专题03 全等三角形（中等类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

专题03全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、全等三角形的判定——SAS 【解惑】如图，已知，，．求证：． 【融会贯通】 1．如图，在中，，取点D与点E，使得，，连结与交于点O．求证：    (1)； (2)． 2．如图，已知，，求证：．    3．如图，在中，，点为上一点，过点作，连接，．求证：． 类型二、全等三角形的判定——ASA 【解惑】如图，，交于点，且，．求证：． 【融会贯通】 1．如图，点A，F，C，D在一条直线上，．求证：．    2．如图，点C在线段上，，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 类型三、全等三角形的判定——AAS 【解惑】如图，在中，点，上，且，相交于点，求证：． 【融会贯通】 1．如图，，求证：． 2．如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点．求证： (1)； (2)． 3．在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 类型四、全等三角形的判定——SSS 【解惑】如图，、相交于点O，，．求证：． 【融会贯通】 1．如图：已知．求证：．    2．如图，已知，，． 求证： (1)； (2)，． 3．如图，，，． 求证： (1)； (2)． 类型五、全等三角形的判定——HL 【解惑】如图，，，求证：． 【融会贯通】 1．如图所示，是的中线，，，垂足分别为F，E，．求证：．    2．已知，如图，，，垂足分别为，，且，．求证：． 3．图，已知，于点G，于点F，且． (1)求证：； (2)吗？请说明理由； (3)若，是什么三角形？ 类型六、线段垂直平分线的判定 【解惑】已知：如图，，，点在上．求证：．    【融会贯通】 1．如图，在中，，点在边上，过点作直线交延长线于点，交于点，且，求证：点在线段的垂直平分线上． 2．如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上． 3．如图，已知中，，点，分别为，上的点，．    (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 类型七、角平分线的判定 【解惑】如图，，，交的延长线于点，于点，且，求证：是的平分线． 【融会贯通】 1．如图，于点，于点，．是上一点，于点，于点．求证：． 2．已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且． 求证： (1)； (2)． 3．如图，和中，，，，连接，，与交于点，与交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：平分． 类型八、等边三角形的判定 【解惑】如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB=HC，，求证：△ABC为等边三角形. 【融会贯通】 1．如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点，，求证：是等边三角形． 2．如图，是的角平分线，，交于点F．已知． (1)求的度数． (2)若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由． 3．如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)求 的大小． 类型九、等腰三角形性质与判定 【解惑】如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，连接，，且． 若，求的度数．    【融会贯通】 1．已知：如图，在中，，是的中点，，，，分别是垂足，求证：． 2．如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接．    (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 3．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)过点A作于点E，若的周长是20，求的长． 类型十、尺规作图 【解惑】如图，在中，点在边上．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【融会贯通】 1．按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算． 已知：在中，，． (1)作边上的高，作的平分线，与相交于点． (2)求所作图形中的度数． 2．如图，点是矩形的边上的一点，且． (1)尺规作图：作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求证：． 3．如图，107国道和320国道在湘潭市相交于点O，在的内部有一个工厂C和D，现在要修建一个货站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作出货站P的位置． 【一览众山小】 1．如图，直线，，于点，若，则的度数为（ ） A．. B． C． D． 2．下列命题中正确的是（   ） A．互补的两个角是邻补角 B．如果两条直线与第三条直线相交，则同位角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 D．在同一平面内，如果，，则 3．如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D．再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点E，过点E作射线，连接．则下列说法错误的是（   ） A．C，D两点关于所在直线对称 B．是等腰三角形 C． D．垂直平分 4．等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成和两部分，这个等腰三角形各边长为 ． 5．如图，是等边三角形的中线，，则 ．    6．如图，在中，的垂直平分线交于点D，，，的度数为 ． 7．如图，，求作直线，使沿该直线折叠后点A落在边上的点P处． 8．如图，点B在上，点C在外，连接，． (1)利用尺规，过点B作射线，使；（保留画图痕迹，作出所有符合条件的射线，不必写作法；不同的射线可用，，…来分别表示） (2)在（1）的条件下，若，请求出的度数． 9．如图，于E，于F，若，求证：平分． 10．（1）感知：如图①，平分，，，易知，数量关系为：______． （2）探究：如图②，平分，，，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03全等三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、全等三角形的判定——SAS 【解惑】如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，由全等三角形的判定证得，根据全等三角形的性质即可证得． 【详解】证明：∵， ， ， ， 即， ， ， ． 【融会贯通】 1．如图，在中，，取点D与点E，使得，，连结与交于点O．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质． （1）由角的和差关系可得出，利用证明三角形全等即可． （2）由全等三角形的性质可得出． 【详解】（1）证明， ∴， 即 在 与 中 ∴    （2）由（1）可知 ， ∴． 2．如图，已知，，求证：．    【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．由，得，由，推导出，而，即可根据“”证明，则． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．如图，在中，，点为上一点，过点作，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，由平行线的性质得出，再证明即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 类型二、全等三角形的判定——ASA 【解惑】如图，，交于点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，先由两直线平行，内错角相等得到，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 【融会贯通】 1．如图，点A，F，C，D在一条直线上，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，得到，再根据线段的转化即可得出结论． 【详解】证明：在和中 ， ， ， ． 2．如图，点C在线段上，，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质； （1）由即可得证； （2）由全等三角形的性质得，，即可求解； 掌握全等三角形的判定方法与性质，准确找出对应边、对应角是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， （）； （2）解：， ，， ． 3．如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； （1）利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，即可证得结论； （2）由题意可得，再由全等三角形性质可得，即可求得答案． 【详解】（1）是边上的中线， ， ∵， ， 在和中， ， ∴； （2），， ， ∵， ， ， ． 类型三、全等三角形的判定——AAS 【解惑】如图，在中，点，上，且，相交于点，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质． 通过平行四边形的性质对边平行且相等，可以得出，，从可以得出，又因为可以得出，从而可以根据全等三角形证明，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用即可证明． 【详解】证明：， ，即． 在和中， ， ∴． 2．如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、余角的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）由，得，而于，于，则，根据等角的余角相等得到，易得； （2）由得到，，进而完成证明． 【详解】（1）证明：， ， 而于，于， ，， ． 在和中，，，， ； （2）证明：， ，， ． 3．在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键． （1）①由已知推出，因为，，推出，根据“”即可得到答案； ②由①得到，，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案． 【详解】（1）证明：①，， ， ， ，， ， 在和中， ， （）； ②由（1）知：， ，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）；， ，， ． 类型四、全等三角形的判定——SSS 【解惑】如图，、相交于点O，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．利用证明即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图：已知．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明，即可证明． 【详解】证明：在和中， ∴， ∴． 2．如图，已知，，． 求证： (1)； (2)，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据证明即可； （2）根据，得出，，根据平行线的判定方法即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中，， ∴． （2）证明：由（1）可得， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 3．如图，，，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）先得出，即可根据求证； （2）根据全等的性质得出，即可求证． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ∴． 类型五、全等三角形的判定——HL 【解惑】如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据直角三角形定理，即可求解， 本题考查了，直角三角形定理，解题的关键是：熟练掌握应用定理证明三角形全等． 【详解】证明：， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． 【融会贯通】 1．如图所示，是的中线，，，垂足分别为F，E，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理--，熟记定理内容是解题关键． 【详解】证明：∵是的中线， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ 2．已知，如图，，，垂足分别为，，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据即可证明结论成立． 【详解】证明：∵，， ∴． 在和中 ∴． 3．图，已知，于点G，于点F，且． (1)求证：； (2)吗？请说明理由； (3)若，是什么三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)是等边三角形 【分析】（1）由，，，，即可证明， （2）由，即可证明， （3）根据题意由余角的性质可得，即可得到是等边三角形． 本题考查全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定，熟练掌握并证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴， 在和中，， ∴， （2）解：∵， ， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 类型六、线段垂直平分线的判定 【解惑】已知：如图，，，点在上．求证：．    【答案】见解析 【分析】先根据线段垂直平分线的判定定理说明是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质定理得出答案． 【详解】证明：如图，连接，    ∵， ∴点A是线段垂直平分线上的点． ∵， ∴点D是线段垂直平分线上的点， ∴是线段垂直平分线， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理和逆定理，灵活的应用定理是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在中，，点在边上，过点作直线交延长线于点，交于点，且，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．先根据两角互余的性质得出，，再由对顶角相等可得出，因为可知，故，由此可得出结论． 【详解】证明：， ，． 与是对顶角， ． ， ， ，即， 点在的垂直平分线上． 2．如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、垂直平分线的判定等知识点，掌握到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上成为解题的关键． 如图所示，连接，由垂直平分线的性质可得，进而得到，最后根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上即可证明结论． 【详解】解：如图：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 3．如图，已知中，，点，分别为，上的点，．    (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可得，利用，进而证明； （2）由则在的中垂线上，再证明可得，故在的中垂线上，则垂直平分． 本题考查三角形全等的判定和性质定理、中垂线的判定定理，理解题意是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 与全等； 理由：，， 即， 在与中， ， ； （2）解：如图：连接，    由（1）， 在的中垂线上， ， ， 在与中， ， ， ， 在的中垂线上， 垂直平分． 类型七、角平分线的判定 【解惑】如图，，，交的延长线于点，于点，且，求证：是的平分线． 【答案】证明见解析 【分析】先根据全等三角形的判定定理得出，进而得出，由角平分线的判定即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【点睛】本题考查角平分线的判定及全等三角形的判定与性质，掌握到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，于点，于点，．是上一点，于点，于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据角平分线的判定定理得到是的平分线，根据角平分线的性质定理证明结论． 【详解】证明：∵，，， ∴是的平分线， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角两边的距离相等、到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 2．已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，先根据，且， 可知，再根据即可得出，进而可得出，由等角对等边可知； （2）先证明，得出，根据，，得出． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵，且， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在和中 ， ∴，     ∴，         ∵， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的判定，等边对等角，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 3．如图，和中，，，，连接，，与交于点，与交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，利用SAS证明是解题的关键． （1）欲证明，只要证明； （2）由，推出，由，，又，，可得 （3）过B分别作，垂足分别为P，Q，根据可得，，可得，进而可证明结论． 【详解】（1）， ，即， 在和中， ， ， ； （2）， ， ，， 又，， ， ． （3）过B分别作，垂足分别为P，Q，    ∵， ∴， ∴， ∴B点在的平分线上， 即平分． 类型八、等边三角形的判定 【解惑】如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB=HC，，求证：△ABC为等边三角形. 【答案】证明见解析 【分析】由HB＝HC推出∠HBC＝∠HCB，再由∠ABC＋∠BCH＝90°，∠ACB＋∠CBH＝90推出∠ABC＝∠ACB，由此即可证明． 【详解】证明：∵HB＝HC， ∴∠HBC＝∠HCB， ∵CF⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BFC＝∠BEC＝90°， ∴∠ABC＋∠BCH＝90°，∠ACB＋∠CBH＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的判定、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用等角的余角相等得到∠ABC＝∠ACB． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，于，的平分线分别交，于点，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．由在中，，，易得，，又由平分，，，即可证得，继而证得：为等边三角形． 【详解】证明：在中，，， ，， ，， 平分， ， ，， ， ， ， 为等边三角形． 2．如图，是的角平分线，，交于点F．已知． (1)求的度数． (2)若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，等边三角形的判定； （1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）由（1）得：，从而得到，再由点F是的中点，可得，然后根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：是等边三角形，理由： 由（1）得：， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 3．如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)求 的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，三角形外角性质． （1）根据等边三角形的判定解答即可； （2）求出，根据证出即可； （3）根据全等三角形的性质得出，根据三角形外角性质推出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等边三角形； （2）∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴． 类型九、等腰三角形性质与判定 【解惑】如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，连接，，且． 若，求的度数．    【答案】 【分析】利用等腰三角形的判定及性质及可求解． 【详解】解：，， ， 是的中点，， 是的垂直平分线， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．已知：如图，在中，，是的中点，，，，分别是垂足，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据AB=AC，等边对等角，得到∠B=∠C；由D点是BC中点，可知BD=CD；DE⊥AB，DF⊥AC，得到，进而得到△BDE≌△CDF． 【详解】证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ， ∵D是的中点， ∴BD=CD， 在和中 ∴△BDE≌△CDF ∴BE=CF， ∵AB=AC， ∴AB-BE=AC-CF 即AE=AF． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定．通过全等三角形对应边相等，得到线段之间的关系是解题的关键． 2．如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接．    (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理， （）先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义求出，得到，最后根据等角对等边即可解答； （）由（）可得，根据等腰三角形三线合一即可求得的度数； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴, ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵，为的中点， ∴． 3．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)过点A作于点E，若的周长是20，求的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2)10 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端距离相等，等角对等边，三线合一． （1）根据垂直平分线的性质得出，进而推出．则，得出，即可得出结论； （2）根据三线合一得出，则，即可解答． 【详解】（1）解：为等腰三角形． 理由：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵，， ∴． ∵的周长是20， ∴， ∴． 类型十、尺规作图 【解惑】如图，在中，点在边上．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了尺规作角及平行线的判定，熟练掌握利用尺规作角的方法作平行线是解题的关键．作交于点，根据平行线的判定方法可得到． 【详解】解：如图，点即为所求． 【融会贯通】 1．按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算． 已知：在中，，． (1)作边上的高，作的平分线，与相交于点． (2)求所作图形中的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用基本作图，过点作于，再利用基本作图作的平分线， 与相交于点； （2）首先根据直角三角形两锐角互余计算出，再根据角平分线的性质得出，根据同角的余角相等得，最后根据三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】（1）如图，线段是边上的高，线段是的角平分线． （2），， ，， 是的角平分线， ， 线段是边上的高， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了作图——基本作图，也考查了三角形内角和定理，角平分线性质，熟练掌握基本几何图形的性质是解本题的关键． 2．如图，点是矩形的边上的一点，且． (1)尺规作图：作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的作法及全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可； （2）结合角平分线的定义可得，然后证明即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，射线即为所作； （2）证明：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 3．如图，107国道和320国道在湘潭市相交于点O，在的内部有一个工厂C和D，现在要修建一个货站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作出货站P的位置． 【答案】见详解 【分析】做出的垂直平分线和的平分线，其交点即为所求．本题考查了作图应用与设计作图，熟悉角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：如图：交点即为所求 【一览众山小】 1．如图，直线，，于点，若，则的度数为（ ） A．. B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和，根据可得，再结合和三角形内角和即可求解． 【详解】∵，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 2．下列命题中正确的是（   ） A．互补的两个角是邻补角 B．如果两条直线与第三条直线相交，则同位角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 D．在同一平面内，如果，，则 【答案】C 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据邻补角的概念、平行线的判定和性质、垂直的定义判断即可． 【详解】解：A、互补的两个角不一定是邻补角，故本选项说法错误，不符合题意； B、如果两条平行线与第三条直线相交，则同位角相等，故本选项说法错误，不符合题意； C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，说法正确，符合题意； D、在同一平面内，如果，，则，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．如图，以的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D．再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点E，过点E作射线，连接．则下列说法错误的是（   ） A．C，D两点关于所在直线对称 B．是等腰三角形 C． D．垂直平分 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定．由作法得：平分，，即可求解． 【详解】解：由作法得：平分，， ∴垂直平分，是等腰三角形，故选项B正确，不符合题意，D错误，符合题意； ∴C，D两点关于所在直线对称，，故选项A，C正确，不符合题意； 故选：D 4．等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成和两部分，这个等腰三角形各边长为 ． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据题意画出示意图，再分当时，当时，两种情况求出三边长，再根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：如图所示，在中，，是中线， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时不能构成三角形； 当时， 同理得：， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴腰长为，底边为， ∴这个等腰三角形各边的长为，，． 故答案为：，，． 5．如图，是等边三角形的中线，，则 ．    【答案】/15度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先利用等腰三角形的三线合一的性质得出，，再根据等边对等角和三角形内角和为180度进行求解即可． 【详解】∵是等边三角形的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，在中，的垂直平分线交于点D，，，的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出，进而根据等腰三角形的性质和外角的性质得出，最后根据三角形内角和为180度求解即可． 【详解】∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．如图，，求作直线，使沿该直线折叠后点A落在边上的点P处． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，折叠的性质，根据折叠的性质可得垂直平分，据此只需要作的垂直平分线即可． 【详解】解：如图所示，连，直线即为所求． 8．如图，点B在上，点C在外，连接，． (1)利用尺规，过点B作射线，使；（保留画图痕迹，作出所有符合条件的射线，不必写作法；不同的射线可用，，…来分别表示） (2)在（1）的条件下，若，请求出的度数． 【答案】(1)见解析； (2)或． 【分析】（1）利用平行线的判定定理，作，注意射线包括两条； （2）利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：射线和就是所要求做的射线. （2）解：当时，， 所以 当时，， 综上所述：为或． 【点睛】本题考查射线的定义，作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，注意射线有两条． 9．如图，于E，于F，若，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．先证明，可得，可证明，可得，即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 10．（1）感知：如图①，平分，，，易知，数量关系为：______． （2）探究：如图②，平分，，，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． 【答案】（1）；（2）结论成立，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）只要证明即可； （2）如图②中，作于，于，只要证明即可； 【详解】解：（1）结论：． 理由：，， ， ，， ． ． 故答案为：． （2）结论成立． 理由：如图②中，作于，于． 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$