专题03 全等三角形之几何最值篇（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题03全等三角形之几何最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马(最小) 【解惑】如图，等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交，边于点，，点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．6 【融会贯通】 1．如图，的面积为16，且，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线．已知为的中点，为直线上任意一点，则的长度的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 2．如图，在中，，，垂直平分，点是直线上的任意一点，则的最小值是 ． 3．如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．    类型二、三点共线(最大) 【解惑】如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【融会贯通】 1．如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 2．在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ． 3．已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度． 类型三、两动一定 【解惑】如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，的面积是6，，，D，E分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 3．如图，在中，，，，，平分，点E是上的动点，点F是上的动点，则的最小值为 ． 类型四、周长最小——将军饮马 【解惑】如图，在中，，，面积是30，的垂直平分线分别交边于E、F点， 若点D为边的中点， 点M为线段上一动点，则周长的最小值为 （       ）    A．10 B．12 C．13 D．15 【融会贯通】 1．如图，在中，，，的面积是24，的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P在线段上，则周长的最小值为（    ）    A．6 B．10 C．12 D．14 2．如图，在等边中，是边上一个动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到，连接．若，则的周长最小值是 ．    3．如图，等腰的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长最小值为： ．    类型五、周长最小——双对称 【解惑】如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点，分别是，上的动点，若周长的最小值等于，则（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知，在内有一定点，点，分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 2．如图，，点，分别是射线，上的动点，且，的周长最小值为 ． 3．如图，锐角中，，，的面积是，，，分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 类型六、面积最大 【解惑】如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A． B．3 C． D．9 【融会贯通】 1．如图，在四边形中，BD平分，于点D，，，则面积的最大值为（    ）    A． B．6 C．9 D．12 2．如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为 ． 3．如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，，则四边形面积的最大值为 ． 类型七、手拉手最值 【解惑】如图，在等边中，点D在平面内，，，则的最大值为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【融会贯通】 1．如图，点为等边外一点，且，，则的最大值为（    ）．    A． B． C． D． 2．如图，在中，，，以为边向上作等边，连接，当 时，最大，最大值为 ．      3．如图，在中，，以为边作等边三角形，连接，则的最大值与最小值的和为 ． 类型八、四点共线(最大) 【解惑】如图，，在的同侧，，，，为的中点．若，则长的最大值是（    ）    A．8 B．10 C．12 D．14 【融会贯通】 1．如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，M为AB的中点．若∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（　　） A．12 B．4 C．4 D．14 2．如图，四边形中，，，点为的中点，连接、，使得，则的最大值为 ．（用含m的式子表示） 3．如图，在的同侧，点为线段中点，，若，则的最大值是 ． 类型九、其他最小值 【解惑】如图，已知在中，，点为直角边的中点，点为形内的一个动点，点为的中点，若，，，当取得最小值时，的度数为（    ）．    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连结，作 的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（     ）    A． B． C． D． 2．如图，边长为15的等边三角形中，M是高上的一个动点，连接，同时将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则点M在运动的过程中，线段长度的最小值是 ． 3．如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到．连接，则的周长的最小值是 ． 类型十、其他最大值 【解惑】如图．已知的半径为3，，点为上一动点．以为边作等边，则线段的长的最大值为（        ） A．9 B．11 C．12 D．14 【融会贯通】 1．如图，在中，，直线l经过边的中点D，与交于点M，分别过点A、C作直线l的垂线，垂足为E、F，则的最大值为（    ）      A． B． C． D． 2．如图，边长为2的等边三角形的两个顶点A，B分别在两条直线，上滑动，若，垂足为点O，则的最大值与最小值的差是 ． 3．如图，在三角形中，，于，且，点为边上的一动点，分别为点关于直线的对称点，连接，则线段最大值是 ；最小值是 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03全等三角形之几何最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马(最小) 【解惑】如图，等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交，边于点，，点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，将求的最小值转化为求的长是解题关键．连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，． ∵是等腰三角形，点是边的中点， ， ∴，解得， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为的最小值， 的最小值为6． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，的面积为16，且，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线．已知为的中点，为直线上任意一点，则的长度的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质和尺规作图，连接，由三线合一定理得到，再由三角形面积计算公式得到，由作图方法可知，垂直平分，则，故当A、D、M三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，，为的中点， ∴， ∵的面积为16， ∴， ∵， ∴； 由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴当A、D、M三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为8， 故选：C． 2．如图，在中，，，垂直平分，点是直线上的任意一点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识．连接，根据垂直平分线的性质，得出，当点在一条直线上时，有最小值，求出最小值即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当点在一条直线上时，有最小值，且最小值． 故答案为：3． 3．如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．    【答案】6 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，根据三角形的面积公式即可得到，由垂直平分，得到点A，B关于对称，再说明的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点P到A，B两点的距离相等， 即， 要求最小，即求最小，则A、P、D三点共线， ∴的长度即的最小值， 即的最小值为6， 故答案为：6． 类型二、三点共线(最大) 【解惑】如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、轴对称图形的性质；通过轴对称图形的性质转化线段和角是解题的关键．作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；易得，，；进而构造出等边，然后根据三角形的三边关系可得；求出的长即可 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；    由轴对称图形的性质可知：，， ∴ 即：当三点共线时， ∵ 为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 即：的最大值为 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键． 先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E， ∴， ∵的周长是18，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点． 故选：B． 2．在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 【详解】解：∵点是边的中点， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，三角形的内角和等知识，综合性强．作点B关于的对称点H，连接．可以得到，，即可得到当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时，进而得到．求出，根据和关于对称，求出，进而求出，，根据即可求出． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点H，连接． 则，， 此时， ∴当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时， ∵当的最大值是时， ∴． ∵，， ∴， 由题意得和关于对称， ∴，，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90 类型三、两动一定 【解惑】如图，在中，，，，，平分交于点，点，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题、角平分线的性质，解此题的关键是根据轴对称的性质找出点．如图，作点关于直线的对称点，作于由，推出根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值线段的长，根据三角形的面积即可求得线段的长． 【详解】解：如图中， 作点关于直线的对称点，作于， ， 根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值线段的长． 中，，，，， ． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，的面积是6，，，D，E分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点A关于的对称点，过点作，交于点D，则是线段的垂直平分线，根据角平分线的性质得，，从而可得的最小值是的值，证明，可得，利用面积公式求解即可． 【详解】解：作点A关于的对称点，过点作，交于点D， 则是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，即的最小值是的值， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 2．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】9.6 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，线段垂直平分线的性质．连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到当点B，P，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长，且当时，最小，再由，求出的长，即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵，是的平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点B，P，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长，且当时，最小， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9.6 3．如图，在中，，，，，平分，点E是上的动点，点F是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识．在射线上取一点，使得．过点作于．利用等积法求得，证明，推出，推出，根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：在射线上取一点，使得．过点作于． ∵， ∴， 平分， ， ，， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当，，共线且与重合时，的值最小，最小值， 故答案为：． 类型四、周长最小——将军饮马 【解惑】如图，在中，，，面积是30，的垂直平分线分别交边于E、F点， 若点D为边的中点， 点M为线段上一动点，则周长的最小值为 （       ）    A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短、等腰三角形的性质，利用两点之间线段最短求最值是解答的关键．连接，，根据线段垂直平分线的性质得到，再利用两点之间线段最短得到的最小值为的长度，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式求得即可求解． 【详解】解：如图，连接，，    ∵的垂直平分线分别交边于E、F点， ∴， ∴，当A、M、D共线时取等号， ∴的最小值为的长度， ∵，，点D为边的中点， ∴，， ∵的面积是30， ∴，则， ∴周长的最小值为， 故答案为：C． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，的面积是24，的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P在线段上，则周长的最小值为（    ）    A．6 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，由垂直平分线的性质可得A与B关于对称，连接，交于点P，则当点A、P、F三点共线时，周长最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴A与B关于对称， 连接，交于点P， ∵， ∴， 当点A、P、F三点共线时，周长最小， ∵F为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴周长的最小值为10， 故选：B．    2．如图，在等边中，是边上一个动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到，连接．若，则的周长最小值是 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．过点作于，利用等边三角形的性质以及勾股定理可计算出，再根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，易知，，证明，可知，所以的周长，利用垂线段最短得点运动到点时，取最小值，即可获得答案． 【详解】解：过点作于，如图，    ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴的周长， ∵是边上一个动点， ∴当点运动到点时，取最小值，最小值为， ∴的周长最小值为． 故答案为：． 3．如图，等腰的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的周长最小值为： ．    【答案】 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，利用轴对称解决线段和最小的问题，连接，根据中垂线的性质，得到，进而得到的周长，三线合一求出的长即可得出结果． 【详解】解：连接，    ∵腰的垂直平分线分别交，边于E，F点，点M为线段上一动点， ∴， ∴的周长， ∵等腰的底边长为4，面积是12，点D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∴的周长最小值为：； 故答案为： 类型五、周长最小——双对称 【解惑】如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点，分别是，上的动点，若周长的最小值等于，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了最短路径问题和等边三角形的性质与判定，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决． 设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，当点E、F在上时，的周长为，此时周长最小，根据可求出α的度数． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时，的周长最小． 连接，，，． ∵点P与点C关于对称， ∴垂直平分， ，，， 同理，可得，，． ，， ． 又的周长为：， ， 是等边三角形， ， ． 故选：A． 【融会贯通】 1．已知，在内有一定点，点，分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质；由对称的性质得出，，；，，，得出，证出是等边三角形，可得，即可得出结果． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，如图所示： 点关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， ， 是等边三角形， ， 周长的最小值是3， ， ， 即， 故选：B． 2．如图，，点，分别是射线，上的动点，且，的周长最小值为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了最短路径问题和等边三角形的性质与判定，作P点关于射线的对称点C点，作P点关于射线的对称点D点，连接与．证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：作P点关于射线的对称点C点，作P点关于射线的对称点D点，连接与射线的交点即为M点、N点，连接，此时的周长最小， ∵C点、P点关于射线对称， ∴射线垂直平分， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长最小值， 故答案为：6． 3．如图，锐角中，，，的面积是，，，分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据对称性质，将周长转换为一条直线，如图所示（见详解），作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，三角形是等边三角形，周长，即最小就是的值最小，的面积是，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，即是的垂直平分线，是的垂直平分线，且， ∵， ∴，即， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴当点在一条直线上时，周长，即最小就是的值最小， 根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小， ∵的面积是，，即， ∴，即周长最小， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键． 类型六、面积最大 【解惑】如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大．解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【详解】解：延长交于点．设交于点． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 故选：． 【融会贯通】 1．如图，在四边形中，BD平分，于点D，，，则面积的最大值为（    ）    A． B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】延长，两者交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，证明，即有，进而有，根据，有△AGC的面积为，当G点与H点重合时，即时，可得，此时达到最大，则的最大面积为：；根据，可得，则的最大面积可求． 【详解】延长，两者交于点G，过G点作，交于（或的延长线）于点H，如图，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴的面积， ∵， ∴， ∵在中，， ∴即，是直角三角形，斜边为， ∴， ∵， ∴， 当G点与H点重合时，即时，可得， 此时达到最大， ∴则的最大值为3， ∴的最大面积为：， ∵， ∴D点为中点， ∴， ∴的最大面积为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线，并判断出当G点与H点重合时达到最大，是解答本题的关键． 2．如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为 ． 【答案】7.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，分别延长与交于点，作交延长线于点，可证明，得到，求面积最大值转化成求线段的最大值即可，解题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形． 【详解】分别延长与 交于点， 作交 延长线于点 ，    ∵平分， ， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点重合时，最大，最大值为3， ∴， 故答案为：7.5． 3．如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质；证明，则四边形面积的最大时，的面积最大，当时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，即， ∴， ∴四边形的面积等于， 当面积最大时，四边形面积最大， ∴当时，取得最大值， ∵，， ∴四边形的面积的最大值为， 故答案为：． 类型七、手拉手最值 【解惑】如图，在等边中，点D在平面内，，，则的最大值为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 以为边作等边三角形，证明得，根据三角形三边的关系求出的最大值即可求解． 【详解】如图，以为边作等边三角形，则，．    ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∵， ∴当点E，D，C三点共线时，有最大值，即的长度为5． ∴的最大值是5． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，点为等边外一点，且，，则的最大值为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转，等边三角形的判定和性质，三角形三边关系，根据旋转的性质作出图形是解题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转到，连接，    则，，， ∴为等边三角形， ， ∴， 当共线时最大，最大值为， 故选：． 2．如图，在中，，，以为边向上作等边，连接，当 时，最大，最大值为 ．      【答案】 【分析】以点为中心，将按顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，则为等边三角形，利用三角形三边关系得，则当、、三点共线时，，最大，最大值为4． 【详解】解：如图，以点为中心，将按顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，    ，，，， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， 在中，，， ， 当、、三点共线时，，最大，最大值为4， 即当时，最大，最大值为4， 故答案为：；4． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，利用旋转构造等边三角形是解题的关键． 3．如图，在中，，以为边作等边三角形，连接，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】60 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质；以为边在其下方作等边，连接，证明，则得，在中利用三角形三边关系即可求得的最大值与最小值，从而求得结果． 【详解】解：如图，以为边在其下方作等边，连接， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 在中，， ∴， 即， ∴当三点共线时，取最大值与最小值分别为与， 而， 故答案为：60． 类型八、四点共线(最大) 【解惑】如图，，在的同侧，，，，为的中点．若，则长的最大值是（    ）    A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点． ， ， ， ， ， 为等边三角形 ， 的最大值为， 故选：D．    【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题 【融会贯通】 1．如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，M为AB的中点．若∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（　　） A．12 B．4 C．4 D．14 【答案】D 【详解】分析：如图，作点A关于CM的对称点A'，点B关于DM的对称点B′，连接CA'、MA'、MB'、A'B'、B'D，证明△A'MB'为等边三角形，然后利用三角形三边的关系解决问题即可． 解答：解：如图，作点A关于CM的对称点A'，点B关于DM的对称点B'，连接CA'、MA'、MB'、A'B'、B'D， ∵∠CMD＝120°， ∴∠AMC+∠DMB＝60°， ∴∠CMA'+∠DMB'＝60°， ∴∠A'MB'＝60°， ∵MA'＝MB'， ∴△A'MB'为等边三角形 ∵CD≤CA'+A‘B'+B'D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14， ∴CD的最大值为14， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，轴对称和等边三角形的性质，利用轴对称作图把CA+AM+BD转化为CA'+A‘B'+B'D是解题的关键． 2．如图，四边形中，，，点为的中点，连接、，使得，则的最大值为 ．（用含m的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，折叠问题，两点之间线段最短，证明是等边三角形是解题的关键．将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，证明是等边三角形，根据两点之间，线段最短可得，即可求出最大值． 【详解】解：将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接， 由翻折可知：，， ，， ∵E是中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴， ∵， ∴当D，M，N，C共线时，取得最大值为， 故答案为：． 3．如图，在的同侧，点为线段中点，，若，则的最大值是 ． 【答案】14 【分析】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型． 如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、、、、，证明为等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、、、、， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴的最大值为14， 故答案为：14． 类型九、其他最小值 【解惑】如图，已知在中，，点为直角边的中点，点为形内的一个动点，点为的中点，若，，，当取得最小值时，的度数为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，证明可得，从而可判断当点，，共线时最短，然后证明是等腰直角三角形即可． 【详解】如图，取的中点，连接，    ∵，点为中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点，，共线时最短． 如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连结，作 的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，，，作射线，由角平分线的性质得，可得平分，进而知，，当时，最小，此时点C在处，再由可得答案． 【详解】作于点E，作于点G，作于点H，作射线．    ∵平分，，，， ∴． 同理：， ∴， ∴平分， ∴． ∵， ∴． 根据题意可知点C在的平分线上运动，当时，最小，此时点C在处． 在中，． 所以，当线段最小时，的度数是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理和逆定理，垂线段最短，角的和差等，构造辅助线是解题的关键． 2．如图，边长为15的等边三角形中，M是高上的一个动点，连接，同时将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则点M在运动的过程中，线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】取的中点G，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，由直角三角形的性质可求得线段长度的最小值． 【详解】解：如图，取的中点G，连接， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， 即， ∴， ∵是等边三角形的高， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时， ∵， ∴， ∴． ∴线段长度的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 3．如图，是边长为2的等边三角形，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到．连接，则的周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折，平移的性质，等边三角形的性质以及菱形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．作关于点的对称点，交于点，连接，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：作关于点的对称点，交于点，连接， 由题意可知，将沿直线翻折，得到，再将在直线上平移，得到， 的周长的最小值转化为周长的最小值， 当三点共线时，最小为的长， 均为等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， 在中，， 周长的最小值为， 故的周长的最小值为． 故答案为：． 类型十、其他最大值 【解惑】如图．已知的半径为3，，点为上一动点．以为边作等边，则线段的长的最大值为（        ） A．9 B．11 C．12 D．14 【答案】B 【分析】以OP为边向下作等边△POH，连接AH，根据等边三角形的性质通过“边角边”证明△HPA≌△OPM，则AH=OM，然后根据AH≤OH+AO即可得解. 【详解】解：如图，以OP为边向下作等边△POH，连接AH， ∵△POH，△PAM都是等边三角形， ∴PH=PO，PA=PM，∠PHO=∠APM=60°， ∴∠HPA=∠OPM， ∴△HPA≌△OPM（SAS）， ∴AH=OM， ∵AH≤OH+AO，即AH≤11， ∴AH的最大值为11， 则OM的最大值为11. 故选B. 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，难点在于作辅助线构造等边三角形. 【融会贯通】 1．如图，在中，，直线l经过边的中点D，与交于点M，分别过点A、C作直线l的垂线，垂足为E、F，则的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短问题，作辅助线构造全等三角形，将转化为是解题关键．过点作于点，证明，得到，再利用垂线段最短可知，，进而得到，则当点、、、共线时，有最大值，最大值为的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ，即， 当点、、、共线时，有最大值，最大值为的长， ， 的最大值为， 故选：B．    2．如图，边长为2的等边三角形的两个顶点A，B分别在两条直线，上滑动，若，垂足为点O，则的最大值与最小值的差是 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的三边关系，勾股定理和直角三角中线的性质，掌握这些定理和性质是解题的关键，取的中点，连接，根据三角形的边角关系得到，当共线时，取得最小值，最小值为，当点为中点时， 取得最大值，最大值为，根据为中点，得到的长，在中，根据勾股定理求出的长，在中，为斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而即可得到答案． 【详解】解：取的中点，连接，，如图： 由三角形的三边关系可得：， ∴当共线时，取得最小值，最小值为， 当点为中点时， 取得最大值，最大值为， ∵， ∴为等边三角形 ∵，为的中点， ∴ 在中，由勾股定理可得：， 在中，， ∴，， ∴的最大值与最小值的差为：． 故答案为：2． 3．如图，在三角形中，，于，且，点为边上的一动点，分别为点关于直线的对称点，连接，则线段最大值是 ；最小值是 ． 【答案】 【分析】连接，作于，先推出为等边三角形，得出，推出，可得当与重合时最大，根据，求出AD，根据点到直线垂线段最短，即可得出答案． 【详解】如图，连接，作于， 分别为关于直线的对称点， ， 为等边三角形， 当与重合时最大为 点到直线垂线段最短， 故答案为：12；． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，垂线段最短，找出最大值和最小值的情况是解题关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$