第12章 第16讲 全等三角形的判定二-2024-2025学年人教版八年级数学上册点拨训练

2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第12章 第16讲 全等三角形的判定二 学习目标 1.能够利用尺规正确的画出一个与给定三角形满足SAS条件的全等的三角形，能准确叙述SAS. 2.能够利用SAS进行简单的几何推理（计算或证明） 3.能够利用SAS进行较复杂的几何推理（计算或证明） 4.能画图说明满足SSA条件的两个三角形不一定全等.能够综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理. 老师告诉你 倍长中线法： 遇到三角形的中线（中点）问题时，常将中线延长一倍（这种方法称倍长中线法），然后连接相应的顶点，构造全等三角形，通过全等三角形的性质将线段的关系进行转化，从而达到解决问题的目的。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 全等三角形的判定2：边角边（SAS） 三角形全等的判定2：边角边（SAS） 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中，． 【新知导学】 例1-1．生活中，我们在测量一个小口圆形容器内径时，常借用某些特制工具测量．如图所示，小青同学将钢条AD和钢条BC的中点O焊接在一起，制作了一把“X型卡钳”．小青同学测量出AB的长度时，就知道内径CD的长度．根据以上信息，你明白其中涉及的全等知识是（　　） A. SSS B. AAS C. SAS D. ASA 【对应导练】 1．如图，为了测出池塘两端A，B间的距离，小依在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点O，连接AO并延长到C，使OC=OA；连接BO并延长到D，使OD=OB，连接CD并测量出它的长度．小铱认为CD的长度就是A，B间的距离，她是根据△OAB≌△OCD来判断的AB=CD，那么判定这两个三角形全等的依据是（　　） A. sss B. SAS C. ASA D. AAS 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE=4，CF=1，则EF的长度为 _____． 3．如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AC、AB上的点，，，则________. 知识点2 利用SAS进行推理证明 ①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序. ②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等 【新知导学】 例2-1．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，DE∥AC，且DE=BC，AC=BD．求证：△ABC≌△BED． 【对应导练】 1．如图，AB=AC，∠BAD=∠CAD，证明：△ABD≌△ACD． 2．如图，AF=DC，∠BCA=∠EFD，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF． 3．如图，△ABC和△BDE是等边三角形，连接AD、CE．求证：△ABD≌△CBE． 知识点3 综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.D A B C D A B C D A B C 证明三角形全等的“两个条件”（1）直接条件：已知中直接给出的边（角）对应相等，D A B C （2） 隐含条件：已知中没有给出，但通过读图得到的条件，如公共边、公共角、对顶角。 “SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用． 1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决. 2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的． 【新知导学】 例3-1 .如图，在四边形中对角线、交于点E，给出下列三组等量关系：①；②，③；请选择其中两组等量关系作为已知条件，另一组等量关系作为结论，并写出说理过程. 【对应导练】 1. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，．    (1) 求证：； (2) 若，求三角形的面积． 2 .已知：在和中，． (1)如图①，若，求证：． (2)如图②，若，则与间的等量关系式为__________，的大小为__________（直接写出结果，不证明） 2、 题型训练 1. 利用边角边判断边的数量关系 1．为参加学校举办的风筝设计比赛，小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD．将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？为什么？ 2．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=15cm,OE=8cm. （1）试说明：OE=BD； （2）求DE的长． 3．如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E． （1）求证：AC=AD． （2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹） 2. 利用边角边证明角相等 4．如图，已知AB平分∠CAD，AC=AD．求证：∠C=∠D． 5．已知：如图，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：∠B=∠E． 3. 利用边角边求角的度数 6．如图，点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点从点向点运动，点从点向点运动，它们同时出发，且速度都为，运动的时间为秒，连接，交于点，则在，运动的过程中， （1）求证：； （2）的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； 7.如图，在中，，分别是，边上的高，在上取一点D，使，在射线上取一点G，使，连结，．若，，则的度数为 ．    4. 综合边边边、边角边进行计算证明 8.已知四边形中，，，如图2，点P，Q分别在线段，上，满足，求证：． 3、 牛刀小试 一、单选题(每小题4分，共32分） 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是( ) A. B. C. D. 2．如图，已知，添加一个条件，使得，下列条件添加错误的是( ) A. B. C. D. 3．如图，在与中，，，，，AB交EF于点D，连接EB.下列结论： ①； ②； ③； ④，正确的个数为( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4．我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞圈D能沿着伞柄滑动，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内所成的角，为了证明这个结论，我们的依据是( ) A. B. C. D. 5．如图，在和中，，，要使，则可以添加下列哪个条件( ) A. B. C. D. 6．根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形( ) A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①和④ 7．如图，，要使，还需添加一个条件是( ) A. B. C. D. 8. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小凡想用绳子测量A，B间的距离，但无法从A点直接到达B点，聪明的小凡想出一个办法：先在地上选取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），连接AP并延长到点D，使DP=AP．连接CD，并测量出它的长度为10米，则A，B两点间的距离为 _____米． ​ 10．“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用测量，就知道∠DEH=∠DFH，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是_____（用字母表示）． 11．如图所示．A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD=1km,DC=1km,村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC=3km,只有AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AE=1.2km,BF=0.7km.试求建造的斜拉桥长至少有___________km. 12．如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片_____即可． 13．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 _____． 三、解答题（共6小题，共48分） 14．(8分）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 _____； （2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为38cm,则由以上信息可推得CB的长度是多少？请说明理由． 15．（8分）如图，AB=AC，D为△ABC内部一点，且BD=CD．连接AD并延长，交BC于点E． ①请写出图中两组全等的三角形； ②任选其一说明全等的理由． 16．（8分）已知如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C． 17．（8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，P为等腰梯形内部一点，若PA=PD，试说明PB=PC． 18 .（8分）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．    19 .（10分）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第12章 第16讲 全等三角形的判定二（解析版） 学习目标 1.能够利用尺规正确的画出一个与给定三角形满足SAS条件的全等的三角形，能准确叙述SAS. 2.能够利用SAS进行简单的几何推理（计算或证明） 3.能够利用SAS进行较复杂的几何推理（计算或证明） 4.能画图说明满足SSA条件的两个三角形不一定全等.能够综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理. 老师告诉你 倍长中线法： 遇到三角形的中线（中点）问题时，常将中线延长一倍（这种方法称倍长中线法），然后连接相应的顶点，构造全等三角形，通过全等三角形的性质将线段的关系进行转化，从而达到解决问题的目的。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 全等三角形的判定2：边角边（SAS） 三角形全等的判定2：边角边（SAS） 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中，． 【新知导学】 例1-1．生活中，我们在测量一个小口圆形容器内径时，常借用某些特制工具测量．如图所示，小青同学将钢条AD和钢条BC的中点O焊接在一起，制作了一把“X型卡钳”．小青同学测量出AB的长度时，就知道内径CD的长度．根据以上信息，你明白其中涉及的全等知识是（　　） A. SSS B. AAS C. SAS D. ASA 【答案】C 【解析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 解：在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（SAS）， 故选：C． 【对应导练】 1．如图，为了测出池塘两端A，B间的距离，小依在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点O，连接AO并延长到C，使OC=OA；连接BO并延长到D，使OD=OB，连接CD并测量出它的长度．小铱认为CD的长度就是A，B间的距离，她是根据△OAB≌△OCD来判断的AB=CD，那么判定这两个三角形全等的依据是（　　） A. sss B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】B 【解析】由题意知OA=OC，OB=OD，由于∠AOB=∠COD，根据“SAS”即可证明△OAB≌△OCD． 解：由题意知OA=OC，OB=OD， 在△OAB和△OCD中， ， ∴△OAB≌△OCD（SAS）． 故选：B． 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE=4，CF=1，则EF的长度为 _____． 【答案】3 【解析】先证明△ABE≌△CAF（AAS），根据全等三角形的性质可得AF=BE=4，AE=CF=1，进一步可得EF的长． 解：∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BEA=∠AFC=90°， ∴∠BAE+∠ABE=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAE+∠FAC=90°， ∴∠FAC=∠ABE， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（AAS）， ∴AF=BE，AE=CF， ∵BE=4，CF=1， ∴AF=BE=4，AE=CF=1， ∴EF=AF-AE=4-1=3， 故答案为：3． 3．如图，D，E分别是等边三角形ABC的边AC、AB上的点，，，则________. 【答案】 【解析】可证 可得∠ABD=∠BCE=15°由三角形外角即可计算∠BDC的度数. 解：在等边三角形ABC中：AB=BC,∠BAD=∠CBE=60° ∵ ∴ ∴∠ABD=∠BCE=15° ∴∠BDC=∠ABD+∠A=15°+60°=75° 故答案为75° 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及应用，掌握三角形的判定是解题的关键. 知识点2 利用SAS进行推理证明 ①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序. ②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等 【新知导学】 例2-1．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，DE∥AC，且DE=BC，AC=BD．求证：△ABC≌△BED． 【解析】根据平行线的性质得出∠D=∠ACB，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可． 证明：∵DE∥AC， ∴∠D=∠ACB， 在△ABC和△BED中， ， ∴△ABC≌△BED（SAS）． 【对应导练】 1．如图，AB=AC，∠BAD=∠CAD，证明：△ABD≌△ACD． 【解析】根据“SAS”可判断△ABD≌△ACD． 证明：在△ABD和△ACD 中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）． 2．如图，AF=DC，∠BCA=∠EFD，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF． 【解析】求出AC=DF，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可． 证明：∵AF=DC， ∴AF+FC=DC+CF， 即AC=DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 3．如图，△ABC和△BDE是等边三角形，连接AD、CE．求证：△ABD≌△CBE． 【解析】根据等边三角形的性质得出AB=BC，BD=BE，进而利用SAS证明△ABD≌△CBE即可． 证明：∵△ABC，△BDE是等边三角形， ∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BD=BE， ∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC， ∴∠ABD=∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）． 知识点3 综合利用SSS、SAS进行复杂的几何推理.D A B C D A B C D A B C 证明三角形全等的“两个条件”（1）直接条件：已知中直接给出的边（角）对应相等，D A B C （2） 隐含条件：已知中没有给出，但通过读图得到的条件，如公共边、公共角、对顶角。 “SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用． 1.证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决. 2判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的． 【新知导学】 例3-1 .如图，在四边形中对角线、交于点E，给出下列三组等量关系：①；②，③；请选择其中两组等量关系作为已知条件，另一组等量关系作为结论，并写出说理过程. 答案：选择①③，证明②，证明见解析 解析：选择①③，证明②， 证明：在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， . 【对应导练】 1. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，．    (1) 求证：； (2) 若，求三角形的面积． 【答案】(1) 见分析； (2) 【分析】（1）根据得，根据得，即，根据 即可证明； （2）在中，以为底作为高，则，，根据 得，，即可得． （1）证明：∵， ， ∵， ， 在和中， ， ； （2）解：如图所示，在中，以为底作为高，    ，， ∵， ，， ． 【点拨】本题考查了三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 2 .已知：在和中，． (1)如图①，若，求证：． (2)如图②，若，则与间的等量关系式为__________，的大小为__________（直接写出结果，不证明） 【答案】(1)证明见解析 (2)，α 【分析】（1）利用证明，即可得到结论； （2）与（1）同理可证，得到，由得到，根据对顶角相等和三角形内角和定理得到即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴； 如图②，设与相交于点E， ∵， ∴， 在和中， ，,， ∴， 故答案为：， 【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 2、 题型训练 1. 利用边角边判断边的数量关系 1．为参加学校举办的风筝设计比赛，小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD．将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？为什么？ 【解析】直接利用全等三角形的判定方法得出△HED≌△HFD（SAS），进而得出答案． 解：小明不用测量就能知道EH=FH． 理由：在△HED和△HFD中 ∵， ∴△HED≌△HFD（SAS）， ∴EH=FH． 2．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE=15cm,OE=8cm. （1）试说明：OE=BD； （2）求DE的长． 【解析】（1）利用AAS证明△COE≌△OBD，可得结论； （2）利用全等三角形性质可得答案． 解：（1）∵OB⊥OC， ∴∠BOD+∠COE=90°， ∵CE⊥OA，BD⊥OA， ∴∠CEO=∠ODB=90°， ∴∠BOD+∠B=90°， ∴∠COE=∠B， ∵OC=BO， ∴△COE≌△OBD（AAS）， ∴OE=BD； （2）∵△COE≌△OBD， ∴CE=OD=15cm, ∴DE=OD-OE=7cm. 3．如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E． （1）求证：AC=AD． （2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹） 【解析】（1）证明△ABC≌△AED（SAS），即可解决问题； （2）根据等腰三角形的性质和尺规作图方法即可解决问题． （1）证明：在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴AC=AD； （2）解：如图AF即为所求． 2. 利用边角边证明角相等 4．如图，已知AB平分∠CAD，AC=AD．求证：∠C=∠D． 【解析】根据角平分线的定义得到∠CAB=∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根据全等三角形的性质即可得到结论． 证明：∵AB平分∠CAD， ∴∠CAB=∠DAB， 在△ACB与△ADB中， ， ∴△ACB≌△ADB（SAS）， ∴∠C=∠D． 5．已知：如图，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：∠B=∠E． 【解析】由AF=DC，得AC=DF，由AB∥DE，得∠A=∠D，即可证△ABC≌△DEF（SAS），故∠B=∠E． 证明：∵AF=DC， ∴AF+CF=DC+CF，即AC=DF， ∵AB∥DE， ∴∠A=∠D， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠B=∠E． 3. 利用边角边求角的度数 6．如图，点，分别是边长为的等边的边，上的动点，点从点向点运动，点从点向点运动，它们同时出发，且速度都为，运动的时间为秒，连接，交于点，则在，运动的过程中， （1）求证：； （2）的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； 【答案】（1）见解析 （2）不变， 【解析】（1）根据等边三角形的性质得出，，根据点，的运动速度相等，得出，即可证明； （2）由（1）得，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵点、的速度相同， ∴， 在和中 ∴； 【小问2详解】 解：的大小不发生变化， ∵， ∴， ∴ ； 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 7.如图，在中，，分别是，边上的高，在上取一点D，使，在射线上取一点G，使，连结，．若，，则的度数为 ．    【答案】32度/ 【分析】证明得到，根据三角形的内角和定理求得即可． 【详解】解：，分别是，边上的高， . ，. . 在和中，，，， . . ， . 【点睛】本题考查三角形的高、全等三角形得判定与性质、三角形的内角和定理，证明是解答的关键． 4. 综合边边边、边角边进行计算证明 8.已知四边形中，，，如图2，点P，Q分别在线段，上，满足，求证：． 证明见分析 【分析】在的延长线上取点K，使得，连接，根据四边形内角和，证明，得到，，再证明，得到，进而推出，然后结合，即可证明结论． 解：证明：如图，在的延长线上取点K，使得，连接，    ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，四边形内角和，做辅助线构造全等三角形是解题关键． 3、 牛刀小试 一、单选题(每小题4分，共32分） 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：在和中 ，， 当时，满足，可证明，故选项A符合题意； 当时，满足，可证明，故选项B符合题意； 当时，满足，不能证明，故选项C不符合题意； 当时，满足，可证明，故选项D符合题意； 故选：C. 2．如图，已知，添加一个条件，使得，下列条件添加错误的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：A、在和中 ， ，故本选项不符合题意； B、，，不能推，故本选项符合题意； C、在和中 ， ，故本选项不符合题意； D、在和中 ， ，故本选项不符合题意； 故选：B. 3．如图，在与中，，，，，AB交EF于点D，连接EB.下列结论： ①； ②； ③； ④，正确的个数为( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：B 解析：在和中， ， ， ，，，故②正确， ， ，故①正确， ， ，故③正确， 无法证明，故④错误， 综上，①②③正确， 故选：B. 4．我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞圈D能沿着伞柄滑动，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内所成的角，为了证明这个结论，我们的依据是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：根据伞的结构，，伞骨，是公共边， 在和中， ， ， 即平分. 故选：B. 5．如图，在和中，，，要使，则可以添加下列哪个条件( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：，，即，又， A.添加，不能推出，不符合题意； B.添加，不能推出，不符合题意； C.添加，可得，利用可推出，符合题意； D.添加，可得，但不能推出，不符合题意. 故选：C. 6．根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形( ) A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①和④ 答案：D 解析：①和④符合了， ①和④两个三角形全等. 故选：D. 7．如图，，要使，还需添加一个条件是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：， ， 又AE公共边， 当时，无法证明，故A不符合题意； 当时，利用SAS证明，故B符合题意； 当时，无法证明，故C不符合题意； 当时，无法证明，故D不符合题意； 故选：B. 8. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解． 解：如图，    由图可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小凡想用绳子测量A，B间的距离，但无法从A点直接到达B点，聪明的小凡想出一个办法：先在地上选取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），连接AP并延长到点D，使DP=AP．连接CD，并测量出它的长度为10米，则A，B两点间的距离为 _____米． ​ 【答案】10 【解析】由题意知AP=DP，BP=CP，根据SAS定理证明△ABC≌△DEC，即可得AB=DE，即可求得结果． 解：由题意知AP=DP，BP=CP，且∠APB=∠DPC， 在△ABP和△DCP中， ， ∴ABP≌△DCP（SAS）， ∴AB=DE， ∵DE=10米， ∴AB=10米． 故答案为：10． 10．“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用测量，就知道∠DEH=∠DFH，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是_____（用字母表示）． 【答案】SSS 【解析】根据SSS即可证明△DHE≌△DHF，可得∠DEH=∠DFH． 解：在△DHE和△DHF中， ， ∴△DHE≌△DHF（SSS）， ∴∠DEH=∠DFH． 故答案为：SSS． 11．如图所示．A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD=1km,DC=1km,村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC=3km,只有AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AE=1.2km,BF=0.7km.试求建造的斜拉桥长至少有___________km. 【答案】1.1 【解析】根据BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD，得出△ADB≌△ADC，进而得出AB=AC=3，这样可得出斜拉桥长度． 解：由题意知：BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°， ∵在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（SAS）， ∴AB=AC=3km, 故斜拉桥至少有3-1.2-0.7=1.1（km）． 故答案为：1.1． 12．如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片_____即可． 【答案】② 【解析】此题实际上考查全等三角形的应用，②中两边及其夹角，进而可确定其形状． 解：②中满足两边夹一角完整，即可得到一个与原来三角形全等的新三角形，所以只需带②去即可． 故答案为：②． 13．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 _____． 【答案】92° 【解析】根据已知条件证明△DAB≌△EAC，可得∠B=∠ACE，再根据CE∥AB，可得∠B+∠ACB+∠ACE=180°，然后证明△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题． 解：∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC， ∴∠DAB=∠EAC， 在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴∠B=∠ACE， ∵CE∥AB， ∴∠B+∠BCE=180°， ∴∠B+∠ACB+∠ACE=180°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B=∠ACB=∠ACE=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠DAE=∠BAC=60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠ADE=60°， ∵∠BAD=28°， ∴∠OAD=60°-28°=32°， ∴∠DOC=∠OAD+∠ADE=32°+60°=92°． 故答案为：92°． 三、解答题（共6小题，共48分） 14．(8分）（1）萧县某中学计划为学生暑期军训配备如图（1）所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是 _____； （2）图（2）是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，交点O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为38cm,则由以上信息可推得CB的长度是多少？请说明理由． 【答案】三角形具有稳定性． 【解析】（1）根据三角形的稳定性进行解答即可； （2）证明△AOD≌△BOC（SAS），得BC=AD，结合已知条件则可知BC的长度 解：（1）由题意得，这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性； 故答案为：三角形具有稳定性． （2）CB=38cm. 理由如下：∵O是AB和CD的中点， ∴AO=BO，CO=DO， 在△AOD和△BOC中， ， ∴△AOD≌△BOC（SAS）， 又∵AD=38cm, ∴BC=AD=38cm. 15．（8分）如图，AB=AC，D为△ABC内部一点，且BD=CD．连接AD并延长，交BC于点E． ①请写出图中两组全等的三角形； ②任选其一说明全等的理由． 【解析】①利用全等三角形的判定定理可得结论； ②△ABD≌△ACD；利用SSS定理证明即可． 解：①△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE， △BDE≌△CDE（写出两组即可）； ②△ABD≌△ACD； 理由：在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）． 16．（8分）已知如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C． 【解析】连接AC,证明△ABC≌△CDA 证明：连接AC∵△ABC和△CDA中， ∴△ABC和△CDA 17．（8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，P为等腰梯形内部一点，若PA=PD，试说明PB=PC． 【解析】先根据已知求得∠BAP=∠CDP，再利用SAS判定△ABP≌△DCP从而得出PB=PC． 证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC， ∴∠BAD=∠CDA，AB=DC．  ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA．   ∴∠BAP=∠CDP．    在△ABP和△DCP中，， ∴△ABP≌△DCP．   ∴PB=PC．   18 .（8分）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．    【答案】见解析 【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论． 【详解】证明：在 中，，， ． ． ． ， ． 在和中， ， ∴． ． 【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 19 .（10分）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析 【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案； 拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得． 【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示： ∵， ∴， 又∵, ∴（SAS）， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：，； 拓展探究：成立． 理由如下：设与相交于点，如图1所示： ∵， ∴， 又∵，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，依然成立． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$