精品解析：天津市第四十一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题

天津市第四十一中学2024—2025学年度第一学期高三第一次月考 数学 一、选择题：（每小题5分，共45分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集、补集的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：A. 2. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出和的解集，再根据集合间的关系，即可得解； 【详解】解不等式可得或，解得或， 解不等式，可得或. 或或， 因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】掌握充分条件和必要条件的定义是解题关键. 3. 已知命题：“”，则为（ ） A. B. C. 不存在 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】命题：“”， 则为 故选:B 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定奇偶性，排除两个选项，然后再由函数值的变化趋势排除一个选项，得正确选项． 【详解】由可知是偶函数，排除A，B；当时，，选项C错误． 故选：D 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 6. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ） A. 120 B. 60 C. 40 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】选出一个志愿者连续参加两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人参加这两天的活动，计算结果即可. 【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法， 同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种. 故选：B. 7. 有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，报名足球或乒乓球俱乐部的有70人，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 【答案】A 【解析】 【分析】求出报名两个俱乐部的人数，继而求得某人报足球俱乐部的概率和某人报名两个俱乐部的概率，根据条件概率的计算公式，即可得答案. 【详解】由题意知报名两个俱乐部的人数为， 记“某人报足球俱乐部”为事件A，记“某人报乒乓球俱乐部”为事件， 则，所以, 故选：A 8. 已知定义在上的偶函数在区间上递减.若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由是偶函数在上递减，故在上递增，然后比较的自变量，进而判断得结果. 【详解】因为定义在R上的偶函数在区间上递减，所以在上递增， ，，， 因为，在上递增， 所以，即， 故选:B. 【点睛】方法点睛：本题考查了函数的基本性质，对于抽象函数，要灵活掌握并运用图像与奇偶性、单调性等性质，要注意定义域，还应该学会解决的基本方法与技巧，如对于选择题，可选用特殊值法、赋值法、数形结合等，应用分析、逻辑推理、联想类比等数学思想方法. 9. 已知，函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得当时恒成立且当时，恒成立，再分别讨论函数在各段上的最值即可求解. 【详解】解: 因为关于的不等式恒成立, 所以当时恒成立且当时，恒成立； 所以当时恒成立且当时，恒成立， 即当时恒成立且当时，恒成立； 所以当时，令，函数是开口向下的二次函数，对称轴为， 所以当时，即时，函数在上单调递增，在单调递减，故原不等式恒成立等价于，解得； 当时，即时，函数在上单调递增，故原不等式恒成立等价于，解得； 当时，令，则，故在区间上单调递减，在上单调递增，所以原不等式恒成立等价于，即. 综上，实数的取值范围是 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，分段函数，考查分类讨论思想，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意将问题转化为当时恒成立且当时，恒成立. 二、填空题：（每小题5分，共30分） 10. 已知是虚数单位，化简的结果为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 11. 在的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】##． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；根据古典概型的概率公式可求出第二个空． 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A， 所以，； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 14. 已知，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得,将所求式子化为，然后利用“1的代换”和基本不等式求最值. 【详解】因为，所以, ∴, 所以= ，当 ，即时取等号，的最小值为 . 故答案为：. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，关键是利用“1的代换”进行转化. 15. 下列命题正确的是______． ①对于事件，若，且，则 ②若随机变量，则 ③相关系数的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强 ④在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据事件的包含关系结合条件概率定义可判断①；根据正态分布曲线的对称性可判断②；根据相关系数的绝对值的含义可判断③；根据残差图残差点分布的带状区域的含义判断④. 【详解】对于①，对于事件，，即A发生必定有B发生，则，①正确； 对于②，若随机变量，则，②错误； 对于③，相关系数的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强，正确； 对于④，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差，正确， 故答案为：①③④ 三、解答题：（本大题共5小题，共75分）， 16. 已知定义域为R的单调函数是奇函数,当时,. （1）求的解析式. （2）若对任意的,不等式恒成立,求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数和时的解析式，得到与时的解析式，得到答案； （2）先得到函数的单调性，结合函数的奇偶性解不等式，求出对任意恒成立，故对任意恒成立，由根的判别式求出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时, ， ，又函数是奇函数， ， ， 故， 又．综上所述 ； 【小问2详解】 为R上的单调函数，且， ∴函数在R上单调递减． ， ， 函数是奇函数， ． 又在R上单调递减， 对任意恒成立， 对任意恒成立， ， 解得：． 故实数的取值范围为． 17. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：； 乙：； 丙：. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立 （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式直接计算得解； （2）先分别求得甲、乙、丙获得优秀奖的概率，再按步骤计算离散型随机变量的概率及期望即可. 【小问1详解】 设事件A为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”， 其概率为； 【小问2详解】 记事件B为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，则， 事件C为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，则， 依题意可知的可能取值为， 则， ， ， ， 所以的分布列为 期望. 18. 已知函数． （1）求的极值； （2）若，求在上的最大值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据极值的定义，讨论和0的大小关系即可; （2）讨论在不同范围上，在上的单调性以及端点值的大小即可. 【小问1详解】 ； 当时，, 在上单调递增，无极值； 当时，,在上，，单调递减， 在上，，单调递增，有极小值； 综上：当时，无极值；当时，有极小值 【小问2详解】 由（1）知，时，在上， 单调递减，在上，单调递增. 所以，当时，； 当时，，， 若，则， Ⅰ：当时，，； Ⅱ：当时，，； 当时，； 综上得： 19. 甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 （1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； （2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）A，B两家公司长途客车准点的概率分别为， （2）有 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果； （2）根据表格中数据及公式计算，再利用临界值表比较即可得结论. 【小问1详解】 根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次， 设A家公司长途客车准点事件为M， 则； B共有班次240次，准点班次有210次， 设B家公司长途客车准点事件为N， 则. A家公司长途客车准点的概率为； B家公司长途客车准点的概率为. 【小问2详解】 列联表 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 =， 根据临界值表可知，有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. 20. 已知函数． （1）若，求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． 【答案】（1） （2）证明见的解析 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解； （2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证. 【小问1详解】 [方法一]：常规求导 的定义域为，则 令,得 当单调递减 当单调递增， 若,则,即 所以的取值范围为 [方法二]：同构处理 由得： 令，则即 令，则 故在区间上是增函数 故，即 所以的取值范围为 【小问2详解】 [方法一]：构造函数 由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设 要证,即证 因为,即证 又因为,故只需证 即证 即证 下面证明时， 设， 则 设 所以,而 所以,所以 所以在单调递增 即,所以 令 所以在单调递减 即,所以； 综上, ,所以. [方法二]：对数平均不等式 由题意得： 令，则， 所以在上单调递增，故只有1个解 又因为有两个零点，故 两边取对数得：，即 又因为，故，即 下证 因为 不妨设，则只需证 构造，则 故在上单调递减 故，即得证 【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式 这个函数经常出现，需要掌握 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第四十一中学2024—2025学年度第一学期高三第一次月考 数学 一、选择题：（每小题5分，共45分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知命题：“”，则为（ ） A. B. C. 不存在 D. 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ） A. 120 B. 60 C. 40 D. 30 7. 有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，报名足球或乒乓球俱乐部的有70人，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 8. 已知定义在上的偶函数在区间上递减.若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题5分，共30分） 10. 已知是虚数单位，化简的结果为_________． 11. 在的展开式中，的系数为_________． 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________． 14. 已知，则的最小值为_______. 15. 下列命题正确的是______． ①对于事件，若，且，则 ②若随机变量，则 ③相关系数的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强 ④在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差 三、解答题：（本大题共5小题，共75分）， 16. 已知定义域为R的单调函数是奇函数,当时,. （1）求的解析式. （2）若对任意的,不等式恒成立,求实数k的取值范围. 17. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：； 乙：； 丙：. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立 （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的分布列和数学期望. 18. 已知函数． （1）求的极值； （2）若，求在上的最大值． 19. 甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 （1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； （2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 20. 已知函数． （1）若，求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $