达标测试卷(1) 集合与常用逻辑用语、不等式-【高考总复习】2025年高考数学一轮达标测试卷

达标测试卷(一)　集合与常用逻辑用语、不等式 (本卷满分150分　考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.命题“∀x>0，ex＋x>1”的否定为(　　) A.∀x>0，ex＋x≤1　　 B.∀x≤0，ex＋x≤1 C.∃x>0，ex＋x≤1 D.∃x≤0，ex＋x≤1 2.若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝(　　) A.{x|－1≤x<0} B.{x|0<x≤1} C.{x|0≤x≤2} D.{x|0≤x≤1} 3.设Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝n2－n＋a，则“a＝0”是“2a4＝a2＋a6”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知集合M＝{x|x≤m}，N＝.若M∪N＝R，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 5.已知关于x的不等式ax2＋2bx＋4＜0的解集为，其中m＜0，则＋的最小值为(　　) A.－2 B.1 C.2 D.8 6.为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，并搅拌均匀.第二次倒出8升后再次用水补满.若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为(　　) A.5≤V≤40 B.10≤V≤40 C.5<V<40 D.10<V<40 7.已知0<x<1，则＋的最小值为(　　) A.50 B.49 C.25 D.7 8.已知实数a，b满足如下两个条件：(1)关于x的方程3x2－2x－ab＝0有两个异号的实根；(2)＋＝1.若对于上述的一切实数a，b，不等式a＋2b>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设全集为U，下列选项中，是“B⊆A”的充要条件的是(　　) A.A∪B＝A B.A∩B＝A C.(∁UA)⊆(∁UB) D.A∪(∁UB)＝U 10.已知a，b∈R，则下列命题正确的是(　　) A.若a＝－b，则a2≠b2 B.若a2≠b2，则a≠b C.若a>b，则a2>b2 D.若a>|b|，则a2>b2 11.汉代数学名著《九章算术》卷第九《勾股》章中提到了著名的“勾股容方”问题.如图，正方形GBEF内接于直角三角形ABC，其中BE＝d，BC＝a，AB＝b，a≤b，则下列关系式成立的是(　　) A.a≤2d≤ B.＜2d＜ C.＝＋ D.＝a＋b－d 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若>0，且x＋y＝5，则x的取值范围是________. 13.已知集合A＝，B＝{|y＝kx＋3}，若A∩B＝∅，则实数k＝________. 14.已知有限集A＝{a1，a2，…，an}(n≥2，n∈N*)，如果A中元素ai(i＝1，2，…，n)满足a1×2a2×…×nan＝a1＋2a2＋…＋nan，就称A为n元“均衡集”.若{a1，a2}是二元“均衡集”，则2a1＋a2的取值范围是________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知集合A＝，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}. (1)若m＝3，求A∪B； (2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围. 从“①充分不必要条件；②必要不充分条件”中任选一个，填在上面横线处，补充完整该问题，并进行作答. 16.(15分)已知命题p：∃x∈{x|6≤x≤20}，x<2a，命题q：∀x∈R，x2＋2x－a>0. (1)若命题p和命题綈q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围. 17.(15分)已知集合A＝{x|m－1<x<m2＋1}，B＝{x|－2<x<2}. (1)当m＝2时，求A∪B，A∩B； (2)若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 18.(17分)为积极响应国家节能减排的号召，某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场调查分析，全年需投入固定成本2 500万元，每生产x(百辆)新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝由市场调研知，每辆车售价15万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)请写出利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润＝收入－成本) (2)当年产量为多少百辆时，该企业所获利润最大？并求出最大利润. 19.(17分)方程(x－1)(x－2)(x－3)＝0的三个根1，2，3将数轴划分为四部分，即{x|x＜1}，{x|1＜x＜2}，{x|2＜x＜3}，{x|x＞3}.我们在这四个部分上分别考察(x－1)(x－2)(x－3)的符号，从而得出不等式(x－1)(x－2)(x－3)＞0的解集为{x|1＜x＜2或x＞3}. (1)直接写出不等式(1－x)(x＋2)(x－3)＞0的解集； (2)直接写出不等式(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)≥0的解集； (3)一般地，对x1，x2，x3∈R，且x1≤x2＜x3，试求出不等式(x－x1)(x－x2)(x－x3)＜0的解集.(需要写出计算过程) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 达标测试卷(一)　集合与常用逻辑用语、不等式 1.C　命题“∀x>0，ex＋x>1”，则其否定为“∃x>0，ex＋x≤1”，故选C. 2.B　由－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1， 所以集合A＝{x|－1≤x≤1}， 由≤0，解得0<x≤2，所以集合B＝{x|0<x≤2}， 所以A∩B＝{x|0<x≤1}，故选B. 3.A　充分性：当a＝0时，Sn＝n2－n，所以a2＝S2－S1＝22－2－(12－1)＝2，a4＝S4－S3＝42－4－(32－3)＝6，a6＝S6－S5＝62－6－(52－5)＝10，满足2a4＝a2＋a6，所以充分性满足.必要性：因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝n2－n＋a，所以当n＝1时，a1＝S1＝12－1＋a＝a；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n＋a－[(n－1)2－(n－1)＋a]＝2n－2，所以an＝故a2＝2，a4＝6，a6＝10，符合2a4＝a2＋a6，但是不能推出a＝0，所以必要性不满足.故“a＝0”是“2a4＝a2＋a6”的充分不必要条件.故选A. 4.B　由x2－3x－4>0得x<－1或x>4，即N＝(－∞，－1)∪，∵M∪N＝R，M＝，∴m≥4，即实数m的取值范围为.故选B. 5.C　ax2＋2bx＋4＜0的解集为，则ax2＋2bx＋4＝0的两根为m，，所以m·＝，所以a＝1，m＋＝－2b，则2b＝－m＋＞4，即b＞2.故＋＝＋≥2，当且仅当b＝4时等号成立，故＋的最小值为2.故选C. 6.B　第一次稀释后，药液浓度为，第二次稀释后，药液浓度为＝，依题意有≤60%，即V2－45V＋200≤0， 解得5≤V≤40， 又V－10≥0，即V≥10，所以10≤V≤40.故选B. 7.B　因为0<x<1，所以0<1－x<1，根据基本不等式，＋＝(x＋1－x) ＝25＋＋≥25＋2＝49， 当且仅当＝，即x＝时等号成立， 所以＋的最小值为49.故选B. 8.A　设方程3x2－2x－ab＝0的两个异号的实根分别为x1，x2，则x1x2＝－<0，∴ab>0.又＋＝1，∴a>0，b>0，则a＋2b＝＝4＋＋≥4＋2＝8(当且仅当a＝4，b＝2时等号成立)，由不等式a＋2b>m2＋2m恒成立，得m2＋2m<8，解得－4<m<2. ∴实数m的取值范围是.故选A. 9.ACD　对于A，A∪B＝A⇔B⊆A，故A正确；对于B，若A∩B＝A，则A⊆B，推不出B⊆A，故B错误；对于C，(∁UA)⊆(∁UB)⇔B⊆A，故C正确；对于D，A∪(∁UB)＝U⇔(∁UA)⊆(∁UB)⇔B⊆A，故D正确. 10.BD　当a＝－b时，如a＝2，b＝－2时，a2＝b2成立，A错误； 若a＝b，则一定有a2＝b2，所以a2≠b2时，一定有a≠b，B正确； 2>－3，但22<(－3)2，C错误； a>|b|，则a2>|b|2＝b2，D正确.故选BD. 11.AC　由已知GF∥BC，所以△AGF∽△ABC，即＝，所以＝，解得d＝，所以＝＋，故C正确；若a＝3，b＝4，则d＝，＝5，显然≠a＋b－d，故D错误；若a＝3，b＝4，则＝＝2，2d＝2×＝，而3×49＞144，故7＞12，所以2＞，即＞2d，故B错误；因为0＜a≤b，所以2b≥a＋b，即2ab≥a(a＋b)，则≥a，即2d≥a，又因为a＋b≥2，所以2d＝≤＝，所以a≤2d≤，当且仅当a＝b时等号成立，故A正确.故选AC. 12.解析　由题设 >0，所以 可得<x<7. 答案　 13.解析　因为A＝＝{(x，y)|y－3＝x－2，x≠2}＝{(x，y)|y＝x＋1，x≠2}， 所以A表示直线y＝x＋1上除点外的点的集合， 而B＝{(x，y)|y＝kx＋3}表示直线y＝kx＋3上的点的集合，要使A∩B＝∅， 有以下两种情况： ①两直线平行时，两直线无交点，则k＝1； ②两直线不平行时k≠1，所以y＝kx＋3恰好过点，故2k＋3＝3，即k＝0. 故答案为0或1. 答案　0或1 14.解析　由题意知{a1，a2}是二元“均衡集”，所以a1×2a2＝a1＋2a2，即2a2(a1－1)＝a1. 当a1＝1时，显然不成立，所以a1≠1，所以a2＝，所以2a1＋a2＝2a1＋＝2a1＋＋. 设x＝2(a1－1)，x≠0，所以2a1＋a2＝2a1＋＋＝x＋2＋＋＝x＋＋. 当x＞0时，2a1＋a2＝x＋＋≥2＋＝2＋＝，当且仅当x＝1时，等号成立； 当x＜0时，2a1＋a2＝x＋＋＝－(－x＋)＋≤－2＋＝－2＋＝，当且仅当x＝－1时，等号成立.所以2a1＋a2的取值范围是∪. 答案　∪ 15.解析　(1)A＝＝. 因为m>0，则B＝{x|[x－(2－m))][x－(2＋m)]≤0，m∈R}＝. 当m＝3时，B＝[－1，5]，所以A∪B＝[－2，5]. (2)选①　因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集. 所以⇒⇒m∈，经检验“＝”满足. 所以实数m的取值范围是[4，＋∞). 选②　因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，所以B是A的真子集. 所以⇒⇒m∈，经检验“＝”满足.所以实数m的取值范围是(0，3]. 16.解析　(1)若命题p为真命题，即命题∃x∈{x|6≤x≤20}，x<2a，所以6<2a，所以a>3； 若命题q为真命题，即∀x∈R，x2＋2x－a>0， 所以Δ＝22＋4a<0，解得a<－1. 因为命题p和命题綈q有且只有一个为假命题， 当命题p为假，命题綈q为真时 解得－1≤a≤3； 当命题p为真，命题綈q为假时所以a∈∅.所以实数a的取值范围为. (2)若命题p和命题q都为假命题，则 即－1≤a≤3； 因为命题p和命题q至少有一个为真命题， 所以a>3或a<－1，即实数a的取值范围为∪. 17.解析　(1)当m＝2时，A＝{x|1<x<5}， ∵B＝{x|－2<x<2}， ∴A∪B＝{x|－2<x<5}，A∩B＝{x|1<x<2}. (2)∵“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件， ∴集合A是集合B的真子集. ∵m2＋1－＝m2－m＋2＝2＋>0，∴m－1<m2＋1，∴A≠∅， 则∴－1≤m≤1，经检验知，当m＝－1时，A＝{x|－2<x<2}＝B，不合题意， ∴实数m的取值范围. 18.解析　(1)当0<x<40时，L(x)＝15×100x－10x2－800x－2 500＝－10x2＋700x－2 500； 当x≥40时，L(x)＝15×100x－1 501x－＋12 400－2 500＝9 900－； 所以L(x)＝ (2)当0<x<40时，L(x)＝－102＋9 750. 当x＝35时，利润取得最大值L＝9 750； 当x≥40时， L(x)＝9 900－≤9 900－2＝9 800， 当且仅当x＝，即x＝50时，等号成立. 因为9 800>9 750， 所以当x＝50时，即年产量为50百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为9 800万元. 19.解析　(1)由(1－x)(x＋2)(x－3)＞0， 可得(x＋2)(x－1)(x－3)＜0， 所以不等式(1－x)(x＋2)(x－3)＞0的解集为{x|x＜－2或1＜x＜3}. (2)由(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)≥0，可得不等式的解集为{x|x≤1或2≤x≤3或x≥4}. (3)当x1＝x2＜x3时，由(x－x1)(x－x2)(x－x3)＜0，可得(x－x1)2(x－x3)＜0， 解得x＜x3且x≠x1，所以不等式(x－x1)(x－x2)·(x－x3)＜0的解集为{x|x＜x1或x1＜x＜x3}； 当x1＜x2＜x3时，由(x－x1)(x－x2)(x－x3)＜0，可得x＜x1或x2＜x＜x3，所以不等式(x－x1)(x－x2)·(x－x3)＜0的解集为{x|x＜x1或x2＜x＜x3}. 综上，当x1＝x2＜x3时，不等式的解集为{x|x＜x1或x1＜x＜x3}； 当x1＜x2＜x3时，不等式的解集为{x|x＜x1或x2＜x＜x3}. 学科网（北京）股份有限公司 $$