋××p＝，解得p＝或p＝(舍去). 故答案为. 答案　 15.解析　(1)若选①，因为只有第5项的二项式系数最大，所以展开式中共有9项，即n＋1＝9，得n＝8. 若选②，因为第4项与第6项的二项式系数相等，所以C＝C⇒n＝8. 若选③，因为奇数项的二项式系数的和为128，所以2n－1＝128，解得n＝8. 因为(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝，则有8＝a0＋＋＋…＋， 即有a0＋＋＋…＋＝0，令x＝0，得a0＝1， 所以＋＋…＋＝－a0＝－1. (2)由(1)可知n＝8，(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，两边求导得16(2x－1)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7， 令x＝1，则有16＝a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8， 所以a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝16. 16.解析　(1)令事件Ai：甲在第i局获胜，i＝1，2，3. 甲连胜两局的概率为P＝P＝×＝，所以p＝. 则甲2∶1获胜的概率为P＝P＋P＝××＋××＝. (2)由题意知，在甲第一局获胜的情况下，甲输掉比赛事件为：甲接下来的比赛中连输两场. 即P＝P(A2　A3)＝×＝. 故而甲、乙应按照13∶3的比例来分配比赛奖金，即甲应获得1 300元奖金，乙获得300元奖金比较合理. 17.解析　(1)从这16名职工中选出4人作为组长，则至少有2个组长来自A部门的概率为＋＋＝. (2)依题意可知X＝0，1，2，3，4，且X～B， 所以P(X＝0)＝C··＝， P(X＝1)＝C··＝＝， P(X＝2)＝C··＝＝， P(X＝3)＝C··＝＝， P(X＝4)＝C··＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 数学期望E(X)＝4×＝1. 18.解析　(1)x＝＝3， ＝＝24， =(-2) ×（-16）+（-1）×（-7）＋0×5＋1×0＋2×18＝75， 2＝4＋1＋0＋1＋4＝10， 所以＝＝＝7.5， ＝－ ＝1.5，所以＝1.5＋7.5x. 2025年，即当x＝7时，由经验回归方程可得＝54， 所以估计2025年此地新增企业的数量为54家. (2)由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3， 因为P＝＝，P＝＝，P＝＝，P＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 19.解析　(1)甲参加“四人赛”时，每局比赛获得第三名的概率为1－＝， 依题意，X所有可能的取值为5，4，3，2， P(X＝5)＝×＝， P(X＝4)＝×＋×＋×＝， P(X＝3)＝×＋×＋×＝， P(X＝2)＝×＝. 所以X 的分布列为 X 5 4 3 2 P 所以E(X)＝5×＋4×＋3×＋2×＝ . (2)依题意，P1＝，P2＝， “进到n＋1阶”的情况包括：第一种情况是进到n阶后下一轮未获得5个积分，其概率为Pn；第二种情况是进到n－1阶后下一轮获得5个积分，其概率为Pn－1，两种情况互斥，所以Pn＋1＝Pn＋Pn－1(n≥2)，则Pn＋1－Pn＝Pn＋Pn－1－Pn＝－(Pn－Pn－1)，所以＝－(n≥2，n∈N*)，又P2－P1＝， 所以数列{Pn＋1－Pn}是首项为，公比为－的等比数列，所以Pn＋1－Pn＝×， 故P12＝P1＋(P2－P1)＋…＋(P11－P10)＋(P12－P11) ＝＋＋×＋…＋× ＝＋×＝＋， 即P12＝＋ . 学科网（北京）股份有限公司 $$