精品解析：河北省部分示范性高中2023届高三下学期第三次模拟数学试题

2023届高三下学期第三次模拟考试 数学试题 时量：120分钟满分：150分 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足：，（其中i为虚数单位，m为正实数），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 直线与平行，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 0 4. 现有一张长方形纸片，将其沿直线（不过顶点）剪开，得到2张纸片，再从中任选一张沿直线（不过顶点）剪开，得到3张纸片…，以此类推，每次从纸片中任选一张沿直线（不过顶点）剪开，设剪纸n次后得到的所有多边形的边数总和为，则（ ） A. 310 B. 260 C. 220 D. 205 5. 如图，在中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m＋n的值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知函数的定义域为，函数为奇函数，且，则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于，两点，且，，若直线的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分） 9. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在的图象大致如下图，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数的图象关于直线对称 D. 将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到函数的图象 11. 在平面直角坐标系中，已知圆与圆，分别为圆和圆上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 过点作圆M的切线有且只有一条 B. 若圆和圆恰有3条公切线，则 C. 若的最小值为1，则 D. 若，则直线的斜率的最大值为 12. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝1，且a2－c2＝2，则下列结论正确的是（ ） A. a＜ B. tan A＋3tan C＝0 C. 角B的最大值为 D. △ABC的外接圆面积的最小值为π 三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 函数在处的切线方程为__________. 14. 已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为________． 15. 如图所示，将棱长为1的正方体截去一个三棱锥得到多面体，在该多面体内放入一个球，则球的半径的最大值为______． 16. 在数列中，已知，，则______，当n为偶数时______. 四、解答题（本题共6个小题，共70分） 17. 设等差数列的前项和为，已知，. （1）求和； （2）若，求数列的前项和 18. 已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当，求的方程及的面积． 19. 如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为的菱形，. （1）证明：； （2）若，求平面和平面夹角的余弦值. 20. 如图，四边形中，已知，． （1）若的面积为，求的周长； （2）若，，，求的值． 21. 已知函数. （1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； （2）证明：当时，. 22. 已知． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明对于任意的成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023届高三下学期第三次模拟考试 数学试题 时量：120分钟满分：150分 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为或，所以，. 故选：D. 2. 已知复数满足：，（其中i为虚数单位，m为正实数），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的四则运算求得，得到即可求解. 【详解】，，， 又为正实数，故复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选: A 3. 直线与平行，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由直线与直线平行的充要条件，列式求解即可. 【详解】因为直线与平行， 所以且，解得. 故选：A. 4. 现有一张长方形纸片，将其沿直线（不过顶点）剪开，得到2张纸片，再从中任选一张沿直线（不过顶点）剪开，得到3张纸片…，以此类推，每次从纸片中任选一张沿直线（不过顶点）剪开，设剪纸n次后得到的所有多边形的边数总和为，则（ ） A. 310 B. 260 C. 220 D. 205 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式计算即得. 【详解】将任意一张纸片沿直线（不过顶点）剪开，得到2张纸片，则总边数增加4， 则数列是公差为4，首项为8的等差数列， 所以. 故选：B 5. 如图，在中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m＋n的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用线性运算得到，再结合三点共线即可求解. 【详解】如图，过D作直线，交AC于F，则， ∴， ∴，∴ ∴， 又B，D，C三点共线，∴， 故， 故选：C 6. 已知函数的定义域为，函数为奇函数，且，则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知可以得出，以及，可推出，进而得到，代入即可求得结果. 【详解】因为函数为奇函数，所以有， 又，所以函数的周期为4，且， 所以有，则. 即，所以. 故选：D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于，两点，且，，若直线的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰三角形中角的关系以及直线斜率与倾斜角关系得，再根据二倍角的正切公式即可求出，最后结合的范围以及同角三角函数的关系即可得到答案. 【详解】由题意得，，， 则直线所对的倾斜角为， ，即，则， 则， ，，， 又因为，， 则，结合， 解得， 故选：B. 8. 已知函数在区间上恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，令，转化为在区间上恰有2个实根，进而转化为即在区间上恰有2个实根，得到与的图象在区间上恰有2个交点，利用导数求得函数的单调区间和极值，进而得到答案. 【详解】由函数在区间上恰有2个零点， 令，可得， 令，则在区间上恰有2个实根， 因为在上单调递增，所以即在区间上恰有2个实根， 所以函数与的图象在区间上恰有2个交点， 又由，当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，，且，所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分） 9. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性判断A的真假；利用对数函数的单调性判断B的真假；引入中间量1判断C的真假；引入中间量判断D的真假. 【详解】由函数在R上单调递减，得，故A选项不正确； 由函数在上单调递增，得，故B选项正确； ，，所以，故C选项正确； ，，所以，故D选项不正确. 故选：BC 10. 已知函数在的图象大致如下图，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数的图象关于直线对称 D. 将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数的图象，求得函数，利用余弦函数的图象和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数过点，可得， 所以，解得， 由图知且，所以，所以， 可得最小正周期为，所以A正确； 对于B中，当时，可得， 由余弦函数的性质，可得函数单调递减，所以B正确； 对于C中，由，得， 所以函数的对称轴为， 令，解得，所以不是的对称轴， 所以C不正确； 对于D中，将函数的图象向左平移个单位得到的图象， 再将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到的图象， 又因为，所以D正确. 故选：ABD. 11. 在平面直角坐标系中，已知圆与圆，分别为圆和圆上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 过点作圆M的切线有且只有一条 B. 若圆和圆恰有3条公切线，则 C. 若的最小值为1，则 D. 若，则直线的斜率的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，分别求得圆和圆的圆心坐标和半径，结合圆与原的位置关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 圆，可得圆心为，半径为， 对于A中，由点在圆外，所以过点的切线有2条，所以A不正确； 对于B中，若圆和圆恰有3条公切线，则圆和圆相外切， 所以，即，解得，所以B正确； 对于C中，当圆和圆外离时，可得的最小值为，此时； 当圆和圆内含时，可得的最小值为，此时，所以C不正确； 对于D中，当时，则直线的斜率的最大值是斜率为正的内公切线斜率， 如图所示，，且，所以， 在直角，可得，所以， 即直线PQ的斜率的最大值为，所以D正确. 故选：BD. 12. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝1，且a2－c2＝2，则下列结论正确的是（ ） A. a＜ B. tan A＋3tan C＝0 C. 角B的最大值为 D. △ABC的外接圆面积的最小值为π 【答案】BD 【解析】 【详解】∵ b＝1，a2－c2＝2，由余弦定理可得cos C＝＝＜1，故a＞，故A不正确；cos C＝＝＝，∴ 2sin A cos C＝3sin B．又sin B＝sin (A＋C)，∴ 2sin A cos C＝3sin A cos C＋3cos A sin C，即tan A＋3tan C＝0，故B正确；∵ cos C＝＞0，C∈(0，)，tan C＞0，∴ tan B＝－tan (A＋C)＝－＝－＝＝≤＝(当且仅当tan C＝，即C＝，B＝，A＝时取等号)，∴ B≤，故C不正确；∵ B≤，∴ sin B≤，△ABC的外接圆直径2R＝≥2，△ABC的外接圆面积S＝πR2≥π(当且仅当tan C＝，即C＝，B＝，A＝时取等号)，故D正确．故选BD. 三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 函数在处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即可求解. 【详解】函数，可得， 又由，可得，即切线的斜率为， 所求切线方程为，即. 故答案为：. 14. 已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合投影向量的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为向量， 为单位向量，且， 可得，解得， 所以在向量上的投影向量为. 故答案为：. 15. 如图所示，将棱长为1的正方体截去一个三棱锥得到多面体，在该多面体内放入一个球，则球的半径的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知球O半径最大时，球O与平面ABCD，平面，平面，平面均相切，进而结合正方体的几何特征列式求解即可. 【详解】如图，设球心为O，半径为r， 由题可知，球O半径最大时，与平面ABCD，平面，平面，平面均相切， 设球O与平面ABCD相切于点H，与平面相切于点，则为的中心， 可知，，可得， 由，可得，解得. 故答案为：. 16. 在数列中，已知，，则______，当n为偶数时______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据递推式求解出，令，则，令，则，从而可得，进而可求出当为偶数时的通项公式. 【详解】由，， 所以，，，， ，，； 令，则，， 令，则，所以，所以， 所以数列是以2为公比，8为首项的等比数列， 所以，所以，所以， 所以当为偶数时，， 故答案为：，. 四、解答题（本题共6个小题，共70分） 17. 设等差数列的前项和为，已知，. （1）求和； （2）若，求数列的前项和 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列 的公差为d，列出方程组，解出和，即可得答案； （2）由题意可得，利用裂项相消求解即可. 【小问1详解】 解：设等差数列 的公差为d， 则， 解得， 所以， ； 【小问2详解】 解：因为， 所以 = 18. 已知点，圆过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当，求的方程及的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）法一：由确定点M与点P坐标满足的等式，再结合（1）中轨迹方程，可求得l的方程，进而求弦长、圆心到直线的距离，即可求面积； 法二：由确定点M与点P坐标满足的等式，求得坐标，确定直线方程，后同法一. 【小问1详解】 设点，当点不与点重合时，即当且时， 由垂径定理可知,即 又圆的圆心为， 则， ∴，即 当点与点重合时，点的坐标也满足方程 故点的轨迹方程为圆：. 【小问2详解】 当时，点与点满足圆的方程 又点与点在圆：上 ∴直线为圆和圆的交线，圆与圆的方程相减得， 直线的方程为，即 ∴的方程为： 点到直线的距离， 又圆的半径， ∴弦长， ∴的面积； 法二：设 由题意可得，解得，即点 又， ∴直线的方程为 ，则直线的方程为，且 点到直线的距离为 故的面积 19. 如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为的菱形，. （1）证明：； （2）若，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，根据求出的值，再利用空间向量法可求得平面和平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接、， 因为，为的中点，则， 因为四边形为菱形，则，，则为等边三角形， 因为为的中点，则， 因为，、平面，平面， 因为平面，. 【小问2详解】 解：因为平面平面，平面平面，平面，， 平面，又因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， ，， 因为，则，解得， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 设平面的法向量为，， 则，取，可得， ，因此，平面和平面夹角的余弦值为. 20. 如图，四边形中，已知，． （1）若的面积为，求的周长； （2）若，，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中利用余弦定理求出，再由面积公式求出，从而求出，即可得解； （2）设，表示，再分别在、利用正弦定理得到，再由三角恒等变换公式计算可得. 【小问1详解】 在中，， 因为，所以， 由，得， ∴，即， ∴，即的周长为； 【小问2详解】 设，则， 又，所以，， 在中，由，得， 在中，由，得， ∴，即， 即，， 即，即， ∴， ∵，∴， ∴，解得，即的值为. 21. 已知函数. （1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； （2）证明：当时，. 【答案】（1） （2） 证明：由（1）可得， 即，令， 则，即， 所以.， 所以原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）对任意的，恒成立，分离参数，则，令，利用导数进行研究求出函数的最大值即可； （2）由（1）可得，令，整理即可得，然后利用此不等式将待证不等式左边每一项放缩，进而利用对数的运算性质证得原不等式. 【小问1详解】 解：对任意的，恒成立， 即为， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 又当时，， 注意到，则当时，，即； 当时，，即， 所以函数在上递增，在上递减， 所以， 所以； 【小问2详解】 略 22. 已知． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明对于任意的成立. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求的导函数，对进行分类讨论，求的单调性； （2）对于任意的成立，分成两段： 和根据单调性求解. 【小问1详解】 ， 由，， ①当时， 或时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 ②当时，， 时，，所以在单调递增， ③当时，， 或时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，时，，， 记，， ①当时， ， 记，， ，所以在上单调递增， 又，， 所以存在使得，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为在上单调递减，所以， 所以， 所以，又因为， 所以，即， ②当时，令，，， 于是，，故， 又， 设，则在上单调递减，又，， 所以存在，使得，且时，； 时，，所以h(x)在上单调递增，在上单调递减， 又，，所以， 所以． 综上①②，故，即对于任意的成立 【点睛】关键点点睛：解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错误百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $