专题03 全等三角形（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题03全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、全等中的一线三等角 【解惑】如图1，，，，，垂足分别为D，E，，， (1)求的长； (2)其它条件不变的前提下，将所在直线旋转到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明． (3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【融会贯通】 1．（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是16，求与的面积之和． 2．如图①所示，在中，． (1)若，则_______， ______； (2)过点C在外作直线，于点M，于点N，试说明：； (3)如图②，若过点C作直线与线段相交，于点M，于点N，（2）中的结论是否仍然成立? 说明理由． 3．（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为_____________． （2）探究问题：①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过Rt的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 类型二、全等中的倍长中线法 【解惑】仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：如图13，AD为△ABC的中线，已知AD=4cm,试确定AB+AC的取值范围. 解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE. 因为AD为△ABC的中线， 所以BD=CD． 在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（__________). 所以BE=AC(_____________________). 因为AB+BE>AE(_____________________)， 所以AB+AC>AE. 因为AE=2AD=8cm， 所以AB+AC>_______cm. 【融会贯通】 1．如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 2．如图，点E在的中线的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围； (3)若，求证：是直角三角形． 3．问题提出： 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，△ABC中，，，为上一点，当时，与△CBP是偏等积三角形； 问题探究： （1）如图2，与是偏等积三角形，，，过点作交的延长线于点，则AD的取值范围为 ； 问题解决： （2）如图3，四边形是一片绿色花园，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，． ①与是偏等积三角形吗？请说明理由； ②已知，的面积为．如图，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 类型三、全等中的截长补短法 【解惑】如图，四边形ABCD中，,,,对角线BD平分交AC于点P.CE是的角平分线,交BD于点O. （1）请求出的度数; （2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由; 【融会贯通】 1．阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 2．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 3．综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 类型四、全等中的动点求t 【解惑】如图，在中，，点D 以1厘米/秒的速度从点A出发，沿移动到点C，同时点E以3厘米/秒的速度从点B出发，沿移动到点C，两点中有一个点到达终点，两个点都停止运动．直线经过点C，过D、E分别作，垂足分别为点M，N，请问：运动时间t等于多少秒时，？并证明此时． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，．点从点出发沿的路径向终点运动，点从点出发沿的路径向终点运动．点和点分别以和的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，设点的运动时间为．在某时刻，分别过点和作于点，于点． (1)如图1，当，且点在上，点在上时， ①用含的式子分别表示和：________，________． ②当时，与全等吗？请说明理由． (2)当时，与有没有可能全等？若有可能，直接写出符合条件的值；若不可能，请说明理由． 2．已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． (1)如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． (2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 3．如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为t秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)如图1，当t为何值时，． (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时点Q从点C向点D运动（当点Q与点D重合时停止运动）．以秒的速度沿向点D运动．当v为何值，使得与全等？若存在，求出v的值；若不存在，请说明理由． 类型五、全等中的新定义 【解惑】阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 筝形 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． 如图，若，则四边形是筝形．    任务：如图，是的角平分线，且．求证：四边形是筝形．    【融会贯通】 1．【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 2．根据全等形的定义，我们把四个角分别相等，四条边分别相等的两个凸四边形叫做全等四边形． （1）某同学在探究全等四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． ①四条边成比例的两个凸四边形全等；（　 　命题） ②四个角分别相等的两个凸四边形全等；（　 　命题） ③两个面积相等的正方形全等；（　 　命题） ④三角分别相等，且其中两角夹边相等两个凸四边形全等．（　 　命题） （2）如图，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，AB＝A1B1，BC＝∠B1C1，CD＝C1D1．求证：在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等． 3．【阅读理解】 定义：在同一平面内，点，分别在射线，上，过点垂直的直线与过点垂直的直线交于点，则我们把称为的“边垂角”（四边形内角和等于360°）． （1）如图1和2，若是的“边垂角”，则与的数量关系是______．    【迁移运用】 （2）如图3，，分别是的两条高，两条高交于点，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______．    【拓展延伸】 （3）如图4，若是的“边垂角”，且．交于点，点关于直线的对称点为点，连接，，且，延长和相交于点． ①请说明：； ②请说明：． 类型六、等腰、等边三角形的手拉手 【解惑】如图，和都是等边三角形． 求证：． 【融会贯通】 1．如图，四边形中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 3．如图，点是线段上除点、外的任意一点，分别以、为边在线段的同旁作等边和等边，连接交于，连接交于，连接． (1)求证：； (2)求证：． (3)设和的交点为，连，求证：平分． 类型七、等腰三角形的动点求t 【解惑】如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)　　　　　（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【融会贯通】 1．在中，，D为的中点，动点E从点C开始沿射线方向以的速度运动． (1)如图1，当点E在边上运动时，过点D作的垂线交直线于点F，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明； (2)动点P也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，分别连接．设动点E的运动时间为，则当t为何值时，与全等？ 2．如图，长方形 中，，，现有一动点 从 出发以 秒的速度，沿矩形的边运动，点返回到点停止，设点运动的时间为秒． (1)当 时， ①______； ②请你在图中画出此时的； ③请你在线段上再找一个不与点重合的点，使得，并在图中标出的长度； (2)当点在上运动时，用含的式子表示的长； (3)当为何值时，连接 ，，是等腰三角形？ 3．如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)___________（用的代数式表示）． (2)当点在边上运动时，出发 ___________秒后，是等腰三角形． (3)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ 类型八、角平分线与垂直平分线的综合应用 【解惑】如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，，求的周长； (2)若，，，求点到的距离． 【融会贯通】 1．已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．如图，的边的垂直平分线与的平分线相交于，于点，于，连接、．求证： (1)； (2)． 3．如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证： (1)． (2)． (3)． 类型九、等腰三角形的新定义 【解惑】定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”． (1)①如图1，在中，，D是上任意一点，则与 “融通三角形”；（填“是”或“不是”） ②如图2，与是“融通三角形”，其中，则 ． (2)若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数． (3)如图3，在四边形中，对角线，且与是“融通三角形”，，求的长． 【融会贯通】 1．小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 2．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在图2三个图中，分别画出的“双等腰线”，并做必要的标注或说明． ①；②，；③， (2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是________． (3)如图3，中，，．画出所有可能的“三等腰线”，使得对取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充） 3．对于及其边上的一点，给出如下定义：如果点，，…都在的边上，且，那么称点，，…为关于点的等距点，线段，，…为关于点的等距线段． (1)如图1，中，，，点是的中点．点， 关于点的等距点，线段， 关于点的等距线段；（填“是”或“不是”） (2)如图2，是边长为4的等边三角形，点在上，点，是关于点的等距点，且，求出线段的长； (3)如图3，在中，，，点在上，关于点的等距点恰好有两个，且其中一个是点，若，直接写出长的取值范围（用含的式子表示）． 类型十、无刻度尺作图 【解惑】按要求作图：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹，过程线用虚线构图，结果线用实线构图．    (1)如图1，等边的顶点、在正方形网格的格点上，是的中点，作出边的高线． (2)如图2，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中画出一个角，使点或点是这个角的顶点，且为这个角的一边． 【融会贯通】 1．如图，在正方形网格中，的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中，作的高线； (2)在图中，作的中线； (3)在图中，作的角平分线； (4)在图中，作（注意：点G为格点），使与全等． 2．已知，点A，B，C都是格点，用无刻度直尺画图： (1)作的中线； (2)作的高； (3)在上作点E，使； (4)点F为与网格线的交点，在上作点D，使． 3．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺和圆规，在给定的网格中，分别按下列要求画图，不写作法，保留适当的作图痕迹． (1)在图1中的线段上找一点，连接，使； (2)在图2中的线段上找一点，连接，使； (3)在图3中，作出的垂直平分线． 【一览众山小】 1．如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E．液压杆．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知C是线段上的任意一点（端点除外），分别以为边并且在的同一侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点M，连接交于点N．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（　　） ①的面积的面积；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 4．如图，，点E在线段上，．若，则为 ． 5．如图， ，以 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，画射线 ，以点 为圆心， 为半径画弧交 于点 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交上一步所画弧于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，画射线 ，反向延长 ，得到射线 ，画出 的平分线 ，则   ．（用含 的代数式表示） 6．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 7．（1）教材呈现：人教版数学教材八年级上册第56页有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为D，E，，，求的长．”请直接写出此题的答案：的长为________； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是、的外角，已知：，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为27，则与的面积之和为？ 8．小明遇到这样一个问题：是等边三角形，点在射线上，且满足，交等边外角平分线于点，试探究与的数量关系 (1)【初步探究】小明发现，当点D为的中点时，如图①，过点D作，交于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够得到线段与的数量关系，则线段与的数量关系是_________；构造的的形状是_______； (2)【类比探究】当点D是线段上(不与点B，C重合)任意一点时，其他条件不变，如图②，试猜想与之间的数量关系，并证明结论； (3)【拓展应用】当点D在的延长线上时，且满足其他条件不变)时，连接，请在图③中补全图形，并直接写出的度数为_________． 9．如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 10．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当 时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、全等中的一线三等角 【解惑】如图1，，，，，垂足分别为D，E，，， (1)求的长； (2)其它条件不变的前提下，将所在直线旋转到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明． (3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)成立，见解析 【分析】此题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）先利用同角的余角相等判断出，进而判断出，得出，，即可得出结论； （2）同（1）的方法，证明得出，，进而得出结论． （3）同（1）的方法，证明得到，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：， 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：（2）中的猜想仍然成立， 证明：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【融会贯通】 1．（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立；理由见解析；（3）6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． （1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，由证得，则，，即可得出结论； （2）由，则，得出，由证得即可得出答案； （3）由，，可得，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：结论成立；理由如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：，， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， ， ， 与的面积之和为8． 2．如图①所示，在中，． (1)若，则_______， ______； (2)过点C在外作直线，于点M，于点N，试说明：； (3)如图②，若过点C作直线与线段相交，于点M，于点N，（2）中的结论是否仍然成立? 说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)不成立，理由见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质．解题关键是利用角的互余关系推出对应角相等，证明三角形全等． （1）根据垂直得到，利用三角形内角和定理即可得到，再利用平角的定义即可得到； （2）利用角的互余关系证明，故可证，从而有，利用线段的和差关系证明结论； （3）类似于（1）的方法，证明，从而有，进而可得结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ 故答案为：； （2）【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）（1）结论不成立；应该是． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中 ， ∴， ∴， ∵ ∴． 3．（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为_____________． （2）探究问题：①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过Rt的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②成立．证明见解析；（3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义即可求解； （2）①先证明出，得出，，即可得出结果； ②证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）①当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ②当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 类型二、全等中的倍长中线法 【解惑】仔细阅读下面的解题过程，并完成填空：如图13，AD为△ABC的中线，已知AD=4cm,试确定AB+AC的取值范围. 解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE. 因为AD为△ABC的中线， 所以BD=CD． 在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（__________). 所以BE=AC(_____________________). 因为AB+BE>AE(_____________________)， 所以AB+AC>AE. 因为AE=2AD=8cm， 所以AB+AC>_______cm. 【答案】答案见解析 【分析】根据三角形全等的判定与性质以及三角形的内角和，即可得出答案. 【详解】解：延长AD到E,使DE = AD,连接BE. 因为AD为△ABC的中线， 所以BD=CD. 在△ACD和△EBD中，因为AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD，所以△ACD≌△EBD（SAS). 所以BE=AC(全等三角形的性质). 因为AB+BE>AE(两边之和大于第三边)， 所以AB+AC>AE. 因为AE=2AD=8cm， 所以AB+AC>8cm. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及三角形边的性质，需要熟练掌握各种性质与定理. 【融会贯通】 1．如图，已知中，，，是的中线，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．延长到，使，连接，证明，得出，再根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ∵是的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ，即， ． 2．如图，点E在的中线的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围； (3)若，求证：是直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）结合（1）根据三角形三边关系即可得的取值范围； （3）根据已知线段关系得到，利用等边对等角推出，，再利用三角形内角和求出即可． 【详解】（1）解：证明：是的中线， ， 在和中， ， ， ； （2），， ， 即． ， 的取值范围是． （3）∵，，， ∴， ∴，， 又， ∴， 即是直角三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、三角形三边关系． 3．问题提出： 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图1，△ABC中，，，为上一点，当时，与△CBP是偏等积三角形； 问题探究： （1）如图2，与是偏等积三角形，，，过点作交的延长线于点，则AD的取值范围为 ； 问题解决： （2）如图3，四边形是一片绿色花园，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，． ①与是偏等积三角形吗？请说明理由； ②已知，的面积为．如图，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 【答案】（1）（2）①是，理由见详解②元 【分析】（1）由偏等积三角形的定义得，则，再证，则，，得，然后由三角形的三边关系求解即可； （2）①过作于，过作于，证，得，则，再证与不全等，即可得出结论； ②过点作，交的延长线于，证得，得到，再证，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得，，求出，即可求解． 【详解】解：（1）设点到的距离为，则，， 与是偏等积三角形， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， 在中，，， ， 即：， ∴ （2）①与是偏等积三角形，理由如下： 过作于，过作于，如图3所示： 则， 、是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ， ，， 与不全等， 与是偏等积三角形； ②如图4，过点作，交的延长线于， 则， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 由①得：与是偏等积三角形， ，， ， 修建小路的总造价为：（元． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、三边关系，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明和是解题的关键，属于中考常考题型． 类型三、全等中的截长补短法 【解惑】如图，四边形ABCD中，,,,对角线BD平分交AC于点P.CE是的角平分线,交BD于点O. （1）请求出的度数; （2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由; 【答案】（1）；（2）BE+CP=BC，理由见解析． 【分析】（1）先证得为等边三角形，再利用平行线的性质可求得结论； （2）由BP、CE是△ABC的两条角平分线，结合BE=BM，依据“SAS”即可证得△BEO≌△BMO；利用三角形内角和求出∠BOC=120°，利用角平分线得出∠BOE=∠BOM=60，求出∠BOM，即可判断出∠COM=∠COP，即可判断出△OCM≌△OCP，即可得出结论； 【详解】（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴∠ACD=， ∵， ∴∠BAC=∠ACD=； （2）BE+CP=BC，理由如下： 在BC上取一点M，使BM=BE，连接OM，如图所示： ∵BP、CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠OBE=∠OBM=∠ABC， 在△BEO和△BMO中，， ∴△BEO△BMO(SAS)， ∴∠BOE=∠BOM=60， ∵BP、CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠OBC+∠OCB= 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180， ∵∠BAC =60， ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=180-60=120， ∴∠BOC=180-(∠OBC+∠OCB)=180=180-×120=120， ∴∠BOE=60， ∴∠COP=∠BOE=60 ∵△BEO≌△BMO， ∴∠BOE=∠BOM=60， ∴∠COM=∠BOC-∠BOM=120-60=60， ∴∠COM=∠COP=60， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠OCM=∠OCP， 在△OCM和△OCP中， ∴△OCM≌△OCP（ASA）， ∴CM=CP， ∴BC=CM+BM=CP+BE， ∴BE+CP=BC． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，证明∠CFM=∠CFD是解题的关键． 【融会贯通】 1．阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】；；；；；；变式应用：．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线．按照题干的要求填空即可；变式应用：在上截取，连接，求得，证明，得到，，得到，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图2，在上截取，连接， 只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出，得出及，再证出，进而得出，则结论成立． 故答案为：；；；；；； 变式应用：．理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 3．综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2）①AC   ②DF，见解析 （3） 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【详解】（1）． 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF． 辅助线如图1所示．    （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 类型四、全等中的动点求t 【解惑】如图，在中，，点D 以1厘米/秒的速度从点A出发，沿移动到点C，同时点E以3厘米/秒的速度从点B出发，沿移动到点C，两点中有一个点到达终点，两个点都停止运动．直线经过点C，过D、E分别作，垂足分别为点M，N，请问：运动时间t等于多少秒时，？并证明此时． 【答案】1秒；见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，全等三角形的判定．根据题意可得，由，可得关于t的方程，可求出；再利用可证明． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，．点从点出发沿的路径向终点运动，点从点出发沿的路径向终点运动．点和点分别以和的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，设点的运动时间为．在某时刻，分别过点和作于点，于点． (1)如图1，当，且点在上，点在上时， ①用含的式子分别表示和：________，________． ②当时，与全等吗？请说明理由． (2)当时，与有没有可能全等？若有可能，直接写出符合条件的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)① ②全等，理由见解析 (2)有可能，的值为1或3.5或12 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论． （1）①由题意得：：，，即可得出答案；②由证明即可； （2）分三种情况：①当点P在上，点Q在上时，则，，得；②当点P与点Q重合，与全等，然后计算出t的值即可；③当点Q到点A时停止，点P运动到上时，，即可得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得：，， 则，， 故答案为：； ②当时，与全等，理由如下： 当时，，， ∴， ∵， ∴， 又∵于E，于F， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）当时，与有可能全等，分三种情况： ①当点P在上，点Q在上时，，如图1所示：    则， ∴， 解得：； ②如图2所示：    ∵点P与点Q重合， ∴与全等， ∴， ∴． 解得：． ③当点P在上，点Q到点A时，，如图3所示：    则， ∴， ∴， 即满足条件的t值为或或． 2．已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． (1)如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． (2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)3或8 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，同角的余角相等．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． （1）证明，即得出； （2）分类讨论：当时和时，分别证明，即可求解． 【详解】（1）解：相等，理由如下： ∵，，， ∴， ∴； （2）解：分类讨论：当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 综上可知t的值为3或8． 3．如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为t秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)如图1，当t为何值时，． (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时点Q从点C向点D运动（当点Q与点D重合时停止运动）．以秒的速度沿向点D运动．当v为何值，使得与全等？若存在，求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当或2.4时，与全等 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键. （1）根据路程速度时间，点的速度，表示出即可； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒， ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ， ∴， 解得， 当时，； （3）解：情况一：当，，时， ， ， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当，，时， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 类型五、全等中的新定义 【解惑】阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 筝形 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． 如图，若，则四边形是筝形．    任务：如图，是的角平分线，且．求证：四边形是筝形．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，本题先证明，结合，，证明，可得，结合新定义可得结论． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，而， ∴四边形是筝形． 【融会贯通】 1．【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理： （1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ； 2．根据全等形的定义，我们把四个角分别相等，四条边分别相等的两个凸四边形叫做全等四边形． （1）某同学在探究全等四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． ①四条边成比例的两个凸四边形全等；（　 　命题） ②四个角分别相等的两个凸四边形全等；（　 　命题） ③两个面积相等的正方形全等；（　 　命题） ④三角分别相等，且其中两角夹边相等两个凸四边形全等．（　 　命题） （2）如图，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，AB＝A1B1，BC＝∠B1C1，CD＝C1D1．求证：在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等． 【答案】（1）假，假，假，真；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据全等形的定义即可得出答案； （2）利用全等三角形证明四条边对应相等、四个角对应相等，进而证明两个图形全等即可得出答案. 【详解】解：（1）①四条边成比例的两个凸四边形全等，不一定全等．是假命题． ②四个角分别相等的两个凸四边形全等，不一定全等，是假命题． ③两个面积相等的正方形全等，不一定全等，是假命题． ④三角分别相等，且其中两角夹边相等两个凸四边形全等，正确，是真命题． 故答案为假，假，假，真． （2）如图，连接AC，A1C1． ∵∠ABC＝∠A1B1C1，AB＝A1B1，BC＝∠B1C1， ∴△ABC≌△A1B1C1（SAS）， ∴AC＝A1C1，∠ACB＝∠A1C1B1，∠CAB＝∠C1A1B1， ∵∠BCD＝∠B1C1D1， ∴∠ACD＝∠A1C1D1， ∵CD＝C1D1， ∴△ACD≌△A1C1D1（SAS）， ∴AD＝A1D1，∠D＝∠D1∠DAC＝∠D1A1C1， ∴∠DAB＝∠D1A1B1， ∵AB＝A1B1，BC＝B1C1，CD＝C1D1，AD＝A1D1，∠DAB＝∠D1A1B1，∠B＝∠B1，∠DCB＝∠D1C1B1，∠D＝∠D1， ∴四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等． 【点睛】本题考查的是新定义，难度适中，涉及到了全等三角形的相关知识，需要熟练掌握. 3．【阅读理解】 定义：在同一平面内，点，分别在射线，上，过点垂直的直线与过点垂直的直线交于点，则我们把称为的“边垂角”（四边形内角和等于360°）． （1）如图1和2，若是的“边垂角”，则与的数量关系是______．    【迁移运用】 （2）如图3，，分别是的两条高，两条高交于点，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______．    【拓展延伸】 （3）如图4，若是的“边垂角”，且．交于点，点关于直线的对称点为点，连接，，且，延长和相交于点． ①请说明：； ②请说明：． 【答案】（1）或（2）；（3）①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题的关键． （1）根据图形可得两种情况，分别利用三角形内角和和四边形内角和推导即可； （2）由“边垂角”定义可得，的“边垂角”为； （3）①由“边垂角”可证，再根据题干已知条件即可得证； ②由①全等推出，，然后证，得到，最后通过线段的和差即可得证． 【详解】（1）解：若是的“边垂角”，分两种情况： ①如图 是的“边垂角”， ，， ，， ， ； ②如图 是的“边垂角”， ，， ，， ， ； 综上，或． 故答案为：或； （2）解：由“边垂角”定义可得，的“边垂角”为， 故答案为：； （3）证明：①是的“边垂角”， ，， ， ， ， ， ； ②证明：， ，， ， ， ， ， ， ． 点关于直线对称点为点， ， ， ． 类型六、等腰、等边三角形的手拉手 【解惑】如图，和都是等边三角形． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定．解答的关键是运用证明． 【详解】证明：∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图，四边形中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和，等腰三角形的性质，熟悉全等三角形的判定定理与性质，并能灵活选择很重要． （1）先证明，再证明，得出结论即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理得出，再根据三角形内角和和对顶角性质得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即：， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 2．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，得出，，，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出答案； （2）根据（1），得出是等腰三角形，再根据三角形的内角和定理，求出度数即可． 【详解】（1）证明：将绕点按逆时针方向旋转得到， ，，， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， 是等腰三角形， ∴， ， 即的度数为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 3．如图，点是线段上除点、外的任意一点，分别以、为边在线段的同旁作等边和等边，连接交于，连接交于，连接． (1)求证：； (2)求证：． (3)设和的交点为，连，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据题意判断出，是解答此题的关键． （1）先由和是等边三角形，可知，，，，故可得出，，根据定理可知，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）中，可知，再根据，、、三点共线可得出，由全等三角形的判定定理可知，，故，再根据可知为等边三角形，故故可得出结论． （3）作，，由可得它们的面积相等，即可得到，再由角平分线的逆定理可得平分． 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，，， ， ，， 在与中， ， ； （2）由（1）得，， ， ，而、、三点共线， ， 在与中， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ． （3）解：作，， ， ， ， ， ，， ， 平分． 类型七、等腰三角形的动点求t 【解惑】如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)　　　　　（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒 (3)11秒或12秒 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）由题意可知，， ， ， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，      则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，    则， ， 综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 【融会贯通】 1．在中，，D为的中点，动点E从点C开始沿射线方向以的速度运动． (1)如图1，当点E在边上运动时，过点D作的垂线交直线于点F，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明； (2)动点P也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，分别连接．设动点E的运动时间为，则当t为何值时，与全等？ 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）如图：连接，根据等腰直角三角形性质得，，在根据可得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可得出线段之间的数量关系； （2）设点M为延长线上以点，N为延长线上以点，先求出，再根据，点P在的延长线上，得与全等时，点E在的延长线上，此时，然后根据点E，P的运动速度和时间得，则，最后根据可求出t的值． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系是：，证明如下： 如图1所示：连接， 在中，，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图2所示：设点M为延长线上以点，N为延长线上以点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，点P在的延长线上， ∴当与全等时，点E在的延长线上， 此时，根据点E，P的运动速度和时间得：， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴当t为时，与全等． 2．如图，长方形 中，，，现有一动点 从 出发以 秒的速度，沿矩形的边运动，点返回到点停止，设点运动的时间为秒． (1)当 时， ①______； ②请你在图中画出此时的； ③请你在线段上再找一个不与点重合的点，使得，并在图中标出的长度； (2)当点在上运动时，用含的式子表示的长； (3)当为何值时，连接 ，，是等腰三角形？ 【答案】(1)①2；②见解析；③见解析 (2) (3)秒或4秒或13秒 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定及性质，动点问题，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论． （1）①当时，cm，即可得到的长度； ②根据题意即可作图； ③当时，由①可知，，，进而可知，，得，，再由即可得结论； （2）由题意可知，点运动的路程为，分两种情况：当在上时， 当在上时，即可求解； （3）分三种情况讨论，当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，根据全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：①当时，点P走过的路程为：， ∵cm， ∴， 故答案为：2； ②如图所示： ③当时，，理由如下： 由①可知，，， 在长方形中，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）由题意可知，点运动的路程为， 当在上时，即时，，则； 当在上时，即时，，则； 即：； （3）当点P在上时，是等腰三角形， ∴， 在长方形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， ②当点P在上时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）， ③当点P在上时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴（秒）， 综上所述，秒或4秒或13秒时，是等腰三角形． 3．如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)___________（用的代数式表示）． (2)当点在边上运动时，出发 ___________秒后，是等腰三角形． (3)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ 【答案】(1)； (2)； (3)为或或． 【分析】（）根据线段和差即可求解； （）用可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和，三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值； 本题考查了等腰三角形的性质，方程思想和分类讨论思想，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由题意可知，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， ∴出发秒后，能形成等腰三角形； 故答案为：； （3）当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， 则， ∴； 当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当为或或时，是等腰三角形． 类型八、角平分线与垂直平分线的综合应用 【解惑】如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，，求的周长； (2)若，，，求点到的距离． 【答案】(1)的周长为10 (2)点到的距离为 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质和角平分线的性质， （1）根据垂直平分的性质得，则的周长为即可； （2）过点分别作于点，于点，角平分线的性质得，利用三角形面积求得，结合比例得，即可求得，由即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， 的周长 ， ∵，， ∴的周长， 的周长为10． （2）解：过点分别作于点，于点，如图， 平分， ．   ，， ， ．   ， ， ， 解得， ， 即点到的距离为． 【融会贯通】 1．已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，的边的垂直平分线与的平分线相交于，于点，于，连接、．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据角平分线的性质得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）证明： 垂直平分， ， ，，， ， 在与中， ， ； （2）证明：， 在与中， ， ， ， 又， ， ． 3．如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及三角形内角与外角的关系，． （1）根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得到，再根据等角对等边可得到； （2）根据线段垂直平分线的性质证明，进而得到，再利用角平分线的性质可得到，利用等量代换可得，再根据平行线的判定即可得到； （3）根据三角形内角与外角的关系可得到结论． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）， 即， ∵， ， ∴． 类型九、等腰三角形的新定义 【解惑】定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”． (1)①如图1，在中，，D是上任意一点，则与 “融通三角形”；（填“是”或“不是”） ②如图2，与是“融通三角形”，其中，则 ． (2)若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数． (3)如图3，在四边形中，对角线，且与是“融通三角形”，，求的长． 【答案】(1)①是；② (2) (3)的值为4或 【分析】（1）①由题意得 ，，由融通三角形定义即可得出结论；②在线段上取点G，使，连接，证明，得出，即可证明； （2）在线段上取点G，使，连接，由（1）可得，设，由等腰三角形的性质证出，由三角形内角和即可求解； （3）分两种情况：当时；当时． 【详解】（1）①∵ ∴ ∵ ∴与是“融通三角形”； ②如图，在线段上取点G，使，连接 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）由题意可得： 在线段上取点G，使，连接 由（1）可知 ∴ ∴ ∴ 设 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，解得： ∴ ∴融通角是 （3）分两种情况：当时，如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴符合题意 ∴； 当时，过点D作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴符合题意 设，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ 综上：的值为4或 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键． 【融会贯通】 1．小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【答案】问题1：1，30；问题2：（1），（2）， 【分析】问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡点”的定义即可知其“布洛卡点”个数和角度； 问题2：（1）根据等腰三角形的性质可得，结合题意可知，则有，利用三角形内角和定理可得，即可得到； （2）过C点作与D，根据可得，且，由题意得，求得，，则有和，，继而证明，则有和，即可得到，可得点C到直线的距离． 【详解】解：问题1： 由题意知三角形中有两个“布洛卡点”， ∵等边三角形每个角为， ∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为， 故答案为：1，30． 问题2：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵M是的“布洛卡点”，是“布洛卡角”， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， （2）过C点作与D，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查新定义下的三角形角度理解，涉及等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质和三角形内角的应用，解得的关键是对新定义的理解，以及角度之间的转化． 2．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在图2三个图中，分别画出的“双等腰线”，并做必要的标注或说明． ①；②，；③， (2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是________． (3)如图3，中，，．画出所有可能的“三等腰线”，使得对取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充） 【答案】(1)见解析 (2)或或 (3)见解析 【分析】本题主要考查三角形综合题和作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （2）设底角度数为，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （3）根据两种情况、利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可． 【详解】（1）解：如图2，取的中点，则， ∴和是等腰三角形； 如图3，取，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形； 如图4，作的垂直平分线，交于，交于，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形； （2）解：①设是以、为腰的锐角三角形，为“双等腰线”，如图5， 当，时， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ②设是以、为腰的钝角三角形，为“双等腰线”，如图6， 当，时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ③设是以、为腰的直角三角形，为“双等腰线”，如图7， 当，时，为的垂直平分线， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或或； （3）解：∵要画出使得对取值范围内的任意值都成立的“三等腰线”， ∴不能使等于具体的数值， ∴只需要使分割后的三个等腰三角形的底角成比例即可， 第一种画法：如图8， ∵，、 设，， 当、将分成，，的三个等腰三角形时， 则有，， ∵， ∴， ∴， ∴“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为， 即可使得对取值范围内的任意值都成立， 第二种画法： ∵， 设，， 当、将分成，，的三个等腰三角形时， 则，， ∵， ∴， 因此，“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为，即可使得对取值范围内的任意值都成立， 综上所述，如图所示的两种“三等腰线”可以使得对取值范围内的任意值都成立． 3．对于及其边上的一点，给出如下定义：如果点，，…都在的边上，且，那么称点，，…为关于点的等距点，线段，，…为关于点的等距线段． (1)如图1，中，，，点是的中点．点， 关于点的等距点，线段， 关于点的等距线段；（填“是”或“不是”） (2)如图2，是边长为4的等边三角形，点在上，点，是关于点的等距点，且，求出线段的长； (3)如图3，在中，，，点在上，关于点的等距点恰好有两个，且其中一个是点，若，直接写出长的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】(1)是；不是 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据点是的中点，即可判断点，是关于点的等距点；若，由等腰三角形的性质可推出，故线段，不是关于点的等距线段； （2）由题意可确定点的位置，根据点，是关于点的等距点，即可作出点的位置，即可求解； （3）确定关于点的等距点有三个时的临界状态：当点为的中点时，即，②当点为靠近点的三等分点时，即；据此即可求解． 【详解】（1）解：∵点是的中点， ∴， ∴点，是关于点的等距点； ∵，点是的中点， ∴ 若，则 ∴ ，与已知矛盾 故 ∴线段，不是关于点的等距线段 故答案为：是；不是 （2）解：∵点，是关于点的等距点，且， ∴ 以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接，如图所示： 则有： ∴， ∵是等边三角形 ∴是等边三角形 ∴ 即线段的长为或 （3）解：当点为的中点时，即， 以点为圆心，长为半径作圆，如图所示： 此时，，满足题意； 故关于点的等距点有3个； ②当点为靠近点的三等分点时，即， 以点为圆心，长为半径作圆，如图所示： 此时，， ∴， ， ，满足题意 故关于点的等距点有3个； ∴当或时，关于点的等距点恰好有两个 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了等边三角形及等腰三角形的性质．掌握数形结合的数学思想，根据题意作图是解决此题的关键． 类型十、无刻度尺作图 【解惑】按要求作图：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹，过程线用虚线构图，结果线用实线构图．    (1)如图1，等边的顶点、在正方形网格的格点上，是的中点，作出边的高线． (2)如图2，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中画出一个角，使点或点是这个角的顶点，且为这个角的一边． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握等边三角形以及等腰直角三角形的性质是解题关键． （1）直接利用网格结合等边三角形的性质得出的位置； （2）利用等腰直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）如图所示：即为所求；    （2）如图所示：或即为所求作．      【融会贯通】 1．如图，在正方形网格中，的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图中，作的高线； (2)在图中，作的中线； (3)在图中，作的角平分线； (4)在图中，作（注意：点G为格点），使与全等． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的高，中线，角平分线等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）取格点，连接交于点，线段即为所求； （2）取格点，连接，线段即为所求； （3）取格点，连接交于点，线段即为所求． （4）取格点，连接，，，即为所求； 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； （3）解：如图所示：即为所求； （4）解：如图所示：即为 所求； 2．已知，点A，B，C都是格点，用无刻度直尺画图： (1)作的中线； (2)作的高； (3)在上作点E，使； (4)点F为与网格线的交点，在上作点D，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的中线的定义，利用数形结合的思想作出中线即可； （2）取格点，，，得到，据此即可作出高； （3）取格点，连接交于点，点即为所求（构造等腰直角三角形解决问题）； （4）观察图形知，取格点，连接交于点，点即为所求（构造等腰直角三角形解决问题）． 【详解】（1）解：如图，线段，即为所求； （2）解：如图，线段，即为所求； （3）解：如图，点即为所求； （4）解：如图，点即为所求， 3．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺和圆规，在给定的网格中，分别按下列要求画图，不写作法，保留适当的作图痕迹． (1)在图1中的线段上找一点，连接，使； (2)在图2中的线段上找一点，连接，使； (3)在图3中，作出的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据网格特点找到格点，使得，则，即可求解； （2）根据网格的特点找到格点，连接交于点，则，即可得出； （3）作的垂直平分线，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：如图所示，即为所求 【一览众山小】 1．如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E．液压杆．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查等腰三角形的性质及平行线的性质，根据题意得出，确定，再由对顶角及平行线的性质即可求解 【详解】解：∵等长的支架交于它们的中点E，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D 2．如图，已知C是线段上的任意一点（端点除外），分别以为边并且在的同一侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点M，连接交于点N．给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线的判定，先由等边三角形的性质得到，再证明得到，即可判断①；进一步证明得到，，即可判断②；再证明是等边三角形，得到，即可判断③；根据现有条件无法证明，则无法证明，即可判断④． 【详解】证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故②正确； ∴是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； 根据现有条件无法证明， ∴无法证明，故④错误； ∴正确的有3个， 故选：C． 3．如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（　　） ①的面积的面积；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 【答案】B 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①，根据三角形内角和定理求出 根据三角形的外角性质即可推出②，根据三角形内角和定理求出 根据角平分线定义即可判断③，根据等腰三角形的判定判断④即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴的面积的面积，故①符合题意； ∵是角平分线， ∴， ∵为高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴，故②符合题意； ∵为高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即，故③符合题意； 根据已知条件不能推出，即不能推出，故④不符合题意； 故选：B． 4．如图，，点E在线段上，．若，则为 ． 【答案】 【分析】根据得，结合得到，解答即可． 本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 5．如图， ，以 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，画射线 ，以点 为圆心， 为半径画弧交 于点 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交上一步所画弧于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，画射线 ，反向延长 ，得到射线 ，画出 的平分线 ，则   ．（用含 的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了尺规基本作图-作角等于已知角、作角的平分线，与角平分线相关的角的运算，关键是掌握利用角平分线的定义和角的和差的计算． 根据题意可知，推出，根据角平分线的性质，即可得到． 【详解】解：作法可得，， ， 为的角平分线， ， 故答案为：． 6．如图，在中，，是边上的中线，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】如图所示，延长至，使得，连接，可证，可得，根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，即的面积是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，理解题意，构造边的关系，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 7．（1）教材呈现：人教版数学教材八年级上册第56页有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为D，E，，，求的长．”请直接写出此题的答案：的长为________； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是、的外角，已知：，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为27，则与的面积之和为？ 【答案】（1）0.8；（2）见解析；（3）18 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问 （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答； （2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）由（2）可知，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ． ， ． 在和中， ， ， ； 故答案为：0.8； （2）证明：， ， ， 在和中， ， ， ． （3）的面积为27，， 的面积是：， 由（2）中可知， 与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积，是18， 故答案为：18． 8．小明遇到这样一个问题：是等边三角形，点在射线上，且满足，交等边外角平分线于点，试探究与的数量关系 (1)【初步探究】小明发现，当点D为的中点时，如图①，过点D作，交于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够得到线段与的数量关系，则线段与的数量关系是_________；构造的的形状是_______； (2)【类比探究】当点D是线段上(不与点B，C重合)任意一点时，其他条件不变，如图②，试猜想与之间的数量关系，并证明结论； (3)【拓展应用】当点D在的延长线上时，且满足其他条件不变)时，连接，请在图③中补全图形，并直接写出的度数为_________． 【答案】(1)；等边三角形； (2)，证明见解析； (3)补全图形见解析，60°． 【分析】（1）由等边三角形的性质和平行线的性质得到，于是得到是等边三角形，再证明即可得到结论； （2）由等边三角形的性质和平行线的性质得到，于是得到是等边三角形，再证明即可得到结论； （3）由，得到，得到垂直平分，证出是等边三角形． 本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，中垂线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 又， ， 是等边三角形，， ， 点为的中点， ， ， 是外角的平分线， ， ， ，点为的中点， ， 又，， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：，等边三角形； （2）解：结论；． 理由：如图2， 过点作，交于点． 是等边三角形， ，， 又， ， 是等边三角形，， ， ， 即， 是外角的平分线， ， ， 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：如图3， 是等边三角形， ． ， ． 平分， 垂直平分． ． ， 是等边三角形， ． 9．如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)结论不成立，应当是，理由见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． （1）如图中，延长到，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，如图中，延长至M，使，连接．只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】（1）解：如图中，延长到G，使，连接，   ，， ． ． ． ． 又， ， ， ． ． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至M，使，连接．   ，， ， 在与中， ， ． ． ， ． ，即． 在与中， ， ． ，即， ． （3）解：结论不成立，应当是． 证明：如图中，在上截取，使，连接．   ，， ． 在与中 ， ． ． ． ． ， ∴． ， ， ． 10．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当 时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)秒或秒 (2)cm/s或cm/s 【分析】本题主要考查了直角三角形综合，画出相应图形，熟练掌握直角三角形性质，三角形中位线性质，全等三角形的的性质，分类讨论，是正确解答的关键． （1）分两种情况，当点P在上时，， 得到点P移动路程为，移动时间为秒；当点P在上时，， 得到得到点P移动路程为，移动时间为秒； （2）分两种情况，当点P在上， ，Q的移动速度；②当点P在上， ，，点P移动的距离为32cm，点Q移动的距离为31cm，∴点Q移动的速度为 ． 【详解】（1）当点P在上时，如图①﹣1， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 当点P在上时，如图①﹣2 ∵的面积等于面积的一半； ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 故答案为：秒或秒； （2）∵， ∴对应顶点为A与D，P与E，Q与F； 当点P在上，如图②﹣1所示， ∵， ∴点Q移动的速度为； 当点P在上，如图②﹣2所示： ∵，， ∴点P移动的距离为，点Q移动的距离为， ∴点Q移动的速度为； 故P、Q两点运动过程中的某一时刻，恰好时，点Q的运动速度为或． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$