1.1认识三角形 知识梳理和专题复习2024－2025学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

1.1 认识三角形 【知识梳理】 【知识点一】三角形的定义 三角形的概念:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三角形用符号“ ”表示,顶点是A、B、C的三角形记作“ ABC”,读作“三角形ABC”。 【知识点二】三角形的分类 按边分类:三角形 按角分类:三角形 【知识点三】三角形的内角和 三角形内角和定理:三角形内角和是180 . 直角三角形的性质:直角三角形两个内角互余. 【知识点四】三角形的三边关系 三角形的三边关系:三角形两边的和大于第三边,两边的差小于第三边. 【注】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式,只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形. (1)三角形三边长分别是a,b,c,则a+b>c或c-b<a。 (2)已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围:|a-b|<c<a+b 【知识点五】三角形的三条重要线段 三角形的高线:从三角形的一个顶点向底边作垂线,垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高. 三角形的角平分线:三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点,则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的中线:三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线. 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段. 三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段. 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段. 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D. 取BC边的中点D,连接AD. 作∠BAC的平分线AD,交BC于点D. 标示图形 符号语言 1.AD是 ABC的高. 2.AD是 ABC中BC边上的高. 3.AD⊥BC于点D. 4.∠ADC=90 ,∠ADB=90 . (或∠ADC=∠ADB=90 ) 1.AD是 ABC的中线. 2.AD是 ABC中BC边上的中线. 3.BD=DC=BC 4.点D是BC边的中点. 1.AD是 ABC的角平分线. 2.AD平分∠BAC,交BC于点D. 3.∠1=∠2=∠BAC. 推理语言 因为AD是 ABC的高,所以AD⊥BC. (或∠ADB=∠ADC=90 ) 因为AD是 ABC的中线,所以BD=DC=BC. 因为AD平分∠BAC,所以∠1=∠2=∠BAC. 用途举例 1.线段垂直. 2.角度相等. 1.线段相等. 2.面积相等. 角度相等. 注意事项 1.与边的垂线不同. 2.不一定在三角形内. — 与角的平分线不同. 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点. 一个三角形有三条中线,它们交于三角形内一点. 一个三角形有三条角平分线,它们交于三角形内一点. 【题型专练】 【考点1】三角形的分类及三边关系 【例1】如果一个三角形的一边长为,另一边长为,若第三边长为. (1)第三边的范围为_. (2)当第三边长为奇数时,求出这个三角形的周长,并指出它是什么三角形(按边分类). 【变式1】已知一个三角形有两条边相等,一边长为,另一边长为,则这个三角形的周长为( ) A. B. C.不能确定 D.或 【变式2】如图,为估计池塘两岸A,B间的距离,小明在池塘一侧选取了一点P,测得PA=14m, PB=10m,那么AB间的距离不可能是( ) A.4m B.15m C.20m D.22m 【变式3】下列各组给出的三条线段不能围成三角形的是( ) A. B. C. D. 【变式4】用一条24cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边的2倍,那么各边的长是多少? (2)能围成有一边长为4cm的等腰三角形吗?为什么? 【考点2】三角形的内角和 【例1】如图,在中,,,于点,与交于点. (1)求的度数; (2)若平分,平分,试说明. 【变式1】如图,直线,的直角顶点落在直线上,点落在直线上,若,,则的大小为 A. B. C. D. 【变式2】如图,在中,,分别是边,上的点,将沿折叠;使点落在点处,若,,则的度数为 A. B. C. D. 【变式3】如图,直线a∥b, ABC是直角三角形,∠C=90 ,顶点A在直线b上,边AB交直线a于点D,边BC交直线a于点E,若∠1=20 ,则∠2的度数为( ) A.100 B.105 C.110 D.120 【考点3】三角形的相关线段——中线、高线、角平分线 【例1】如图,在中,关于高的说法正确的是 A.线段是边上的高 B.线段是边上的高 C.线段是边上的高 D.线段是边上的高 【变式1】如图,用三角板作的边上的高线,下列三角板的摆放位置正确的是 A. B. C. D. 【变式2】如图,. (1)在中,边上的高是 ;(2)在中,边上的高是 . 【变式3】如图,中,是高,、是角平分线,它们相交于点,,,求和的度数. 【考点4】三角形中线的应用——面积 【例1】如图,已知D是BC的中点,E是AD的中点,若 ABC的面积为10,则 CDE的面积为( ) A.2 B.2.5 C.3 D.4 【变式1】如图,D、E分别是AC、BD的中点, ABC的面积为12cm2,则 BCE的面积是( ) A.6cm2 B.3cm2 C.4cm2 D.5cm2 【变式2】已知:如图所示,在 ABC中,点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且S ABC=4cm2,则阴影部分的面积为 cm2. 【变式3】如图,是的中线,点分别为的中点,若的面积为,则的面积是( ) A. B. C. D. 【变式4】如图,是的中线,是上的一点,且,连接,若的面积为6,则图中阴影部分的面积是 . 1、以下列各组线段为边,能组成三角形的是( ) A.3、3、7 B.4、5、9 C.7、12、17 D.5、8、15 2、如图,BE、CF是 ABC的角平分线,BE、CF相交于D,∠ABC=50 ,∠ACB=70 ,则∠CDE的度数是( ) A.50 B.60 C.70 D.120 3、三角形的两边长分别为5和7,第三边长为奇数,这个三角形的周长可以是( ) A.13 B.14 C.15 D.16 4、已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分,则等腰三角形的腰长为( ) A.或 B. C. D.或 5、如图,在 ABC中,AD⊥BC,∠1=∠2,∠C=68 .则∠BAC的度数为( ) A.68 B.67 C.77 D.78 6、要求画的边AB上的高.下列画法中,正确的是( ) A.B.C. D. 7、如图所示,是的三条高,,则( ) A. B. C. D. 8、如图是一个钝角,利用一个直角三角板作边上的高,下列作法正确的是( ) A. B. C. D. 9、已知三边a、b、c满足,则的形状是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.以上都不对 10、如图,在三角形ABC中,∠B=∠C,∠BAD=20 ,∠ADE=∠AED,则∠CDE= . 11、如图,在 ABC中,D、E分别是边AB和AC上的点,将这个 ABC纸片沿DE折叠,点A落到点F的位置.如果DF∥BC,∠B=60 ,∠CEF=10 ,那么∠A= 度. 12.已知的三边长为a,b,c,且a,b,c都是整数. (1)若,且c为偶数.求的周长. (2)化简:. 13、如图,是的中线,是的中线. (1)在中作边上的高. (2)若的面积为,,则点到边的距离为多少? 14、如图,在 ABC中,AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交直线BC于点E. (1)若∠B=30 ,∠ACB=80 ,求∠E的度数; (2)当P点在线段AD上运动时,猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系,并证明. 15、等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法. (1)如图1,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,BC=3,AC=4,AB=5,CD⊥AB,则CD长为 ; (2)如图2,在 ABC中,AB=4,BC=2,则 ABC的高CD与AE的比是 ; (3)如图3,在 ABC中,∠C=90 (∠A<∠ABC),点D,P分别在边AB,AC上,且BP=AP,DE⊥BP,DF⊥AP,垂足分别为点E,F.若BC=5,求DE+DF的值. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$