第三讲正方形的性质与判定基础讲义（十一个考点详细梳理） -2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第三讲 正方形的性质与判定 目录 【知识清单】 2 1．正方形的定义 2 2．正方形的性质 2 3．正方形的判定 2 4．特殊的平行四边形与平行四边形 3 【考点一】正方形的性质 4 【考点二】利用正方形的性质求角度 4 【考点三】利用正方形的性质求长度 5 【考点四】利用正方形的性质计算和证明 7 【考点五】从菱形判定正方形 9 【考点六】从矩形判定正方形 10 【考点七】从平行四边形判定正方形 12 【考点八】从四边形判定正方形 13 【考点九】正方形的性质与判定综合 15 【考点十】正方形中的十字架 17 【考点十一】正方形中的对角互补问题 18 【课堂过关检测】 21 【综合达标训练】 28 【知识清单】 1．正方形的定义 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）； ②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）． （3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 2．正方形的性质 （1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地： ①正方形的四个角都是直角，四条边都相等； ②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平一组对角． （2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 3．正方形的判定 （1）根据正方形的定义． （2）有一组邻边相等的矩形是正方形． （3）有一个角是直角的菱形是正方形． （4）对角线互相垂直的矩形是正方形． （5）对角线相等的菱形是正方形． （6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． （7）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． （8）既是矩形又是菱形的四边形是正方形． 4．特殊的平行四边形与平行四边形 【考点归纳】 【考点一】正方形的性质 【例1】（2024春•咸安区期末）矩形，菱形、正方形都一定具有的性质是　　 A．邻角相等 B．四个角都是直角 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【针对训练】1、（2024春•诸暨市期末）以下说法正确的是　　 A．菱形的对角线互相垂直且相等 B．矩形的对角线互相平分且互相垂直 C．正方形的对角线互相垂直且平分 D．平行四边形的对角线互相平分且相等 【针对训练】2、（2024春•宜昌期末）正方形具有而矩形不一定具有的性质是　　 A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角 【针对训练】3、（2024春•衡阳县期末）下列性质中不是正方形和菱形共有的是　　 A．相邻两角都互补 B．相邻两边都相等 C．对角线所在直线是对称轴 D．对角线垂直且相等 【考点二】利用正方形的性质求角度 【例2】（2024春•陵水县期末）如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为　　 A． B． C． D． 【针对训练】1、（2024•西湖区三模）如图，已知点为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【针对训练】2、（2024春•临汾期末）如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，连接，则的度数为 　　． 【针对训练】3、（2024春•临河区校级月考）如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，则的度数为 　　． 【考点三】利用正方形的性质求长度 【例3】（2024•重庆）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分交于点．若，则的长度为　　 A．2 B． C． D． 【针对训练】1、（2024春•文峰区期末）如图，正方形的边长为4，以对角线为一边向右作等边，连接，则的长度是　　 A． B． C． D． 【针对训练】2、（2024春•泰兴市期末）如图，正方形的边长为2，菱形的边长为，则的长为 　　． 【针对训练】3、（2024春•顺河区校级期末）已知：如图，正方形，连接，是延长线上一点，，连接交于点． （1）求的度数； （2）若，求点到的距离． 【考点四】利用正方形的性质计算和证明 【例4】（2024春•新邵县期末）如图，正方形中，点，分别在，的延长线上，连接，，恰好满足． （1）求证：； （2）若四边形的面积是28，，求的长． 【针对训练】1、（2024春•建邺区校级期中）如图，在正方形中，对角线所在的直线上有两点、，连接、、、，且，求证：四边形是菱形． 【针对训练】2、（2024•邗江区校级三模）如图，点为正方形对角线上一点，于，于点． （1）求证：； （2）若正方形的边长为1，求四边形的周长． 【针对训练】3、（2024春•广陵区校级期末）如图所示，在正方形中，点、在上，且． （1）求证：； （2）判断四边形的形状并说明理由． 【考点五】从菱形判定正方形 【例5】（2024•南皮县三模）已知四边形是平行四边形，若，要使得四边形是正方形，则需要添加条件　　 A． B． C． D． 【针对训练】1、（2024•榆阳区三模）已知菱形的对角线相交于点，下列条件中，能够判定菱形为正方形的是　　 A． B． C． D． 【针对训练】2、（2024•河口区校级模拟）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接，． （1）求证：； （2）当在中点时，判断四边形的形状，并说明理由； （3）若为中点，则当　　时，四边形是正方形？ 【针对训练】3、（2024•茌平区一模）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，过点作交于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，为的中点，当的长为 　　时，四边形为正方形． 【考点六】从矩形判定正方形 【例6】（2024春•吕梁期末）已知四边形中，，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是　　 A． B． C． D． 【针对训练】1、（2024春•淄川区期末）如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，仍不能使矩形成为正方形的是　　 A． B．平分 C． D．是等边三角形 【针对训练】2、（2024春•献县期末）如图，在中，，是的中线，，是的中点，连接并延长，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长； （3）当满足条件 　　时，四边形是正方形． 【针对训练】3、（2024春•贾汪区期中）如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）探究：当　　时，四边形是正方形，并证明你的结论． 【考点七】从平行四边形判定正方形 【例7】（2024春•泰山区期末）如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是　　 A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 【针对训练】1、（2024•二道区校级开学）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，平分，那么四边形是正方形． 其中，正确的有 　　（只填写序号）． 【针对训练】2、（2024•云梦县校级一模）如图，已知矩形 中， 和 的平分线交于边上一点．点为矩形外一点，四边形为平行四边形．求证：四边形是正方形． 【针对训练】3、（2024春•定西期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，是边的中点，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么关系时，四边形是正方形？并证明你的结论． 【考点八】从四边形判定正方形 【例8】（2024春•江汉区期末）下列说法不正确的是　　 A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．三个角为直角且邻边相等的四边形是正方形 【针对训练】1、（2024•高新区校级开学）下列说法中正确的是　　 A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形 【针对训练】2、（2024•榆阳区校级模拟）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，于点，求证：四边形为正方形． 【针对训练】3、（2024春•普陀区期中）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，延长至点，使，联结． （1）当时，求证：； （2）当，且时，求证：四边形是正方形． 【考点九】正方形的性质与判定综合 【例9】（2024春•石狮市校级期末）如图，已知菱形，点、是对角线所在直线上的两点，且，，连接、、，得四边形． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求菱形的面积． 【针对训练】1、（2024春•凤山县期末）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求的长． 【针对训练】2、（2022秋•城关区校级期末）如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足． （1）　　（直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形是正方形． ②若，求的长． 【针对训练】3、（2023春•商水县期末）如图，在正方形中，是对角线，于点，于点，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求正方形的面积． 【考点十】正方形中的十字架 【例10】（2024春•商南县期末）如图，已知正方形的边长为4，点、分别在边，上，且，则的长为　　 A．2.4 B．3 C．4 D．5 【针对训练】1、（2024•甘肃一模）已知：正方形的边长为8，点、分别在、上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为　　． 【针对训练】2、（2024春•凉州区校级期末）已知：如图，在正方形中，，分别是，上的点，、相交于点，并且． （1）如图1，判断和的位置关系？并说明理由； （2）如图2，，，点在线段上运动时（点不与、重合），四边形是否能否成为正方形？请说明理由． 【针对训练】3、（2024春•崆峒区期末）综合与实践： 【问题背景】： 如图1，在正方形中，边长为4．点，是边，上两点，且，连接，，与相交于点． 【探索发现】 （1）探索线段与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，若点，分别是与的中点，连接，计算的长． 【考点十一】正方形中的对角互补问题 【例11】（2024春•荣昌区期末）如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，若，则长为　　 A．1 B．1.5 C． D． 【针对训练】1、（2024春•蒙阴县期末）如图，在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论： （1）； （2）； （3）四边形的面积为正方形面积的； （4）．其中正确的是 　　． 【针对训练】2、（2024•安徽三模）点是正方形的对角线上一点，过点作交于点，的延长线交于点，交于点． （1）如图1，证明：； （2）如图2，若，，求的长． 【针对训练】3、（2024春•贵池区期末）如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）求的值； （3）若恰为的中点，求正方形的面积． 【课堂过关检测】 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•正阳县期末）菱形，矩形，正方形都具有的性质是　　 A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 2．（2024春•泰山区期末）如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是　　 A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 3．（2024•朝阳区校级二模）如图，正方形的边长为4，点是对角线上的一点，于点，于点，连结．若，则的值为　　 A． B． C．4 D．3 4．（2024春•承德县期末）如图，正方形的边长是2，对角线、相交于点，点、分别在边、上，且，则四边形的面积是　　 A．4 B．2 C．1 D． 5．（2024春•南阳期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点，为边上一点，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 6．（2024•江阳区校级模拟）如图，在正方形中，，延长至，使，连接，平分交于点，连接，则的长为　　 A． B． C． D． 7．（2024春•上虞区期末）如图，正方形的边长为8，为边上一点．若，则的长为　　 A． B． C．11 D．6 8．（2024春•宽城县期末）如图，正方形的边长为，为对角线上动点，过作于，于，连接，则的最小值为　　 A．2 B．4 C． D．1 二．填空题（共6小题） 9．（2024春•澄迈县期末）如图所示，在正方形中，若对角线的长为，是上任意一点，过点分别作，，垂足分别为，，则　 　． 10．（2024春•南阳期末）如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为 　　． 11．（2024•襄城区模拟）如图，边长为3的正方形的两边与坐标轴重合，则点的坐标为 　　． 12．（2024春•兰陵县期末）如图，四边形和四边形均为正方形，点为的中点，若，连接，则的长为 　　． 13．（2024春•池州月考）如图，在正方形中，点，，分别是边，，的中点，，相交于点，连接，． （1）若，则的度数是 　　； （2）连接，则与之间的位置关系是 　　． 14．（2024•献县模拟）如图，直线，等边三角形和正方形在它们之间，点，在上，点，在上，点为公共顶点，则的度数为 　　． 三．解答题（共6小题） 15．（2024春•恩施州期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，且． （1）求证：； （2）若的面积为8，求的长． 16．（2024春•新华区期末）如图，四边形是正方形，，分别在直线，上，且，连接． （1）当，分别在边，上时，如图1．请探究线段，，之间的数量关系，并写出证明过程； （2）当，分别在，的延长线上时，如图2．试探究线段，，之间的数量关系，并证明． 17．（2023秋•连州市期末）已知：四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接、、． （1）求证：； （2）证明：． 18．（2024•黄岩区一模）如图，已知，是正方形的对角线上的两点，且．连接，，，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若四边形的周长为，且，求正方形的边长． 19．（2024春•滨江区期末）如图，在正方形中，点，分别在边和的延长线上（点不与点，点重合），且，连接，，．过点作于，连接． （1）求证：点是线段的中点． （2）若，，求． （3）求证：点始终在正方形的对角线上． 20．（2024春•河北期末）如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【综合达标训练】 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•梁溪区期中）如图，有一个和一个正方形，其中点在边上．若，，则　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•埇桥区期末）下列说法正确的是　　 A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 3．（2024春•阳谷县校级月考）下列说法正确的是　　 A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．菱形的面积等于对角线的乘积 D．每组邻边都互相垂直且相等的四边形是正方形 4．（2024春•任泽区期末）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是　　 A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 5．（2024春•岱岳区期末）如图，已知正方形的边长为2，点是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为4；③；④的最小值为1．其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024春•乳山市期末）如图，正方形的边长为2，点，分别在，上，是等边三角形，则　　 A． B． C． D． 7．（2024春•四会市校级期中）如图，在正方形外侧作等边三角形△，则的度数为　　 A． B． C． D． 8．（2024•雁塔区校级开学）如图，在△中，，点是斜边的中点，以为边作正方形．若正方形的面积为16，则△的周长为　　 A． B． C．12 D．24 二．填空题（共6小题） 9．（2024春•恩施州期末）如图，正方形的边长为3，为的中点，连接，于点，连接．则　　． 10．（2024春•沙坪坝区校级月考）如图，点在线段上，四边形和四边形都是正方形，面积分别是10和18，则的面积为 　　． 11．（2024春•三台县期末）如图，在边长为3的正方形中，，，则的长是 　　． 12．（2024春•澄海区期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为．若，，则的长为 　　． 13．（2024春•江岸区期末）如图，点为正方形对角线上一点，，点在边上，，则　　． 14．（2024春•巴彦县期末）如图，在正方形中，点在对角线上，且，延长交于点，连接，则的度数为 　　． 三．解答题（共7小题） 15．（2024春•长治期末）如图，在△中，，，是边上任意一点，连结，过点作交的延长线于点，连结、． （1）猜想四边形的形状，并证明； （2）若是边延长线上任意一点，且，当和满足 　　关系时，四边形是正方形． 16．（2024春•池州月考）如图，在正方形中，点，分别在边，上，是等边三角形，连接交于点． （1）求证：． （2）①　　； ②求证：． （3）求证：． 17．（2024春•北海期末）如图，在正方形中，、分别是，的中点，，交于点，，的延长线交于点，连接． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，求的长． 18．（2024春•金溪县校级月考）如图，菱形和正方形，点在上，点在上． 求证：． 19．（2024•新泰市三模）如图1，在正方形中，为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点作交于点，延长至点，使得，连接．证明． 20．（2024春•龙潭区校级期末）如图①，点在线段上，分别以，为边在线段的同侧作正方形和，连接，． （1）若，则　　； （2）如果点在线段的延长线上，如图②，其他条件不变，求证：． 21．（2024春•济宁期末）如图，四边形为正方形，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）猜想与之间的位置关系？并说明理由； （3）若，则的值为 　　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲 正方形的性质与判定 目录 【知识清单】 2 1．正方形的定义 2 2．正方形的性质 2 3．正方形的判定 2 4．特殊的平行四边形与平行四边形 3 【考点一】正方形的性质 4 【考点二】利用正方形的性质求角度 5 【考点三】利用正方形的性质求长度 8 【考点四】利用正方形的性质计算和证明 12 【考点五】从菱形判定正方形 15 【考点六】从矩形判定正方形 19 【考点七】从平行四边形判定正方形 22 【考点八】从四边形判定正方形 25 【考点九】正方形的性质与判定综合 28 【考点十】正方形中与十字架 33 【考点十一】正方形中的对角互补问题 38 【课堂过关检测】 44 【综合达标训练】 64 【知识清单】 1．正方形的定义 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）； ②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）． （3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形． 2．正方形的性质 （1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地： ①正方形的四个角都是直角，四条边都相等； ②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平一组对角． （2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 3．正方形的判定 （1）根据正方形的定义． （2）有一组邻边相等的矩形是正方形． （3）有一个角是直角的菱形是正方形． （4）对角线互相垂直的矩形是正方形． （5）对角线相等的菱形是正方形． （6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． （7）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． （8）既是矩形又是菱形的四边形是正方形． 4．特殊的平行四边形与平行四边形 【考点归纳】 【考点一】正方形的性质 【例1】（2024春•咸安区期末）矩形，菱形、正方形都一定具有的性质是　　 A．邻角相等 B．四个角都是直角 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】 【解答】解：选项：邻角相等，是矩形、正方形的性质，但是菱形没有该性质，故不符合题意； 选项：四个角都是直角，是矩形和正方形的性质，菱形不具备，故不符合题意； 选项：对角线相等，是矩形、正方形的性质，菱形不具有该性质，故不符合题意； 选项：对角线互相平分，是所有平行四边形的性质，而矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，故它们都具备对角线互相平分的性质，故符合题意． 故选：． 【针对训练】1、（2024春•诸暨市期末）以下说法正确的是　　 A．菱形的对角线互相垂直且相等 B．矩形的对角线互相平分且互相垂直 C．正方形的对角线互相垂直且平分 D．平行四边形的对角线互相平分且相等 【答案】 【解答】解：、菱形的对角线互相垂直且互相平分，故原选项错误，不符合题意； 、矩形的对角线互相平分且相等，故原选项错误，不符合题意； 、正方形的对角线互相垂直且平分，故原选项正确，符合题意； 、平行四边形的对角线互相平分，故原选项错误，不符合题意． 故选：． 【针对训练】2、（2024春•宜昌期末）正方形具有而矩形不一定具有的性质是　　 A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角 【答案】 【解答】解：，，是正方形和矩形都具有的性质，是正方形和菱形具有而矩形不一定具有的性质． 故选：． 【针对训练】3、（2024春•衡阳县期末）下列性质中不是正方形和菱形共有的是　　 A．相邻两角都互补 B．相邻两边都相等 C．对角线所在直线是对称轴 D．对角线垂直且相等 【答案】 【解答】解：正方形和菱形都属于平行四边形，平行四边形邻角互补， 选项不符合题意； 正方形和菱形的四边均相等， 选项不符合题意； 正方形和菱形都关于对角线所在的直线对称， 选项不符合题意； 正方形的对角线垂直且相等，菱形的对角线相互垂直平分， 选项符合题意； 故选：． 【考点二】利用正方形的性质求角度 【例2】（2024春•陵水县期末）如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【针对训练】1、（2024•西湖区三模）如图，已知点为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：四边形是正方形， ，， 为等边三角形， ，， ，，， ， 同理， ， 故选：． 【针对训练】2、（2024春•临汾期末）如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，连接，则的度数为 　67.5　． 【答案】67.5． 【解答】解：四边形是一个正方形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：67.5． 【针对训练】3、（2024春•临河区校级月考）如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，则的度数为 　　． 【答案】． 【解答】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点三】利用正方形的性质求长度 【例3】（2024•重庆）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分交于点．若，则的长度为　　 A．2 B． C． D． 【答案】 【解答】解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ； 平分， ， 在和中， ， ， ； 四边形是正方形， ，， 设，则，，， 在中，根据勾股定理，得，即， 解得． 故选：． 【针对训练】1、（2024春•文峰区期末）如图，正方形的边长为4，以对角线为一边向右作等边，连接，则的长度是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：如图，令，交于点，由正方形，等边知，， 垂直平分， ， 点在上， 是正方形， ， ， 中，，， ， 故选：． 【针对训练】2、（2024春•泰兴市期末）如图，正方形的边长为2，菱形的边长为，则的长为 　2　． 【解答】解：如图，连接与交于点， 四边形正为正方形， ，， 由勾股定理得， 四边形为菱形， ，，， ，， 在△中，由勾股定理得， ， 故答案为：2． 【针对训练】3、（2024春•顺河区校级期末）已知：如图，正方形，连接，是延长线上一点，，连接交于点． （1）求的度数； （2）若，求点到的距离． 【答案】（1）； （2）2． 【解答】解：（1）正方形， ， ， ， ， ； （2）正方形， ，， ， ， 平分， 过点作， ， ．即：点到的距离为2． 【考点四】利用正方形的性质计算和证明 【例4】（2024春•新邵县期末）如图，正方形中，点，分别在，的延长线上，连接，，恰好满足． （1）求证：； （2）若四边形的面积是28，，求的长． 【答案】（1）见解答； （2）5． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：由（1）知四边形是平行四边形， 四边形的面积是28，， ， ， ， ； 故答案为：5． 【针对训练】1、（2024春•建邺区校级期中）如图，在正方形中，对角线所在的直线上有两点、，连接、、、，且，求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：设与交于点， 四边形是正方形， ，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【针对训练】2、（2024•邗江区校级三模）如图，点为正方形对角线上一点，于，于点． （1）求证：； （2）若正方形的边长为1，求四边形的周长． 【解答】证明：（1）四边形是正方形， ，，， 在与中， ， ， ； （2），， ，． 又， 四边形是矩形， ，， ，， ， 又， 矩形的周长为． 【针对训练】3、（2024春•广陵区校级期末）如图所示，在正方形中，点、在上，且． （1）求证：； （2）判断四边形的形状并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）菱形，理由见解析． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ， ； （2）解：四边形是菱形． 连接， 四边形是正方形， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【考点五】从菱形判定正方形 【例5】1．（2024•南皮县三模）已知四边形是平行四边形，若，要使得四边形是正方形，则需要添加条件　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：需要添加条件， 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形， 故选：． 【针对训练】1、（2024•榆阳区三模）已知菱形的对角线相交于点，下列条件中，能够判定菱形为正方形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、由不能判断菱形是正方形，故不符合题意； 、四边形是菱形， ，， ，， ， ， 菱形为正方形，故符合题意； 、由不能判断菱形是正方形，故不符合题意； 、由不能判断菱形是正方形；故不符合题意． 故选：． 【针对训练】2、（2024•河口区校级模拟）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接，． （1）求证：； （2）当在中点时，判断四边形的形状，并说明理由； （3）若为中点，则当　　时，四边形是正方形？ 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是菱形， 理由是：为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，为中点， ， 四边形是菱形； （3）当时，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形． 【针对训练】3、（2024•茌平区一模）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，过点作交于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，为的中点，当的长为 　　时，四边形为正方形． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解答】（1）证明：，， 为的垂直平分线， 即，， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形是菱形； （2）解：设， 四边形是菱形， 当时，四边形是正方形， 此时， 为的中点， ， 在中，， ， 解得，（舍去）， ， 故答案为：． 【考点六】从矩形判定正方形 【例6】（2024春•吕梁期末）已知四边形中，，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由可判定四边形为矩形， 因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形为正方形， 故选：． 【针对训练】1、（2024春•淄川区期末）如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，仍不能使矩形成为正方形的是　　 A． B．平分 C． D．是等边三角形 【答案】 【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形， （2）对角线互相垂直的矩形是正方形． 、不符合题意； 平分， ， ， ， ， ， 矩形成为正方形， 不符合题意； 添加是等边三角形，不能使矩形成为正方形，选项符合题意． 故选：． 【针对训练】2、（2024春•献县期末）如图，在中，，是的中线，，是的中点，连接并延长，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长； （3）当满足条件 　　时，四边形是正方形． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）2； （3）． 【解答】（1）证明：点是的中点， ， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，是的中线， ， 四边形是矩形； （2）四边形是矩形； ， ， 是等边三角形， ； （2）解：． 证明：时， ， 是等腰直角三角形， ， 由（1）知四边形是矩形， 四边形是正方形， 故答案为：． 【针对训练】3、（2024春•贾汪区期中）如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）探究：当　90　时，四边形是正方形，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析； （2）90． 【解答】（1）证明：，， 四边形是矩形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：当时，四边形是正方形， 证明：四边形是菱形，， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形 故答案为：90． 【考点七】从平行四边形判定正方形 【例7】（2024春•泰山区期末）如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是　　 A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 【答案】 【解答】解：、且，是菱形，不符合题意； 、对角线互直垂直且互相平分，是菱形，不符合题意； 、且不能判断四边形是正方形，不符合题意； 、且四边相等，是正方形，符合题意； 故选：． 【针对训练】1、（2024•二道区校级开学）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，平分，那么四边形是正方形． 其中，正确的有 　①②③　（只填写序号）． 【答案】①②③． 【解答】解：①，， 四边形是平行四边形；故①正确； ②若，则平行四边形是矩形；故②正确； ③若平分，则； 所以平行四边形是菱形；故③正确； ④，，，平分， 只能判定四边形是平行四边形；故④错误； 所以正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 【针对训练】2、（2024•云梦县校级一模）如图，已知矩形 中， 和 的平分线交于边上一点．点为矩形外一点，四边形为平行四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：四边形是矩形， ， ，平分 与， ，， ， ， ， ， 是正方形． 【针对训练】3、（2024春•定西期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，是边的中点，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么关系时，四边形是正方形？并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析； （2），且，理由见解析． 【解答】（1）证明：在平行四边形中，， 又是边的中点， 是的中位线， ； （2）解：当，且时，四边形是正方形，理由如下： 当时， 是的中点， 垂直平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形， 当时， ， ， 四边形是正方形． 【考点八】从四边形判定正方形 【例8】（2024春•江汉区期末）下列说法不正确的是　　 A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．三个角为直角且邻边相等的四边形是正方形 【答案】 【解答】解：．对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故选项不符合题意； ．邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故选项不符合题意； ．对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，错误，故选项符合题意； ．三个角为直角且邻边相等得四边形是正方形，正确，故选项不符合题意． 故选：． 【针对训练】1、（2024•高新区校级开学）下列说法中正确的是　　 A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形 【答案】 【解答】解：、有一组邻边相等的四边形不是菱形，故选项不合题意； 、有一个角是直角的四边形不是矩形，故选项不合题意； 、有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形不是正方形，故选项不合题意； 、对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形，故选项符合题意； 故选：． 【针对训练】2、（2024•榆阳区校级模拟）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，于点，求证：四边形为正方形． 【答案】见解析． 【解答】证明：，， ， ， 四边形是矩形， 平分，，， ， 四边形为正方形． 【针对训练】3、（2024春•普陀区期中）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，延长至点，使，联结． （1）当时，求证：； （2）当，且时，求证：四边形是正方形． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）证明过程见解答． 【解答】证明：（1）， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ； （2），如图， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，， 四边形是正方形． 【考点九】正方形的性质与判定综合 【例9】（2024春•石狮市校级期末）如图，已知菱形，点、是对角线所在直线上的两点，且，，连接、、，得四边形． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求菱形的面积． 【解答】解：（1）连接， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 与垂直且互相平分， 四边形是菱形， ， 又， ， 菱形是正方形； （2），， ， ， ， 菱形的面积． 【针对训练】1、（2024春•凤山县期末）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）1． 【解答】（1）证明：四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， 是的平分线， ， 为等腰直角三角形， ， 矩形为正方形； （2）解：四边形为正方形，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【针对训练】2、（2022秋•城关区校级期末）如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足． （1）　45　（直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形是正方形． ②若，求的长． 【答案】（1）45； （2）①见解答；②2． 【解答】（1）解：， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：45； （2）①证明：作于，如图1所示： 则， ，， ， 四边形是矩形， ，外角平分线交于点， ，， ， 四边形是正方形； ②解：设， ， ， 由①得四边形是正方形， ， 在与中， ， ， ， 同理，， 在中，， 即， 解得：， 的长为2． 【针对训练】3、（2023春•商水县期末）如图，在正方形中，是对角线，于点，于点，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求正方形的面积． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）4． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ． ， ， ，， ， ， ． ， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形． （2）解：四边形是正方形， ，． ， ． 四边形是正方形， ， ， ． 【考点十】正方形中与十字架 【例10】（2024春•商南县期末）如图，已知正方形的边长为4，点、分别在边，上，且，则的长为　　 A．2.4 B．3 C．4 D．5 【答案】 【解答】解：正方形中，，， 又， ，， 则在直角和直角中， ， ， ， 又中，， ， ，即， ， ． 故选：． 【针对训练】1、（2024•甘肃一模）已知：正方形的边长为8，点、分别在、上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为　5　． 【解答】解：四边形为正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， 故答案为：5 【针对训练】2、（2024春•凉州区校级期末）已知：如图，在正方形中，，分别是，上的点，、相交于点，并且． （1）如图1，判断和的位置关系？并说明理由； （2）如图2，，，点在线段上运动时（点不与、重合），四边形是否能否成为正方形？请说明理由． 【答案】（1），理由见解答；（2）四边形不能成为正方形，理由见解答． 【解答】解：（1），理由如下： 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）四边形不能成为正方形，理由如下： 由（1）知：， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 点在线段上运动时（点不与、重合）， 、不重合， ， 四边形不能成为正方形． 【针对训练】3、（2024春•崆峒区期末）综合与实践： 【问题背景】： 如图1，在正方形中，边长为4．点，是边，上两点，且，连接，，与相交于点． 【探索发现】 （1）探索线段与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，若点，分别是与的中点，连接，计算的长． 【答案】（1），且，理由见解析；（2）的长为． 【解答】解：（1），且， 理由：四边形是正方形， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 线段和的关系为：，且； （2）连接并延长交于点，连接， 四边形是正方形，，，， ， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 又点为的中点， ， ， 正方形的边长为4，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ． 【考点十一】正方形中的对角互补问题 【例11】（2024春•荣昌区期末）如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，若，则长为　　 A．1 B．1.5 C． D． 【答案】 【解答】解：过点分别作于，于， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是正方形， ，，，， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【针对训练】1、（2024春•蒙阴县期末）如图，在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论： （1）； （2）； （3）四边形的面积为正方形面积的； （4）．其中正确的是 　①②③④　． 【答案】①②③④． 【解答】解：①在正方形中，，，， ， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ②， ， 四边形为正方形， ， ，故②正确； ③由①全等可得四边形的面积与面积相等， 四边形的面积为正方形面积的，故③正确； ④在中，，根据勾股定理，得：，故④正确； 综上所述，正确的是①②③④， 故答案为：①②③④． 【针对训练】2、（2024•安徽三模）点是正方形的对角线上一点，过点作交于点，的延长线交于点，交于点． （1）如图1，证明：； （2）如图2，若，，求的长． 【答案】（1）见解答；（2）． 【解答】（1）证明：如图，连接． 四边形是正方形， 点，关于对称， ，． ， ， 又， ， ， ； （2）由四边形是正方形， 得，，． 由， 得，， 得，即， 得， 得， 得． 【针对训练】3、（2024春•贵池区期末）如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接．过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）求的值； （3）若恰为的中点，求正方形的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）6； （3）． 【解答】（1）证明：如图，作于，于． 四边形是正方形， ， 于，于， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； （2）解：四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ； （3）解：连接， 四边形是正方形， ，， 是中点， ， ， 正方形的面积． 【课堂过关检测】 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•正阳县期末）菱形，矩形，正方形都具有的性质是　　 A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】 【解答】解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分． 故选：． 2．（2024春•泰山区期末）如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是　　 A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 【答案】 【解答】解：、且，是菱形，不符合题意； 、对角线互直垂直且互相平分，是菱形，不符合题意； 、且不能判断四边形是正方形，不符合题意； 、且四边相等，是正方形，符合题意； 故选：． 3．（2024•朝阳区校级二模）如图，正方形的边长为4，点是对角线上的一点，于点，于点，连结．若，则的值为　　 A． B． C．4 D．3 【答案】 【解答】解：连结， ，， ， 四边形是正方形， ，，， ， 四边形是矩形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 在中，根据勾股定理得， 在和中， ， ， ， 故选：． 4．（2024春•承德县期末）如图，正方形的边长是2，对角线、相交于点，点、分别在边、上，且，则四边形的面积是　　 A．4 B．2 C．1 D． 【解答】解：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， 在和中，， ， 的面积的面积， 四边形的面积正方形的面积； 故选：． 5．（2024春•南阳期末）如图，在正方形中，对角线，相交于点，为边上一点，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：正方形， ，， ， ， ， 故选：． 6．（2024•江阳区校级模拟）如图，在正方形中，，延长至，使，连接，平分交于点，连接，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：如图，过作于，于，则四边形是矩形，， 平分， ， ， 四边形是正方形， 设，则， ， ， ，即， 解得：， ， 由勾股定理得：， 故选：． 7．（2024春•上虞区期末）如图，正方形的边长为8，为边上一点．若，则的长为　　 A． B． C．11 D．6 【答案】 【解答】解：由正方形的边长为8，， 得，， 得，， 得． 故选：． 8．（2024春•宽城县期末）如图，正方形的边长为，为对角线上动点，过作于，于，连接，则的最小值为　　 A．2 B．4 C． D．1 【答案】 【解答】解：连接，如图所示： 四边形为正方形，且边长为， ，，， ，， 四边形是矩形， ， 要求的最小值，只需求出的最小值即可， 点在上， 根据“垂线段最短”可知：当时，为最短， 当时，由于， 为等腰直角三角形，即：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， （舍去负值）， 即的最小值为2， 的最小值为2． 故选：． 二．填空题（共6小题） 9．（2024春•澄迈县期末）如图所示，在正方形中，若对角线的长为，是上任意一点，过点分别作，，垂足分别为，，则　5　． 【解答】解：连接， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， 故答案为：5． 10．（2024春•南阳期末）如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为 　8　． 【答案】8． 【解答】解：由图可知：阴影部分的面积之和； 故答案为：8． 11．（2024•襄城区模拟）如图，边长为3的正方形的两边与坐标轴重合，则点的坐标为 　　． 【答案】． 【解答】解：正方形， ，， 点的坐标为， 故答案为：． 12．（2024春•兰陵县期末）如图，四边形和四边形均为正方形，点为的中点，若，连接，则的长为 　　． 【答案】． 【解答】解：如图，连接，让绕点顺时针旋转，此时与重合，得到，连接， 四边形和四边形均为正方形， ，，， 根据旋转的性质，可得，，， ，， ， ， ， △， ， 可得，，三点共线， ，， ， 点为的中点， ， 设，则， 根据勾股定理可得，， 即， 解得（舍去负值）， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（2024春•池州月考）如图，在正方形中，点，，分别是边，，的中点，，相交于点，连接，． （1）若，则的度数是 　　； （2）连接，则与之间的位置关系是 　　． 【答案】（1）； （2）垂直平分是的垂直平分线）． 【解答】解：（1）四边形是正方形， ，， 点，，分别是边，，的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图所示： 连接，同理可得：，， ， 垂直平分是的垂直平分线）． 故答案为：垂直平分是的垂直平分线）． 14．（2024•献县模拟）如图，直线，等边三角形和正方形在它们之间，点，在上，点，在上，点为公共顶点，则的度数为 　　． 【答案】． 【解答】解：由，等边三角形和正方形， 得， 得， 得． 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 15．（2024春•恩施州期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，且． （1）求证：； （2）若的面积为8，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）4． 【解答】（1）证明：在正方形中； ，； 在和中， ， ； 即； （2）解：由（1）得； ； ； ，得． 即的长为4． 16．（2024春•新华区期末）如图，四边形是正方形，，分别在直线，上，且，连接． （1）当，分别在边，上时，如图1．请探究线段，，之间的数量关系，并写出证明过程； （2）当，分别在，的延长线上时，如图2．试探究线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1），证明见解答； （2），证明见解答． 【解答】解：（1）， 证明：如图，延长使得，连接， 四边形为正方形， ．， ， ，， ， ． ， ，， ． ． ， ； （2）． 证明：如图，把绕点逆时针旋转后，得到． 由旋转可得，，，点，，在同一直线上． 四边形为正方形， ． ， ． ． ． ． ，， ． ． ， ． 17．（2023秋•连州市期末）已知：四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接、、． （1）求证：； （2）证明：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明： ， ． 18．（2024•黄岩区一模）如图，已知，是正方形的对角线上的两点，且．连接，，，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若四边形的周长为，且，求正方形的边长． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解答过程； （2）正方形的边长为． 【解答】解：（1）四边形是菱形，理由如下： 连接，交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ，即， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）由（1）知，四边形是菱形， 菱形的周长， ， 设，则， 在中，， ， ，（舍去）， ， ， 故正方形的边长为． 19．（2024春•滨江区期末）如图，在正方形中，点，分别在边和的延长线上（点不与点，点重合），且，连接，，．过点作于，连接． （1）求证：点是线段的中点． （2）若，，求． （3）求证：点始终在正方形的对角线上． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）． （1）答案见解答过程． 【解答】（1）证明：四边形为正方形， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， 于， ， 即点是线段的中点； （2）解：过点向左于，如图1所示： ，， ，， ，， 于，， ， 点是线段的中点， 是△的中位线， ，， ， 在△中，由勾股定理得：； （3）法一 证明：连接，过点作于，于，如图2所示： 则四边形为矩形， ，，，， 设，，则，， 点是线段的中点，， 是△的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， △为等腰直角三角形， ， ，， △为等等腰直角三角形， ， ， ，，在同一条直线上， 点始终在正方形的对角线上． 法二：连接，过点作于，于，如图3所示： 由（1）知△△、 △为等腰直角三角形 由（1）知 、 、 四边形为矩形 △△ 、 点在的角平分线上 即点始终在正方形的对角线上 20．（2024春•河北期末）如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）①证明过程见解答； ②． 【解答】（1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）①证明：如图，作于，于， 得矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②解：正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． ， ， 连接， ， ． 正方形的边长为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/6 22:18:32；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 【综合达标训练】 一．选择题（共8小题） 1．（2024春•梁溪区期中）如图，有一个和一个正方形，其中点在边上．若，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：四边形是正方形， ， ， ， 四边形为平行四边形， ． 故选：． 2．（2023秋•埇桥区期末）下列说法正确的是　　 A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 【答案】 【解答】解：．菱形的四个内角不一定都是直角，故选项不符合题意； ．矩形的对角线不一定互相垂直，故选项不符合题意； ．正方形的每一条对角线平分一组对角，故选项符合题意； ．平行四边形不一定是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 3．（2024春•阳谷县校级月考）下列说法正确的是　　 A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．菱形的面积等于对角线的乘积 D．每组邻边都互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】 【解答】解：、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故不符合题意； 、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故不符合题意； 、菱形的面积等于对角线的乘积的一半，故不符合题意； 、每组邻边都互相垂直且相等的四边形是正方形，故符合题意； 故选：． 4．（2024春•任泽区期末）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是　　 A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】 【解答】解：、有一个角是直角的平行四边形是矩形， （1）处可填是正确的，故该选项不符合题意； 、一组邻边相等的矩形是正方形， （2）处可填是正确的，故该选项不符合题意； 、一组邻边相等的平行四边形是菱形， （3）处可填是正确的，故该选项不符合题意； 、有一个角是直角的菱形是正方形， 无法判定两角是不是直角，故该选项不符合题意； 故选：． 5．（2024春•岱岳区期末）如图，已知正方形的边长为2，点是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为4；③；④的最小值为1．其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【解答】解：如图，连接， ①正方形的边长为4，是对角线上一点， ，，， 又，， ， ， ，， △ 和△ 均为等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ，， ，故①正确； ②由①知，且四边形为矩形， 四边形的周长，故②错误； ③四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ，， 在△和△中， ， △△， ， ，故③正确； ④由③得， 当 的长最小时，的长最小， 当时，的长最小，为， 的长的最小值等于，故④错误． 综上，①③正确． 故选：． 6．（2024春•乳山市期末）如图，正方形的边长为2，点，分别在，上，是等边三角形，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：正方形，是等边三角形， ，，， ， ， ，即：， 设，则：，， 在中，， ， 解得：或（不合题意，舍去）； 故选：． 7．（2024春•四会市校级期中）如图，在正方形外侧作等边三角形△，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：四边形是正方形， ，， △是等边三角形， ，， ，， ， 故选：． 8．（2024•雁塔区校级开学）如图，在△中，，点是斜边的中点，以为边作正方形．若正方形的面积为16，则△的周长为　　 A． B． C．12 D．24 【答案】 【解答】解：四边形是面积为16的正方形， ，且， ， △中，，点是斜边的中点， ，， ， ， ， △的周长为， 故选：． 二．填空题（共6小题） 9．（2024春•恩施州期末）如图，正方形的边长为3，为的中点，连接，于点，连接．则　3　． 【答案】3． 【解答】解：延长、交于点， 为的中点， ， 四边形正方形， ，， ， 在和中 ， ， ， ， 点为的中点， ， ， 在中，为斜边的中线， ， 故答案为：3． 10．（2024春•沙坪坝区校级月考）如图，点在线段上，四边形和四边形都是正方形，面积分别是10和18，则的面积为 　　． 【答案】． 【解答】解：如图：过点作，交的延长线于． 四边形和四边形都是正方形，面积分别是10和18， ，，，， 在中，， ，， ，且，， ， ， ， 故答案为：． 11．（2024春•三台县期末）如图，在边长为3的正方形中，，，则的长是 　　． 【答案】． 【解答】解：四边形是正方形， ，， 中，， ， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：（负值舍去）， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 12．（2024春•澄海区期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为．若，，则的长为 　　． 【答案】． 【解答】解：连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， 是线段的垂直平分线， 设， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：． 13．（2024春•江岸区期末）如图，点为正方形对角线上一点，，点在边上，，则　　． 【答案】． 【解答】解：连接， 由正方形对角线是对称轴，，， 得，， 得， 得， 由， 得． 故答案为：． 14．（2024春•巴彦县期末）如图，在正方形中，点在对角线上，且，延长交于点，连接，则的度数为 　　． 【答案】． 【解答】解：正方形中， ，，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 15．（2024春•长治期末）如图，在△中，，，是边上任意一点，连结，过点作交的延长线于点，连结、． （1）猜想四边形的形状，并证明； （2）若是边延长线上任意一点，且，当和满足 　　关系时，四边形是正方形． 【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析； （2）． 【解答】解：（1）四边形是菱形，理由如下： ，，， ， ， ，， 在△和△中， ，，， △△， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）如图，结论：， 理由：，，， ， ， ，， 在△和△中， ，，， △△， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， ， ， △是等腰直角三角形， ， ， 四边形是正方形． 16．（2024春•池州月考）如图，在正方形中，点，分别在边，上，是等边三角形，连接交于点． （1）求证：． （2）①　　； ②求证：． （3）求证：． 【答案】（1）详见解析； （2）①；②详见解析； （3）详见解析． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，，， 在和中， ， ． （2）①； 故答案为：； ②证明：， ，即， ， 垂直平分， 即． （3）设，，由勾股定理得， ， ， ， ， ． 17．（2024春•北海期末）如图，在正方形中，、分别是，的中点，，交于点，，的延长线交于点，连接． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）4． 【解答】（1）证明：四边形为正方形， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形为正方形， ，， 、分别是，的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 即， ， ， ， ． 18．（2024春•金溪县校级月考）如图，菱形和正方形，点在上，点在上． 求证：． 【答案】见解答． 【解答】解：菱形和正方形， ，，， 在和中，， ， ． 19．（2024•新泰市三模）如图1，在正方形中，为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点作交于点，延长至点，使得，连接．证明． 【答案】见解答． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； （2）解：连接， ，， ， ，， 又， ， ，， 由（1）， ，， ， ， ， ， ， ， ． 20．（2024春•龙潭区校级期末）如图①，点在线段上，分别以，为边在线段的同侧作正方形和，连接，． （1）若，则　6　； （2）如果点在线段的延长线上，如图②，其他条件不变，求证：． 【答案】（1）6； （2）证明见解答． 【解答】（1）解：如图①，四边形和四边形都是正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：6． （2）证明：如图②，四边形和四边形都是正方形， ，，， 在和中， ， ， ． 21．（2024春•济宁期末）如图，四边形为正方形，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）猜想与之间的位置关系？并说明理由； （3）若，则的值为 　2　． 【解答】（1）证明：如图，作于，于，则四边形是矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， 四边形是矩形， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）解：，理由如下： 四边形和四边形都是正方形， ，，， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ，， ， ； （3）解：由（2）知，△△， ， ， 故答案为：2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/9/6 22:24:58；用户：CC；邮箱：orFmNt_mkzYuKZJ2kqOAqAaA9O3w@weixin.jyeoo.com；学号：27850974 学科网（北京）股份有限公司 $$