专题01 特殊四边形的性质与判定（十大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北师大版）

专题01 特殊四边形的性质与判定 菱形的性质 1．（2023-24九年级上·陕西安康·期中）如图，在菱形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2023-24九年级上·福建厦门·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，若，则的度数为 ． 3．（2023-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，菱形，对角线与交于点O，于点E，F为线段上一点，若，则线段的长度为 4．（2023-24九年级上·江西抚州·期中）如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为 ． 5．（2023-24九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在菱形中，为边的延长线，在内部作射线，且，过点D作于点F． (1)求的度数； (2)若，求对角线的长． 菱形的证明 6．（2023-24九年级上·河南新乡·期中）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接、、、，与交于点，添加下列条件不能使四边形成为菱形的是（    ）    A． B． C． D． 7．（2023-24九年级上·云南昭通·期中）如图，，四边形的对角线、相交于点，且，，，则四边形是（　　） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形 8．（2023-24九年级上·浙江台州·期中）如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断（　　） 甲：连接，作的中垂线交、于E、F，则四边形是菱形． 乙：分别作与的平分线、，分别交于点E，交于点F，则四边形是菱形．    A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 9．（2023-24九年级上·广东梅州·期中）如图，四边形是平行四边形，于点E，于点F，且求证：四边形是菱形． 10．（2023-24九年级上·广东广州·期中）如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接．求证：    (1)； (2)四边形是菱形． 菱形的判定与性质的综合 11．（2023-24九年级上·河南平顶山·期中）如图，是的角平分线，交于E，交于F，且交于O，则 度．    12．（2023-24九年级上·江西上饶·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接四边形的面积为，且，则的长为 ． 13．（2023-24九年级上·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 14．（2023-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为36，求长． 15．（2023-24九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，分别是，的中点．，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 16．（2023-24九年级上·广东广州·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，，点E是延长线上一点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的面积． 矩形的性质 17．（2023-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 18．（2023-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E，若，则的度数为 ． 19．（2023-24九年级上·山东泰安·期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为 20．（2023-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，． (1)若，则°； (2)求证：． 21．（2023-24九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，点是上一点，，，，垂足为F． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 22．（2023-24九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，在矩形中，与相交于点O，于点E，于点F．求证∶． 直角三角形斜边上的中线性质 23．（2023-24九年级上·河南漯河·期中）如图，在中，，，于点，于点，取的中点，则的周长是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 24．（2023-24九年级上·云南昭通·期中）在中，，，，若点为的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 25．（2023-24九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，O是矩形的对角线的中点，M是的中点，若，，则四边形的周长为（   ） A．12 B．17 C．19 D．20 26．（2023-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，在和中，，分别为的中点，若，则 ． 27．（2023-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，． (1)求证：． (2)已知，，求面积 矩形的证明 28．（2023-24九年级上·贵州黔东南·期中）依次连接四边形各边中点，得四边形是矩形，则四边形必须满足的条件是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C． D． 29．（2023-24九年级上·甘肃平凉·期中）如图，点在的边上，．请从以下三个选项中：①，②，③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．你添加的条件是 ．（填序号）    30．（2023-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，菱形的对角线与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是矩形． 31．（2023-24九年级上·广西桂林·期中）已知：如图，在中，，为的中点，，，求证：四边形矩形． 矩形的判定与性质的综合 32．（2023-24九年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，且，，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段的最小值为 （    ） A．5 B．12 C． D．13 33．（2023-24九年级上·天津和平·期中）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．10 B．12 C．16 D．18 34．（2023-24九年级上·吉林通化·期中）如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则 ． 35．（2023-24九年级上·天津和平·期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，且，．求的度数． 36．（2023-24九年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，为的中点，四边形是平行四边形，，相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 37．（2023-24九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积． 正方形的性质 38．（2023-24九年级上·贵州毕节·期中）如图是中国古代妇女的一种发饰——“方胜”图案，其图案由两个全等的正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．将正方形沿对角线的方向向右平移得到正方形，形成一个“方胜”图案．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 39．（2023-24九年级上·广西南宁·期中）如图，在正方形的右侧作正方形，点B，C，E在同一直线上，，连接，则的面积为（   ） ​ A． B． C． D．6 40．（2023-24九年级上·山东烟台·期中）如图，在正方形中，E是对角线上一点，的延长线交于点F，连接，若，则的度数为 ．    41．（2023-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，正方形的边长为，为边上一点，．绕着点逆时针旋转后与重合，连结，则 ． 42．（2023-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，四边形是正方形，，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的大小． 43．（2023-24九年级上·山东泰安·期中）如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． (1)求证：； (2)求证： (3)若，，求的长． 正方形的证明 44．（2023-24九年级上·山东菏泽·期中）在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 45．（2023-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，对角线相交于点O，点E是的延长线上一点，且是等边三角形． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求证：四边形是正方形． 46．（2023-24九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接．    (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 47．（2023-24九年级上·吉林·期中）如图，中，点是的中点，过的直线，，的平分线分别交于，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形，请说明理由． 正方形的判定与性质的综合 48．（2023-24九年级上·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 49．（2023-24九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，．若点P满足，且，则 ．    50．（2023-24九年级上·广西南宁·期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，连接，其中，则的长是 ． 51．（2023-24九年级上·北京·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)若，求的长． 52．（2023-24九年级上·四川广安·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图（在每个图中分别画一个符合要求的图形即可）． (1)在图①中，画一个三角形，使它的的三边长分别为4，，； (2)在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数； (3)在图③中，画一个平行四边形，使它的周长为整数，且不是特殊的平行四边形； (4)在图④中，画一个正方形，使它的面积是10． 53．（2023-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形，P是对角线上任意一点，过点P作于点M，于点N． (1)求证：四边形是正方形； (2)若E是上一点，且，写出的度数． 1．（2023-24九年级上·山东济宁·期中）如图，点D，E，F分别是的边，，的中点，分别连接，，，，与相交于点O．有下列四个结论： ①；   ② ③当时，点O到四边形四条边的距离相等； ④当时，点O到四边形四个顶点的距离相等． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 2．（2023-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在四边形中，于点E，且四边形的面积为8，则（　　） A．2 B．3 C． D． 3．（2023-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知矩形中，，．点为上任意一点（可与点或重合），分别过、、作射线的垂线，垂足分别是、、，则的最小值是（　　） A．5 B． C． D． 4．（2023-24·九年级上 河北唐山·期中）用尺现作图的方法在一个平行四边形内作菱形，下列作法错误的是（   ） A．   B．   C．   D．   5．（2023-24九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在菱形中，，对角线相交于点O，P是对角线上的一动点，且于点M，于点N．有以下结论：①为等边三角形；②；③； ④．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2023-24九年级上·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，已知、，点C在第一象限，且，若存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ． 7．（2023-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，矩形活动框架（边框粗细忽略不计）中，，，将它扭动成四边形，对角线是两根橡皮筋，当扭动到时，橡皮筋的长度为 ． 8．（2023-24·九年级上 江西上饶·期中）如图，在正方形中，将边绕点B逆时针旋转至，连接，若，则线段的长度为 ． 9．（2023-24九年级上·贵州遵义·期中）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 10．（2023-24九年级上·山东济宁·期中）如图，正方形的对角线，相交于点，点是边上的一动点，连接交于点，过点作于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当点E运动到使平分位置时，与是否存在一定的数量关系?若存在，写出它们的数量关系并证明；若不存在，请说明理由． 11．（2023-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：； (2)当的最小值为时，求正方形的边长． 12．（2023-24九年级上·云南昭通·期中）如图，四边形和均为正方形，点恰好在线段上，连接、、． (1)当点E与A、D两点都不重合时，求证：； (2)当点E与A点重合时，等式成立；当点E与A、D两点都不重合时，等式是否仍然成立？请证明你的结论． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 特殊四边形的性质与判定 菱形的性质 1．（2023-24九年级上·陕西安康·期中）如图，在菱形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形为菱形， ， ， 四边形为菱形， 平分， 故选：C． 2．（2023-24九年级上·福建厦门·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，若，则的度数为 ． 【答案】/27度 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2023-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，菱形，对角线与交于点O，于点E，F为线段上一点，若，则线段的长度为 【答案】2 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， 在中， 由勾股定理得：， ∵， ∴ 故答案为：2． 4．（2023-24九年级上·江西抚州·期中）如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是菱形，且对角线交于原点O， ∴点与点关于原点成中心对称， ， ． 故答案为：． 5．（2023-24九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在菱形中，为边的延长线，在内部作射线，且，过点D作于点F． (1)求的度数； (2)若，求对角线的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ， ； （2）解：如图，连接交于点， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ． 菱形的证明 6．（2023-24九年级上·河南新乡·期中）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接、、、，与交于点，添加下列条件不能使四边形成为菱形的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ， ， 四边形为平行四边形． A．， ， 又， ， 四边形为菱形，故本选项正确； B．无法判定平行四边形是菱形，故本选项错误； C．， ，， 对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故本选项正确； D．，， ， 平行四边形为菱形，故本选项正确． 故选B． 7．（2023-24九年级上·云南昭通·期中）如图，，四边形的对角线、相交于点，且，，，则四边形是（　　） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形 【答案】A 【详解】四边形是菱形， 理由：对角线、相交于，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形， 故选：A． 8．（2023-24九年级上·浙江台州·期中）如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断（　　） 甲：连接，作的中垂线交、于E、F，则四边形是菱形． 乙：分别作与的平分线、，分别交于点E，交于点F，则四边形是菱形．    A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 【答案】C 【详解】解：甲的作法如图所示，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 又∵垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形， ∴甲的作法正确． 乙的作法如图所示：    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． ∴乙的作法正确． 综上分析可知：甲、乙都正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，菱形的判定，三角形全等的判定和方法，等腰三角形的判定，平行线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定． 9．（2023-24九年级上·广东梅州·期中）如图，四边形是平行四边形，于点E，于点F，且求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ， ∴， ∵ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 10．（2023-24九年级上·广东广州·期中）如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接．求证：    (1)； (2)四边形是菱形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， 是等腰三角形， ， ， 也是等腰三角形， ， ； （2）证明：，， 四边形是平行四边形； 是等腰三角形，平分， ； 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，涉及平行线性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、菱形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的几个判定方法． 菱形的判定与性质的综合 11．（2023-24九年级上·河南平顶山·期中）如图，是的角平分线，交于E，交于F，且交于O，则 度．    【答案】 【详解】解：如图：   ，， 四边形为平行四边形， ，， 是的角平分线， ， ， 为菱形． ，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是菱形的判定与性质，平行线性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，根据题意判断出四边形是菱形是解答此题的关键． 12．（2023-24九年级上·江西上饶·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接四边形的面积为，且，则的长为 ． 【答案】6 【详解】解：根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， ， 故答案为：6． 13．（2023-24九年级上·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 14．（2023-24九年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为36，求长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ，，，， 的周长为36， ， ， 在中，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ． 15．（2023-24九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，分别是，的中点．，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：、分别是、的中点， ，且． 又，， ，． 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． （2）解：在菱形中，，， ． 是等边三角形． ． 过点作于点．   ． ． ． 16．（2023-24九年级上·广东广州·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，，点E是延长线上一点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2） 解：∵平行四边形是菱形 ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴的面积. 矩形的性质 17．（2023-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的角平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 18．（2023-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（2023-24九年级上·山东泰安·期中）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为 【答案】 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 20．（2023-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，把矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使点落在对角线上，连接，． (1)若，则°； (2)求证：． 【答案】(1)50 (2)见解析 【详解】（1）解：矩形和矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：50； （2）证明：连接， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等边对等角，熟练掌握旋转和矩形的性质是解题关键． 21．（2023-24九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，点是上一点，，，，垂足为F． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)3 【详解】（1）证明：在矩形中，，，， ． ， ． 在和中， ， ； ， ； （2）解：， ， ， ， 四边形的面积． 22．（2023-24九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，在矩形中，与相交于点O，于点E，于点F．求证∶． 【答案】证明见解析 【详解】证明∶∵四边形为矩形， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 直角三角形斜边上的中线性质 23．（2023-24九年级上·河南漯河·期中）如图，在中，，，于点，于点，取的中点，则的周长是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【详解】解：， 是的中线， ，是的中点， ，， 是的中线，是的中点， 是的中位线， ， 的周长． 故选：B． 24．（2023-24九年级上·云南昭通·期中）在中，，，，若点为的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：． 25．（2023-24九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，O是矩形的对角线的中点，M是的中点，若，，则四边形的周长为（   ） A．12 B．17 C．19 D．20 【答案】D 【详解】解：∵O是矩形的对角线的中点，M是的中点， ∴，，，，为的中位线， ∴， ，， ∴， ∴四边形的周长为， 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的中位线性质、勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握矩形的性质是解答的关键． 26．（2023-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，在和中，，分别为的中点，若，则 ． 【答案】2 【详解】解：∵，分别为的中点， ∴，为的中位线， ∴， 故答案为：2． 27．（2023-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，． (1)求证：． (2)已知，，求面积 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， 在中，点是的中点， ， ， ，， ． （2）解：作于， ，， ， ，， ， ， 的面积， 面积． 矩形的证明 28．（2023-24九年级上·贵州黔东南·期中）依次连接四边形各边中点，得四边形是矩形，则四边形必须满足的条件是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，作图如下，    点分别是的中点，连接，交于点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， A、若四边形是矩形，如图所示，则，    ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不符合题意； B、若四边形是等腰梯形，如图所示，则，    同理可得，平行四边形是菱形，不符合题意； C、若，证明方法同上，平行四边形是菱形，不符合题意； D、若，如图所示，设与交于点，与交于点，    ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，且四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，符合题意； 故选：D ． 29．（2023-24九年级上·甘肃平凉·期中）如图，点在的边上，．请从以下三个选项中：①，②，③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．你添加的条件是 ．（填序号）    【答案】①（答案不唯一） 【详解】解：当时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是矩形， 故答案为：①． 30．（2023-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，菱形的对角线与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴设， 则：， 解得：， ∴， ∴； （2）∵，， ∴四边形是平行四边形 四边形是菱形 ∴ 四边形是矩形． 31．（2023-24九年级上·广西桂林·期中）已知：如图，在中，，为的中点，，，求证：四边形矩形． 【答案】见详解 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 矩形的判定与性质的综合 32．（2023-24九年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，且，，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段的最小值为 （    ） A．5 B．12 C． D．13 【答案】C 【详解】解：连接， ∵，且，， ∴根据勾股定理可得， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，最小， 此时， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 故选：C． 33．（2023-24九年级上·天津和平·期中）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【详解】解：作于M，交于N．    则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 34．（2023-24九年级上·吉林通化·期中）如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则 ． 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 35．（2023-24九年级上·天津和平·期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，且，．求的度数． 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 故的度数为． 36．（2023-24九年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，为的中点，四边形是平行四边形，，相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 37．（2023-24九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边上的中线， ∴，即， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，是边上的中线， ∴． 由（1）知，四边形是矩形，， ∴， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 正方形的性质 38．（2023-24九年级上·贵州毕节·期中）如图是中国古代妇女的一种发饰——“方胜”图案，其图案由两个全等的正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．将正方形沿对角线的方向向右平移得到正方形，形成一个“方胜”图案．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由平移变换的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积个大正方形的面积个小正方形的面积． 故选：D． 39．（2023-24九年级上·广西南宁·期中）如图，在正方形的右侧作正方形，点B，C，E在同一直线上，，连接，则的面积为（   ） ​ A． B． C． D．6 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 40．（2023-24九年级上·山东烟台·期中）如图，在正方形中，E是对角线上一点，的延长线交于点F，连接，若，则的度数为 ．    【答案】/40度 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ， ∵， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征及三角形外角的性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 41．（2023-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，正方形的边长为，为边上一点，．绕着点逆时针旋转后与重合，连结，则 ． 【答案】 【详解】解：∵正方形的边长为，为边上一点，， ∴，， ∴， ∵绕着点逆时针旋转后与重合， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 42．（2023-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，四边形是正方形，，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 43．（2023-24九年级上·山东泰安·期中）如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． (1)求证：； (2)求证： (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：四边形，是正方形， ，，， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ； （3）解：， ， 四边形是正方形，， ，， ，， ， ， ， ． 正方形的证明 44．（2023-24九年级上·山东菏泽·期中）在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 【答案】正方形 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形 45．（2023-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，对角线相交于点O，点E是的延长线上一点，且是等边三角形． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即O是的中点，是的中线， ∵是等边三角形， ∴， 即， ∴是菱形，即四边形是菱形； （2）∵是等边三角形， ∴ 由（1）知， ∴，是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是菱形， ∴， ∴菱形是正方形，即四边形是正方形． 46．（2023-24九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接．    (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是正方形，证明见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， 是的中点， ， 在和中， ∵， ∴， ， 在中，，是中线， ， ； （2）解：四边形是正方形．证明如下： ，， 四边形是平行四边形， ，是中线， ， ， 四边形是正方形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，平行四边形、正方形的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 47．（2023-24九年级上·吉林·期中）如图，中，点是的中点，过的直线，，的平分线分别交于，． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形，请说明理由． 【答案】(1)四边形是矩形，证明见解析 (2)，四边形是正方形.见解析 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵点P是的中点， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是矩形； （2）解：如图，当时，四边形是正方形；    理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形. 正方形的判定与性质的综合 48．（2023-24九年级上·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 49．（2023-24九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形中，．若点P满足，且，则 ．    【答案】 【详解】解：过点P作交延长线于M，交延长线于N，过点P作于Q，交于E，如图，    ∵矩形 ∴，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 在与 ∴ ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 故答案为：． 50．（2023-24九年级上·广西南宁·期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，连接，其中，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示： “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼接而成， ， ，即中间四边形是正方形， ， ， ， 在等腰中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查“赵爽弦图”相关问题，涉及全等性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼接而成，数形结合，借助正方形的判定与性质求解是解决问题的关键． 51．（2023-24九年级上·北京·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，延长到E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， ． 在中，为中点， ． ， 矩形是正方形， ， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定和平行四边形的判定定理，勾股定理，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及平行四边形的判定，本题属于中等题型． 52．（2023-24九年级上·四川广安·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图（在每个图中分别画一个符合要求的图形即可）． (1)在图①中，画一个三角形，使它的的三边长分别为4，，； (2)在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数； (3)在图③中，画一个平行四边形，使它的周长为整数，且不是特殊的平行四边形； (4)在图④中，画一个正方形，使它的面积是10． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【详解】（1） （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：如图所示，即为所求； 53．（2023-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形，P是对角线上任意一点，过点P作于点M，于点N． (1)求证：四边形是正方形； (2)若E是上一点，且，写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，平分，               ∵， ，                 ∴四边形是矩形，                            ， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形， ，                   ∵， ， ∴． 1．（2023-24九年级上·山东济宁·期中）如图，点D，E，F分别是的边，，的中点，分别连接，，，，与相交于点O．有下列四个结论： ①；   ② ③当时，点O到四边形四条边的距离相等； ④当时，点O到四边形四个顶点的距离相等． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】C 【详解】 ①∵点D，E，F分别是的边，，的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴，故①错误； ②∵点D，E，F分别是的边，，的中点， ∴，，，，， ∴四边形和四边形和四边形是平行四边形， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，是菱形两组对角的平分线， ∴点O到四边形四条边的距离相等，故③正确； ④∵，四边形是平行四边形， ∴点O到四边形四个顶点的距离不相等，故④错误． 综上所述：正确的是②③， 故选：C． 2．（2023-24九年级上·浙江台州·期中）如图，在四边形中，于点E，且四边形的面积为8，则（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：过作垂直的延长线于点， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， 又， ∴， ∴； ∴四边形为正方形； ∴四边形的面积等于正方形的面积，即等于8， ， ， 故选：C． 3．（2023-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知矩形中，，．点为上任意一点（可与点或重合），分别过、、作射线的垂线，垂足分别是、、，则的最小值是（　　） A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，， 矩形，，． ， ， ， ， ， 点为上的动点， 取最大值时，的值最小． 当点与点重合时，最大， 时，最小值， 故选：C． 4．（2023-24·九年级上 河北唐山·期中）用尺现作图的方法在一个平行四边形内作菱形，下列作法错误的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】解：A．如图，      根据作图过程可知：， ∵四边形是平行四边形， ，即， ， ， ， ∴四边形是平行四边形，不能证明是菱形，故此选项符合题意； B．如图，      根据作图过程可知：，     在和中， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形，故此选项不符合题意； C．如图，根据作图过程可知：，          ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故此选项不符合题意； D．如图，根据作图过程可知：，          ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形，故此选项不符合题意． 故选：A． 5．（2023-24九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在菱形中，，对角线相交于点O，P是对角线上的一动点，且于点M，于点N．有以下结论：①为等边三角形；②；③； ④．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，，则， 故①②正确； ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， 故③④正确， 综上，正确的有4个， 故选：D． 6．（2023-24九年级上·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，已知、，点C在第一象限，且，若存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ． 【答案】或或 【详解】解：∵， ∴. ∵点C在第一象限，且， ∴， ∴是等边三角形. 过点C作于点E， ∴， ∴， ∴. 当为菱形的对角线时，如图， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴. 当为菱形的对角线时， 与C关于y轴对称， ∴； 当为菱形的对角线时，与C关于x轴对称， ∴， 综上所述：点D的坐标为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，坐标与图形性质，含30度角的直角三角形，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 7．（2023-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，矩形活动框架（边框粗细忽略不计）中，，，将它扭动成四边形，对角线是两根橡皮筋，当扭动到时，橡皮筋的长度为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可得：，，， ∵， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2023-24·九年级上 江西上饶·期中）如图，在正方形中，将边绕点B逆时针旋转至，连接，若，则线段的长度为 ． 【答案】1 【详解】解：过点作于点，   四边形是正方形， ，， ， ， ， 又， 在和中， ， ， ， 将边绕点逆时针旋转至， ， 又， ， ， ， （负值舍去）， 故答案为：1． 9．（2023-24九年级上·贵州遵义·期中）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（）四边形是矩形，四边形是菱形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，菱形的面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 10．（2023-24九年级上·山东济宁·期中）如图，正方形的对角线，相交于点，点是边上的一动点，连接交于点，过点作于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当点E运动到使平分位置时，与是否存在一定的数量关系?若存在，写出它们的数量关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，，理由见解析 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：在正方形中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴； （3）解：与存在一定的数量关系，，理由如下： 如图，过点作于点， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，． 11．（2023-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：； (2)当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)正方形的边长为 【详解】（1）证明，是等边三角形， ，． 由旋转的性质可得， ．即， ． （2）解：连接， 由（1）知，， ， ，， 是等边三角形． ． ． 根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为． 过点作交的延长线于， ． 设正方形的边长为，则，． 在中， ， ． 解得，（舍去负值）． 正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，证明是解题的关键． 12．（2023-24九年级上·云南昭通·期中）如图，四边形和均为正方形，点恰好在线段上，连接、、． (1)当点E与A、D两点都不重合时，求证：； (2)当点E与A点重合时，等式成立；当点E与A、D两点都不重合时，等式是否仍然成立？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)等式仍然成立，见解析 【详解】（1）证明：四边形和均为正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ； （2）解：等式仍然成立．理由： 过点作，交于点，如图， 四边形为正方形， ，，， ， ． ， ， ． ， ， 在和中， ， ， ，． 为等腰直角三角形， ． 由（1）知：， ， ． 四边形为正方形， ， ， ， 等式仍然成立． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$