达标测试卷(6) 平面向量、数系的扩充与复数的引入-【高考总复习】2025年高考数学一轮达标测试卷

达标测试卷(六)　平面向量、数系的扩充与复数的引入 (本卷满分150分　考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z满足＝i，则＝(　　) A.＋i　　　 B.－i C.－＋i D.－－i 2.已知向量a，b的夹角的余弦值为－，且|a|＝2，|b|＝3，则a·＝(　　) A.－6　　　　　B.－4　　　　C.2　　　　　　D.4 3.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知△ABC满足 2＝2·，则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 5.《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其大意为现有水池1丈见方(即CE＝1丈＝10尺)，芦苇生长在水池的中央，长出水面部分的长度为1尺.将芦苇向池岸牵引，牵引至恰巧与水岸齐接的位置(如图所示).试问水深、芦苇的长度各是多少？若将芦苇AB，AC均视为线段，在芦苇移动的过程中，设其长度不变，则·＝(　　) A.90 B.92 C.94 D.98 6.已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是(　　) A. B. C. D. 7.如图，已知两个单位向量，，且它们的夹角为，点C在以O为圆心，1为半径的上运动，则·的最小值为(　　) A.－ B.0 C.－ D.－ 8.四边形ABCD为梯形，且＝2，||＝||＝2，∠DAB＝，点P是四边形ABCD内及其边界上的点.若(－)·(＋)＝－4，则点P的轨迹的长度是(　　) A. B.2 C.4π D.16π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数z1＝a2－1＋ai，z2＝1＋i，若z1－2z2为实数，则下列说法正确的有(　　) A.|z1|＝ B.z1z2＝5＋5i C.z为纯虚数 D.对应的点位于第三象限 10.已知向量a＝(1，sin θ)，b＝(cos θ，)，则下列命题正确的是(　　) A.存在θ，使得a∥b B.当tan θ＝－时，a与b垂直 C.对任意θ，都有|a|≠|b| D.当a·b＝－时，tan θ＝ 11.在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，O为△ABC外接圆的圆心，I为△ABC内切圆的圆心，则下列叙述正确的是(　　) A.△ABC外接圆半径为 B.△ABC内切圆半径为 C.·＝8 D.·＝1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.复数z＝(2cos θ－1)＋(2sin θ＋)i为纯虚数，则tan θ＝________. 13.已知e1，e2是单位向量，且e1·e2＝0，设向量a＝λe1＋μe2，当λ＋μ＝2时，|a－e1|的最小值为________. 14.如图是构造无理数的一种方法： 线段OA1＝1; 第一步，以线段OA1为直角边作直角三角形OA1A2，其中A1A2＝1; 第二步，以OA2为直角边作直角三角形OA2A3，其中A2A3＝1; 第三步，以OA3为直角边作直角三角形OA3A4, 其中A3A4＝1，……，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段， 如OA2, OA3，…，则·＝________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在①z＜0；②z为虚数；③z为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 已知复数：z＝(m2－2m－8)＋(m2－4)i. (1)若________，求实数m的值； (2)若复数z－m2(1＋i)＋8的模为2，求实数m的值. 16.(15分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2). (1)若|c|＝2，且c与a方向相反，求c的坐标； (2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 17.(15分)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设＝a，＝b. (1)用a，b表示，； (2)若EF⊥EG，·＝2a·b，求角A的值. 18.(17分)在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上. (1)若＝，设＝λ＋μ，求λ·μ的值； (2)若AB＝3，BC＝4，当·＝2时，求DF的长. 19.(17分)已知向量a＝，b＝(cos x，－1). (1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值； (2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＝，求f(x)＋4cos的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 达标测试卷(六)　平面向量、 数系的扩充与复数的引入 1.A　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由已知有z＋i＝zi，a＋(b＋1)i＝－b＋ai，所以解得 所以z＝－i，故＝＋i，故选A. 2.A　因为向量a，b的夹角的余弦值为－，且|a|＝2，|b|＝3，所以a·＝a·b－a2＝|a|·|b|·cos〈a，b〉－a2＝2×3×－22＝－6，故选A. 3.B　因为复数z1，z2对应的向量分别是＝(－2，－1)，＝(0，1)，则复数＝＝－1＋2i，因此点位于第二象限，故选B. 4.D　根据2＝2·得到c2＝2bccos A，由正弦定理可得sin2C＝2sin Bsin Ccos A， 又C为三角形的内角，得到sin C≠0， 可得sin C＝2sin Bcos A， 又sin C＝sin＝sin(A＋B)， ∴sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Bcos A，即sin Acos B－cos Asin B＝0， ∴sin(A－B)＝0，且A和B都为三角形的内角， ∴A＝B， 则△ABC的形状为等腰三角形.故选D. 5.C　 设AB＝x(尺)， 则AC＝x＋1(尺)， ∵AD＝5(尺)，∴52＋x2＝2，解得x＝12. 以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系(单位：尺)， 则A，D，C，E， ∴＝，＝， ∴·＝－50＋144＝94(平方尺). 故选C. 6.D　因为D在圆外，则＝k且k<－1， 又＝m＋n， 所以＝km＋kn，又D，A，B三点共线，所以km＋kn＝1，m＋n＝，而k<－1，所以m＋n∈.故选D. 7.A　 以O为坐标原点建立如图坐标系，则由已知得B，A. 由点C在以O为圆心，1为半径的上运动可设C(cos θ，sin θ)，θ∈. ∴·＝·(1－cos θ，－sin θ)＝cos2θ－cos θ＋sin2θ－sin θ＋＝－sin，由θ∈知，θ＋∈， ∴sin∈，因此当sin＝1时，·有最小值－. 故选A. 8.B　在△BAD中，∠DAB＝，AD＝2，AB＝2DC＝2AD＝4， 由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AB·ADcos60°＝12，所以BD＝2. 则BD2＋AD2＝AB2，所以BD⊥AD. 因为(－)·(＋)＝(＋)·(＋) ＝·＝－·＝－4，即·＝4. 设向量与的夹角为θ， 则·＝||||cos θ＝4， 因为||＝2，所以||cos θ＝2，即动点P在过点D且垂直于AD的直线上. 又因为P是四边形ABCD内及其边界上的点，所以点P的轨迹只能为线段BD. 所以点P的轨迹的长度为2. 故选B. 9.AC　因为z1－2z2为实数，所以a－2＝0，解得a＝2，所以z1＝3＋2i，z2＝1＋i，所以|z1|＝＝，故A正确； z1z2＝＝1＋5i，故B错误； 因为2＝2i，所以z＝(1＋i)10＝5＝32i，故C正确； 因为1＝3－2i，所以＝＝＝－i，其对应的点在第四象限，故D错误. 故选AC. 10.BD 　对于选项A：若a∥b，则＝sin θcos θ， 即sin 2θ＝2>1， 所以不存在这样的θ，故A错误； 对于选项B：若a⊥b，则cos θ＋sin θ＝0， 即cos θ＝－sin θ，得tan θ＝－，故B正确； 对于选项C：|a|＝，|b|＝， 当|a|＝|b|时，cos 2θ＝－1， 此时θ＝＋kπ，k∈Z，故C错误； 对于选项D：a·b＝cos θ＋sin θ＝－，两边同时平方得cos2θ＋2sin2θ＋2cos θ·sin θ＝3cos2θ＋3sin2θ，化简得2cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ＝0，等式两边同除以cos2θ得tan2θ－2tan θ＋2＝0， 即(tan θ－)2＝0，所以tan θ＝，故D正确.故选BD. 11.BCD　 在△ABC中，cos A＝＝－， 所以sin A＝，设△ABC外接圆半径为R，则2R＝＝＝，则R＝，故A错误； 设△ABC内切圆半径为r，则S△ABC＝r＝×3×5×，解得r＝，故B正确； 因为cos∠BAO＝＝＝，cos∠CAO＝＝＝，所以·＝·＝·－·＝×5×－×3×＝8，故C正确； 设内切圆与△ABC分别切于D，E，F，如图所示，则设AE＝AF＝x，CE＝CD＝y，BD＝BF＝z， 解得x＝，y＝，z＝，所以AI＝＝1，则cos∠BAI＝，cos∠CAI＝， 所以·＝·＝·－·＝1×5×－1×3×＝1，故D正确. 故选BCD. 12.解析　∵z＝(2cos θ－1)＋(2sin θ＋)i为纯虚数， ∴解得∴tan θ＝. 故答案为. 答案　 13.解析　当λ＋μ＝2时，a－e1＝e1＋μe2＝e1＋e2，则|a－e1|＝＝，当λ＝时，|a－e1|取最小值为. 故答案为. 答案　 14.解析　由题可知OA2＝，OA3＝，OA4＝＝2，所以cos∠A2OA3＝＝＝，sin∠A2OA3＝＝，cos∠A3OA4＝＝，sin∠A3OA4＝＝， 所以cos∠A2OA4＝cos(∠A2OA3＋∠A3OA4)＝－，所以·＝||·||·cos∠A2OA4＝×2×＝2－. 故答案为2－. 答案　2－ 15.解析　(1)选择①，z＜0，则解得m＝2. 选择②，z为虚数，则m2－4≠0，解得m≠±2. 选择③，z为纯虚数，则m2－2m－8＝0，m2－4≠0，解得m＝4. (2)由z＝(m2－2m－8)＋(m2－4)i可知 复数z－m2(1＋i)＋8＝(m2－2m－8)＋(m2－4)i－m2i－m2＋8＝－2m－4i. 依题意＝2，解得m＝±1. 16.解析　(1)设c＝(x，y)，由c∥a及|c|＝2， 可得 所以或 因为c与a方向相反，所以c＝(－2，－4). (2)因为(a＋2b)⊥(2a－b)， 所以(a＋2b)·(2a－b)＝0， 即2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0， 所以2×5＋3a·b－2×＝0， 所以a·b＝－， 所以cos θ＝＝－1. 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π. 17.解析　(1)＝－＝－＝b－a，＝＋＝＋＝a＋b. (2)因为EF⊥EG， 所以·＝(a＋b)·(b－a)＝(|b|2－|a|2)＝0， 即|a|＝|b|，·＝a·＝|a|2＋|a||b|cos A＝2|a||b|cos A，即＋cos A＝2cos A，解得cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝. 18.解析　(1)∵在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上， ∴＝＋＝＋， 在矩形ABCD中，＝，＝－， ∴＝－＋， ∴λ＝－，μ＝，∴λ·μ＝－. (2)设＝m(0≤m≤1)， 则＝(m－1)，＝＋＝＋， ＝＋＝(m－1)＋＝(m－1)＋， 又·＝0， ∴·＝·[(m－1)＋]＝(m－1)2＋2＝9(m－1)＋8＝2，解得m＝， ∴||＝m||＝×3＝1，即DF的长为1. 19.解析　(1)因为a∥b，所以cos x＋sin x＝0， 所以tan x＝－. cos2x－sin 2x＝＝＝. (2)f(x)＝2(a＋b)·b ＝2·(cos x，－1) ＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋. 由正弦定理＝，得sin A＝＝＝，所以A＝或A＝. 因为b＞a，所以A＝. 所以f(x)＋4cos＝sin－，因为x∈，所以2x＋∈， 所以－1≤f(x)＋4cos≤－. 所以f(x)＋4cos的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$