专题03 乘法公式重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题03 乘法公式重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 运用平方差公式进行运算 题型二 平方差公式与几何图形 题型三 运用完全平方公式进行运算 题型四 通过对完全平方公式变形求值 题型五 求完全平方式中的字母系数 题型六 完全平方式在几何图形中的应用 题型七 完全平方公式在几何图形中的应用 知识点一、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 知识点二、完全平方公式 完全平方公式： 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 知识点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 知识点四、补充公式 ；； ；. 【经典例题一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）的计算结果是（   ）． A． B．0 C．1 D． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·开学考试）计算： 3．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）计算： (1)； (2)． 【经典例题二 平方差公式与几何图形】 【例2】（23-24八年级上·福建泉州·期中）为了美化校园，学校把一个边长为的正方形跳远沙池的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会（　　） A．变小 B．变大 C．没有变化 D．无法确定 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）两个大小不一的正方形①和②如图放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图所示形状，那么阴影部分的面积可用表示为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图，大正方形和小正方形面积之差是16，则阴影部分的面积是 . 3．（22-23八年级下·辽宁本溪·期末）从边长为a的正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形，再将其剪成四个相同的等腰梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②） (1)设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含的代数式表示和； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】 【例3】（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）无论x，y取何值时，多项式的值总是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 1．（23-24八年级上·重庆·期末）多项式的最小值为（    ） A．18 B．9 C．27 D．30 2．（22-23八年级下·四川内江·开学考试）若多项式可化为的形式，则单项式k可以是 ． 3．（23-24八年级上·湖北咸宁·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，，求的值． 【经典例题四 通过对完全平方公式变形求值】 【例4】（22-23七年级下·浙江·期末）设，，，若，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）若，，则的值为（　　） A．68 B．52 C．20 D．4 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，，则代数式的值为 ． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）（1）已知，，求和的值； （2）已知，，求和的值； （3）已知，求的值． 【经典例题五 求完全平方式中的字母系数】 【例5】（22-23六年级下·山东济南·期中）当（ ）时，是完全平方式． A． B．8 C． D．8或 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）若 是一个完全平方式，则k是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）已知是完全平方式，则 ． 3．（23-24八年级上·山东烟台·期中）课本原题：当k取何值时， 是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式： 的结构特征。因为， 是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． (1)请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征： ； (2)若 是完全平方式，则m的值为 ；若(n为常数) 是完全平方式，则n的值为 ； (3)已知 ，请求出b的值． 【经典例题六 完全平方式在几何图形中的应用】 【例6】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，长方形的周长为16，以这个长方形的四条边为边分别向外作四个正方形，若四个正方形的面积和等于68，则长方形的面积为（    ） A．20 B．18 C．15 D．12 1．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（  ） A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为32，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为 ． 3．（23-24七年级下·福建漳州·期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．      (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________． 方法2：__________________． 请写出代数式：，之间的等量关系是______． (2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，是负整数，求的值． 【经典例题七 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例7】（22-23八年级上·福建莆田·期末）如图，两个正方形的边长分别为a、b，若，，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 1．（22-23七年级下·广西贵港·期中）若将四张都是长为a，宽为b的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形纸片边长之和为8，图2中阴影部分的面积为6，则图1中阴影部分的面积为 ． 3．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式．如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形）， 请观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：_______； (2)如果图中的a，b（）满足，，求的值． 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）若是完全平方式，则m的值是（    ）． A．6或 B．10或 C．或10 D．或6 2．（23-24八年级下·宁夏固原·开学考试）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·贵州贵阳·期中）若，则的个位数字为（    ） A．2 B．1 C．6 D．8 4．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为，小正方形的面积为，若分别用，（）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（　　） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）若， ，则 7．（22-23八年级下·广西南宁·开学考试）若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为 ． 8．（22-23八年级下·四川内江·开学考试）的计算结果的个位数字是 ． 9．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，若大正方形与小正方形的面积之差为24，则图中阴影部分的面积是 ． 10．（22-23八年级上·山东烟台·期中）如图，有A类卡片3张、B类卡片4张和C类卡片5张，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的边为 ． 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)． (2)． 12．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）先化简，再求值：，其中． 13．（22-23七年级下·广东佛山·期中）对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值； (2)若，且，求的值． 14．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 15．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个相同的小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 ； (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积． 方法①： 方法②：    (3)请你观察图②，利用图形的面积写出 ， ，mn 这三个代数式之间的等量关系： ； (4)根据（3）中的结论，若，，则 ； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 乘法公式重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 运用平方差公式进行运算 题型二 平方差公式与几何图形 题型三 运用完全平方公式进行运算 题型四 通过对完全平方公式变形求值 题型五 求完全平方式中的字母系数 题型六 完全平方式在几何图形中的应用 题型七 完全平方公式在几何图形中的应用 知识点一、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 知识点二、完全平方公式 完全平方公式： 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 知识点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 知识点四、补充公式 ；； ；. 【经典例题一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．运用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：D． 1．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）的计算结果是（   ）． A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式成为解题的关键． 先把原式变形成平方差公式，然后再运用平方差公式简便运算即可． 【详解】解： ． 故选C． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·开学考试）计算： 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，将算式转化为，利用平方差公式进行简算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用平方差公式进行计算，然后合并同类项即可； （2）利用平方差公式计算即可． 本题考查了整式的运算，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题二 平方差公式与几何图形】 【例2】（23-24八年级上·福建泉州·期中）为了美化校园，学校把一个边长为的正方形跳远沙池的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会（　　） A．变小 B．变大 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示变化前后的面积是正确解答的前提． 用代数式表示变化前后的面积，比较得出答案． 【详解】解：由题意得正方形跳远沙池的面积为，长方形跳远沙池的面积为， 因为， 所以沙池的面积会变小． 故选：A． 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）两个大小不一的正方形①和②如图放置时，，．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图所示形状，那么阴影部分的面积可用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，设正方形②的边长为，正方形①的边长为，由图可得，，即可得，得到，再由图可得，即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：设正方形②的边长为，正方形①的边长为， 由图可得，，， ∴， 即， ∴， 故选：． 2．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图，大正方形和小正方形面积之差是16，则阴影部分的面积是 . 【答案】8 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，平方差公式的几何应用，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，直接利用正方形的性质结合三角形面积求法得出答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ， 故答案为：8． 3．（22-23八年级下·辽宁本溪·期末）从边长为a的正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形，再将其剪成四个相同的等腰梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②） (1)设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含的代数式表示和； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题重点考查正方形的面积公式、平行四边形的面积公式、乘法公式等知识，正确理解图②与图①中的阴影部分面积之间的相等关系是解题的关键； （1）观察图形可知，图①中的阴影部分是边长为的正方形减去边长为的正方形，而图②中的阴影部分是底边长为，高为的平行四边形，所以，； （2）由，得． 【详解】（1）解：，， 理由：图①中的阴影部分是边长为的正方形减去边长为的正方形， ； 图②中的阴影部分是平行四边形，它的底边长为，而它的高为， ． （2）解：图②与图①中的阴影部分的面积相等， ， ． 【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】 【例3】（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）无论x，y取何值时，多项式的值总是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，以及非负数的性质，利用完全平方公式分组分解是解决问题的关键． 利用完全平方公式把多项式分组配方变形后，利用非负数的性质判断即可． 【详解】解：∵． ∴多项式的值总是正数． 故选：A． 1．（23-24八年级上·重庆·期末）多项式的最小值为（    ） A．18 B．9 C．27 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式和非负数的性质，解题关键是熟练运用完全平方公式进行变形，利用非负数的性质确定最值．利用完全平方公式进行变形，再根据非负性确定最小值，即可解题． 【详解】解： ， ，， 多项式的最小值为18， 故选：A． 2．（22-23八年级下·四川内江·开学考试）若多项式可化为的形式，则单项式k可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式的结构特征进行计算即可． 【详解】解：①， ∴； ②， ∴，但不是单项式，故舍去； ③， ∴，但不是单项式，故舍去， 综上所述，， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·湖北咸宁·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，，求的值． 【答案】 （1），（2） 【分析】本题主要考查整式的混合运算、代数式求值，乘法公式的运用， （1）根据整式的混合运算进行化简，再代入求值即可； （2）根据已知条件可得，将变形得，代入计算即可求解． 【详解】解：（1） ， 当，时， ∴原式； （2）已知，， ∴ ∵ ∴原式． 【经典例题四 通过对完全平方公式变形求值】 【例4】（22-23七年级下·浙江·期末）设，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，正确用表示，是解题的关键； 先用表示，，代入已知等式中，即可求解； 【详解】解：，，， ，， ， ， 解得：； 故选：A 1．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）若，，则的值为（　　） A．68 B．52 C．20 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据推出，再根据完全平方公式展开运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把代入可得：， 解得：； 故选：A． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】28 【分析】本题考查利用完全平方公式的变形求值，将化为，整体代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：28． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）（1）已知，，求和的值； （2）已知，，求和的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）， （2）， （3）5 【分析】本题考查的是利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形，计算即可． （2）利用完全平方公式变形，计算即可． （3）利用完全平方公式变形，计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ，， ； （2），， ①，②， ①②，得， ， ①②，得， ； （3）， ， ， ， ． 【经典例题五 求完全平方式中的字母系数】 【例5】（22-23六年级下·山东济南·期中）当（ ）时，是完全平方式． A． B．8 C． D．8或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，利用在完全平方公式中，中间项等于前后两项乘积的2倍，即可得到答案． 【详解】解：∵首末两项是x和5这两个数的平方； ∴中间一项为加上或减去和5的积的2倍， ∴， ∴或． 故选：D． 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）若 是一个完全平方式，则k是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键；根据完全平方公式的结构特点求解即可； 【详解】是一个完全平方式， 是一个完全平方式， ， 故答案为：B； 2．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）已知是完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式列式进行计算即可确定k的值，熟记完全平方公式对解题的关键． 【详解】∵是完全平方式， ∴，解得， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·山东烟台·期中）课本原题：当k取何值时， 是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式： 的结构特征。因为， 是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． (1)请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征： ； (2)若 是完全平方式，则m的值为 ；若(n为常数) 是完全平方式，则n的值为 ； (3)已知 ，请求出b的值． 【答案】(1)左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同（答案不唯一，能描述清楚即可） (2)10或；16 (3) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式： 的结构特征是解题关键； （1）根据完全平方公式结构特征用语言表述即可； （2）根据完全平方公式结构特征：求字母常数的值即可； （3）根据完全平方公式结构特征：求字母常数的值即可． 【详解】（1）解：完全平方公式：， 完全平方公式的结构特征：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同， 故答案为：左边是两个数的和（差）的平方，右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，都为正，中间一项是两数积的两倍，其符号与等式左边的运算符号相同；（答案不唯一，能描述清楚即可） （2）解： 是完全平方式， ， ， 解得：或； 是完全平方式， ， ， 故答案为：10或；16； （3）解：， ， ， ， ． 【经典例题六 完全平方式在几何图形中的应用】 【例6】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，长方形的周长为16，以这个长方形的四条边为边分别向外作四个正方形，若四个正方形的面积和等于68，则长方形的面积为（    ） A．20 B．18 C．15 D．12 【答案】C 【分析】设长方形的长为x，宽为y．依据长方形的周长为16，四个正方形的面积之和为68可得到2x+2y=16，2x2+2y2=68，最后依据完全平方公式进行变形可求得xy的值． 【详解】解：设长方形的长为x，宽为y． 根据题意可知：2x+2y=16，2x2+2y2=68， 所以x+y=8，x2+y2=34． 所以64-2xy=34． 解得：xy=15． 所以长方形ABCD的面积为15． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的应用，依据完全平方公式得到64-2xy=34是解题的关键． 1．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（  ） A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2 【答案】C 【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：设AB=x，AD=y， ∵长方形ABCD的周长是12cm，正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 cm2， ∴x+y=6，x2+y2=20， ∴x2+y2=(x+y)2−2xy=20， ∴62−2xy=20， ∴xy=8， 故选：C． 【点睛】此题考查了图形与公式，解题的关键是熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期中）某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为32，面积之和为12，则长方形ABCD的面积为 ． 【答案】5 【分析】设，，由四个正方形的周长之和为24，面积之和为12列方程求解即可． 【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为32，面积之和为12可得， ，， 即①，②， 由①得，③， ③②得， 所以， 即长方形的面积为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的关键． 3．（23-24七年级下·福建漳州·期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．      (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________． 方法2：__________________． 请写出代数式：，之间的等量关系是______． (2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，是负整数，求的值． 【答案】(1)；；，详见解析 (2)，详见解析 (3)为1或5，详见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的几何图解法及应用等知识点， （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释； （2）图③的面积计算有两种方法，方法一是大长方形（长为的，宽为）的面积是，方法二是组成大长方形的各个小长方形或正方形的面积和等于大长方形的面积，故而得到了代数恒等式； （3）由（1）知：，结合为负整数分类讨论即可得解； 熟练掌握数形结合的思想是解决此题的关键． 【详解】（1）方法1：阴影部分是一个正方形，边长为，根据阴影部分正方形面积计算公式得， 方法2：大正方形边长为，面积是：，四个长为m，宽为n的长方形的面积是，阴影部分的面积是大正方形的面积减去四个长方形的面积为， 方法1与方法2均为求图②中阴影部分的面积，所以结果相等，即， 故答案为：；；； （2）计算图③的面积计算有两种方法， 方法一是大长方形（长为的，宽为）的面积是， 方法二是：组成图③的各部分图形：2个边长为m的正方形的面积，3个长为m，宽为n的长方形的面积即，1个边长为n的正方形的面积，他们的面积和是：，方法一和方法二的计算结果相等， ∴； （3）由（1）知：， ∵， ∴ ， ∴， ∵为负整数， ∴且能被4整除， ∴当时，， 当时，， 综上：为1或5． 【经典例题七 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例7】（22-23八年级上·福建莆田·期末）如图，两个正方形的边长分别为a、b，若，，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用．根据题意确定阴影部分面积是解题的关键． 由题意知，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知， ． 故选：B． 1．（22-23七年级下·广西贵港·期中）若将四张都是长为a，宽为b的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，根据阴影部分的面积等于大正方形面积减空白部分面积列代数式是解题的关键．根据阴影部分的面积等于大正方形面积减空白部分面积列代数式整理计算即可． 【详解】解：阴影部分的面积为 故选B． 2．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形纸片边长之和为8，图2中阴影部分的面积为6，则图1中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，设甲、乙两个正方形纸片边长分别为，由题意可得：，根据图1中的阴影部分的面积为，进行求解即可． 【详解】解：设甲、乙两个正方形纸片边长分别为， 由题意，得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图1中的阴影部分的面积为； 故答案为：． 3．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式．如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形）， 请观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：_______； (2)如果图中的a，b（）满足，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）依据该图形的总面积为或，即可得出答案； （2）先求出，再根据计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 该图形的总面积为或， ∴可得如下公式； （2）解：∵，， ∴， ∴． 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）若是完全平方式，则m的值是（    ）． A．6或 B．10或 C．或10 D．或6 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式：利用完全平方公式得到或，从而得到，然后解关于的方程． 【详解】解：是一个完全平方式， 或， ， 或． 故选：C． 2．（23-24八年级下·宁夏固原·开学考试）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，由得，由得，然后即可求解，解题的关键是掌握完全平方公式． 【详解】解：由得， 由得， 得：， ∴， 故选：． 3．（22-23七年级下·贵州贵阳·期中）若，则的个位数字为（    ） A．2 B．1 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查的是平方差公式，能够将原式乘以，凑出平方差公式的形式是解题的关键． 将原式乘以凑出平方差公式的形式，按照平方差公式进行计算即可得出答案． 【详解】解： ， 又∵，，，，，，，，，， ∴指数每4个个位数字重复一次， ∴个位数字为， 故选C． 4．（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为，小正方形的面积为，若分别用，（）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景．根据拼图可知大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而得出，，，结合完全平方公式得出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：小正方形的边长为，大正方形的边长为， ∵该图案的面积为，小正方形的面积为， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， 即，，故A选项和B选项不符合题意； 根据题意可得：个全等的小长方形的面积加上1个小正方形的面积等于大正方形的面积， 即，故D选项不符合题意； 则， 由该图案的面积为，可得出， 即， 故，故C选项符合题意． 故选：C． 5．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，解决此题的关键是利用两正方形的面积表示出长方形的面积．根据题意，利用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出长方形的面积，再化简整理即可． 【详解】解：根据题意，得： ． 故选：C． 6．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）若， ，则 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的变形，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 7．（22-23八年级下·广西南宁·开学考试）若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式求解即可得． 【详解】解：∵关于的二次三项式是完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（22-23八年级下·四川内江·开学考试）的计算结果的个位数字是 ． 【答案】0 【分析】此题考查了平方差公式，以及尾数特征，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 已知等式变形后，利用平方差公式计算得到结果，归纳总结确定出结果个位数字即可． 【详解】解： ， ，，，，， 依此类推，个位数字以3，9，7，1循环， ， 的个位数字为1，即的个位数字为0． 故答案为：0． 9．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，若大正方形与小正方形的面积之差为24，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了平方差公式，掌握正方形、三角形的面积公式是正确解答的前提． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，由题意可得，将转化为，即，代入计算即可． 【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则， 由于大正方形与小正方形的面积之差是24，即， ． 故答案为：12 10．（22-23八年级上·山东烟台·期中）如图，有A类卡片3张、B类卡片4张和C类卡片5张，从其中取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），所拼成的正方形的边为 ． 【答案】或 【分析】根据三种卡片的张数可知有和两种情况，进而可得答案． 【详解】解：∵有A类卡片3张，B类卡片4张，C类卡片5张， ∴由可知用1张A，2张B，1张C可拼成边长是的正方形； 由可知用1张A，4张B，4张C可拼成边长是的正方形； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握． 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对平方差公式和完全平方公式的应用，注意：平方差公式是：，完全平方公式是：，． （1）根据平方差公式展开，再根据完全平方公式求出即可； （2）先变形，再根据平方差公式展开，最后根据完全平方公式求出即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 12．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 13．（22-23七年级下·广东佛山·期中）对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】此题考查了新定义公式，完全平方式公式，正确掌握完全平方公式是解题的关键： （1）根据定义的公式得到，由完全平方式即可得到常数k的值； （2）由定义得到原式，由求出，即可得到的值． 【详解】（1）解：由题意得 ， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）由题意得 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，平方差公式的灵活运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）分别用代数式表示图形中阴影部分的面积即可； （2）把原式化为，再利用平方差公式计算即可； （3）把原式化为，再依次利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：图形中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，也可以拼成为，高为的平行四边形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）原式 ． （3）原式 ． 15．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个相同的小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 ； (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积． 方法①： 方法②：    (3)请你观察图②，利用图形的面积写出 ， ，mn 这三个代数式之间的等量关系： ； (4)根据（3）中的结论，若，，则 ； 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题． （1）正方形的边长小长方形的长宽； （2）第一种方法为：大正方形面积个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分为小正方形的面积； （3）利用可求解； （4）利用，再求，即可解答． 【详解】（1）由拼图可知，阴影部分是边长为的正方形， 故答案为：； （2）法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为； 方法二：从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即为阴影部分的面积， 即； 故答案为：，； （3）由（2）的两种方法可得，； 故答案为：； （4）， ，， ， ， 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$