专题03 全等三角形（基础类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题03全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、判断真假命题 【解惑】下列命题中属于真命题的个数为（   ） （1）平分三角形内角的射线叫三角形的角平分线（2）三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线（3）的算数平方根是3（4）六条边都相等的六边形是正六边形（5）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 A．1 B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．下列命题为假命题的是（  ） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．垂线段最短 D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．下列命题是假命题的有 ． ①若，则；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则； ④如果，那与是对顶角． 3．下列命题是真命题的个数为 ． ①对顶角相等；②若，，则；③同位角相等；④互补的两个角是邻补角． 类型二、写出命题的题设与结论 【解惑】把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【融会贯通】 1．命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”（    ） A．属于题设部分 B．既属于题设部分也属于结论部分 C．属于结论部分 D．既不属于题设部分也不属于结论部分 2．把“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式是： ． 3．把命题“互为相反的两个数的和为零”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 类型三、全等图形 【解惑】下列图形与如图所示的图形全等的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列各组图形中，是全等图形的是（        ） A． B． C． D． 2．如图是某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有 组．    3．如图（1）~（12）中全等的图形是 和 ； 和 ； 和 ； 和 ； 和 ； 和 ；(填图形的序号) 类型四、全等三角形的性质 【解惑】如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【融会贯通】 1．如图，已知与全等，其中点D在边上，，，，，则的长是（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 2．如图，，，若，则 °． 3．如图，已知，点在上，与相交于点． (1)当，时，线段的长为 ； (2)已知，，求的度数． 类型五、等边对等角 【解惑】如图，在等腰直角三角形中，过点C做，如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示，已知D为上一点且，那么与之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形的一个底角为，则等腰三角形的顶角的度数为 ． 3．如图，在中，，点在的延长线上，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若，请直接用含的式子表示的度数． 类型六、三线合一 【解惑】如图，在中，，，于点，于点，取的中点，则的周长是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【融会贯通】 1．如图，在中，，D为中点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在等腰中，为的中线，，则 °． 3．如图， 为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 类型七、等边三角形的性质 【解惑】如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不确 【融会贯通】 1．如图，已知等边中，，与相交于点，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 3．如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 类型八、互逆命题与互逆定理 【解惑】下列说法不正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．“三角形的内角和等于”是真命题 C．命题的逆命题不一定是正确的 D．每个定理都有逆定理 【融会贯通】 1．下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 2．如图，D为等边三角形内一点，，，，则 度． 3． 如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 类型九、线段垂直平分线的性质 【解惑】如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线交于点D，连接． 若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接若，，则的周长为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 2．定理“全等三角形的对应角相等” （填“有”或“没有”）逆定理． 3．如图，在中，点在上，且，，求的度数． 类型十、角平分线的性质 【解惑】如图，已知的周长是，点为与的平分线的交点，且于点，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，平分，若，则的面积为（     ） A．3 B．10 C．12 D．15 2．命题“如果数a，b的积大于0，那么a，b都是正数”的逆命题是 ． 3．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并写出它们的题设和结论． (1)有两个角为的三角形是等边三角形； (2)两个连续偶数相差2 【一览众山小】 1．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（　　） A． B． C． D． 3．如图，是的平分线，是上一点，于点，，则点 到边的距离为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为 ． 5．如图，是的角平分线，，则 ． 6．如图，在中，，，以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，则 ． 7．等腰三角形的两边长为和，则该三角形的周长为 ． 8．如图，，则 ． 9．如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，的周长为，，求的周长． 10．如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、判断真假命题 【解惑】下列命题中属于真命题的个数为（   ） （1）平分三角形内角的射线叫三角形的角平分线（2）三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线（3）的算数平方根是3（4）六条边都相等的六边形是正六边形（5）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题真假的判断，根据三角形角平分线的定义判断（1），再根据三角形中线的定义判断（2），然后根据，结合算术平方根判断（3），再根据六边形的定义判断（4），最后根据两直线的位置关系判断（5）即可． 【详解】根据三角形的角平分线和三角形的中线是线段可知（1），（2）不是真命题；因为，其算术平方根是3，所以（3）是真命题；因为六条边都相等，六个内角都相等的六边形是正六边形，所以（4）不是真命题；因为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以（5）不是真命题． 所以真命题的有1个． 故选：A． 【融会贯通】 1．下列命题为假命题的是（  ） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．垂线段最短 D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【分析】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据对顶角相等、行线的性质、垂线段最短、平行公理判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意． B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项是假命题，符合题意． C、垂线段最短，是真命题，不符合题意． D、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，不符合题意． 故选：B． 2．下列命题是假命题的有 ． ①若，则；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则； ④如果，那与是对顶角． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平方、余角、绝对值意义、对顶角定义、命题的知识；解题的关键是熟练掌握相关的定义和性质．根据平方运算法则、余角定义、绝对值意义、对顶角的定义，逐个判断，即可得到答案． 【详解】解：①若，则或，原命题是假命题，故①符合题意； ②当一个角的度数小于，这个角的余角大于这个角，原命题是假命题，故②符合题意； ③当a，b是有理数，且a，b符号相同时可以得到|，原命题是假命题，故③符合题意； ④，和与是否是对顶角，没有因果关系，原命题是假命题，故④符合题意； 综上分析：假命题的有①②③④． 故答案为：①②③④． 3．下列命题是真命题的个数为 ． ①对顶角相等；②若，，则；③同位角相等；④互补的两个角是邻补角． 【答案】2 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据对顶角相等、平行线的判定、平行线的性质、邻补角的概念判断即可． 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②若，，则，是真命题； ③两直线平行，同位角相等，故本小题命题是假命题； ④互补的两个角不一定是邻补角，故本小题命题是假命题； 则真命题的个数为2个， 故答案为：2． 类型二、写出命题的题设与结论 【解惑】把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，正确理解命题即可． 【详解】解：命题“同角的补角相等”的题设为：两个角是同一个角的补角，结论为：这两个角相等， ∴把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等， 故选：D 【融会贯通】 1．命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”（    ） A．属于题设部分 B．既属于题设部分也属于结论部分 C．属于结论部分 D．既不属于题设部分也不属于结论部分 【答案】A 【分析】根据命题用“如果……那么……”的形式叙述进行分析即可． 【详解】题目中的命题用“如果……那么……”的形式叙述为“如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等”，所以属于题设部分． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题的题设和结论，解题的关键是先把命题改写成“如果……那么……”的形式，再分析题设和结论． 2．把“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式是： ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么它们相等 【分析】本题考查了命题的条件和结论的叙述．熟练掌握命题的条件和结论的叙述是解题的关键． 按照“如果…那么…”的形式改写即可． 【详解】解：∵原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“它们相等”， ∴命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么它们相等”． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等． 3．把命题“互为相反的两个数的和为零”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 【答案】如果两个数的和为零，那么它们互为相反数， 【分析】本题考查命题与定理、命题写成“如果…，那么…”的形式，熟练掌握“如果”后面接的部分是条件，“那么”后面接的部分是结论是解题的关键．找出命题中的条件和结论，再改写成“如果…，那么…”的形式即可． 【详解】解：把“互为相反的两个数的和为零”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数， 故答案为：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数． 类型三、全等图形 【解惑】下列图形与如图所示的图形全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答．即可解答． 【详解】解：根据全等的定义可得D和原图形全等， 故选：D． 【融会贯通】 1．下列各组图形中，是全等图形的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形的定义，解题的关键是掌握形状大小完全相同的图形是全等图形，据此即可解答． 【详解】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形， 故答案为：C． 2．如图是某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有 组．    【答案】3/三 【分析】本题考查了全等图形的知识．根据全等的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 【详解】解：根据全等的定义可知， 全等图形有：  和  ，  和  ，  和  ， ∴图中有3组全等的图形． 故答案为：3． 3．如图（1）~（12）中全等的图形是 和 ； 和 ； 和 ； 和 ； 和 ； 和 ；(填图形的序号) 【答案】 （1） （11） （2） （10） （3） （6） （4） （7） （5） （8） （9） （12） 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【详解】解：如图（1）~（12）中全等的图形是（1）和（11），（2）和（10），（3）和（6），（4）和（7），（5）和（8），（9）和（12）， 故答案为：（1），（11），（2），（10），（3），（6），（4），（7），（5），（8），（9），（12）， 类型四、全等三角形的性质 【解惑】如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等解答即可． 【详解】解：∵， ，，， 故①③正确； ∴ ∴ 故④正确， 无法证明，故②错误， 综上所述，结论正确的是①③④共3个． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，已知与全等，其中点D在边上，，，，，则的长是（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】D 【分析】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．根据全等三角形的性质得出，进而解答即可． 【详解】解：， ， 与全等， ，，， ， 故选：D． 2．如图，，，若，则 °． 【答案】25 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．由可得，推出，最后根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，已知，点在上，与相交于点． (1)当，时，线段的长为 ； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）由，可得，，从而可得答案； （）由，，，可得，，再利用三角形的内角和求出，再根据角度和差即可求解； 本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）∵，，， ∴，， ∵， ∴． 类型五、等边对等角 【解惑】如图，在等腰直角三角形中，过点C做，如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查平行线的性质、等腰直角三角形的性质，根据题意得出，，结合图形求解即可 【详解】解：∵，， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D 【融会贯通】 1．如图所示，已知D为上一点且，那么与之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和，等边对等角，三角形外角性质，根据可得，，结合三角形外角性质即可得到，代入的值整理即可解题． 【详解】解：， ，， ， ， 整理得：， 故选：D． 2．已知等腰三角形的一个底角为，则等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为，等腰三角形两底角相等的性质．利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握． 已知给出了一个底角为，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为即可解本题． 【详解】解：因为其底角为，所以其顶角． 故答案为：． 3．如图，在中，，点在的延长线上，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若，请直接用含的式子表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质； （1）设，可得，，求解，，进一步可得答案； （2）设，可得，求解，，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 类型六、三线合一 【解惑】如图，在中，，，于点，于点，取的中点，则的周长是（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线定理．根据等腰三角形三线合一的性质可得是的中线，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后判断出是的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：， 是的中线， ，是的中点， ，， 是的中线，是的中点， 是的中位线， ， 的周长． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在中，，D为中点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形“三线合一”的性质和三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵在中，，是的中点， ∴是的角平分线， ∵， ∴ ∴． 故选：C． 2．如图，在等腰中，为的中线，，则 °． 【答案】18 【分析】本题考查等边对等角，三线合一，根据等边对等角结合三角形的内角和定理求出，根据三线合一求出的度数即可． 【详解】解：∵为的中线，， ∴，平分， ∴； 故答案为：18． 3．如图， 为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，解题关键是灵活运用相关知识解决问题． （1）根据等边三角形的性质，易证，利用全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得的度数； （2）利用（1）的结果求得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，根据线段的和差及全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ，， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 类型七、等边三角形的性质 【解惑】如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不确 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等面积法求高，掌握等边三角形的性质，等面积法的运用是解题的关键． 如图所示，连接，作于点，则，根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 【融会贯通】 1．如图，已知等边中，，与相交于点，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可证，从而得到，最后利用三角形外角和定理得到，即可得到答案． 【详解】解：是等边三角形 ， 在与中 故选：C． 2．如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三线合一的性质，以及三角形内角和问题，由等腰三角形的性质和三角形三角和定理分别求出，，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 3．如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，结合图形计算即可． 【详解】（1）解：、分别垂直平分和， ，， 的周长， 故的周长为； （2）， ， ，， ， ， ，， ，， ， 故的度数为． 类型八、互逆命题与互逆定理 【解惑】下列说法不正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．“三角形的内角和等于”是真命题 C．命题的逆命题不一定是正确的 D．每个定理都有逆定理 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理、三角形内角和定理，根据逆命题的定义、三角形内角和定理、真假命题的定义、互为逆命题的两个命题的真假没有关系进行判断即可． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，故不符合题意； B、“三角形的内角和等于”是真命题，故不符合题意； C、命题的逆命题不一定是正确的，故不符合题意； D、定理的逆命题不一定是真命题，因此每个定理不一定都有逆定理，故符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理． 【详解】解：A，“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”，不合题意； B，“直角三角形两锐角互余”的逆定理是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，不合题意； C，“对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，该逆命题是假命题，因此“对顶角相等”没有逆定理，符合题意； D，“同位角相等，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同位角相等”，不合题意； 故选C． 2．如图，D为等边三角形内一点，，，，则 度． 【答案】30 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，作的垂直平分线，证明的垂直平分线必过C、D两点，然后证明，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：作的垂直平分线， ∵， ∴为等腰三角形， ∵为等边三角形， ∴， ∴的垂直平分线必过C、D两点，， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：30． 3． 如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质得到，，再利用定理证明，利用全等三角形的性质可得结论； （2）证明得到，进而可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵的平分线与的垂直平分线相交于点，，， ∴，，， 在和， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，利用全等三角形的性质证明边相等是解答的关键． 类型九、线段垂直平分线的性质 【解惑】如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线交于点D，连接． 若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，则可求得的度数，据此即可解题． 【详解】解：，， ， 由题知，直线为的垂直平分线， ， ， ， ， ． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接若，，则的周长为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明，推出的周长，可得结论． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ， 的周长． 故选：A． 2．定理“全等三角形的对应角相等” （填“有”或“没有”）逆定理． 【答案】没有 【分析】本题考查了定理和逆定理之间的关系，要注意，一个命题肯定有逆命题，但一个定理不一定有逆定理，只有当一个定理的逆命题经过推理是正确的命题，这个定理的逆命题才是逆定理，据此写出命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题，再判断真假即可得到答案． 【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，这是一个假命题， ∴定理“全等三角形的对应角相等”没有逆定理， 故答案为：没有． 3．如图，在中，点在上，且，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据等边对等角结合三角形的内角和定理，以及外角定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 类型十、角平分线的性质 【解惑】如图，已知的周长是，点为与的平分线的交点，且于点，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于E，于F，连接，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于E，于F，连接， ∵O为与的平分线的交点，， ∴， ∴的面积的面积的面积的面积 ， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，平分，若，则的面积为（     ） A．3 B．10 C．12 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”．过作于，根据角平分线性质得出，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过作于． 是的角平分线，，， ， ， ， ， 故选：D． 2．命题“如果数a，b的积大于0，那么a，b都是正数”的逆命题是 ． 【答案】如果数a，b都是正数，那么a，b的积大于0 【分析】本题考查逆命题，根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题求解即可． 【详解】解：命题“如果数a，b的积大于0，那么a，b都是正数” 逆命题为：如果数a，b都是正数，那么a，b的积大于0 故答案为：如果数a，b都是正数，那么a，b的积大于0． 3．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并写出它们的题设和结论． (1)有两个角为的三角形是等边三角形； (2)两个连续偶数相差2 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，正确理解命题内容即可. （1）根据命题内容即可求解； （2）根据命题内容即可求解； 【详解】（1）解：如果一个三角形中有两个角为，那么这个三角形是等边三角形． 题设：一个三角形中有两个角为； 结论：这个三角形是等边三角形． （2）解：如果两个数是连续的偶数，那么这两个数相差2． 题设：两个数是连续的偶数； 结论：这两个数相差2． 【一览众山小】 1．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的对应角相等是正确解答本题的关键． 由作法易得，，，依据定理得到≌，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作法易得，，， 在与中， ， ≌， 全等三角形的对应角相等． 故选：D． 2．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定，由题意可得三角形还具有完整的两角和它们的夹边，据此即可得到答案． 【详解】因为小明书上的三角形虽然被污染了，但是其它两角和它们的夹边却还是完整的，只需根据完整的两角和它们的夹边画出三角形即可，因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等． 故答案为：D． 3．如图，是的平分线，是上一点，于点，，则点 到边的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点P作于E，根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：过点P作于E． 是的平分线，， ， 故选：A．    4．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 连接、，如图，设，利用基本作图得到，则，所以，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，接着利用得到，则根据求出． 【详解】解：连接、，如图，设， 由作法得垂直平分， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 解得， ． 故答案为：． 5．如图，是的角平分线，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积，掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键． 作于点，于点，根据角平分线的性质可得，利用三角形的面积公式可得，代入数据计算即可． 【详解】解：过点作于点，于点，如图所示， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 6．如图，在中，，，以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的作图步骤，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的作图步骤是解题的关键．先通过作图步骤确定是的角平分线，再利用三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：由题中作图步骤可得是的角平分线， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．等腰三角形的两边长为和，则该三角形的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【详解】解：①当腰是，底边是时，，不能构成三角形， ②当底边是，腰长是时，能构成三角形， 则其周长， 所以，这个三角形的周长是． 故答案为：10． 8．如图，，则 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了全等三角形的性质：对应角相等，可得，最后根据三角形内角和即可求解； 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为： 9．如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，的周长为，，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质可得，AD=CD，根据的周长为，根据中点的性质以及，可得的长，进而即可求得周长 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 又∵， ∴， ∴的周长． 10．如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：． 【答案】证明过程见详解． 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得即可得证． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$