3.3 数量之间的关系-【七彩作业】2024-2025学年新教材七年级数学上册同步教学设计(冀教版2024)河北专版

课时目标

1.会用代数式表示数与图形的变化规律;会从不同角度分析和解决问题,体会同一量可以用不同代数式来表示,代数式可以更简洁地表达规律.

2.能发现特例中的变与不变,发现共性,寻找一般规律,解决问题,体会由特殊到一般、转化、数形结合等数学思想方法.

3.进一步培养学生的独立思考、合作交流及观察分析等能力.

学习重点

用代数式表示数与图形的变化规律.

学习难点

掌握用代数式表示数量之间的关系.

课时活动设计

复习引入

通过上节课的学习,我们应如何列出代数式,以解决较复杂的实际问题?有什么注意事项?在现实世界中,许多数量之间的关系都可以借助代数式表示出来.本节课我们就来研究怎样用代数式表示数量之间的关系.

设计意图:开门见山,引出本节课的内容,为本节课的学习奠定基础.

探究新知

探究1　用代数式表示数的变化规律

问题1:仔细观察,按你发现的规律填空:

(1)1,2,3,4,　5　,　6　,…,　n　(第n个数); 

(2)2,4,6,8,　10　,　12　,…,　2n　(第n个数); 

(3)2,4,8,16,　32　,　64　,…,　2n　(第n个数); 

(4)1,4,9,16,　25　,　36　,…,　n2　(第n个数); 

(5)1,3,6,10,　15　,　21　,…, 　(第n个数). 

师生活动:小组合作,互相交流讨论,派小组代表展示交流成果,并给出思考过程,教师及时给予点评指导,共同探究规律.

问题2:如图,这是一个由1~120的连续整数排成的“数阵”.如果用方框围住9个数,那么这9个数的和随方框位置的变化而变化.

(1)如果设方框左上角的数为a,用含a的代数式表示这9个数的和;

(2)如果设方框正中间的数为m,S表示这9个数的和,请写出用m表示S的关系式;

(3)如果将方框由左向右平行移动一列,那么这9个数的和会有怎样的变化?如果方框由上向下平行移动一行,那么这9个数的和又有怎样的变化?

分析:此题解决问题的关键是发现“数阵”中的数字是如何排列的,即左右相差1,上下相差6,然后用同一个字母分别表示不同的数,化简求和即得结果.

学生先独立思考,写出解题过程,再小组交流解题思路,准备演讲.

解:(1)设方框左上角的数为a,则其他8个数分别为a+1,a+2,a+6,a+7,a+8,a+12,a+13,a+14,这9个数的和为a+a+1+a+2+a+6+a+7+a+8+a+12+a+13+a+14=9a+63.

(2)设方框正中间的数为m,则其他8个数分别为m-7,m-6,m-5,m-1,m+1,m+5,m+6,m+7,所以S为m-7+m-6+m-5+m-1+m+m+1+m+5+m+6+m+7=9m.即S=9m.

(3)将方框由左向右平行移动一列,和增加9;方框由上向下平行移动一行,和增加54.

探究2　用代数式表示图形的变化规律

问题3:图1是由点组成的n行n列的方阵,设其总点数为P.图2是由每条边上n个点围成的空心方阵,设其总点数为Q.

图1　　　　　　　　图2

(1)图1中方阵的总点数为多少?

解:P=n2.

(2)图2中方阵的总点数是多少?

解:Q=n2-(n-2)2.

追问:你还有其他的计算方法吗?

学生分组讨论,自主探究,然后教师多媒体演示图2中总点数不同的计算方法.

活动要求:

(1)小组内讨论出不同的方法,并在图上做好标注,写出结论.

(2)请小组代表展示讨论结果,并说明理由.

(3)如有疑问,请小组内同学互助解答.

预设结果:

图1

　　　如图1分组,得4n-4　

图2

　　　　　　　　          　如图2分组,得4(n-1)

图3

        如图3分组,得4(n-2)+4