专题05 因式分解重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题05 因式分解重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 题型五 判断能否用公式法分解因式 题型六 平方差公式分解因式 题型七 完全平方公式分解因式 题型八 综合运用公式法分解因式 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 题型十一 十字相乘法 题型十二 分组分解法 题型十三 因式分解的应用 知识点01 提公因式法 基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取出来，从而达到化简多项式的目的。 例：分解 ax + ay + azax+ay+az 可以提取公因式 aa，得到 a(x + y + z)a(x+y+z)。 知识02分组分解法 基本概念：将多项式按照一定的规则分成几组，逐组进行因式分解，然后再综合起来。这种方法适用于多项式项数较多的情况。 知识03十字相乘法 基本概念：十字相乘法常用于分解二次三项式，特别是那些不能直接用公式法解决的多项式;将常数项拆分成两个数的乘积，这两个数的和等于一次项系数，从而找到两个因式，使它们的乘积符合原多项式的形式 【经典例题一 判断是否是因式分解】 【例1】（22-23七年级下·广西来宾·期中）下列因式分解中正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·四川达州·阶段练习）下列各式中从左到右的变形，是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江·期末）下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【经典例题二 已知因式分解的结果求参数】 【例2】（23-24八年级下·重庆·期中）已知有一个因式为，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 1．（2023七年级下·江苏·专题练习）若能分解成两个一次因式的积，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 3．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）仔细阅读下面例题，并解答问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． (1)若二次三项式可分解为，则 ； (2)若二次三项式可分解为，求b，k的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【经典例题三 公因式】 【例3】（23-24八年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）多项式2x2－12xy2+8xy3的公因式是 ． 3．（23-24七年级上·上海嘉定·期末）分解因式： 【经典例题四 提公因式法分解因式】 【例4】（23-24八年级下·全国·课后作业）把多项式分解因式正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·吉林松原·模拟预测）分解因式： ． 3．（24-25八年级上·山东东营·单元测试）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 分解因式：． 解：原式 ． (1)上述分解因式的方法是_______，共应用了_______次； (2)分解因式：； (3)猜想：分解因式的结果是_____． 【经典例题五 判断能否用公式法分解因式】 【例5】（23-24八年级上·重庆彭水·期末）下列变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：= ． 3．（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【经典例题六 平方差公式分解因式】 【例6】（23-24七年级下·广西桂林·期中）下列各式中，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）下列各多项式中，在实数范围内能用平方差公式分解因式是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南昆明·二模）因式分解： ． 3．（22-23七年级下·江苏淮安·期中）因式分解： (1) (2) 【经典例题七 完全平方公式分解因式】 【例7】（22-23八年级下·四川宜宾·开学考试）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知实数a，b满足，则代数式的最大值为 ． 3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）先阅读材料，再解答下列问题： 材料：分解因式． 解：令， 则． 故． 上述过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)分解因式：______； (2)分解因式：； (3)证明：若n为整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【经典例题八 综合运用公式法分解因式】 【例8】（22-23八年级上·全国·单元测试）将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·天津东丽·期末）下列分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·模拟预测）因式分解： ． 3．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）分解因式： (1)； (2) 【经典例题九 综合提公因式和公式法分解因式】 【例9】（2024·安徽阜阳·模拟预测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（2024·浙江·模拟预测）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 我 爱 中 华 大 地 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）分解因式 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）分解因式 (1) (2) (3) (4) (5) 【经典例题十 因式分解在有理数简算中的应用】 【例10】（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）若的结果为整数，则整数n的值不可能是（    ） A．44 B．55 C．66 D．77 1．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，则的值是（    ） A．0 B．1 C．-2 D．-1 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）计算： ． 3．（22-23八年级上·山东威海·期中）简便计算： (1) (2) 【经典例题十一 十字相乘法】 【例11】（2024七年级下·浙江·专题练习）下列算式计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）设二次三项式可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数的个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 3．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形， 即由，得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解， 例如：将分解因式． 解：因为，所以． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值． 【经典例题十二 分组分解法】 【例12】（22-23八年级上·全国·单元测试）已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·全国·单元测试）把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·模拟预测）因式分解： . 3．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解：（1）；（2）． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，，求的值； (3)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 【经典例题十三 因式分解的应用】 【例13】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）已知a，b，c是的三边长，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 1．（2023九年级下·重庆长寿·学业考试）若，则称x是以10为底N的对数．记作：． 例如：，则；，则． 对数运算满足：当，时，，例如：，．则的值为（    ） A．4 B．3 C．1 D．0 2．（23-24八年级下·广东河源·期末）多项式与的公因式是 ． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）若一个正整数是两个连续正奇数或连续正偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“进步数”， 为的“进步起点”．例如，，则是“进步数”， 为的“进步起点”． (1)是“进步数”，它的“进步起点”为，则 ；是的“进步起点”，则 ． (2)把“进步数”与“进步数”的差记为，其中，，例如，，，则．若“进步数”的“进步起点”为，“进步数”的“进步起点”为，当时，求的值． (3)若（为整数），试探究是否是“进步数”，请说明理由． 1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）若多项式可分解为，则a的值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）下列因式分解的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·河北邢台·期末）计算的值为（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·四川达州·期末）在对多项式进行因式分解时，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法： 因式分解：； 若，，是的三边长，且满足，则为等腰三角形； 若，，为实数且满足，则以，，作为三边能构成等腰三角形．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）分解因式： ． 7．（23-24八年级上·山东烟台·期末）多项式，与的公因式为 ． 8．（2023七年级下·江苏·专题练习）已知多项式能分解为，则 ， ． 9．（23-24七年级下·湖南永州·期末）若，则 ． 10．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为 ． 11．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）将下列各式因式分解 （1）xy-4xy                        （2）x-8xy+16y 12．（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）先因式分解，再求值∶已知，其中． 13．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）分解因式． (1) (2) (3) (4) (5) (6)（用简便方法做） 14．（23-24八年级下·全国·假期作业）仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 15．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 因式分解重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 题型五 判断能否用公式法分解因式 题型六 平方差公式分解因式 题型七 完全平方公式分解因式 题型八 综合运用公式法分解因式 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 题型十一 十字相乘法 题型十二 分组分解法 题型十三 因式分解的应用 知识点01 提公因式法 基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取出来，从而达到化简多项式的目的。 例：分解 ax + ay + azax+ay+az 可以提取公因式 aa，得到 a(x + y + z)a(x+y+z)。 知识02分组分解法 基本概念：将多项式按照一定的规则分成几组，逐组进行因式分解，然后再综合起来。这种方法适用于多项式项数较多的情况。 知识03十字相乘法 基本概念：十字相乘法常用于分解二次三项式，特别是那些不能直接用公式法解决的多项式;将常数项拆分成两个数的乘积，这两个数的和等于一次项系数，从而找到两个因式，使它们的乘积符合原多项式的形式 【经典例题一 判断是否是因式分解】 【例1】（22-23七年级下·广西来宾·期中）下列因式分解中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各选项等号右边利用整式乘法展开，看与等号左边的多项式是否相等即可得解． 本题主要考查了因式分解．因式分解与整式乘法是互逆关系．判断因式分解是否正确可以将等号右边用整式乘法展开，看与等号左边的多项式是否相等．熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 【详解】A. 左边，右边，左边右边，故A选项错误； B. 左边，右边，左边右边，故B选项错误； C. 左边 ，右边，左边右边，故C选项正确； D. 左边，右边，左边右边，故D选项错误． 故选：C． 1．（23-24八年级下·四川达州·阶段练习）下列各式中从左到右的变形，是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、是乘法运算，不符合题意； 、中等号右边不是积的形式，不符合题意； 、符合因式分解的定义，符合题意； 、左右两边不相等，不符合题意； 故选：． 2．（23-24七年级下·浙江·期末）下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【答案】③④⑥ 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)不是因式分解 (5)不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对多项式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式． 根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式 【详解】（1）解：因式分解是针对多项式来说的，故不是因式分解； （2）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （3）解：是因式分解； （4）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （5）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解． 【经典例题二 已知因式分解的结果求参数】 【例2】（23-24八年级下·重庆·期中）已知有一个因式为，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握十字相乘因式分解是解题的关键． 根据，求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：D． 1．（2023七年级下·江苏·专题练习）若能分解成两个一次因式的积，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】首先设原式，进而求出即可． 【详解】解：原式 故，，， 解得：，，或，，， ∴． 故选C． 【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确得出等式是解题关键． 2．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 【答案】9 【分析】把展开，求出、的值，计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算． 3．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）仔细阅读下面例题，并解答问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． (1)若二次三项式可分解为，则 ； (2)若二次三项式可分解为，求b，k的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)另一个因式是，的值为 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、因式分解，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘多项式法则计算，由此可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）根据多项式乘多项式法则计算，再与进行比较即可得； （3）设另一个因式为，根据多项式乘多项式法则计算，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以， 所以， 解得， 故答案为：4． （2）解：由题意得：， 所以， 所以， 所以，； （3）解：设另一个因式为， 则， 所以， 所以，， 解得，， 所以另一个因式是，的值为． 【经典例题三 公因式】 【例3】（23-24八年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z． 【详解】∵多项式中， 各项系数绝对值的最大公约数是4， 各项相同字母x的最低次幂是x， 各项相同字母y的最低次幂是y， 各项相同字母z的最低次幂是z， ∴多项式的公因式是． 故选：C． 1．（22-23八年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公因式是各项中都含有的因式，可得答案． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）多项式2x2－12xy2+8xy3的公因式是 ． 【答案】2x 【分析】按照公因式的提取方法提取公因式即可． 【详解】解： 多项式的公因式为2x． 故答案为：2x． 【点睛】此题考查了多项式的公因式，解题的关键是记住提取公因式方法，方法如下：方法如下：公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 3．（23-24七年级上·上海嘉定·期末）分解因式： 【答案】 【分析】运用平方差公式分解因式即可. 【详解】原式= = = = 【点睛】本题考查了运用公式法分解因式，解题需要注意的是每个因式都要分解到不能再分解为止. 【经典例题四 提公因式法分解因式】 【例4】（23-24八年级下·全国·课后作业）把多项式分解因式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查了提公因式法分解因式等知识，利用提公因式法将分解为，问题得解． 【点睛】解：． 故选：C 1．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键． 【详解】， 则余下的部分是x． 故选：C． 2．（2023·吉林松原·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】提取公因式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东东营·单元测试）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 分解因式：． 解：原式 ． (1)上述分解因式的方法是_______，共应用了_______次； (2)分解因式：； (3)猜想：分解因式的结果是_____． 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3) 【分析】本题考查的是提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法以及多次使用提公因式的方法是解题的关键． （1）由题干提示的分解因式的方法可得答案； （2）逐步提取公因式，从而可得答案； （3）逐步提取公因式，从而可得答案． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次． 故答案为：提公因式法，2； （2）原式 ； （3）原式 ． 故答案为：． 【经典例题五 判断能否用公式法分解因式】 【例5】（23-24八年级上·重庆彭水·期末）下列变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘法公式：分别进行判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不合题意； B、不能进行因式分解，故该选项不合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查用乘法公式进行化简和因式分解，解题关键是熟练掌握乘法公式． 1．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的特点判断即可； 【详解】不能用完全平方公式，故A不符合题意； 不能用完全平方公式，故B不符合题意； ，能用完全平方公式，故C符合题意； 不能用完全平方公式，故D不符合题意； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键． 2．（23-24八年级上·上海·期末）在实数范围内分解因式：= ． 【答案】 【分析】首先令x2-3x-2=0，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式分解． 【详解】令x2−3x−2=0， 则a=1，b=−3，c=−2， ∴x== ∴x2−3x−2=. 故答案为. 【点睛】本题考查实数范围内分解因式，解题的关键是掌握实数范围内分解因式. 3．（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 【经典例题六 平方差公式分解因式】 【例6】（23-24七年级下·广西桂林·期中）下列各式中，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的方法，因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 根据分解因式的方法求解即可． 【详解】解：A、，可以因式分解，不符合题意； B、，可以因式分解，不符合题意； C、，可以因式分解，不符合题意； D、不可以因式分解，符合题意． 故选：D． 1．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）下列各多项式中，在实数范围内能用平方差公式分解因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解的方法是解题关键． 利用平方差公式对选项进行判断即可． 【详解】解：A. ，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；     B. ，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；         C. ，能利用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意；     D. ，不能利用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；     故选：C． 2．（2024·云南昆明·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用平方差公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 3．（22-23七年级下·江苏淮安·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）利用平方差公式进行分解，即可解答； （2）利用提公因式法进行分解，即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【经典例题七 完全平方公式分解因式】 【例7】（22-23八年级下·四川宜宾·开学考试）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的意义．这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确． 分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此即可得答案． 【详解】A、，故该选项变形错误，不符合题意； B、，变形正确，是因式分解，符合题意； C、，不是因式分解，不符合题意； D、，故该选项变形错误，不符合题意． 故选：B． 1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握公式法进行因式分解是解题的关键． 利用公式法进行因式分解对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A中，因式分解不正确，故不符合要求； B中，因式分解不正确，故不符合要求； C中，因式分解正确，故符合要求； D中，因式分解不正确，故不符合要求； 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知实数a，b满足，则代数式的最大值为 ． 【答案】 【分析】此题考查利用公式分解因式，非负数的性质，解题关键是找到a的取值范围．先整体代入，将原式转化为只含有a的代数式，直接求最大值即可． 【详解】解：∵，即， ∴ 时，的最大值为 故答案为： 3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）先阅读材料，再解答下列问题： 材料：分解因式． 解：令， 则． 故． 上述过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)分解因式：______； (2)分解因式：； (3)证明：若n为整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）将看作一个整体进行因式分解； （2）将看作一个整体进行因式分解； （3）先计算得，再将看作整体因式分解得原式，继而由为正整数可得答案． 本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用整体思想和完全平方公式因式分解． 【详解】（1）解：令， 则原式变为， ∴； （2）：令， 则原式变为， ； （3）证明： ． n为正整数， 也为正整数， 代数式的值一定是某一个整数的平方． 【经典例题八 综合运用公式法分解因式】 【例8】（22-23八年级上·全国·单元测试）将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 1．（22-23八年级上·天津东丽·期末）下列分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积形式，且每一个整式不能再分解．根据提公因式法、公式法分解因式，即可获得答案． 【详解】解：A. ，正确，符合题意； B. ，故该选项因式分解错误，不符合题意； C. ，不能再分解，故该选项错误，不符合题意； D. ，故该选项因式分解错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键． 2．（2024·上海·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据立方和公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【详解】（1）； ； （2） ． 【经典例题九 综合提公因式和公式法分解因式】 【例9】（2024·安徽阜阳·模拟预测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义及方法逐项分析即可．本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【详解】解：选项A，B中的等式不成立； 选项C中，，正确． D选项中，多项式在实数范围内不能因式分解； 故选C． 1．（2024·浙江·模拟预测）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 我 爱 中 华 大 地 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟悉掌握平方差公式是解题的关键． 提取公因式后，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： 原式 ∴对应密文可得到的字为：爱，我，中，大； 故选：D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）分解因式 【答案】 【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 本题主要考查了因式分解，熟练掌握分解方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）分解因式 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键． （1）先提公因子3，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）先提公因子，再利用平方差公式分解因式即可； （4）直接利用完全平方公式分解因式即可； （5）先利用完全平方公式，再利用平方差公式分解因式即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： 【经典例题十 因式分解在有理数简算中的应用】 【例10】（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）若的结果为整数，则整数n的值不可能是（    ） A．44 B．55 C．66 D．77 【答案】D 【分析】将和各选项进行因式分解，依次判断，即可求解， 本题考查了，因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 1．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，则的值是（    ） A．0 B．1 C．-2 D．-1 【答案】D 【分析】先对进行变形，可以解出a，b的关系，然后在对进行因式分解即可． 【详解】∵， ∴， ， ， ∴，， ∴ 故选：D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意符号变换，同时掌握正确的运算是解答本题的关键． 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】接利用平方差公式把每一个算式因式分解，再进一步发现规律计算即可． 【详解】解：原式= ， 故答案为：． 【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于利用公式进行计算． 3．（22-23八年级上·山东威海·期中）简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）先提取公因式2，再根据完全平方公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行变形进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题十一 十字相乘法】 【例11】（2024七年级下·浙江·专题练习）下列算式计算结果为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题的关键． 运用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： 故选：A． 1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）设二次三项式可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数的个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，利用十字相乘法，即可确定的值，进一步即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 各因式的系数都是整数， 满足条件的整数的个数为． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 【答案】8 【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解．把分成两个整数的积，则等于这两个数的和，进而得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 同理可求：，，， 综上所述：的取值是、、或，共8个． 故答案为：8． 3．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形， 即由，得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解， 例如：将分解因式． 解：因为，所以． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值． 【答案】(1) (2) (3)5或或1或 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法，解题的关键是： （1）模仿例题即可求解； （2）先提公因式法，然后模仿例题即可求解； （3）将常数进行分解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：原式， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴或或或 因此整数p的值可能为5或或1或． 【经典例题十二 分组分解法】 【例12】（22-23八年级上·全国·单元测试）已知有一个因式，把它分解因式后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知可以得，之后进行整式乘法计算即可求解本题． 【详解】解：设， ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是整式乘法和因式分解，这里掌握它们互为逆运算是解题的关键． 1．（22-23八年级上·全国·单元测试）把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键． 2．（2024·上海·模拟预测）因式分解： . 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法进行因式分解成为解题的关键. 将分成，然后各组分别因式分解，最后提取公因式即可. 【详解】解： 故答案为： 3．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解：（1）；（2）． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，，求的值； (3)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形 【分析】本题主要考查了因式分解，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． （1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可； （2）分组，利用提公因式法分解，整体代入求解即可； （3）整理后，利用完全平方公式分解，再利用三边关系即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． ∵，， ∴原式； （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴是等腰三角形． 【经典例题十三 因式分解的应用】 【例13】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）已知a，b，c是的三边长，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，把因式分解后判断即可． 【详解】∵ ∴， ， ， ∵a，b，c是的三边长， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形， 故选：C． 1．（2023九年级下·重庆长寿·学业考试）若，则称x是以10为底N的对数．记作：． 例如：，则；，则． 对数运算满足：当，时，，例如：，．则的值为（    ） A．4 B．3 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查新定义运算，因式分解的应用，首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解 【详解】解： 故选：C 2．（23-24八年级下·广东河源·期末）多项式与的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的定义，因式分解，先对两个多项式分解因式，根据公因式的定义即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴多项式与的公因式是， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）若一个正整数是两个连续正奇数或连续正偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“进步数”， 为的“进步起点”．例如，，则是“进步数”， 为的“进步起点”． (1)是“进步数”，它的“进步起点”为，则 ；是的“进步起点”，则 ． (2)把“进步数”与“进步数”的差记为，其中，，例如，，，则．若“进步数”的“进步起点”为，“进步数”的“进步起点”为，当时，求的值． (3)若（为整数），试探究是否是“进步数”，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不是“进步数”，理由见详解 【分析】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）直接应用新定义的运算规则，即可求解； （2）运用新定义的运算规则，先得出关系式：，应用因式分解，运用分类讨论思想，求出； （3）假设是“进步数”，得到，推出方程没有整数解，据此即可求解． 【详解】（1）解：是“进步数”，它的“进步起点”为， 则， 是的“进步起点”，则， 整理得，即， 解得：（舍去），， 故答案为：；； （2）解：由题意得：， ，， ， ， 即， 、都是正整数， ，都是正整数， ， 或或， 解得：（舍）或或（舍）， 的值为； （3）解：假设是“进步数”， 由题意得， 整理得：， 即， 故， 为正整数， 故与题意矛盾， 不是“进步数”． 1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）若多项式可分解为，则a的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘以多项式法则，先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，再根据已知条件求出答案即可． 【详解】解： ， 把多项式分解因式，得， ， 故选：B． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”，熟记因式分解的定义是解题关键．根据因式分解的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、 ，则此项是因式分解，符合题意； B、，不是把多项式化成几个整式积的形式，则此项不是因式分解，不符合题意； C、是多项式乘法，则此项不是因式分解，不符合题意； D、不是整式积的形式，正确的是，则此项不是因式分解，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）下列因式分解的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的各种方法是解题的关键． 利用平方差公式即可判断选项；利用完全平方公式即可判断选项；利用提公因式法即可判断选项；利用十字相乘法即可判断选项． 【详解】解：A. ，故选项不符合题意； B．，故选项不符合题意； C．，故选项不符合题意； D．，故选项符合题意； 故选：． 4．（22-23八年级上·河北邢台·期末）计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【详解】原式， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键． 5．（23-24八年级下·四川达州·期末）在对多项式进行因式分解时，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法： 因式分解：； 若，，是的三边长，且满足，则为等腰三角形； 若，，为实数且满足，则以，，作为三边能构成等腰三角形．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的判定，构成三角形的条件；将进行分组，再因式分解，即可判断；通过分组因式分解得，再进行下一步因式分解，即可判断；将原等式化成，再进行因式分解，由构成三角形的条件，即可判断；能根据式子的特点进行恰当的分组，灵活运用因式分解法是解题的关键． 【详解】解： ， ，故正确； ， ∵，，是的三边长， ∴， ∴， ∴，故正确； ∴，，， ∵， ∴以，，作为三边不能构成三角形，故错误， 综上可知：， 故选：． 6．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】先分组得到，再把每组分解，然后提公因式即可． 【详解】原式 故答案为 【点睛】本题考查了分组分解法：一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式二是分组后能应用公式． 7．（23-24八年级上·山东烟台·期末）多项式，与的公因式为 ． 【答案】 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2， 所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）． 故答案：． 【点睛】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”． 8．（2023七年级下·江苏·专题练习）已知多项式能分解为，则 ， ． 【答案】 ； ． 【分析】把展开，找到所有和的项的系数，令它们的系数分别为，列式求解即可． 【详解】解：∵ ． ∴展开式乘积中不含、项， ∴，解得：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可． 9．（23-24七年级下·湖南永州·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复提取公因式，得到，再将代入即得答案． 【详解】解：当时， 原式= =． 故答案为：． 10．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为 ． 【答案】 【分析】根据甲、乙看错的情况求出、的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是， ， 乙看错了的值，分解的结果为， ， 原二次三项式为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了十字相乘法进行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法以及根据甲、乙看错的情况求出、的值，是解题的关键． 11．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）将下列各式因式分解 （1）xy-4xy                        （2）x-8xy+16y 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）提出公因式即可得出答案； （2）先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题主要考查因式分解，因式分解的步骤：一提，二套，三分组，四检查，分解要彻底；熟练掌握提公因式法、公式法的应用是解题的关键． 12．（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）先因式分解，再求值∶已知，其中． 【答案】；1280 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键．先提取公因式a，再用完全平方公式分解因式计算即可． 【详解】解∶ ． 当时， 原式 ． 13．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）分解因式． (1) (2) (3) (4) (5) (6)（用简便方法做） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了因式分解； （1）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解； （3）先利用平方差公式进行分解，再分别利用完全平方公式继续分解； （4）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式继续分解； （5）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式继续分解； （6）先提取公因式，再利用平方差公式进行变形，然后计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 14．（23-24八年级下·全国·假期作业）仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1) (2)9 (3)； 【分析】本题考查的是多项式的乘法与因式分解，待定系数法的运用，理解题意是解本题的关键． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）∵， ∴； （3）设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，k的值为12． 15．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把多项式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴或 或或 ， 整数的值可能是或， 故答案为：或； （3）， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$