专题02 整式的乘法重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题02 整式的乘法重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 计算单项式乘单项式 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型三 计算单项式乘多项式及求值 题型四 单项式乘多项式的应用 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 题型六 计算多项式乘多项式 题型七 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型九 多项式乘多项式——化简求值 题型十 多项式乘多项式与图形面积 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 知识点一、单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点二、单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点三、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 【经典例题一 计算单项式乘单项式】 【例1】（23-24七年级下·山西太原·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23七年级下·广东深圳·期中）计算：如图，“三角”表示，方框表示，求的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）若，则第一个括号内应该填 ． 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）计算：． 【经典例题二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例2】（2024·贵州安顺·二模）定义一种新运算，那么的运算结果是（   ） A． B． C． D． 1．（2024·陕西榆林·三模）已知单项式与的积为，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期中）若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm＝ ． 3．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【经典例题三 计算单项式乘多项式及求值】 【例3】（2024·四川南充·三模）已知，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 1．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）下列运算中正确的是（　 　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏南京·期中）（ ）． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题四 单项式乘多项式的应用】 【例4】（22-23七年级下·北京平谷·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·江苏南京·期末）在矩形中将边长分别为和的两张正方形纸片()按图1和图2两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当 时，的值为（     ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·江西九江·期中）一个长方体的长，宽，高分别是，和，则它的表面积是 ．（化简） 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积； （2）如图，一块长方形地用来建造住宅、广场和商厦，求这块地的面积． 【经典例题五 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例5】（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 1．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）要使中不含有的四次项，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期中）若恒成立，则 ． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 【经典例题六 计算多项式乘多项式】 【例6】（23-24七年级下·浙江温州·期中）小黄同学计算一道整式乘法∶，由于他抄错了前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为．则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 1．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）若，则的值为（　　） A． B．125 C． D．1 2．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）计算： 3．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）先观察下列各式，再解答后面问题： ；； ；； (1)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来，则 ； (2)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果 ① ； ② ． 【经典例题七 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【例7】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·广东东莞·期末）若，则（　　） A． B．1 C． D．12 2．（23-24七年级下·广东茂名·单元测试）若，，则与的大小关系是 3．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 【经典例题八 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例8】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）使 乘积中不含 与 项，则 的值为（    ） A． B． C． D．8 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）若的积中不含项，则满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如果的结果中不含的一次项，那么实数的值为 ． 3．（23-24八年级上·吉林·期中）已知计算的结果中不含项，求的值． 【经典例题九 多项式乘多项式——化简求值】 【例9】（22-23八年级上·山西临汾·期中）已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．-7 D．-17 1．（22-23七年级下·陕西西安·期末）若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山西晋中·期中）已知，，则代数式的值为 ． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）先化简，再求值：，其中． 【经典例题十 多项式乘多项式与图形面积】 【例10】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）在下列式子中，能反映如图所示的拼图过程的是(    ) A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·福建宁德·期末）用边长分别为的两种正方形和，拼成如图所示的两个图形，若图中阴影部分面积分别记为，下列关于的大小关系表述正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，点C在线段上，分别以和为边，在线段同侧作正方形、正方形，连接．若两正方形面积和为40，三角形面积为6，则 ． 3．（23-24七年级下·广东佛山·期末）通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干， 取部分纸片摆成如图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是：； (1)请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时，（画图并写出过程） (2)小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长方形纸片z张，拼出一个面积为的长方形，则 ， ， ． 【经典例题十一 多项式乘法中的规律性问题】 【例11】（23-24九年级上·重庆开州·开学考试）有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘得到，将第2项加上得到第3项……以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论：①第4项为；②；③若第2023项的值为0，则.以上结论正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（23-24六年级下·山东泰安·期末）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1     1  1     1  2  1     1  3  3  1     1  4  6  4  1     …    … 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，我们知道展开式中的各项系数依次对应杨辉三角第行中的每一项，给出了“杨辉三角”的前7行，如第4行对应的等式为：，照此规律，计算： ． 3．（22-23七年级下·河南平顶山·阶段练习）观察下列各式： (1)根据上面各式的规律可得__________； (2)利用（1）的结论求的值； (3)若，求的值． 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）8张如图1的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则满足（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北唐山·二模）现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形．下列判断正确的是（     ） A．甲种纸片剩余5张 B．丙种纸片剩余7张 C．乙种纸片缺少5张 D．甲种和乙种纸片都不够用 5．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）若第一个整式的项数为奇数，则用此整式去乘，若项数为偶数，则用此整式去乘，所得结果记作；若合并同类项后的项数为奇数，则用去乘，若合并同类项后的项数为偶数，则用去乘，所得结果记作，以此类推．下列说法正确的个数为（    ） ①第一个整式为，则； ②第一个整式为，若，则的值为5； ③第一个整式为，若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）计算： ． 7．（23-24八年级上·重庆万州·期末）已知，，则 ． 8．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积是 ． 9．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，观察两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，且（a，b均为整数），则 ， ． 10．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）探索题： 根据以上规律，判断的值的个位数是几 ． 11．（2024七年级下·浙江·专题练习）化简：． 12．（2024七年级下·全国·专题练习）计算 (1) (2) 13．（23-24八年级上·河南洛阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中 ，． 14．（23-24七年级上·四川遂宁·期中）如图1中的个小长方形，长为，宽为，按照图方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 15．（23-24七年级下·广东佛山·期中）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形． (1)①观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系式______． ②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到______． (2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______； (3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式的乘法重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 计算单项式乘单项式 题型二 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型三 计算单项式乘多项式及求值 题型四 单项式乘多项式的应用 题型五 利用单项式乘多项式求字母的值 题型六 计算多项式乘多项式 题型七 （x+p）（x+q）型多项式乘法 题型八 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型九 多项式乘多项式——化简求值 题型十 多项式乘多项式与图形面积 题型十一 多项式乘法中的规律性问题 知识点一、单项式的乘法法则 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 知识点二、单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 知识点三、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 【经典例题一 计算单项式乘单项式】 【例1】（23-24七年级下·山西太原·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了单项式乘法和幂的运算法则，根据单项式乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法分别计算即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意． 故选：D． 1．（22-23七年级下·广东深圳·期中）计算：如图，“三角”表示，方框表示，求的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的乘法，根据题意列算式，再根据整式的乘法法则计算可求解． 【详解】解：由题意得 ． 故答案选：B 2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）若，则第一个括号内应该填 ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：第一个括号内， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【经典例题二 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 【例2】（2024·贵州安顺·二模）定义一种新运算，那么的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查定义新运算，整式的乘法，根据定义的新运算，运用整式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 1．（2024·陕西榆林·三模）已知单项式与的积为，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】此题考查了单项式的乘法运算，按照单项式乘单项式计算单项与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：A． 2．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期中）若5am+1b2与3an+2bn的积是15a8b4，则nm＝ ． 【答案】8 【分析】根据单项式乘单项式的乘法法则计算，然后根据相同字母的指数相等列方程组即可求出m、n． 【详解】解：， ∴， 解方程组得：， ， 故答案为8． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，熟记法则是解题的关键． 3．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 【经典例题三 计算单项式乘多项式及求值】 【例3】（2024·四川南充·三模）已知，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，先变形已知条件得，再化简原式，代入即可． 【详解】解： ∵ ∴原式． 故选：B． 1．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）下列运算中正确的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、合并同类项、同底数幂除法、单项式乘以多项式逐一计算，即可得到答案． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意，选项错误； B、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意，选项错误； C、，原计算错误，不符合题意，选项错误； D、，原计算正确，符合题意，选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 2．（23-24七年级下·江苏南京·期中）（ ）． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据单项式乘多项式运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是关键． 【详解】解：∵， ∴括号内应填的式子为：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，单项式乘多项式，熟练掌握相关的运算法则是解题关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可； （2）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可； （3）根据单项式乘多项式的运算法则进行求解即可； （4）根据单项式乘多项式的运算法则进行运算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【经典例题四 单项式乘多项式的应用】 【例4】（22-23七年级下·北京平谷·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法与单项式乘多项式的运算法则进行运算即可． 【详解】A．，故选项计算错误，不合题意； B．，故选项计算错误，不合题意； C．，故选项计算错误，不合题意； D．，故计算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法与单项式乘多项式的运算法则等知识点，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． 1．（23-24七年级下·江苏南京·期末）在矩形中将边长分别为和的两张正方形纸片()按图1和图2两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当 时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，理解题意并用代数式表示出面积是解题的关键．根据题意设，则，根据面积公式分别用含、、的式子表示出和即可得到的值． 【详解】解： 设，则， 故选：B． 2．（22-23七年级下·江西九江·期中）一个长方体的长，宽，高分别是，和，则它的表面积是 ．（化简） 【答案】/ 【分析】根据长方体的表面积公式列出式子，计算即可得到结果． 【详解】由题意得：， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了整式的混合运算，能根据题意列出算式是解此题的关键． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积； （2）如图，一块长方形地用来建造住宅、广场和商厦，求这块地的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （1）利用纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积； （2）根据题目中的图形，可得这块长方形地块的长为，宽为，利用面积公式计算即可． 【详解】解：（1）纸片的面积是：， 小正方形的面积是：， 则折成无盖盒子所用硬纸片的面积是． （2）长方形地的长为，宽为， 这块地的面积为． 【经典例题五 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例5】（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 1．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）要使中不含有的四次项，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有x的四次项，可得，即可求解． 【详解】解： ， 原多项式中不含有x的四次项， ， ， 故选：A． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期中）若恒成立，则 ． 【答案】0 【分析】将等式左边按照单项式乘以多项式，再合并同类项，整理后形式和等式右边一致，即可求出a ，b 的值，代入求值即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得： ∵等式左边， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：0 【点睛】本题主要考查的是整式的运算，掌握单项式与多项式的乘法运算，合并同类项即可求出结果，也是解题的关键． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 【经典例题六 计算多项式乘多项式】 【例6】（23-24七年级下·浙江温州·期中）小黄同学计算一道整式乘法∶，由于他抄错了前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为．则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，由题意得出，再根据多项式乘多项式的运算法则计算等式的左边，即可求出a、b的值． 【详解】解：由题意得，， ， ，， ， ， 故选：B． 1．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）若，则的值为（　　） A． B．125 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，运用多项式乘以多项式运算法则计算后，根据对应项的系数相等得到的值，再代入计算即可 【详解】解： 又， ∴ ∴， 故选：A 2．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）计算： 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式法则，熟练掌握多项式乘以多项式法则计算是解题的关键；根据多项式乘以多项式法则计算即可 【详解】解： 故答案为： 3．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）先观察下列各式，再解答后面问题： ；； ；； (1)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来，则 ； (2)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果 ① ； ② ． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式， （1）直接利用已知中运算规律得出答案； （2）①结合已知运算规律即可得出答案；②结合已知运算规律即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）； 故答案为：； （2）（2）①； ②． 故答案为：；． 【经典例题七 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【例7】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题考查了多项式乘多项式，多项式相等的条件，利用多项式乘多项式的法则将等式左边展开，再把结果和等式右边对照即可求解，掌握多项式相等即相同项的系数相等是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：． 1．（23-24八年级上·广东东莞·期末）若，则（　　） A． B．1 C． D．12 【答案】D 【分析】此题考查了多项式的乘法，按照多项式乘以多项式的法则计算展开，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故选：D． 2．（23-24七年级下·广东茂名·单元测试）若，，则与的大小关系是 【答案】 【分析】本题考查比较整式的大小，解决本题的关键是用差值法比较大小； 利用作差法比较整式的大小即可求解； 【详解】解：， 故答案为： 3．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 【答案】(1)；； (2)n的值为 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，观察各①②③④小题结果的二次项系数、一次项系数及常数项，发现规律得猜想； （2）利用（1）的猜想先求出，再根据得关于m、n的方程，求解即可． 【详解】（1）解： 根据上面的计算，可发现： 故答案为：；； （2）解：由（1）的规律知：， ∵， ∴． ∴，． ∴． 答：n的值为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用多项式乘多项式法则发现规律得到猜想是解决本题的关键． 【经典例题八 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例8】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）使 乘积中不含 与 项，则 的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把p、q看作常数，合并关于 与 的同类项，令其系数为0，得出p与q的值，即可求出结果． 【详解】解： 乘积中不含 与 项， ，则 ， 故选：D． 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）若的积中不含项，则满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项问题，先进行多项式的乘法运算，再根据多项式的积中不含项得到一次项的系数为，据此即可求解，理解多项式不含某项即该项的系数为是解题的关键． 【详解】解：， ∵的积中不含项， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如果的结果中不含的一次项，那么实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式进行计算，根据题意令x的一次项系数为0即可求解． 【详解】解： ， ∵结果中不含的一次项， ∴ 解得：． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·吉林·期中）已知计算的结果中不含项，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握单项式乘多项式的法则是解题关键．首先根据单项式乘多项式的法则进行运算，然后根据“结果中不含项”易得，求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含项， ∴， 解得． 即的值为． 【经典例题九 多项式乘多项式——化简求值】 【例9】（22-23八年级上·山西临汾·期中）已知，，则的值为（    ） A．3 B．7 C．-7 D．-17 【答案】A 【分析】由多项式乘以多项式进行化简和变形，然后整体代入计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则正确的进行化简是解题的关键． 1．（22-23七年级下·陕西西安·期末）若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到，将等式左侧展开，比较系数可得关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：是由整式与另一个整式相乘得到的， ， ， ， 解得：，， 故选：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键． 2．（23-24七年级下·山西晋中·期中）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式—化简求值，原式利用多项式乘以多项式法则计算，把与的值代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由， 当，时， 则原式， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【经典例题十 多项式乘多项式与图形面积】 【例10】（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）在下列式子中，能反映如图所示的拼图过程的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】】本题考查了整式的有关运算，先计算出左边四个拼图的面积和，再计算拼成的图形的面积，从而得到答案即可 【详解】解：观察图形可知：左边四个拼图的面积和为：， 右边拼成的图形的是长为，宽为，拼成的图形的面积为， ， 反映如图所示的拼图过程的是：， ∴A，C，D选项均不符合题意，B选项符合题意， 故选：B． 1．（23-24七年级下·福建宁德·期末）用边长分别为的两种正方形和，拼成如图所示的两个图形，若图中阴影部分面积分别记为，下列关于的大小关系表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算：利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】解： ； ∵ ∴ 故选：B． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，点C在线段上，分别以和为边，在线段同侧作正方形、正方形，连接．若两正方形面积和为40，三角形面积为6，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形的面积，整式的乘法运算等知识点，根据角形面积为6，求出，再根据正方形、正方形面积和为40，得出，再整体代入即可得解，熟练运用整体代入思想是解决此题的关键． 【详解】设，，则， ∵三角形面积为6， ∴， ∴ ∵正方形、正方形面积和为40， ∴， ∴， ∴， ∴， 将①代入②得， ∴（负值已舍去） ∴， 故答案为：4． 3．（23-24七年级下·广东佛山·期末）通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．现有如图1所示边长为a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为a、b的长方形纸片若干， 取部分纸片摆成如图2所示的一个长方形，根据这个长方形的面积可以得到的等式是：； (1)请利用若干图1所示纸片，摆出图形来说明：当a，b都不为0时，（画图并写出过程） (2)小明同学用图1中边长为a的正方形纸片x张，边长为b的正方形纸片y张，长宽分别为a、b的长方形纸片z张，拼出一个面积为的长方形，则 ， ， ． 【答案】(1)作图及理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查整式运算与几何图形面积的关系，根据图示，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据题意，画出图形，运用整式运算即可求解； （2）根据整式的运算法则展开，几何图形面积的特点即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 图形的面积为：， ∴当都不为0时，； （2）解： ， ∴， 故答案为：． 【经典例题十一 多项式乘法中的规律性问题】 【例11】（23-24九年级上·重庆开州·开学考试）有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘得到，将第2项加上得到第3项……以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论：①第4项为；②；③若第2023项的值为0，则.以上结论正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探索．根据题干所提供的运算方法，分别计算出第2项，的值；第3项，的值，第4项，的值，第5项，的值，……由规律可判断每个结论的正误即可． 【详解】解：根据题意，第1项为，， 第2项为，， 第3项为，， 第4项为，故①正确； ，故②错误； 若第2023项的值为0，即 ∴， 即，，故③正确； 故选：C． 1．（23-24六年级下·山东泰安·期末）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1     1  1     1  2  1     1  3  3  1     1  4  6  4  1     …    … 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，找规律．先根据题中给出项找到规律，再写出问题中第二项的系数即可． 【详解】解：由题知， 展开式中含项的系数是． 故选：A． 2．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）如图，我们知道展开式中的各项系数依次对应杨辉三角第行中的每一项，给出了“杨辉三角”的前7行，如第4行对应的等式为：，照此规律，计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查数字规律、多项式，观察所求式子与杨辉三角第7行数字的关系，即可求解． 【详解】解： 由题意知，， 故答案为：1． 3．（22-23七年级下·河南平顶山·阶段练习）观察下列各式： (1)根据上面各式的规律可得__________； (2)利用（1）的结论求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题考查多项式乘多项式的规律；能够通过所给式子，找到规律，并将所求的式子结合所得规律进行恰当的变形是解题的关键． （1）由所给式子，找到规律直接可得结果； （2）将所求式子变形为即可用规律求解； （3）变形所求为，结合已知即可求解． 【详解】（1）由所给式子可得规律：， 故答案为； （2）； （3）， ． 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方、整式的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．利用幂的乘方、积的乘方、整式的乘法，同底数幂的除法运算法则逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、，运算正确，符合题意； B、，运算错误，不符合题意； C、，运算错误，不符合题意； D、，运算错误，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】先根据单项式乘以单项式，确定m，n的值，即可解答． 【详解】[解析]∵，∴， ，∴，，∴， 故选D． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，解题的关键是确定m，n的值． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）8张如图1的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用代数式表示出左上角与右下角部分的面积，根据面积相等求出a与b的关系式． 【详解】解：如图，左上角阴影部分的长为AE=AD-a，宽为AF＝4b，右下角阴影部分的长为PC=BC-4b=AD-4b，宽为CG=a， 四边形AEHF的面积为：， 四边形QPCG的面积为：， ∵左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等， ∴， ∴，即， 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的混合运算的应用，用代数式表示出两个阴影部分的面积是解本题的关键． 4．（2024·河北唐山·二模）现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张，小明要用这些纸片中的若干张拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形．下列判断正确的是（     ） A．甲种纸片剩余5张 B．丙种纸片剩余7张 C．乙种纸片缺少5张 D．甲种和乙种纸片都不够用 【答案】C 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式与图形面积，根据，得拼接这样的一个长方形所需甲种纸片12张，乙种纸片17张，丙种纸片6张，由此可得出答案． 【详解】解：， ∴拼接（不重叠、无缝隙）一个长、宽分别为和的长方形，所需甲种纸片12张，乙种纸片17张，丙种纸片6张， ∵现有甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各12张， ∴甲种纸片正好用完，丙种纸片剩余6张，乙种纸片缺少5张． 故选：C． 5．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）若第一个整式的项数为奇数，则用此整式去乘，若项数为偶数，则用此整式去乘，所得结果记作；若合并同类项后的项数为奇数，则用去乘，若合并同类项后的项数为偶数，则用去乘，所得结果记作，以此类推．下列说法正确的个数为（    ） ①第一个整式为，则； ②第一个整式为，若，则的值为5； ③第一个整式为，若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算．计算即可判断①正确；，由，得到，化简即可判断②错误；分别计算出和，再计算，得到即可判断③正确． 【详解】解：①第一个整式为，则；①正确； ②第一个整式为，则， ∵， ∴，即， ∴，②错误； ③第一个整式为，则， ， ∴ ， ∵， ∴，③正确； 故选：C． 6．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式运算，先进行乘方运算，再进行乘法运算即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 7．（23-24八年级上·重庆万州·期末）已知，，则 ． 【答案】 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式法则变形，再将a+b、ab的值代入计算可得． 【详解】解：（a+2）（b+2） =ab+2a+2b+4 =ab+2（a+b）+4 当a+b=4、ab=2时， 原式=2+2×4+4 =2+8+4 =14， 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是掌握多项式乘多项式的法则及整体代入思想的运用． 8．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查认识立体图形，熟练掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．根据长方体的体积公式计算即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，观察两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，且（a，b均为整数），则 ， ． 【答案】 3 【分析】本题考查规律探索，观察可以得出规律：两个多项式相乘，两个多项式的一次项相乘得出运算结果的二次项，两个多项式的常数项相加得出运算结果的一次项的系数，两个多项式的常数项相乘得到运算结果的常数项．由此得到和，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴，，或，， ∵， ∴，， 故答案为：；3． 10．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）探索题： 根据以上规律，判断的值的个位数是几 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，找出规律是解题的关键．给等式乘以从而可知，然后找出的尾数规律从而得到答案． 【详解】解：， ，，，，，， ． 故的尾数是4.． 故的值的个位数是3． 11．（2024七年级下·浙江·专题练习）化简：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，根据多项式乘多项式法则和单项式乘以多项式法则展开后，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 12．（2024七年级下·全国·专题练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以单项式、积的乘方： （1）按单项式乘以单项式法则计算； （2）先算乘方，再算乘法，进而即可求解 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 13．（23-24八年级上·河南洛阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中 ，． 【答案】，； 【分析】本题考查整式的化简求值，先去括号，去绝对值，再根据乘除加减法则计算即可得到答案； 【详解】解：原式 ∵，， ∴原式 ， 当，时， 原式． 14．（23-24七年级上·四川遂宁·期中）如图1中的个小长方形，长为，宽为，按照图方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题；设，由图可知,则，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可知的值与的值无关，即有，则问题得解． 【详解】设 由图可知， 则 ； 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 15．（23-24七年级下·广东佛山·期中）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形． (1)①观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系式______． ②图3是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到______． (2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______； (3)利用（2）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值． 【答案】(1)①  ② (2)图见详解， (3)5 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何中的应用，面积法； （1）分别用两种方法表示出面积为和，即可求解； （2）分别用两种方法表示出面积为和，即可求解； （3）将化为，由（2）可得，即可求解； 掌握面积的两种表示方法：整体法、部分法，会用整体代换法求整式的值是解题的关键． 【详解】（1）解：①方法一：图2的面积可表示为， 方法二：图2的面积可表示为： ， ， 故答案：； ②方法一：图3的面积可表示为， 方法二：图3的面积可表示为： ， ； 故答案：； （2）解：如图， ； 故答案：； （3）解： 由（2）可得：， ， ， ∴． ∴当时， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$