第2章 有理数的运算（单元测试·培优卷）-2024-2025学年七年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

第2章 有理数的运算（单元测试·培优卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．我国首次火星探测任务“天问一号”火星探测器已经在轨飞行约163天，飞行里程突破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里．若将数据830万用科学记数法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算中，错误的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算结果与的结果相同的是（    ） A． B． C． D． 4．若，，且，则的值为（　　） A． B．9 C． D．1 5．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么在①；②；③；④四个关系式中，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．下列结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．规定一种运算：，例如，则 的值为（    ） A．1 B．3 C．-11 D．-13 8．如图，量得一个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯高度为，则10个纸杯叠放在一起的高度是（    ） A． B． C． D． 9．对于有理数，我们规定，例如，，那么的值为（ ） A． B． C． D． 10．小明是一个聪明又富有想象力的学生.学习了“有理数的乘方”后，他就瑑磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，把记作，把记作．在混合运算中，先算除方，再算乘除，最后算加减，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ． 12．最大的负整数与倒数等于本身的数的积是 ． 13．有以下各式：①；②；③，其中负数有 个． 14．若，则的值为 15．如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为 ．    16．截止到2021年10月，我国注册志愿者达到217000000人次．把横线上的数改写成用“亿”作单位的数是 亿，保留一位小数约是 亿． 17．定义一种新运算：，如，则 ． 18．李老师给同学们布置了一道作业题，要求每位同学写出一个式子，发到班级QQ群里，要求男同学发的式子结果为正数，女同学发的式子结果为负数，下面是其中的10个式子： ，，，，，，，，，． 则发这些式子的同学中，有男同学 人 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）有理数的加减计算 (1) (2) 20．（8分）计算： (1)； (2)． 21．（10分） （1）计算： （2）计算： 22．（10分）小明对循环小数转化成分数该过程进行了探究，以下是他以和 （1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 请仿照小明的推导过程，分别把和（写出具体推导过程）． 23．（10分）某花店分别以22元/盆和30元/盆的价格两次购进甲、乙两种绿植．花店第一次购进两种绿植共花费4600元，其中甲种绿植盆数的2倍比乙种绿植盆数的3倍少40盆． （1）请计算该花店第一次分别购进甲、乙两种绿植各多少盆． （2）该花店将第一次购进的甲、乙两种绿植分别以28元/盆和40元/盆的价格全部售出，则卖出后一共可获得利润________元． （3）该花店第二次购买这两种绿植时进价不变，其中甲种绿植盆数是第一次的2倍，乙种绿植盆数不变．甲种绿植仍按原售价销售，乙种绿植打折销售．第二次甲、乙两种绿植销售完以后获得的利润比第一次获得的利润多280元，则第二次乙种绿植是按原售价打几折销售的？ 24．（12分）探究规律，完成相关题目．定义“”运算： ；； ；； ；． （1）归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，__________．特别地0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，__________．请把运算法则补充完整； （2）计算： （3）若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D C B B B B A C 1．A 【分析】直接利用科学记数法的定义及表示形式，其中，为整数求解即可． 【详解】解：根据科学记数法的定义及表示形式，其中，为整数， 则数据8300000用科学记数法表示为：， 故选：A． 【点拨】本题考查了科学记数法的表示方式，解题的关键是：掌握其定义和表达形式，根据题意确定的值． 2．A 【分析】认真审题，根据有理数的加法法则，对四个选项逐一进行计算，据此即可得解； 【详解】A、，该选项错误； B、，该选项正确； C、，该选项正确； D、，该选项正确； 故选：A． 【点拨】本题主要考查了有理数的加法法则：即同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，个数同0相加仍得这个数． 3．D 【分析】先计算出的结果，再计算出各个选项的结果，然后进行比较即可解答． 【详解】解：∵， A.，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. 符合题意． 故选D． 【点拨】本题主要考查了有理数减法、有理数加法、相反数的意义等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 4．C 【分析】本题考查有理数的乘法和减法、绝对值的意义，解题的关键是掌握正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据所给a，b的绝对值，可知，；又由，可得a，b符号相反，然后分类求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，． 综上，的值为． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查有理数的乘法和有理数的加减法、数轴，先根据数轴分析出且，再根据题意进行逐项判断即可． 【详解】解：观察数轴可知，，且， ∴①，故说法错误； ②，说法正确； ③，说法正确； ④，说法正确． 故正确的有3个． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据平方和立方的计算方法求出结果即可得到答案，解题的关键是注意在运算过程中正负号的计算． 【详解】解：A、 ，，故A不符合题意； B、，，故B符合题意； C、 ，，故C不符合题意； D、 ，，故D不符合题意， 故选：． 7．B 【分析】根据新运算得出，再算乘方，然后算乘法，最后算减法即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 【点拨】本题考查了新运算，有理数的混合运算的应用，能根据新运算得出是解此题的关键． 8．B 【分析】求出每增加一个杯子的高度，再计算一个杯子的高度与增加9个杯子的高度和即可． 【详解】解：增加一个杯子增加的高度为：， 故，10个纸杯叠放在一起的高度为：． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了有理数混合运算的应用，正确求出每增加一个杯子增加是解答本题的关键． 9．A 【分析】根据新定义列出算式计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故选：A． 【点拨】本题考查有理数分混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，根据新定义列出算式． 10．C 【分析】根据新定义运算转化为常规运算，计算即可． 【详解】根据运算法则，得 = ． 故选C． 【点拨】本题考查了有理数的新定义运算，准确理解新定义是解题的关键． 11． 或 【分析】根据相反数、倒数和绝对值的性质求解即可． 【详解】的相反数是，的绝对值是或，的倒数是． 故答案为：，或，． 【点拨】本题主要考查了相反数、倒数和绝对值的性质，熟练掌握相反数、倒数和绝对值的性质是解本题的关键． 12． 【分析】最大的负整数是，倒数等于本身的数是，据此计算有理数的乘法即可得． 【详解】解：∵最大的负整数是，倒数等于本身的数是， ∴最大的负整数与倒数等于本身的数的积是， 故答案为：． 【点拨】本题考查了倒数、有理数的乘法，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键． 13．2 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、相反数、绝对值等知识点，先利用有理数的乘方、相反数、绝对值逐个判定即可解答；掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：①是负数；②是负数；③是正数；其中计算结果为负数共2个． 故答案为2． 14．4或0 【分析】由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数，然后进行分类求解即可． 【详解】解：①当，，都是正数，即，，时， 则：； ②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，，则：； 的值为4或0． 故答案为：4或0． 【点拨】本题考查有理数的乘除法、绝对值、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的思想方法解答． 15． 【分析】本题考查有理数的混合运算的题目，掌握运算法则是解题的关键． 根据程序图，列出代数式是，再进行计算即可． 【详解】根据题意得 故答案为：． 16． 2.17 2.2 【分析】改用“亿”作单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉再在数的后面写上“亿”字；保留一位小数，就是把百分位上的数进行四舍五入，据此解答． 【详解】解：亿， 2.17亿保留一位有效数字2.2亿， 故答案为：2.17；2.2． 【点拨】本题主要考查整数的改写和求近似数，注意改写和求近似数时要带计数单位． 17．0 【分析】本题考查了新定义，有理数混合运算，先根据新定义计算出，然后再根据新定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴，． 故． 故答案为：0． 18．4 【分析】分别计算每个式子的数，看有几个正数即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 共4个正数，有男同学4人， 故答案为：4． 【点拨】本题考查了有理数的运算法则，涉及到了正数和负数、绝对值，掌握有理数的运算法则． 19．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 20．(1) (2) 【分析】（1）本题考查有理数的混合运算，按有理数混合运算法则计算即可． （2）本题考查有理数的混合运算，掌握绝对值的运算法则，有理数混合运算的优先级即可解题． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 21．（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． （1）先将乘方化简，再进行计算即可； （2）先将乘方化简，再进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 22．，． 【分析】仿照小明的推导过程，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了有理数的混合运算，理解小明的推导过程是解题的关键． 23．(1)该花店第一次分别购进甲、乙两种绿植各100盆、80盆 (2) (3)第二次乙种绿植是按原售价打九折销售的 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和算式是解题的关键． （1）设该花店第一次购进乙种绿植x盆，则购进甲种绿植盆，根据购买两种绿植一共花费4600元建立方程求解即可； （2）根据总利润（甲的售价甲的进价）甲的销售量（乙的售价乙的进价）乙的销售量计算求解即可； （3）设第二次乙种绿植是按原售价打m折销售的，先求出第二次甲种绿植的数量，再根据总利润（甲的售价甲的进价）甲的销售量（乙的售价乙的进价）乙的销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该花店第一次购进乙种绿植x盆，则购进甲种绿植盆， 由题意得，， 解得， ∴ ， 答：该花店第一次分别购进甲、乙两种绿植各100盆、80盆； （2）解： 元， ∴卖出后一共可获得利润元， 故答案为：； （3）解：设第二次乙种绿植是按原售价打m折销售的， 由题意得，第二次购进甲种绿植盆， ∴， 解得， ∴第二次乙种绿植是按原售价打九折销售的． 24．(1)异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方 (2)17 (3) 【分析】（1）首先根据运算的运算法则进行运算的算式，归纳出运算的运算法则即可； （2）根据（1）中总结出的运算的运算法则，以及有理数的混合运算法则，进行求值计算即可． （3）根据总结的运算法则，进行分析计算即可． 【详解】（1）解：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方； 故答案为：异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方 （2）解： ； （3）解：当同号时， ∵， ， 即， ∴， 解得：； 当异号时， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：； 综上所述， 【点拨】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意加法运算律的应用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$