精品解析：江苏省如东县2024-2025学年高三上学期开学期初测试数学试卷

2024~2025学年度第一学期期初学情检测 高三数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含［单选题（1~8）多选题9~11，填空题（第12题~第14题，共73分）、解答题（第15~19题，共77分）．本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置． 3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答．在试卷或草稿纸上作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚． 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合对数函数定义域，解不等式得到，根据交集概念得到答案. 【详解】， 由对数函数定义域可知， 故 故选：C 2. 已知，则“”的充要条件是（ ） A. a，b都不为1 B. a，b不都为1 C. a，b不都为0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的等价变形可知且，即可得出结论. 【详解】且， 即都不为1， 故选：A 3. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求定义域，再平方，结合二次函数求值域即可. 【详解】，先求定义域，即且，即. 函数式子两边平方，即. 当，由二次函数性质知道的值域为. 则的范围为. 开方得的值域为. 故选：D. 4. 已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数是上的增函数，每一段函数都为增函数，且在断点处，右边的函数值不小于左边的函数值求解. 【详解】由题意，， 在中，函数在上是增函数， ， 解得. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将对数式化为指数式，然后两边平方即可得到，进而求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 故选：D. 6. 已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】有题目所给解析式及函数的奇偶性，可以求解出的解析式，再利用基本不等式求最小值即可. 【详解】①, , 为奇函数，为偶函数 ， ②， ①+②得， ①-②得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为， 故选：B. 7. 已知直角的面积是10，CD是其斜边AB上的高．将沿CD折起，使得二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记，根据面积可得，结合勾股定理和面积公式，运用基本不等式求得，将三棱锥补形成长方体，然后结合基本不等式即可求得的最小值，可得答案. 【详解】记，则，得， 又， 所以，当且仅当时等号成立， 由直角三角形性质可知， 在图2中，因为，二面角是直二面角， 所以，所以可将三棱锥补形成长方体， 记外接球半径为， 则 因为函数在区间单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以三棱锥的外接球的表面积的最小值. 故选：B 8. 已知函数在区间上的值域为，若，则k的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】列举出，根据，和值域为，结合选项得解. 【详解】当时，在区间上的值域为； 当时，在区间上的值域为； 则. 当时，在区间上的值域为； 则. 当时，在区间上的值域为； 则，则，则k的最小值是4. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A、B选项利用不等式的性质证明即可；C选项可以用特殊值验证；D选项利用函数的单调性证明即可. 【详解】对于A，因为，所以，所以 所以A正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为,不妨取,所以C错误； 对于D，令，则，所以在R上单调递增， 因为，所以，即，所以，D正确. 故选：ABD. 10. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A. 该正八面体结构的表面积为 B. 该正八面体结构的体积为 C. 该正八面体结构的外接球表面积为 D. 该正八面体结构的内切球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项. 【详解】 对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形， 故该正八面体结构的表面积，故A正确； 对B：连接，则，底面， 故该正八面体结构的体积，故B错误； 对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径， 故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确； 对D：该正八面体结构的内切球半径， 故内切球的表面积，故D正确； 故选：ACD． 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法，分别求出，，然后令，求出，最后得到函数解析式求解即可，对于选项D，需要用分析法判断的大小关系即可. 【详解】选项A：令，得， 因为，所以，所以选项A正确； 令，得，因为，所以； 令，得，所以， 选项B：所以，故选项B正确； 选项C：，显然不为奇函数，故选项C错误； 选项D： 因为，显然单调递增， 要证明， 即证， 而； 构造函数， 得， 显然当时，，单调递减， 所以，即，即选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：赋值法，常用的赋值有等；对于的判断，常用方法是分析法，在此过程中需要取对数，然后构造函数，利用函数的单调性求解即可. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 12. 若存在满足，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用参数分离可得，则求出时即可求解. 【详解】由题意得，令， 因为与在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，所以， 所以，所以的取值范围为. 故答案为： 13. 对于实数a，b，定义新运算：设函数，当时，函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】先分、去掉的绝对值，再作差判断的范围，进而得到的解析式，进而求值域. 【详解】当时,, 则， 令,， 则,对称轴为，开口向下， 所以在上单调递减，此时 所以， 此时 当时,, 则， 令， 则,对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增， 此时， 所以, 此时； 终上所述，. 故答案为：. 14. 已知，，记集合，，若，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的简图，求出，即得，即，要使，结合图象知，需使，消元后求解不等式即得. 【详解】 如图，作出函数的简图. 由可得，因，解得，即， 由可得，即, 因，结合图象，可得：，消去可得，， 因，即得，，解得. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，函数． （1）若是奇函数，求a的值； （2）若函数的图象过点，且与x轴负半轴有两个不同交点，求c的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数结合奇函数的定义及性质，即可求解； （2）先求出， 再根据有两个负根，则，从而可求解. 【小问1详解】 因为的定义域为， 且为奇函数，所以，即． 此时，的定义域为， 且，为奇函数， 所以． 【小问2详解】 因为的图象过点，则，解得． 令，得． 因为函数与x轴负半轴有两个不同交点， 所以方程有两个不相等的负根， 所以，解得． 所以， 所以的取值范围为． 16. 在直四棱柱中，，，，，． （1）求证：平面； （2）若为直角三角形，求四棱柱的体积． 【答案】（1） 因为，平面， 平面，故平面． 在四棱柱中，， 又因为平面，平面， 所以平面． 因为，平面， 故平面平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由面面平行的判定定理与性质定理证明即可； （2）根据直角三角形，利用勾股定理求解棱柱的高，再由体积公式得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设四棱柱的高为h， 在直四棱柱中，平面，平面， 所以，同理可得，． 因为，，，，， 所以，． 因为，所以，． 在直四棱柱中，，， 所以四边形ABCD是平行四边形，所以． 因为，为直角三角形， 所以或， 解得． 因为四棱柱的底面积为， 所以四棱柱的体积为． 17. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）当时，比较与的大小； （2）当时，求； （3）函数，当时，求的解析式，并求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据概念，结合频率分布直方图，代入可解. （2）用频率分布直方图，结合的意义列不等式可解. （3）分情况讨论，得到分段函数，再求值域即可. 【小问1详解】 当时，， ，所以． 【小问2详解】 依题可知，右边图形最后一个小矩形的面积为， 所以．当时，， 解得．此时． 【小问3详解】 当时， ． 当时， ． 因为， 所以在区间的最小值为0.02． 又因为，， 所以在区间上的值域是． 18. 如图，已知多面体，，，均垂直于平面ABC，，，，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1） 证明：因为平面ABC，平面ABC， 所以． 因为，，， 所以， 又因为，所以， 所以．同理可得：． 又，平面，平面， 所以平面．因为平面， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据勾股定理的逆定理可得、，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交于D． 因为，所以． 因为，，所以，． 以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，． 令可得． ． 设直线与平面所成的角为，则． 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）若，求实数a的值； （3）若，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3） 设， 则． 因为， 易知单调递增，又， 所以， 所以在上单调递减， 所以， 所以， 即． 【解析】 【分析】（1）求导，可得切线的斜率，再根据直线的点斜式即可得方程； （2）设，求导得，易知单调递增，分、、分别求解即可； （3）设，因为，单调递增，且有，从而得， 在上单调递减，即可得证. 【小问1详解】 解：． 因为， 所以， 所以． 所以函数在处的切线方程为． 【小问2详解】 解：设， 则． 因为，所以单调递增． 当时，因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以． 当时，因为，， 所以使得， 所以在上，所以在上单调递减， 所以，所以不合题意． 当时，因为，， 所以使得， 所以在上，所以在上单调递增， 所以，所以不合题意． 综上可知：． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：根据不等式恒成立求参数的范围(值)时，常转化为利用导数求解函数的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期初学情检测 高三数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含［单选题（1~8）多选题9~11，填空题（第12题~第14题，共73分）、解答题（第15~19题，共77分）．本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置． 3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答．在试卷或草稿纸上作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚． 一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”的充要条件是（ ） A. a，b都不为1 B. a，b不都为1 C. a，b不都为0 D. 3. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 已知直角的面积是10，CD是其斜边AB上的高．将沿CD折起，使得二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上的值域为，若，则k的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ） A. 该正八面体结构的表面积为 B. 该正八面体结构的体积为 C. 该正八面体结构的外接球表面积为 D. 该正八面体结构的内切球表面积为 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 12. 若存在满足，则a的取值范围是__________． 13. 对于实数a，b，定义新运算：设函数，当时，函数的值域为______． 14. 已知，，记集合，，若，则实数a的取值范围为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，函数． （1）若是奇函数，求a的值； （2）若函数的图象过点，且与x轴负半轴有两个不同交点，求c的取值范围． 16. 在直四棱柱中，，，，，． （1）求证：平面； （2）若为直角三角形，求四棱柱的体积． 17. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）当时，比较与的大小； （2）当时，求； （3）函数，当时，求的解析式，并求在区间上的值域． 18. 如图，已知多面体，，，均垂直于平面ABC，，，，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）若，求实数a的值； （3）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $