精品解析：辽宁省丹东市第六中学2023-2024学年九年级下学期寒假作业检测（开学考）数学试题

2023—2024学年度（下）九年级寒假作业检测 数学试题 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 2的平方根是（ ）． A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：， 2的平方根是， 故选：B． 2. 美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，分式的化简．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键． 利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， 被污染的代数式为， 故选：C． 3. 如图，正方形的顶点A，B的坐标分别为，，若正方形第1次沿x轴翻折，第2次沿y轴翻折，第3次沿x轴翻折，第4次沿y轴翻折，第5次沿x轴翻折，…则第次翻折后点C对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系内的轴对称变换和图形规律探究，解答时先找到，再根据题意进行轴对称变换，找到变换的周期规律即可． 【详解】解：∵A，B的坐标分别为，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴第1次翻折后点C对应点的坐标为，第2次翻折后点C对应点的坐标为，第3次翻折后点C对应点的坐标为，第4次翻折后点C对应点的坐标为， 而， ∴经过第次翻折后点C对应点的坐标为， 故选：A． 4. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断正确的是（ ） A. 四边形由矩形变为菱形 B. 对角线的长度不变 C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质、四边形的不稳定性；根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【详解】解：A、因为矩形框架向左扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，但邻边不变且不相等，不可能变为菱形，故A不正确，不符合题意； B、向左扭动框架，的长度变大，故B不正确，不符合题意； C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C不正确，不符合题意； D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，符合题意， 故选：D． 5. 如图，是的直径，点C在上，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求出则的度数，此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握是解题的关键．根据勾股定理得出的长，再根据，代数计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∴． 故选：B． 7. 若反比例函数的图象经过点，则反比例函数的图象在（ ） A. 一、二象限 B. 三、四象限 C. 一、三象限 D. 二、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先求出的值，再判断出的符号，根据反比例函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】反比例函数的图象经过点， ， ， 反比例函数的图象在一三象限． 故选：C． 8. 若关于的一元二次方程有一个根为，则满足( ) A. B. C. D. 为任意数 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，把代入一元二次方程中求出的值，再根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 方程是关于的一元二次方程， ， ， 的值为． 故选：A． 9. 如图，抛物线与轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（ ） A. 1＋ B. 1－ C. －1 D. 1－或1＋ 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出CD中点的纵坐标，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得点P的纵坐标，然后代入抛物线求解即可． 【详解】令x=0，则y=-3， 所以，点C的坐标为（0，-3）， ∵点D的坐标为（0，-1）， ∴线段CD中点的纵坐标为， ∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形， ∴点P的纵坐标为-2， ∴x2-2x-3=-2， 解得x1=，x2=， ∵点P在第四象限， ∴点P的横坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并确定出点P的纵坐标是解题的关键． 10. 将含有30°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关整式点是解题的关键． 根据题意得到，，求出，过点作，得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，将三角板绕原点顺时针旋转， ，， ， ， 过点作， ， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则c的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义．把代入方程，即可求得实数c的值． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：． 故答案为：2． 12. 函数的自变量的取值范围是______． 【答案】且##且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 13. 如图，小明在距离地面30米的处测得处的俯角为，处的俯角为．若斜面的坡角为，则斜坡的长是_______米． 【答案】 【解析】 【分析】过P作PH⊥BC，交BC于点H，在Rt△PHB中，PB=PHcos30°，由∠ABC=30°，进而可得∠BAP=∠APB=45°，则AB=PB,即可得到斜坡AB的长． 【详解】解：过P作PH⊥BC，交BC于点H， 则∠BPH=90°−60°=30°， ∠PBH=90°−30°=60°， 在Rt△PHB中，PB=PHcos30°=30÷=20 ∵∠ABC=30° ∴∠ABP=180°−∠PBD−∠ABC=90° ∵∠APB=60°−15°=45° ∴∠BAP=∠APB=45° ∴AB=PB=20 故答案为20. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 14. 如图，中，，，，射线，点D在射线上运动，，垂足为点E，若与相似，则的长为______． 【答案】或1 【解析】 【分析】根据题意若与相似，则或，当时，得出四边形是矩形，当时，则得出，进而解直角三角形，即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， 若与相似，则或 当时， ∴ 又则 ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是矩形， ∴， 当时，则 ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 中，，，， ∴ ∴ 在中， 综上所述，的长为：或1 故答案为：或1． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与解直角三角形，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 15. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为__． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①连接BE，可得四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；②由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为2，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2． 【详解】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形． ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE． ∴DE＝FG． ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． 由①知：OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE． ∴∠OFB＝∠ADE． ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AHD＝90°． ∴∠OFB+∠AHD＝90°． 即：∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG． ∴②正确； ③由②知：∠OFB＝∠ADE． 即：∠BFG＝∠ADE． ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小． ∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°， ∴AC＝＝4． ∴DE＝AC＝2． 由①知：FG＝DE， ∴FG的最小值为2， ∴④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握正方形的性质是解题的关键． 三、解答题： 16. 计算 （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）1 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解特殊角度的三角函数值的混合运算和一元二次方程，熟练掌握各个特殊角度的锐角三角函数值和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先将各个特殊角度的锐角三角函数化简，再进行计算即可． （2）用配方法进行求解即可； 【小问1详解】 原式， ， 【小问2详解】 ， 移项，得， ， 配方，得 ， ， 开方，得 或， 即， 17. 北京冬奥会的成功举办掀起了全民“冬奥热”，某校组织全校七、八年级学生举行了“冬奥知识”竞赛，现分别在七八两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：85，78，86，79，72，91，79，72，69，89 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82 【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示： 成绩 七年级 1 5 3 1 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 a b 八年级 c 80 80 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ______， ______， ______ （2）求八年级同学成绩的方差，试估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？ （3）按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1500人，八年级学生共1200人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数． 【答案】（1）；72或79；80 （2）；八年级的竞赛成绩更整齐 （3）这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据中位数、众数、平均数的概念求解即可． （2）先根据方差的定义计算出八年级的方差，再比较七、八年级的方差大小，结合方差的意义即可得出答案． （3）用各年级的人数乘以对应比例，然后相加即可． 【小问1详解】 解：将七年级的抽样成绩重新排列为：； ∴中位数：， ∴众数：或者， 将八年级的抽样成绩的平均数为： ； 故答案为：；72或79；80． 【小问2详解】 解：八年级的方差是：， ∴， ∴八年级的竞赛成绩更整齐． 【小问3详解】 解：∵七年级以上所占比例为，八年级分以上所占比例为， ∵(人) 答：这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数人． 18. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：）． （1）求点P到地面的高度； （2）当挖掘机挖到地面上的点Q时，，求． 【答案】（1）点到地面的高度为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，延长交于，易知四边形为矩形，则，，进而可求得答案； （2）由（1）可知，四边形为矩形，则，求得进而可得,据此求解可得答案． 【小问1详解】 解：过点作于H，延长交于， 则四边形为矩形， ∴，， 则， ∴点到地面的高度：， 即点到地面的高度为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形为矩形， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴． 19. 如图，是的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E，，． （1）求证：平分； （2）求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵和过点C的切线互相垂直，垂足为D， ∴． ∵是过点C的切线， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 即平分． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质以及垂径定理，熟练掌握垂径定理与切线的性质是解答本题的关键． （1）连接，是过点C的切线，得到，然后可以推出，结合推导出，，即平分； （2）过点O作，首先证得四边形是矩形，，然后利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点O作，垂足为F． ∴，． 由（1）知，，， ∴四边形是矩形． ∴． 在中，， ∴． 即的半径为． 20. 阅读与思考：下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 某数学兴趣小组进行探究活动如下： 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在中点的左侧距离中点处桂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧秤与中点的距离（单位：，看弹簧秤的示数（单位：有什么变化． 第一步，实验测量．改变弹簧秤与中点的距离，观察弹簧秤的示数的值，并做好记录，（共记录了7组数据）． 第二步，整理数据、 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 L/cm … 5 10 14 20 25 35 40 … F/N … 49 24.5 17.5 12.25 9.8 8 6.125 ．．． 第三步，描点连线．以的数值为横坐标，对应的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点． 在数据分析时，一位同学发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了他的猜想正确，并修改了表中这个数据． 任务： （1）你认为表中第几组数据是错误的？请把这组数据改正过来； （2）在平面直角坐标系中，画出与的函数图象； （3）观察这条曲线所表达的就是关系，结合学习过的函数特点，直接写出关于的函数表达式； （4）点在这条曲线上吗？说明理由． 【答案】（1）第六组数据是错误的，正确应该是：时， （2）图形见解析 （3） （4）点在这条曲线上，理由见解析 【解析】 【分析】题目主要考查反比例函数的应用，根据表格数据及反比例函数的性质求解即可，熟练掌握运用反比例函数的性质是解题关键． （1）根据表格数据，可发现与F的乘积为定值245，再进行判断即可； （2）画出与的函数图象即可； （3）先判断这条曲线是否反比例函数的一支，再直接写出关于的函数表达式； （4）判断点在是否这条曲线上即可． 【小问1详解】 解：根据表格数据，可发现与F的乘积为定值245， 第六组数据：，是错误的， 正确应该是：时，； 【小问2详解】 画出与的函数图象如图： 【小问3详解】 这条曲线是反比例函数的一支； 因为在平面直角坐标系中，以它们为坐标的点都满足； 其函数表达式为：； 【小问4详解】 点在这条曲线上； 理由：∵， ∴点满足反比例函数的解析式，因此它在这条曲线上． 21. 阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程的解为_______________________； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值． 【答案】（1），，， （2）或 （3）15 【解析】 【分析】（1）利用换元法降次解决问题； （2）模仿例题解决问题即可； （3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题． 【小问1详解】 解：令y=，则有-5y+6=0， ∴（y-2）（y-3）=0， ∴=2，=3， ∴=2或3， ∴，，，， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：∵， ∴或 ①当时，令，， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； ②当时，， 此时； 综上：或 【小问3详解】 解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 22. 综合与实践 问题情境 数学综合实践课上老师和同学们一起进行折纸，通过折叠探究其中的数学奥妙． 操作发现 （1）实践小组按照如图1所示的方式，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，则的形状是______，若，，则______； 继续探究 （2）勤学小组按照如图2所示的方式，将矩形纸片分别沿折叠，点，的对应点为点，使落在对角线上，且两点恰好重合． ①请判断四边形的形状，并说明理由； ②若，求的长． 深入探究 （3）博学小组按照如图3所示的方式，首先将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，然后把纸片展开；将纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕交于点，交于点，延长交的延长线于点，然后展开纸片，若，，则______． 【答案】（1）等腰三角形，；（2）①四边形为菱形；②；（3）． 【解析】 【分析】题目主要考查矩形与折叠问题，勾股定理解三角形，等腰三角形的判定和性质，根据题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据矩形及折叠的性质得出，再由等角对等边确定，即可确定三角形形状，设，则，利用勾股定理求解即可； （2）①根据题意及折叠的性质得出三点共线，且，再由全等三角形的判定和性质得出，利用菱形的判定证明即可； ②根据菱形的性质及解三角形求解即可； （3）由折叠得：，根据等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，再由三角形中位线的判定和性质得出为的中位线，，结合图形利用勾股定理及含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵矩形纸片， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵，， ∴设，则， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：等腰三角形，； （2）①四边形为菱形，理由如下： 如图所示： ∵两点恰好重合，， ∴， ∴三点共线，且， ∵， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； ②∵四边形为菱形， ， ， ， ∴为等边三角形， 在中，， ， ； （3）由折叠得：， ， ， 在中，， ， ∴为等边三角形， ， ∵， ∴M为的中点，， ∴为的中位线， ∴， ∴矩形纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的处， ， 中，， ∴， ∵矩形，， ， ，， ，， ， ， 在中，，， ∴， 故答案为：． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，直线经过点B，点C． （1）试求抛物线的解析式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； （3）若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查的二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理等相关知识，利用勾股定理求出点H的坐标是本题的关键． （1）先求出点B和点C的坐标，利用待定系数法可求解； （2）过点P作交于点E，先求出点A坐标，设点，则点，利用面积和差关系可求解； （3）分两种情况讨论，先求出直线或的解析式，联立方程组可求解． 【小问1详解】 解：直线与x轴交于点B，与y轴交于点C， 当时，，当时，， ∴，， 将，代入， 可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 如图1，过点P作交于点E， ∵抛物线与x轴的交点为A、B， ∴， ∴，， ∴点， 设点，则点， ∴， ∵的面积， ∴当时，的面积有最大值， 当，， 此时点； 【小问3详解】 如图2，当点M在上方时，设交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵点，点， ∴直线解析式为：， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点， 当点在下方时， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为； 综上所述：点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度（下）九年级寒假作业检测 数学试题 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 2的平方根是（ ）． A. B. C. 2 D. 2. 美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，正方形的顶点A，B的坐标分别为，，若正方形第1次沿x轴翻折，第2次沿y轴翻折，第3次沿x轴翻折，第4次沿y轴翻折，第5次沿x轴翻折，…则第次翻折后点C对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断正确的是（ ） A. 四边形由矩形变为菱形 B. 对角线的长度不变 C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变 5. 如图，是的直径，点C在上，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若反比例函数的图象经过点，则反比例函数的图象在（ ） A. 一、二象限 B. 三、四象限 C. 一、三象限 D. 二、四象限 8. 若关于的一元二次方程有一个根为，则满足( ) A. B. C. D. 为任意数 9. 如图，抛物线与轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（ ） A. 1＋ B. 1－ C. －1 D. 1－或1＋ 10. 将含有30°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则c的值为______． 12. 函数的自变量的取值范围是______． 13. 如图，小明在距离地面30米的处测得处的俯角为，处的俯角为．若斜面的坡角为，则斜坡的长是_______米． 14. 如图，中，，，，射线，点D在射线上运动，，垂足为点E，若与相似，则的长为______． 15. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为__． 三、解答题： 16. 计算 （1）计算： （2）解方程： 17. 北京冬奥会的成功举办掀起了全民“冬奥热”，某校组织全校七、八年级学生举行了“冬奥知识”竞赛，现分别在七八两个年级中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：85，78，86，79，72，91，79，72，69，89 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82 【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示： 成绩 七年级 1 5 3 1 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 a b 八年级 c 80 80 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ______， ______， ______ （2）求八年级同学成绩的方差，试估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？ （3）按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1500人，八年级学生共1200人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数． 18. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：）． （1）求点P到地面的高度； （2）当挖掘机挖到地面上的点Q时，，求． 19. 如图，是的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E，，． （1）求证：平分； （2）求的半径． 20. 阅读与思考：下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 某数学兴趣小组进行探究活动如下： 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在中点的左侧距离中点处桂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧秤与中点的距离（单位：，看弹簧秤的示数（单位：有什么变化． 第一步，实验测量．改变弹簧秤与中点的距离，观察弹簧秤的示数的值，并做好记录，（共记录了7组数据）． 第二步，整理数据、 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 L/cm … 5 10 14 20 25 35 40 … F/N … 49 24.5 17.5 12.25 9.8 8 6.125 ．．． 第三步，描点连线．以的数值为横坐标，对应的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点． 在数据分析时，一位同学发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了他的猜想正确，并修改了表中这个数据． 任务： （1）你认为表中第几组数据是错误的？请把这组数据改正过来； （2）在平面直角坐标系中，画出与的函数图象； （3）观察这条曲线所表达的就是关系，结合学习过的函数特点，直接写出关于的函数表达式； （4）点在这条曲线上吗？说明理由． 21. 阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程的解为_______________________； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：，且，求的值． 22. 综合与实践 问题情境 数学综合实践课上老师和同学们一起进行折纸，通过折叠探究其中的数学奥妙． 操作发现 （1）实践小组按照如图1所示的方式，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，则的形状是______，若，，则______； 继续探究 （2）勤学小组按照如图2所示的方式，将矩形纸片分别沿折叠，点，的对应点为点，使落在对角线上，且两点恰好重合． ①请判断四边形的形状，并说明理由； ②若，求的长． 深入探究 （3）博学小组按照如图3所示的方式，首先将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，然后把纸片展开；将纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕交于点，交于点，延长交的延长线于点，然后展开纸片，若，，则______． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，直线经过点B，点C． （1）试求抛物线的解析式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； （3）若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $