达标测试卷(8) 解析几何-【高考总复习】2025年高考数学一轮达标测试卷

达标测试卷(八)　解析几何 1.C　由直线的方向向量为n＝(－1，－1)，得直线的斜率为＝1，所以＝1，解得y＝－1. 2.A　由C1：x2＋y2－14x＝0与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝15，可得圆心C1(7，0)，C2(3，4)，半径R1＝7，R2＝，则|C1C2|＝＝4，且R1－R2＝7－，R1＋R2＝7＋，所以R1－R2<|C1C2|<R1＋R2，所以两圆相交.故选A. 3.B　 直线2x＋y＋4＝0与直线3x－my－2＝0垂直，则2×3＋×＝0，解得m＝2或m＝－3，所以“m＝2”是“直线2x＋y＋4＝0与直线3x－my－2＝0垂直”的充分不必要条件. 故选B. 4.D　由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点在该双曲线上. 设该双曲线的方程为－＝1，则解得a＝2，b＝，故该双曲线的标准方程是－＝1.故选D. 5.C　 由椭圆C：＋＝1可得a2＝9，所以a＝3，因为点M在C上，所以|MF1|＋|MF2|＝2a＝6，所以|MF1|·|MF2|≤2＝2＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立， 所以|MF1|·|MF2|最大值为9.故选C. 6.B　由抛物线方程知其焦点为F，准线为l：x＝. 分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为C，D，AC与BD分别交y轴于M，N，则|AM|＝|AC|－＝|AF|－， |BN|＝|BD|－＝|BF|－. 设AB的中点为E，过E作y轴的垂线，垂足为G， ∴|EG|＝＝(|AF|－＋|BF|－)＝(|AF|＋|BF|－3)≥＝4(当且仅当A，B，F三点共线时，等号成立)，∴线段AB的中点到y轴的距离的最小值为4.故选B. 7.D　曲线x＝即 x2＋y2＝1(x≥0)表示一个半径为1的半圆，如图所示. 当直线y＝x＋b经过点A(0，1)时，求得b＝1， 当直线y＝x＋b经过点B(1，0)时，求得b＝－1， 当直线和半圆相切于点D时， 由圆心O到直线y＝x＋b的距离等于半径，可得＝1，求得b＝－或b＝(舍去).故当直线y＝x＋b与曲线x＝恰有一个公共点时b的取值范围是－1＜b≤1或b＝－，故选D. 8.A　 因为3tan A＋3tan B＋tan C＝0可得＋＝，即＝，而在△ABC中，sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)≠0，所以上式可得3cos(A＋B)－cos Acos B＝0，而cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B， 所以可得2cos Acos B＝3sin Asin B， 即tan A·tan B＝， 由题意可得A(－a，0)，B(a，0)，设C(x0，y0)，可得＋＝1，由椭圆的对称性设C在第一象限，过C作CD⊥AB, 交AB于点D，如图所示. 在△ACD中，tan A＝， 在△BCD中，tan B＝， 所以tan A·tan B＝·＝＝＝，所以＝， 所以离心率e＝＝＝ ＝.故选A. 9.ACD　由x2＋y2－6x＝0，得(x－3)2＋y2＝9，则圆心C(3，0)，半径r1＝3，所以A正确； 对于B，因为点到圆心的距离为＝2>3，所以点在圆C的外部，所以B错误； 对于C，因为圆心C(3，0)到直线l：x＋y＋3＝0的距离为d＝＝3＝r1， 所以直线l：x＋y＋3＝0与圆C相切，所以C正确； 对于D，圆C′：2＋y2＝4的圆心为C′(－1，0)，半径r2＝2， 因为|CC′|＝＝4，r1－r2<4<r1＋r2， 所以圆C′：2＋y2＝4与圆C相交，所以D正确， 故选ACD. 10.BD　对于A，当m＝3时，x2＋y2＝1表示圆，不是椭圆，故A错误； 对于B，当曲线C为焦点在y轴上的双曲线时，解得m>4，故B正确； 对于C，当时，m<2，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，c2＝4－m＋2－m＝6－2m，则焦距2c不是定值，故C错误； 对于D，由C选项可知，m<2，e＝＝，令t＝4－m，t>2，则e＝<，故D正确；故选BD. 11.AC　抛物线C：y2＝4x的焦点为(1，0)，圆F：(x－1)2＋y2＝的圆心为F(1，0)，半径为r＝. 对于A，|PQ|的最小值是|PF|的最小值减去圆的半径，又|PF|的最小值是1，所以|PQ|的最小值是1－＝，A正确；对于B，设P(4t2，4t)，则|PF|2＝(4t2－1)2＋16t2＝16t4＋8t2＋1，|PA|2＝(4t2＋1)2＋16t2＝16t4＋24t2＋1，当t＝0时，＝1；当t≠0时，＝＝1－＝1－≥1－＝， 当且仅当16t2＝，即t＝±时等号成立， 所以的最小值是，B不正确； 对于C，如图所示，要使∠PAQ最大，当且仅当AQ与圆F相切，AP与抛物线C相切，且P，Q在x轴两侧，所以当∠PAQ最大时，|AQ|＝＝＝，C正确；对于D，因为∠PAQ的最小值为0°，即P，A，Q共线，则当∠PAQ最小时，即|AQ|∈，D不正确.故选AC. 12.解析　圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心为C(2，0)，半径为r＝2，|CM|＝＝，则过点M(1，1)的直线被圆截得的弦长的最小值为2＝2＝2. 答案　2 13.解析　若点在抛物线y2＝2px的内部或在抛物线上，则过点的直线l与抛物线恒有公共点，所以当x＝1时，y＝≥2，解得p≥2，所以p的值可以是3. 答案　3(答案不唯一，不小于2的实数均正确) 14.解析　由题意，可设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，由椭圆和双曲线的定义可知，PF1＋PF2＝2a1，PF1－PF2＝2a2，则PF1＝a1＋a2，PF2＝a1－a2，又∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得2＝2＋2－2cos 60°，整理得4c2＝a＋3a，即＋＝4, 则＋＝1， 所以e＋e＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋. 答案　1＋ 15.解析　(1)由题意得，圆心O(0，0)到直线l1：x－y－2＝0的距离为圆的半径r(r＞0)， 则r＝＝2， 所以圆O的标准方程为x2＋y2＝4. 又圆心O到直线l2的距离d＝＝1， 所以|AB|＝2＝2＝2. (2)连接OG，OM(图略)，由题意知|OG|＝＝，|GM|＝＝. 所以以G为圆心，|GM|为半径的圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝6①. 由(1)知圆O的方程为x2＋y2＝4②， 由①－②可得直线MN的方程为x＋3y－4＝0. 16.解析　(1)因为BC过椭圆M的中心， 所以BC＝2OC＝2OB. 又AC⊥BC，BC＝2AC， 所以△OAC是以∠C为直角的等腰直角三角形， 则A(a，0)，C， 所以＋＝1，整理得a2＝3b2， 所以c2＝a2－b2＝2b2，所以e＝＝＝. (2)由(1)可知A(a，0)，B，AB＝a，则△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，半径为AB＝a，所以△ABC的外接圆的方程为＋＝a2. 令x＝0，解得y＝a或y＝－， 所以a－＝9，解得a＝6， 所以b2＝12，故椭圆M的方程为＋＝1. 17.(1)解析　由题意，知＝1，所以p＝2，所以拋物线C的方程为y2＝4x. (2)证明　因为直线l过抛物线C的焦点F(1，0)，由题意知，直线l斜率不为0，所以设l的方程为x＝my＋1，设A，B， 联立消去x得y2＝4my＋4， 即y2－4my－4＝0，所以Δ＝16m2＋16>0， y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 所以k1＋k3＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝－t×＝－t， 因为E(－1，t)，F(1，0)，所以k2＝＝－， 所以k1＋k3＝2k2. 18.(1)解析　由得 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)证明　当直线l斜率不存在时，直线l与椭圆C交于不同的两点分布在x轴两侧，不合题意. 所以直线l斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝. 因为∠APE＝∠OPF，所以kPE＋kPF＝0, 即＋＝0， 整理得2kx1x2＋(x1＋x2)－＝0，化简得m＝－6k，所以直线l的方程为y＝kx－6k＝k(x－6), 所以直线l过定点(6，0). 19.解析　(1)设双曲线的标准方程为－＝1，联立得a2＝3，b2＝1， 所以双曲线的标准方程为－y2＝1. (2)已知C，D，A(－，0)，B(，0). 当m＝±时，动点P与点A，B重合， 当m≠±时，直线AD：y＝， 直线BC：y＝， 联立两直线方程得y2＝. 又－n2＝1，即－3n2＝3－m2， 所以y2＝－，即＋y2＝1. 又·＝＝||2－||2＝||2－2， 且PO∈(1， ]，所以·∈. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 达标测试卷(八)　解析几何 (本卷满分150分　考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)，则y＝(　　) A.－　　　　　 B.　　　　 C.－1　　　　　 D.1 2.圆C1：x2＋y2－14x＝0与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝15的位置关系为(　　) A.相交 B.内切 C.外切 D.相离 3.“m＝2”是“直线2x＋y＋4＝0与直线3x－my－2＝0垂直”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.现有某青花瓷花瓶的外形上下对称，可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是(　　) A.－＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D.－＝1 5.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在椭圆C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A.13 B.12 C.9 D.6 6.已知A，B是抛物线y2＝－6x上的两点，且|AB|＝11，则线段AB的中点到y轴的距离的最小值为(　　) A. B.4 C. D.5 7.若直线y＝x＋b与曲线x＝恰有一个公共点，则b的取值范围是(　　) A.－1＜b≤1 B.－1≤b≤1 C.－≤b≤－1 D.－1＜b≤1或b＝－ 8.设椭圆＋＝1(a>b>0)长轴的两个顶点分别为A，B，点C为椭圆上不同于A，B的任一点，若将△ABC的三个内角记作A，B，C，且满足3tan A＋3tan B＋tan C＝0，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知圆C：x2＋y2－6x＝0，则下列叙述正确的是(　　) A.圆C的半径r＝3 B.点在圆C的内部 C.直线l：x＋y＋3＝0与圆C相切 D.圆C′：＋y2＝4与圆C相交 10.已知曲线C：＋＝1，则下列说法正确的是(　　) A.若2<m<4，则曲线C为椭圆 B.若m>4，则曲线C为焦点在y轴上的双曲线 C.若曲线C为双曲线，则其焦距是定值 D.若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于 11.已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝(F为圆心)，点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点A(－1，0)，则下列结论正确的是(　　) A.|PQ|的最小值是 B.的最小值是 C.当∠PAQ最大时，|AQ|＝ D.当∠PAQ最小时，|AQ|＝ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知圆C：x2＋y2－4x＝0，过点M(1，1)的直线被圆截得的弦长的最小值为________. 13.已知抛物线y2＝2px，若过点的直线l与抛物线恒有公共点，则p的值可以是________.(写出一个符合题意的答案即可) 14.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们一个公共点，且∠F1PF2＝，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，则e＋e的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知圆O的圆心O为坐标原点，且与直线l1：x－y－2＝0相切. (1)求直线l2：4x－3y＋5＝0被圆O所截得的弦AB的长； (2)过点G(1，3)作两条与圆O相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程. 16.(15分)如图，A，B，C是椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC＝2AC. (1)求椭圆M的离心率； (2)若y轴被△ABC的外接圆所截得的弦长为9，求椭圆M的方程. 17.(15分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上一点E(－1，t)，直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线C交于不同的两点A，B. (1)求抛物线C的方程； (2)设直线EA，EF，EB的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1＋k3＝2k2. 18.(17分)已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点到左焦点的距离为1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，已知点P，点A是椭圆的右顶点，直线l与椭圆C交于不同的两点 E，F，E，F两点都在x轴上方，且∠APE＝∠OPF.证明直线l过定点，并求出该定点坐标. 19.(17分)已知双曲线的焦点在x轴上，中心在原点，离心率为，且过点(，1). (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的左、右顶点分别为A，B，且动点C，D在双曲线上，直线BC与直线AD交于点P，M(－，0)，N(，0)，求·的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$