专题01 幂的运算重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题01 幂的运算重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 同底数幂相乘 题型二 同底数幂乘法的逆用 题型三 用科学记数法表示数的乘法 题型四 幂的乘方运算 题型五 幂的乘方的逆用 题型六 同底数幂的除法运算 题型七 积的乘方的逆用 题型八 同底数幂的除法运算 题型九 同底数幂除法的逆用 知识点1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 知识点2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 知识点3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 知识点4：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 知识点5：零指数 a0=1 (a≠0) 知识6：科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点7：负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 【经典例题一 同底数幂相乘】 【例1】（23-24六年级下·山东烟台·期末）若，，则与之间的关系为（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．无法判断 1．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）若，则p的值为 ． 3．（23-24七年级上·河南商丘·期中）（）试一试：根据乘方的意义填空： ①； ②； ③； ④（其中为正整数）； （）想一想：观察上述结果，请写出规律：______（其中为整数）． （）算一算：①； ②． 【经典例题二 同底数幂乘法的逆用】 【例2】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 2．（23-24六年级下·山东烟台·期中）若，，则的值为 ． 3．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如果，则，例如，则． (1)根据上述规定，若，则　　； (2)记，，，求之间的数量关系． 【经典例题三 用科学记数法表示数的乘法】 【例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）若(7×106)(5×105)(2×10)＝a×10n，则a，n的值分别为(　　) A．a＝7，n＝11 B．a＝5，n＝12 C．a＝7，n＝13 D．a＝2，n＝13 1．（2023·北京·中考模拟）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米.则“比邻星”距离太阳系约为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 2．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 3．（2023七年级上·全国·专题练习）已知10×102=1000=103，102×102=10000=104，102×103=100000=105 猜想：106×104=　 　，10m×10n=　 　（m、n均为正整数） 运用上述结论计算下式：（﹣6.4×103）×（2×106） 【经典例题四 幂的乘方运算】 【例4】（2023·江苏南通·模拟预测）下列运算正确的有（   ） ①；②；③；④ ； A．个 B．个 C．个； D．个 1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）下列计算：①；②；③；④，其中正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）若，则 ． 3．（23-24七年级下·广西贺州·期末）定义一种幂的新运算：．如：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值． 【经典例题五 幂的乘方的逆用】 【例5】（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）若，，，，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 1．（2023·山东济南·模拟预测）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建莆田·期末）已知，则 . 3．（23-24八年级上·北京·期中）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”，“幂的乘方”，“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（m，n为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请把a，b，c用“<”连接起来：______； (2)若，，求的值； (3)计算：． 【经典例题六 同底数幂的除法运算】 【例6】（23-24八年级上·广东东莞·期末）下列计算中，运算正确的个数是（　　） （1） （2 （3） （4） A．个 B．个 C．个 D．个 1．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）的值为 ． 3．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）计算： (1) (2) 【经典例题七 积的乘方的逆用】 【例7】（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算的结果是（    ） A．4 B． C．0.25 D． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）若a与b互为倒数，的结果是（　　） A． B．a C． D．1 2．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末） ． 3．（23-24八年级上·青海果洛·期末）计算：． 【经典例题八 同底数幂的除法运算】 【例8】（23-24八年级上·四川内江·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列变形正确的是（    ） A． B． C． D．（，是正整数） 2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）若，则 ． 3．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）已知，，（）． (1)求的值； (2)求的值． 【经典例题九 同底数幂除法的逆用】 【例9】（23-24七年级下·浙江金华·期末）若，则等于（    ） A．1 B． C． D．6 1．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知，则 ． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知，，： (1)求证：； (2)求的值． 1．（23-24八年级上·吉林·期中）若 ，则 的值是 （   ） A．2 B．4 C．8 D．32 2．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期中）计算的值是（    ） A． B． C． D．-1 3．（23-24八年级上·河南安阳·期末）已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）迄今为止，神舟号飞船已经将多位宇航员送入了中国空间站，已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数i，使其满足(即方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有 从而对任意正整数n，我们可得到同理可得，，，那么，的值为(　　) A．0 B．1 C． D． 6．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算式子的结果用科学记数法表示为 . 7．（22-23八年级上·河南南阳·期中）计算：的结果是 ． 8．（23-24六年级下·山东泰安·期末）新定义一种运算，其法则为，则 ． 9．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 10．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）我们定义：三角形，五角星； （1）＝ ； （2）若，则＝ ． 11．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·全国·单元测试）化简： (1)； (2) (3)． 13．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则_______； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 14．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）阅读下列各式：，，… 回答下列三个问题： (1)验证： ； ． (2)通过上述验证，归纳得出： ； ． (3)请应用上述性质计算： ①； ②． 15．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 幂的运算重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 同底数幂相乘 题型二 同底数幂乘法的逆用 题型三 用科学记数法表示数的乘法 题型四 幂的乘方运算 题型五 幂的乘方的逆用 题型六 同底数幂的除法运算 题型七 积的乘方的逆用 题型八 同底数幂的除法运算 题型九 同底数幂除法的逆用 知识点1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 知识点2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 知识点3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 知识点4：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 知识点5：零指数 a0=1 (a≠0) 知识6：科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点7：负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 【经典例题一 同底数幂相乘】 【例1】（23-24六年级下·山东烟台·期末）若，，则与之间的关系为（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，以及相反数的定义，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则和相反数的定义解答即可． 【详解】解：，， ， ， 与之间的关系为互为相反数， 故选：B． 1．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，正确理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义将化成1012个的积，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）若，则p的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法．熟练掌握同底数幂乘法的法则，是解决问题的关键． 根据同底数幂乘法化简指数，根据相等的两个同底数幂指数相等，即得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河南商丘·期中）（）试一试：根据乘方的意义填空： ①； ②； ③； ④（其中为正整数）； （）想一想：观察上述结果，请写出规律：______（其中为整数）． （）算一算：①； ②． 【答案】（）①；②；③；④；（）；（）①；②． 【分析】（）根据乘方的意义计算即可求解； （）根据（）中结果写出规律即可； （）利用（）中所得的规律计算即可求解； 本题考查了有理数的乘方，同底数幂相乘，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）①； ②； ③； ④； 故答案为：；；；； （）由上述结果可得规律：（其中为整数）， 故答案为：； （）①； ②． 【经典例题二 同底数幂乘法的逆用】 【例2】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则进行变形即可求解，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则． 【详解】解：由， 故选：． 1．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，求出原来三袋中小球的个数的平均数，即为最终三只袋中小球的个数，进而求出，将相乘即可得出结果． 【详解】解：最终每只袋中小球的个数为：， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．（23-24六年级下·山东烟台·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂除法法则的逆用，先逆用同底数幂的公式，然后进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如果，则，例如，则． (1)根据上述规定，若，则　　； (2)记，，，求之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据新定义列式计算即可求解； （）根据新定义列式，再根据同底数幂乘法的逆运算计算即可求解； 本题考查了乘方及同底数幂乘法的逆运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，则， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题三 用科学记数法表示数的乘法】 【例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）若(7×106)(5×105)(2×10)＝a×10n，则a，n的值分别为(　　) A．a＝7，n＝11 B．a＝5，n＝12 C．a＝7，n＝13 D．a＝2，n＝13 【答案】C 【分析】根据科学记数法表示的数的计算方法，乘号前面的数相乘，乘号后面的数相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行计算，最后再化成科学记数法即可得解． 【详解】解：(7×106)(5×105)(2×10) ＝(7×5×2)×(106×105×10) ＝7×1013 所以，a＝7，n＝13． 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则与科学记数法表示的数的计算方法是解题的关键． 1．（2023·北京·中考模拟）广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米.则“比邻星”距离太阳系约为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】9 500 000 000 000×4.2=39900000000000≈40000000000000=4×1013． 故选A． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 3．（2023七年级上·全国·专题练习）已知10×102=1000=103，102×102=10000=104，102×103=100000=105 猜想：106×104=　 　，10m×10n=　 　（m、n均为正整数） 运用上述结论计算下式：（﹣6.4×103）×（2×106） 【答案】1010，10m+n；﹣1.28×1010． 【分析】由已知可以得到底数为10的同底幂相乘的积也是底数为10的幂，指数是作为因数的幂指数的和．根据这个规律可以完成猜想和计算． 【详解】猜想：106×104=1010，10m×10n=10m+n； 计算：（﹣6.4×103）×（2×106） =（﹣6.4×2）（103×106） =﹣12.8×109 =﹣1.28×1010． 【点睛】本题考查底数为10的同底幂相乘规律的归纳和应用，认真观察所给算式，总结规律后再去应用是解题关键． 【经典例题四 幂的乘方运算】 【例4】（2023·江苏南通·模拟预测）下列运算正确的有（   ） ①；②；③；④ ； A．个 B．个 C．个； D．个 【答案】B 【分析】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．根据幂的运算法则即可求解． 【详解】解：①，故原式错误； ②，故原式错误； ③，故原式错误； ④ ，故原式正确； 运算正确的有个， 故选：B． 1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）下列计算：①；②；③；④，其中正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法与幂的乘方，需注意它们之间的区别：同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；幂的乘方：底数不变，指数相乘．根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方，求解即可． 【详解】解： ，故①正确； ，故②正确； ，故③不正确； ，故④错误； 故选：C． 2．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）若，则 ． 【答案】27 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握积的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加． 根据题意得出，再将化为，最后将代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：27． 3．（23-24七年级下·广西贺州·期末）定义一种幂的新运算：．如：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值． 【答案】(1)96 (2)21 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解：当时． ． 【经典例题五 幂的乘方的逆用】 【例5】（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）若，，，，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和幂的乘方运算．根据幂的乘方运算得到，，再得到，推出，求得，利用算术平方根的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴的值是． 故选：B． 1．（2023·山东济南·模拟预测）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用幂的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故选：C． 2．（23-24八年级上·福建莆田·期末）已知，则 . 【答案】3 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用，掌握成为解题的关键. 先逆用幂的乘方可得，即，然后解方程即可. 【详解】解：由可得，即，解得：. 故答案为3. 3．（23-24八年级上·北京·期中）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”，“幂的乘方”，“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，；（m，n为正整数）． 请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)已知，，，请把a，b，c用“<”连接起来：______； (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2)72 (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则，掌握法则的逆用是解题的关键． （1）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小； （2）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解； （3）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再计算即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， 又， ， 故答案为：； （2）解：， ， 原式； （3）解： ． 【经典例题六 同底数幂的除法运算】 【例6】（23-24八年级上·广东东莞·期末）下列计算中，运算正确的个数是（　　） （1） （2 （3） （4） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键； （1）不存在同类项，无法加和 （2）运用同底数幂相乘法则计算即可； （3）运用乘方法则计算； （4）运用积的乘方法则计算即可 【详解】解：（1）无法计算，故题目计算错误； （2），故题目计算错误； （3），故题目计算错误； （4），故题目计算错误． 故正确个数为个， 故选：A． 1．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查积的乘方的计算法则，积的乘方等于积中每个因式分别乘方的积，根据定义解答，熟记法则并应用是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 2．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算，掌握运算法则是解题关键． 根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先根据积的乘方和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再进行计算即可； （2）先根据积的乘方，同底数幂的乘方运算法则，将各项化简，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题七 积的乘方的逆用】 【例7】（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算的结果是（    ） A．4 B． C．0.25 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方，将拆成，再根据积的乘方进行计算即可 【详解】解： 故选：B 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）若a与b互为倒数，的结果是（　　） A． B．a C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的意义和积的乘方，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键； 依据倒数的定义可得到，然后逆用积的乘方法则进行计算即可． 【详解】a与b互为倒数， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．根据已知适当变形再逆用积的乘方即可求解． 【详解】解：原式＝ ＝ ； 故答案为： 3．（23-24八年级上·青海果洛·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，先将带分数化为假分数，再利用积的乘方法则计算即可．解题的关键是掌握积的乘方运算法则的运用． 【详解】解： ． 【经典例题八 同底数幂的除法运算】 【例8】（23-24八年级上·四川内江·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项等的运算能力，运用同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方、合并同类项等运算法则进行逐一计算、辨别．关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． 【详解】解：A、，故错误，不合题意； B、，故错误，不合题意； C、，故正确，符合题意； D、与不能合并，故错误，不合题意； 故选：C． 1．（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列变形正确的是（    ） A． B． C． D．（，是正整数） 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，选项A错误； ，选项B错误； ，选项C错误； （，是正整数），选项D正确； 故选D． 2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法．熟练掌握幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法是解题的关键． 由，可得，根据，代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 3．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）已知，，（）． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)0 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，零指数幂等知识点，能灵活运用知识点进行变形是解此题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方进行变形，再代入求出即可； （2）先根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法进行变形，再根据幂的乘方和积的乘方进行变形，最后根据零指数幂求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ （2）解：， ， ， ． 【经典例题九 同底数幂除法的逆用】 【例9】（23-24七年级下·浙江金华·期末）若，则等于（    ） A．1 B． C． D．6 【答案】C 【分析】先利用同底数幂除法逆运算法则化为除法，再利用幂的乘方逆运算变形，代入计算即可． 【详解】解：， ． 故选：C． 1．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵ ，故①错误； ∵ ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 设， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴，故④正确； ∴， ∵ ∴ ∴， 那么正确的有②③④． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法进行计算即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知，，： (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方法则可以得到，即可解题； （2）根据幂的运算得到，代入计算即可解题． 【详解】（1）证明：， ， 即， ； （2）解：． 1．（23-24八年级上·吉林·期中）若 ，则 的值是 （   ） A．2 B．4 C．8 D．32 【答案】C 【分析】此题考查了同底数幂除法和幂的乘方的逆用，利用法则把原式变形为，再利用整体代入求值即可. 【详解】解：∵， ∴ 故选：C 2．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期中）计算的值是（    ） A． B． C． D．-1 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方公式是解题的关键．根据积的乘方逆运算进行简化运算即可． 【详解】解： ， 故选：B 3．（23-24八年级上·河南安阳·期末）已知，，，则的值为（     ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，将与同底数幂的乘法法则建立联系是解答本题的关键，同底数幂的乘法的逆运算是指 ,将，，，三式相乘,即可得到答案． 【详解】解： ，，， ， ， 故选：A． 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）迄今为止，神舟号飞船已经将多位宇航员送入了中国空间站，已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握是解题的关键．根据路程速度时间列出代数式，根据单项式乘单项式的法则计算，最后结果写成科学记数法的形式即可． 【详解】解： （米）． 故选：D． 5．（23-24八年级上·湖南娄底·期末）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数i，使其满足(即方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有 从而对任意正整数n，我们可得到同理可得，，，那么，的值为(　　) A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，同底数幂的运算、实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算．从而可知4次一循环，一个循环内的和为0，据此计算即可． 【详解】解：由题意得，故可发现4次一循环，一个循环内的和为0， 故选：C． 6．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算式子的结果用科学记数法表示为 . 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法-表示较小的数，利用单项式乘单项式的法则，进行计算即可解答； 【详解】解： ， 故答案为： 7．（22-23八年级上·河南南阳·期中）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方逆用，同底数幂的乘法逆用，根据幂的乘方的运算法则及同底数幂乘法的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 8．（23-24六年级下·山东泰安·期末）新定义一种运算，其法则为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义下运算，幂的乘方，同底数幂的乘除运算，原式利用题中的新定义计算即可求出值．按照题干定义的运算法则，列出算式，再按照幂的乘方，同底幂除法运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：，， ，， ，，， 故其中正确的关系式是①③， 故答案为：①③． 10．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）我们定义：三角形，五角星； （1）＝ ； （2）若，则＝ ． 【答案】 27 32 【分析】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）按照规定的运算顺序进行计算即可； （2）先根已知条件和规定的运算得到，再利用规定的运算得到算式利用同底数幂的乘法和幂的乘方变形为，整体代入即可得到答案． 【详解】 解：（1）由题意得：， 故答案为：27； （2）∵＝4， ∴， ∴， ∴ 故答案为：32． 11．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)16 (2) 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项． （1）先将4和8化为以2为底数的幂，再进行计算即可； （2）根据幂的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．（24-25八年级上·全国·单元测试）化简： (1)； (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，以及同底数幂的乘法，除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂除法的运算法则进行计算即可； （2）运用幂的乘方和积的乘方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：（1） ； （2） ； （3） ． 13．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则_______； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据（且，是正整数），则即可求解； （）根据幂的乘方法则计算即可； （）根据同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方法则计算即可； 本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）∵， ∴， ， ∴， ∴， 解得：． 14．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）阅读下列各式：，，… 回答下列三个问题： (1)验证： ； ． (2)通过上述验证，归纳得出： ； ． (3)请应用上述性质计算： ①； ②． 【答案】(1)1，1 (2)； (3)①4；② 【分析】本题考查了积的乘方公式及其逆运算，正确理解积的乘方等于乘方的积是解题的关键． （1）积的乘方公式及其逆运算计算即可； （2）由，，…，归纳可得，，； （3）逆用公式 ，即容易求出答案． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：1，1； （2），，… ∴，； 故答案为：；； （3）① ； ② ． 15．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了整式的规律探究，同底数幂的乘法．理解题意，推导一般性规律解题的关键． （1）由题意知，； （2）由题意知，第个等式为，然后利用同底数幂的乘法的逆运算求解证明即可； （3）由题意知，，则； （4）令，则，根据，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 由题意知，； ∴第个等式成立； （3）解：由题意知，， ∴， ∴； （4）解：令， 则， ∴， 解得，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$