专题04 整式的除法重难点题型专训（5大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题04 整式的除法重难点题型专训（5大题型+15道拓展培优） 题型一 计算单项式除以单项式 题型二 用科学记数法表示数的除法 题型三 多项式除以单项式 题型四 整式四则混合运算 题型五 整式的混合运算 知识点01 单项式除以单项式 定义和计算法则：单项式除以单项式时，需要将系数相除，同底数的幂相除，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 例：(8a^3b^2)÷(2a^2b) 的计算过程如下：首先，系数8除以2得4；其次，a的三次方除以二次方得a的一次方，b的二次方除以一次方得b的一次方；最后，由于没有额外字母，结果为 4ab。 知识点02 多项式除以单项式 定义和计算法则：多项式除以单项式的运算可以视为多项式的每一项分别除以单项式。具体方法是先将被除式的每一项单独除以除式，然后将所得的结果累加。 【经典例题一 计算单项式除以单项式】 【例1】（23-24七年级下·贵州毕节·期中）一个长方形的面积是，长是，则这个长方形的宽是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·山西吕梁·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试） ． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）计算： 【经典例题二 用科学记数法表示数的除法】 【例2】（2024九年级·天津南开·专题练习）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（    ） A．-5 B．-6 C．-7 D．-8 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东·期中）计算： ． 3．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍 【经典例题三 多项式除以单项式】 【例3】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）计算的正确结果是（      ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广西崇左·期中）已知长方形的面积为，宽为2a，则长方形的长为 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【经典例题四 整式四则混合运算】 【例4】（23-24六年级下·山东烟台·期末）调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推测出被除式为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·浙江金华·期末）若代数式的值与无关，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D．4 2．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）小明在计算时，把括号内前的减号不小心看成了乘号，最后计算的错误结果是，那么正确的结果是 ． 3．（23-24七年级下·河南平顶山·阶段练习）先化简，再求值，其中，． 【经典例题五 整式的混合运算】 【例5】（2024·北京朝阳·二模）已知，则代数式的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，一个长方形被分成4部分，其中②号是正方形，③号与④号组成的图形是正方形，若①号与③号图形的周长已知，则下列条件中不能求出大长方形面积的是（    ） A．①与②的周长之和 B．②与③的面积之和 C．④与②的周长之差 D．④与③的面积之差 2．（22-23八年级上·四川·开学考试）计算： ． 3．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 1．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）在百度中搜索习大大新年讲话“幸福都是奋斗出来的”，一共搜到1050000个相关信息，对于1050000这个数，用科学记数法表示，下列表示正确的是（） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河南·开学考试）有两根长短粗细不同的蚊香，短的一根可燃8小时，长的一根的可燃时间是短的一根，同时点燃两根蚊香，经过3小时，它们的长短正好相等，未点燃之前，短蚊香比长蚊香短（   ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，有三张正方形纸片，，，它们的边长分别为，，，将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一长方形中，记图中阴影部分周长为，面积为，图中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为（  ）    A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·浙江·期末）如图，在长方形中放置两个边长都为3的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 6．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）若矩形的面积为，一边长为，则另一边长为 ． 7．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）三角形的面积是，底边上的高线为，那么底边的长是 ． 8．（22-23七年级下·陕西宝鸡·期中）火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的 倍． 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，B是多项式，在计算时，某同学把看成了，结果得，则 ． 10．（23-24七年级下·浙江金华·期末）边长分别为a，b的甲、乙两个正方形按如图所示的两种方式放置．记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为．若，则的值是 ． 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算：． 12．（22-23八年级上·四川眉山·期中）计算： (1) (2) 13．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知A、B、C、D是一直线上顺次4点． (1)若，，，求： ①； ②． (2)当时，求． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的人民币，点钞机大约要点多少天？ 15．（23-24八年级上·吉林长春·期末）我们学习过多项式乘多项式，根据法则可知，那么再根据除法是乘法的逆运算可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）： 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． 请用上述方法计算： (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 整式的除法重难点题型专训（5大题型+15道拓展培优） 题型一 计算单项式除以单项式 题型二 用科学记数法表示数的除法 题型三 多项式除以单项式 题型四 整式四则混合运算 题型五 整式的混合运算 知识点01 单项式除以单项式 定义和计算法则：单项式除以单项式时，需要将系数相除，同底数的幂相除，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 例：(8a^3b^2)÷(2a^2b) 的计算过程如下：首先，系数8除以2得4；其次，a的三次方除以二次方得a的一次方，b的二次方除以一次方得b的一次方；最后，由于没有额外字母，结果为 4ab。 知识点02 多项式除以单项式 定义和计算法则：多项式除以单项式的运算可以视为多项式的每一项分别除以单项式。具体方法是先将被除式的每一项单独除以除式，然后将所得的结果累加。 【经典例题一 计算单项式除以单项式】 【例1】（23-24七年级下·贵州毕节·期中）一个长方形的面积是，长是，则这个长方形的宽是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据长方形的宽等于面积除以长列出式子，再根据单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方法则计算即可得． 【详解】解：由题意得：这个长方形的宽是 ， 故选：B． 1．（2024·山西吕梁·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法、合并同类项法则、积的乘方和幂的乘方、单项式除以单项式分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试） ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，根据积的乘方，单项式除以单项式运算法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式和单项式除以单项式，正确计算即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【经典例题二 用科学记数法表示数的除法】 【例2】（2024九年级·天津南开·专题练习）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（    ） A．-5 B．-6 C．-7 D．-8 【答案】C 【详解】解：∵0.000 000 67mm=6.7×10-7 ∴n=-7 故选：C 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 2．（23-24七年级下·山东·期中）计算： ． 【答案】 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案，最后结果用科学记数法表示． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了整式的除法，正确运用整式的除法运算法则是解题关键． 3．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍 【答案】后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍 【分析】先求出，细菌分裂的次数，再根据一个细菌在分裂次后，数量变为个，用细菌的数量乘以，即可得到总数，同理求出2h后细菌的个数，两数相除即可得出结果． 【详解】解：次， ∴后，盘子里有细菌：（个）； （次）， ∴后，盘子里有个细菌； ， 答：后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍． 【点睛】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． 【经典例题三 多项式除以单项式】 【例3】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式的除法计算，根据多项式除以单项式法则依次计算并判断 【详解】解：A.除不尽，故错误； B.除不尽，故错误； C.，故正确； D.，故错误； 故选：C 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）计算的正确结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了多项式除以单项式，根据运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 故选：D． 2．（23-24七年级下·广西崇左·期中）已知长方形的面积为，宽为2a，则长方形的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法运算，熟悉掌握多项式除单项式的运算法则是解题的关键． 根据多项式除单项式的运算法则运算即可． 【详解】解：∵长方形面积长宽， ∴长， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘除法，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据多项式乘多项式的运算法则进行运算即可； （2）根据多项式除以单项式的运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【经典例题四 整式四则混合运算】 【例4】（23-24六年级下·山东烟台·期末）调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推测出被除式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键；根据整式的运算法则计算即可； 【详解】解：根据题意可得： 故选：D 1．（23-24七年级下·浙江金华·期末）若代数式的值与无关，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查整式的四则混合运算，先将题目中的式子化简，然后根据此代数式的值与y的取值无关，可知关于y的项的系数为0，从而可以求得k的值． 【详解】解： ∵关于y的代数式：的值与y无关， ∴， 解得， 即当时，代数式的值与y的取值无关． 故选：A. 2．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）小明在计算时，把括号内前的减号不小心看成了乘号，最后计算的错误结果是，那么正确的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，更根据题意求得，再将其代入原式计算是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，， 则，正确的结果为：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河南平顶山·阶段练习）先化简，再求值，其中，． 【答案】，20 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先进行多项式乘以单项式和多项式除以单项式的运算，再合并同类项，然后代值计算即可． 【详解】解：原式； 当，时，原式． 【经典例题五 整式的混合运算】 【例5】（2024·北京朝阳·二模）已知，则代数式的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的混合运算、代数式求值，将变形为，再把变形为，然后整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 又 ． 故选：A． 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，一个长方形被分成4部分，其中②号是正方形，③号与④号组成的图形是正方形，若①号与③号图形的周长已知，则下列条件中不能求出大长方形面积的是（    ） A．①与②的周长之和 B．②与③的面积之和 C．④与②的周长之差 D．④与③的面积之差 【答案】D 【分析】本题考查了整式运算的应用，设①的长为，宽为，周长和为；③的长为，宽为，周长和为；其中、为已知的常数，由已知条件可求，，各选项进行逐一判断，即可求解；能用整式表示出面积及周长是解题的关键． 【详解】解：设①的长为，宽为，周长和为；③的宽为，长为，周长和为；其中、为已知的常数， ， ， ②号是正方形，③号与④号组成的图形是正方形， ， ， A.设①与②的周长之和为（为已知的常数），则有， 整理得：，， 解得，， 大长方形面积为是常数， 大长方形面积能求出，故不符合题意； B.设②与③的面积之和为（为已知的常数）， 则有， ， 大长方形面积为是常数， 大长方形面积能求出，故不符合题意； C.设④与②的周长之差为（为已知的常数）， ， ， 解得：， 大长方形面积为是常数， 大长方形面积能求出，故不符合题意； D.设④与③的面积之差为（为已知的常数）， ， ， 无法求出， 大长方形面积为无法求出，故符合题意； 故选：D． 2．（22-23八年级上·四川·开学考试）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内整式的乘法运算，再合并，最后计算整式的除法运算，最后代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 1．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，积的乘方，根据同底数幂乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，积的乘方逐项进行排除即可，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）在百度中搜索习大大新年讲话“幸福都是奋斗出来的”，一共搜到1050000个相关信息，对于1050000这个数，用科学记数法表示，下列表示正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，是正数；当原数的绝对值＜1时，是负数． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3．（24-25七年级上·河南·开学考试）有两根长短粗细不同的蚊香，短的一根可燃8小时，长的一根的可燃时间是短的一根，同时点燃两根蚊香，经过3小时，它们的长短正好相等，未点燃之前，短蚊香比长蚊香短（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的应用，用燃烧3小时后的蚊香长度表示出短蚊香和长蚊香的原长是解题的关键． 【详解】解：长的可燃时间为小时， 3小时后：短蚊香可燃时间为小时，长蚊香可燃时间为小时， 设后来的长度为， 则短蚊香的长度为，长蚊香的长度为， ∴短蚊香比长蚊香短， 故选：A． 4．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，有三张正方形纸片，，，它们的边长分别为，，，将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一长方形中，记图中阴影部分周长为，面积为，图中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中的数据，设大长方形的宽短边长为，表示出，，，，再代入，即可求解． 【详解】解：设大长方形的宽为， 由图知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值为． 故选：． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，明确整式的混合运算的计算方法是解题的关键． 5．（23-24七年级下·浙江·期末）如图，在长方形中放置两个边长都为3的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是（    ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了整式混合运算的实际应用； 设，，可得，，，，然后分别求出和，结合已知列式，求出，进而计算即可． 【详解】解：设，，则，， ∴， ， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴长方形的周长为：， 故选：C． 6．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）若矩形的面积为，一边长为，则另一边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据除法公式计算即可． 【详解】根据题意，另一边长为， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）三角形的面积是，底边上的高线为，那么底边的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，三角形的面积，熟练掌握整式的除法运算法则是解题的关键． 根据三角形面积公式列出式子，然后根据整式的除法运算法则计算即可． 【详解】解：三角形底边的长是： ， 故答案为：． 8．（22-23七年级下·陕西宝鸡·期中）火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的 倍． 【答案】8 【分析】根据整式除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法法则是解题关键． 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知，B是多项式，在计算时，某同学把看成了，结果得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据结果为，利用整式的混合运算法则算出，再算出，即可解题． 【详解】解：根据题意列出， 则． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·浙江金华·期末）边长分别为a，b的甲、乙两个正方形按如图所示的两种方式放置．记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为．若，则的值是 ． 【答案】－2 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．根据题意可得，，从而得出，求得． 【详解】解：，，， ， ， 故答案为：. 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 12．（22-23八年级上·四川眉山·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算，实数的混合运算： （1）先进行幂的运算，再进行单项式乘单项式和单项式除以单项式的运算； （2）先进行开方，乘方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 13．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知A、B、C、D是一直线上顺次4点． (1)若，，，求： ①； ②． (2)当时，求． 【答案】(1)①； ② (2)80 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则． （1）①先求出，再分别代入进行计算即可；②先求出，，再分别代入进行计算即可； （2）先得出，，，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解：①由图可知： ， ∴ ； ②∵， ， ∴． （2）解：∵， ∴，，， ∴ ． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币． (1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的人民币，点钞机大约要点多少天？ 【答案】(1)厘米 (2)天 【分析】 （1）先算出10亿元人民币的张数，然后再用张数乘以一张人民币的厚度即可； （2）用10亿元人民币的张数除以速度，再根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算． 【详解】（1）10亿， ∴10亿元的总张数为张， （厘米）； 答：大约高厘米； （2）， ， （天）． 答：点钞机大约要点25天 【点睛】本题考查了同底数幂的除法与乘法运算、科学记数法，根据题意列出算式是解题的关键，需要注意先求出10亿元人民币的总张数． 15．（23-24八年级上·吉林长春·期末）我们学习过多项式乘多项式，根据法则可知，那么再根据除法是乘法的逆运算可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）： 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． 请用上述方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，多项式除以多项式，用竖式形式计算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键； （1）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解； （2）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）． ． 学科网（北京）股份有限公司 $$