第25章 随机事件的概率（3个知识点+7类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（华东师大版）

第25章 随机事件的概率 课程标准 学习目标 ①能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率； ②知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率。 1.理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念； 2.会用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小； 3.理解通过大量重复试验时频率可以作为该事件发生概率的估计值； 4.用公式法/列举法/列表法/树状图法求简单事件的概率. 知识点01 确定事件与不确定事件 1.确定事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件. 2.不确定事件 也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件. 【点拨】 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 【即学即练1】 （22-23七年级下·河南平顶山·期末）下列说法不正确的是（　　） A．“过一点可以作两条直线与已知直线垂直”是不可能事件 B．“三角形的一条中线平分三角形的面积”是必然事件 C．“以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件 D．“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是必然事件 【答案】D 【分析】利用随机事件以及必然事件的定义对各选项进行判断得出答案． 【详解】解：A、“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，故此选项正确，不符合题意； B、“三角形的一条中线平分三角形的面积”正确，故此选项正确，不符合题意； C、“以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件，比如三条长度为3，4，5的可以构成三角形，三条长度为1，2，3不可以构成三角形，故此选项正确，不符合题意； D、“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是随机事件，如果两边夹角，即，那么两个三角形全等，如果两边不夹角，那么两个三角形不全等，故此选项错误，符合题意， 故选：D． 【点评】此题考查了必然事件和随机事件的定义，正确把握相关事件的定义是解题的关键． 知识点02 频率与概率 1.频率与概率的定义 频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率. 无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性. 概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P（A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 【点拨】 ①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. ②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 【即学即练2】 （23-24七年级下·河南郑州·期末）下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据： 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率mn 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 下列说法正确的是（　） A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小 B．随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5 C．试验50000次正面朝上的频率一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5 D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，掌握在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值是解题关键．理解用频率估计概率，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率不一定越来越小，故该选项说法错误，不符合题意； B．根据在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近概率，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5，故该选项说法正确，符合题意； C．试验50000次正面朝上的频率不一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5，故该选项说法错误，不符合题意； D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数不一定等于2500，故该选项说法错误，不符合题意． 故选B． 知识点03 概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （5）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （6）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 【即学即练3】 （23-24八年级上·全国·单元测试）气象预报员报道：“本市明天降雨的概率是．”这句话的意思是（    ） A．明天的时间要下雨 B．明天一定会下雨 C．明天 的时间不下雨 D．明天下雨的可能性是，但也有可能不下雨 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．概率表示随机事件发生的可能性的大小． 由题意根据概率表示某事情发生的可能性的大小可得答案． 【详解】解：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得： 本市明天降雨的概率是，这句话的意思是明天下雨的可能性是，但也有可能不下雨． 故选：D． 知识点04 概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝ （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 【即学即练4】 （2023·浙江温州·一模）把一枚质地均匀的骰子（各个面上的点数为1~6）抛掷一次，落地后，朝上面的点数是奇数的概率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一步概率问题求解，根据题意，把一枚质地均匀的骰子（各个面上的点数为1~6）抛掷一次，落地后，朝上面的点数为共6种等可能得结果，其中是奇数的有共3种，由简单概率公式代值求解即可得到答案，熟练掌握一步概率问题的求解方法是解决问题的关键． 【详解】解：把一枚质地均匀的骰子（各个面上的点数为1~6）抛掷一次，落地后，朝上面的点数为共6种等可能得结果，其中是奇数的有共3种， 朝上面的点数是奇数的概率为， 故选：C． 知识点05 几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度。 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 【即学即练5】 （22-23七年级下·山东泰安·期中）如图是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是_______． 【答案】 【分析】本题考查了概率的定义，图案共有7个全等的正六边形组成，其中空白的正六边形有3个，根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得，图案共有7个全等的正六边形组成，其中空白的正六边形有3个， ∴假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是． 故答案为： 知识点06 列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 【即学即练6】 （2024·陕西咸阳·模拟预测）科学实验是获取经验事实和检验科学假说、理论真理性的重要途径．某校为进一步培养学生实践创新能力，提高学生科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，并演示了以下四个科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．校团委组织了实验原理讲述的活动． (1)若晓丽从中随机抽取一个实验讲述原理，她抽到“A．自动升高的水”的概率是______； (2)若小敏和小东两人各从四个实验中随机选取一个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他们恰好选到同一个实验的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到他们恰好选到同一个实验的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有4个小实验，每个小实验被抽到的概率相同， ∴晓丽从中随机抽取一个实验讲述原理，她抽到“A．自动升高的水”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们恰好选到同一实验的结果有4种， ∴他们恰好选到同一个实验的概率． 知识点07 模拟试验 （1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验． （2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果． （3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可． 【即学即练7】 （22-23九年级上·广东·单元测试）盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 【答案】见解析 【分析】（1）不放红球即可． （2）都放红球即可． （3）根据可能性的程度确定红球比例即可． 【详解】（1）解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球； （2）解：盒中只有100个红球，摸出1个红球； （3）解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球； 盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球； 盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关键． 题型01 事件的分类 【典例1】（21-22九年级上·陕西渭南·期末）“一次抛三枚均匀的骰子，朝上一面的点数都为6”这一事件是（     ） A．必然事件 B．确定事件 C．随机事件 D．不可能事件 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：“一次抛六枚均匀的骰子，朝上一面的点数都为6”这一事件是随机事件， 故选C． 【点评】本题考查随机事件，解决本题关键是正确理解必然事件、随机事件、不可能事件的概念． 【变式1】（22-23七年级下·广东梅州·期末）下列成语，是必然事件的是（　 　） A．画饼充饥 B．不期而遇 C．水中捞月 D．旭日东升 【答案】D 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可区别各类事件． 【详解】解：A、画饼充饥是不可能事件，不符合题意； B、不期而遇是随机事件，不符合题意； C、水中捞月是不可能事件，不符合题意； D、旭日东升是必然事件，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【变式2】（23-24九年级下·陕西西安·开学考试）下列事件中，属于随机事件的是（     ） A．小明跑步的速度是30米/秒 B．冬冬一分钟跳绳66下 C．等腰三角形中有两边相等 D．任意抛掷一枚骰子，点数大于6 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件． 根据事件的分类逐项分析即可． 【详解】解：A．小明跑步的速度是30米/秒，是不可能事件，不符合题意； B．冬冬一分钟跳绳66下是随机事件，符合题意； C．等腰三角形中有两边相等，是必然事件，不符合题意； D．任意抛掷一枚骰子，点数大于6，是不可能事件，不符合题意． 故选：B． 【变式3】（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）下列成语所描述的事件中是不可能事件的是__________，（填序号） ①守株待兔    ②瓮中捉鳖    ③百步穿杨    ④水中捞月 【答案】④ 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：①守株待兔，是随机事件； ②瓮中捉鳖，是必然事件； ③百步穿杨，是随机事件； ④水中捞月，是不可能事件； 故答案为：④． 题型02 判断事件发生的可能性大小 【典例1】（23-24八年级上·全国·单元测试）一幅张的扑克牌（无大、小王），从中任意取出一张，共有种可能的结果． (1)说出抽到A的所有可能的结果； (2)求抽到梅花A的可能性的大小； (3)求抽到A的可能性大小； (4)求抽到梅花的可能性大小． 【答案】(1)红桃A、方块A、梅花A、黑桃A；(2)；(3)；(4) 【分析】本题考查了简单事件发生的可能性的求解，即用“可能性所求情况数总情况数”去解答． （1）根据扑克牌的特点求解即可； （2）用梅花A的数量除以总数量即可求解； （3）用A的数量除以总数量即可求解； （4）用梅花的数量除以总数量即可求解． 【详解】（1）抽到A的所有可能的结果有：红桃A、方块A、梅花A、黑桃A； （2）∵有1张梅花A，共有52张牌， ∴抽到梅花A的可能性的大小为； （3）∵有4张A，共有52张牌， ∴抽到A的可能性的大小为； （4）∵有13张梅花，共有52张牌， ∴抽到梅花的可能性的大小为． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）个红球、个白球、个黑球放入一个不透明袋子里，从中摸出个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这个事件（     ） A．不太可能发生 B．不可能发生 C．很可能发生 D．必然发生 【答案】D 【分析】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间． 根据相应事件类型判断可能性即可． 【详解】解：共个球，摸个球，只剩一个球，故红球、白球、黑球都摸到为必然事件， 即这个事件必然发生． 故选：D． 【变式2】（2024·贵州黔东南·二模）盒子里有10张卡片（除卡片正面上的图片不一样，其他都一样），其中有6张卡片上印有黄果树瀑布，3张卡片上印有梵净山，1张卡片上印有西江千户苗寨．小星从中随机摸出一张卡片，准备去卡片上的地方游玩，则下列说法正确的是（     ） A．一定会去梵净山 B．去黄果树瀑布的可能性最大 C．不可能去西江千户苗寨 D．去三个地方的可能性一样 【答案】B 【分析】本题考查的是可能性的大小，根据概率公式求解即可得出答案．熟记概率公式是解题的关键． 【详解】解：．根据题意有的可能去梵净山，原说法错误，故该选项不符合题意； ．去黄果树瀑布的可能性是，去梵净山的可能性是，去西江千户苗寨的可能性是，所以去黄果树瀑布的可能性最大，说法正确，故该选项符合题意； ．有的可能性去西江千户苗寨，原说法错误，故该选项不符合题意； ．由B可知去三个地方的可能性不一样，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】（23-24八年级上·全国·单元测试）事件发生的可能性越______，它的概率越接近；反之，事件发生的可能性越______，它的概率越接近． 事件 不可能事件 随机事件 必然事件 概率 0 1 【答案】 大 小 【分析】本题考查随机事件发生的可能性大小，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率，不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1，随机事件的概率大于0且小于1，进而求解即可． 【详解】解：事件发生的可能性越大，它的概率越接近；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近． 故答案为：大，小． 题型03 改变条件使事件发生的可能性相同 【典例1】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）一只不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球， (1)会出现哪些可能的结果？ (2)事先能确定摸出的一定是红球吗？ (3)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？ (4)怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这些颜色的球的概率相等？ 【答案】(1)白、黄、红三种；(2)不能；(3)红球；(4)袋子中白球、黄球、红球的个数相同 【分析】（1）根据事情发生的可能性，注意判断即可； （2）根据红球的多少判断，只能确定出现的可能性较大； （3）根据红球的数量多，抽出的可能性就大； （4）根据概率相等就是出现的可能性一样大，可让数量相等即可． 【详解】（1）解：会出现：白、黄、红三种 （2）解：不能确定摸出的球一定是红球； （3）解由于红球数量最多，所以红球出现的概率最大； （4）解：袋子中白球、黄球、红球的个数相同时，三者的概率相等． 【点评】此题主要考查了事件发生的可能性，关键是根据事件发生的可能大小和概率判断即可，比较简单的中考常考题． 【变式1】（2020·江西南昌·一模）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（     ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据概率公式求出白球的取值范围即可得出结论． 【详解】解：若要使取到白球的概率较大，则白球的个数＞红球的个数 由各选项可知，只有D选项符合 故选D． 【点评】此题考查的是比较概率的大小，掌握概率公式是解决此题的关键． 【变式2】（21-22九年级上·江苏镇江·期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于_______． 【答案】2 【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解． 【详解】解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大， ∴n的最小值等于3+1-2=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了可能性的大小，本题可以通过比较白球和红球的个数求解． 【变式3】（22-23九年级上·广东·单元测试）盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 【答案】见解析 【分析】（1）不放红球即可． （2）都放红球即可． （3）根据可能性的程度确定红球比例即可． 【详解】（1）解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球； （2）解：盒中只有100个红球，摸出1个红球； （3）解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球； 盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球； 盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关键． 题型04 列举随机实验的所有可能结果. 【典例1】（23-24九年级下·江苏南京·期末）已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为_______． 【答案】13 【分析】本题考查了列举法，分百位数字、十位数字、个位数字为1，分别列举出所有可能即可． 【详解】解∶①当百位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，个位数字可能为0，1； 当十位数字为1时，个位数字可能为0，1，2； 当十位数字为2时，个位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123； ②当十位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1，百位数字不能为0， ∴百位数字可能为1，2，个位数字为0，1，2， ∴三位数可能为110，111，112，210，211，212； ③当个位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，百位数字可能为1； 当十位数字为1时，百位数字可能为1，2； 当十位数字为2时，百位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为101，111，211，121，221，321， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123，210，211，212，221，321，共13个， 故答案为：13． 【变式1】（2024九年级·全国·竞赛）在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 【答案】D 【分析】本题考查列举法（树状图法）．利用树状图法首先确定红球的个数，然后确定黑球的个数，最后确定对应的白球的个数即可． 【详解】解：画树状图如图所示： 则取法的种数是16． 故选：D． 【变式2】（2024·北京·一模）学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设备加工三件工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下： ①每台设备同一时间只能加工一件工艺品； ②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工； ③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：）如下表所示：    （1） 若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20，请写出一种满足条件的加工方案_____________（按顺序写出工艺品的编号）； （2） A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要_______． 【答案】 答案不唯一，如BCA 15 【分析】本题考查了有理数的加法，概率的分析应用是解题的关键． （1）罗列出6种情况，选择符合题意的即可； （2）罗列出6种情况，进行比较大小即可． 【详解】按照顺序加工，需要， 按照顺序加工，需要， 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要． （1）总时长不超过20，可以按照顺序加工； （2）通过比较发现，最短时间为15． 【变式3】（2024·北京大兴·二模）甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有_______种不同情况，其中甲是第4名有_______种可能情况． 【答案】 8 4 【分析】本题考查了列举法求所有可能结果数，根据题意分析分别讨论，即可求解． 【详解】解：依题意，甲和乙不是第1名，乙不是第4名，有以下8种情况， 第1名 第2名 第3名 第4名 ① 丙 乙 丁 甲 ② 丙 丁 乙 甲 ③ 丁 丙 乙 甲 ④ 丁 乙 丙 甲 ⑤ 丁 甲 乙 丙 ⑥ 丁 乙 甲 丙 ⑦ 丙 甲 乙 丁 ⑧ 丙 乙 甲 丁 其中①②③④四种情况是甲为第4名， 故答案为，． 题型05 概率及其意义 【典例1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（ ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】D 【分析】比较圆心角度数大小即可． 【详解】解：由图形知，数字4对应扇形圆心角度数最大，所以指针落在数字所示区域内可能性最大的是4号， 故选：D． 【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）某商场利用摸奖开展促销活动，中奖率为，则下列说法正确的是（     ） A．连续摸奖两次，都不会中奖 B．连续摸奖两次，不会都中奖 C．只摸奖一次，也有可能中奖 D．摸奖三次，至少中奖一次 【答案】C 【分析】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．直接利用概率的意义分析得出答案． 【详解】某商场利用摸奖开展促销活动，中奖率为， A、连续摸奖两次，可能会中奖，故此选项错误； B、连续摸奖两次，有可能都会中奖，故此选项错误； C、只摸奖一次，也有可能中奖，正确； D、摸奖三次，有可能都不中奖，故此选项错误． 故选C． 【变式2】（2024年福建省南平市初中毕业班综合练习数学试题（二））下列说法错误的是（    ） A．必然事件发生的概率为1 B．不确定事件发生的概率为0.5 C．不可能事件发生的概率为0 D．随机事件发生的概率介于0和1之间 【答案】B 【分析】本题考查了概率的意义．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1． 【详解】解：选项A、B、D的说法都是正确的，都不符合题意； C、不确定事件发生的概率为大于0且小于1，故原说法错误，符合题意． 故选：C． 【变式3】（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【答案】(1)⑤；②；(2) 【分析】（1）分别求出各个事件的概率，即可比较出对应事件可能性大小关系； （2）根据所求的概率，即可得出答案． 【详解】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为； ②指针指向绿色的概率为； ③指针指向黄色的概率为； ④指针不指向黄色的概率为， ⑤指针不指向绿色的概率为， ∴可能性最大的是⑤，可能性最小的事件是②； （2）解：由（1）得：． 【点评】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 题型06 频率与概率 【典例1】（22-23九年级下·山东日照·开学考试）抛掷一枚质地均匀的图钉，图钉落地后，可能针尖朝上，也可能针尖朝下数学小组的同学进行抛掷图钉实验，得到如表实验数据，下列说法错误的（     ） 实验次数 针尖朝上次数 针尖朝上频率 A．投掷次针尖朝上的次数是 B．投掷次的针尖朝上的频率是 C．任意投掷一枚图钉，针尖朝上的概率是 D．投掷次图钉，针尖朝上的次数大约有次 【答案】C 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．分别由频率频数试验次数，频率估计概率判断即可． 【详解】解：A、投掷次针尖朝上的次数是，原说法正确，不符合题意； B、投掷次的针尖朝上的频率是，原说法正确，不符合题意； C、任意投掷一枚图钉，针尖朝上的概率是，原说法错误，符合题意； D、投掷次图钉，针尖朝上的次数大约有次，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（22-23八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 【变式2】（2023·山西吕梁·一模）生物兴趣小组对某大豆杂交品种进行育苗试验，培育结果统计如下： 总粒数 黄色子叶粒数 青色子叶粒数 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的理论比率 246 187 59 3658 2738 920 7679 5781 1898 31213 23436 7777 根据上述培育结果，下列说法正确的是（    ） A．只要增加试验的粒数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率就更加接近于 B．随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于 C．培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为 D．培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为 【答案】B 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值即可判断C、D；根据随着试验次数的增加，频率都会稳定在一个值附近即可判断A、B． 【详解】解：A、增加试验的次数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率不一定就更加接近于，原说法错误，不符合题意； B、随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于，原说法正确，符合题意； C、培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为，原说法错误，不符合题意； D、培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为，原说法错误，不符合题意； 故选B． 【点评】本题主要考查了用频率估计概率，频率的意义，正确理解题意是解题的关键． 【变式3】（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（     ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【答案】D 【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 【点评】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 题型07 简单概率的计算 【典例1】（2024年湖南省娄底市初中学业水平考试模拟考试数学试题）从的整数中随机抽取一个数，抽到的数是素数的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查求概率，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：的整数中随机抽取一个数，共有种等可能的结果，其中抽到的数为素数的有2，3，5，7，11，13，17，19，共8种结果， ∴； 故答案为：． 【变式1】（2024年安徽省合肥市多校联考中考最后一卷（三模）数学试题）全班共有名学生，其中有名女生，位男生，班级需选出一名女生参加升旗仪式，在女生中选到王芳的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．直接根据概率公式解答即可，注意“选出一名女生参加升旗仪式”这个事件中事件总数是女生总数． 【详解】解：由有名女生，王芳是其中一人， 则班级需选出一名女生参加升旗仪式，在女生中选到王芳的概率为：， 故选：D． 【变式2】（2024·贵州·模拟预测）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和白球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为 ，若白球有10个，则红球有______个. 【答案】4 【分析】本题考查了概率的计算，分式方程解实际问题，根据题意，设红球有个，列式得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，设红球为个， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母不为，有意义， ∴是原方程的解，即红球有个， 故答案为：4 ． 【变式3】（23-24七年级下·江西鹰潭·期末）现有两个盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个，乙盒装有红球20个，白球20个和黑球10个． (1)如果随机取出1个黑球，从盒中抽取成功的机会大； (2)小明同学说：“从乙盒中取出10个红球后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 【答案】(1)甲；(2)小明的说法不正确，理由见解析 【分析】本题考查概率公式，解题关键在于掌握概率公式． （1）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲、乙两盒中随机取出1个黑球的概率，再对概率进比较即可解题； （2）利用简单随机事件的概率公式分别求出从甲盒、以及数量变化后的乙盒中随机取出1个红球的概率，再对概率进比较即可解题； 【详解】（1）解：从甲盒中随机取出1个黑球的概率为：， 从乙盒中随机取出1个黑球的概率为：， ， 从甲盒中抽取成功的机会大；故答案为：甲． （2）解：从甲盒中随机取出1个红球的概率为：， 从乙盒中随机取出1个红球的概率为：， ， 此时想取出1个红球，选甲盒中抽取成功的机会大， 小明的说法不正确． 题型08 几何概率 【典例1】（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，在正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大． 【详解】解：如图，图中四个半圆都通过正方形的中心，用正方形的面积减去四空白的面积，剩下的就是阴影部分的面积，而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积， ∴所求阴影部分的面积为． ∵正方形的面积为， 故正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是， 故选：B． 【变式1】（2024·黑龙江·模拟预测）如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用．注意面积之比=几何概率．击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比． 【详解】解：随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是=， 故选B 【变式2】（23-24九年级上·河南郑州·期中）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是_______． 【答案】 【分析】本题考查的是几何概率．先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论． 【详解】解：∵由图可知，黑色方砖3块，共有9块方砖， ∴黑色方砖在整个地板中所占的比值， ∴小球最终停留在黑色区域的概率是， 故答案为：． 【变式3】（22-23九年级下·辽宁本溪·开学考试）如图，小球在菱形上自由地滚动，点，分别在，上，且，，点，在上，且，则小球最终停在阴影区域上的概率是_________． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率和概率公式及菱形的性质．由题意可证，根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：，， ，， 、分别是的三等分点， ，， ， ， 同理可得，， 小球最终停在阴影区域上的概率是． 故答案为：． 题型09 列举法求概率 【典例1】（23-24八年级上·全国·单元测试）随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次反面朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了列举法求概率，解题的关键是找到所有的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 用列举法确定所有等可能的情况，根据落地后至多有一次正面朝下的次数，利用概率公式计算解答． 【详解】随机掷一枚质地均匀的硬币两次，共“正、反”，“反、正”，“正、正”，“反、反”，4种情况，落地后至多有一次正面朝下包括“正、反”，“反、正”，“正、正”，3种情况， 故至多有一次反面朝上的概率为． 故选：A． 【变式1】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了概率计算以及三角形三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；组成三角形的两条小边之和大于最大的边． 由4条线段中任意取3条，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有4种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有3个结果．因而就可以求出概率． 【详解】解：由4条线段中任意取3条，共有4种可能结果， 分别为：2，3，4；2，3，5；3，4，5；2，4，5； 每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有2，3，4；3，4，5；2，4，5；共3个结果， 所以P（能组成三角形）． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·上海·单元测试）在一个盒子中有张形状、大小相同质地均匀的卡片，上面分别标着，，，这四个数字，从盒子里随机抽出两张卡片，则所得卡片上的两数之和是的概率是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，概率公式等知识点，熟练掌握列举法求概率是解题的关键． 列举出所有可能出现的情况，再用所求情况数除以总的情况数即可得解． 【详解】解：从张卡片中随机抽出两张卡片共有种可能的结果，即： ，，，，，， 所得卡片上的两数之和是的情况共有种，即：，， 所得卡片上的两数之和是的概率是， 故答案为：． 【变式3】（2024·辽宁·一模）如图，随机闭合开关中的两个，能够让灯泡发亮的概率是_______． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率．根据随机闭合开关中的两个，有种方法，其中有两种能够让灯泡发光，即可求解． 【详解】解：随机闭合开关中的两个，可以闭合、；、；、三种情况，其中闭合、或、时，灯泡可以发光， ∴． 故答案为：． 题型10 列表法或树状图法求概率 【典例1】（2024·河北邢台·模拟预测）嘉琪同学去文具店购买笔记本，购买情况如下表所示： 单价/元 6 8 10 数量/个 1 1 2 (1)求出所购买笔记本的平均价格； (2)若嘉琪已拿出一个6元笔记本． ①所剩的3个笔记本价格的中位数与原来4个笔记本价格的中位数是否相同？并说明理由； ②在剩余的3个笔记本中，若嘉琪同学先随机拿出一个笔记本后不放回，之后又随机拿一个笔记本，用列表法（如下表）求嘉琪两次都拿到不同价格的笔记本的概率． 先拿 后拿 【答案】(1)8.5；(2)①不相同，理由见解析；②． 【分析】本题考查了众数、中位数以及列表法求概率；熟练掌握众数、中位数的定义，列表得出所有结果是解题的关键． （1）由平均数的定义即可得出答案； （2）①由中位数的定义即可得出答案； ②用列表法得出所有结果，由概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：嘉琪同学购买笔记本的平均价格为：； （2）解：①价格的中位数不相同， 理由如下： 原来的4个笔记本价格从高到低排列为：6元，8元，10元，10元， 故中位数为（元）， 拿出一个6元笔记本后，剩下的3个笔记本价格为：8元，10元，10元，故中位数为10元， 所以价格的中位数不相同； ②列表如下： 　　　后拿　　　先拿 8元 10元 10元 8元 （8元，10元） （8元，10元） 10元 （10元，8元） （10元，10元） 10元 （10元，8元） （10元，10元） 两次拿到不同价格的笔记本的概率为． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种， 所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是， 故选：D． 【变式2】（2024年山西省大同市多学校中考数学预测信息题）以文促旅，以旅彰文．“非遗+旅游”已成为文旅融合发展的重要一环，让非遗产品通过旅游市场走进寻常百姓家，小文制作了“非遗”专题卡片，下图是其中的四张，这些卡片除图案外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则抽到的两张卡片恰好是徐沟背铁棍和翼城花鼓的概率是________． 【答案】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得. 【详解】徐沟被铁棍、襄汾狮舞、翼城龙鼓、稷山走兽高跷分别用、、、表示, 根据题意画图如下： 由图可知，共有种等可能结果，其中恰好是徐沟背铁棍和翼城花鼓的有种，则抽到的两张卡片恰好是徐沟背铁棍和翼城花鼓的概率是 故答案为：. 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容．为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团． (1)小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是______； (2)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． （1）直接利用概率公式计算； （2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲和乙两名同学的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：根据题意：小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是； （2）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果数为2种， 所以恰好选中甲和乙两名同学的概率． 题型11 游戏的公平性 【典例1】（2024·山东青岛·模拟预测）在学校开展的数学活动课上，小明、小红和小刚制作了一个正三棱锥(质量均匀，4个面完全相同)，并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：小明和小刚投掷三棱锥各1次，并记录底面的数字，如果两次投掷所得底面数字相等，那么重新投掷；如果两次投掷所得底面数字的和小于5，那么小明赢；如果两次投掷所得底面数字的和等于5，那么小红赢；如果两次投掷所得底面数字的和大于5，那么小刚赢． (1)投掷1次，底面数字出现3是事件(填“不可能”“必然”或“随机”)；投掷两次，底面数字和为5的概率为． (2)请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中所有可能出现的结果，分别求出小明、小红和小刚赢的概率，并判断此游戏对三人是否公平． 【答案】(1)随机，；(2)此游戏对三人是公平的 【分析】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法． （1）根据题意在表格内列举出所有情形，找出所有等可能的情况数，得出投掷两次，底面数字和为5的情况即可求解； （2）根据题意列出表格，分别求出三人获胜得概率，比较即可得到游戏公平与否． 【详解】（1）解：投掷1次，底面数字出现3是随机事件； 列表如下： 1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 5 6 3 4 5 7 4 5 6 7 从上表可知，共有12种等可能的情况，投掷两次，底面数字和为5的情况有4种， 故投掷两次，底面数字和为5的概率为， 故答案为：随机，； （2）由（1）可知，两次投掷所得底面数字的和小于5的情况有4种，则小明赢的概率为， 两次投掷所得底面数字的和等于5的情况有4种，则小红赢的概率为， 两次投掷所得底面数字的和大于5的情况有4种，则小刚赢的概率为， 故此游戏对三人是公平的． 【变式1】（23-24七年级上·河南南阳·开学考试）袋中有形状、大小都相同的8个球，上面依次写着2、3、4、5、6、7、8、9八个数字，小刚和小明两人玩摸球游戏，下面规则中对双方都公平的是（   ） A．任意摸一球，摸到质数小刚胜，摸到合数小明胜 B．任意摸一球，摸到2的倍数小刚胜，摸到3的倍数小明胜 C．任意摸一球，小于5小刚胜，大于5小明胜 D．任意摸一球，小于6小刚胜，大于6小明胜， 【答案】A 【分析】本题考查游戏公平性的判断，判断游戏规则是否公平，就要计算每个参与者取胜的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平． 看游戏规则是否公平，主要看双方是否具有均等的机会，如果机会是均等的，那就公平，否则，则不公平；据此逐项分析后再选择． 【详解】解：A、质数有：2、3、5、7共4个，合数有：4、6、8、9共4个，双方的机会是均等的，所以说这个游戏规则对双方都公平； B、2的倍数有：2、4、6、8共4个，3的倍数有：3、6、9共3个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小明不公平； C、小于5的数有：2、3、4共3个，大于5的数有：6、7、8、9共4个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小刚不公平； D、小于6的数有：2、3、4、5共4个，大于6的数有：7、8、9共3个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小明不公平． 故选：A． 【变式2】（2023·山东青岛·一模）张相同的卡片分别写有数字，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为的个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． (1)求这两个数的差为的概率；（用列表法或树状图说明） (2)如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；当抽到的这两个数的差为非正数时，则乙获胜；你认为这样的规则公平吗？如果不公平，请设计一个你认为公平的规则，并说明理由． 【答案】(1)；(2)这样的规则不公平；可将规则改为：两个数的差为正数时，甲获胜，否则乙获胜，理由见解析． 【分析】（）列出表格，根据表格即可求解； （）根据表格分别求出甲、乙获胜的概率，即可判断游戏规则的公平性，再根据概率的意义提出合理的游戏规则即可； 本题考查了用树状图或列表法求概率，游戏的公平性，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：列表如下： 由表可知，共有种等结果，其中两个数的差为的结果有种， ∴两个数的差为的概率为； （2）解：由表可知，，， ∵，即， ∴这样的规则不公平； 可将规则改为：两个数的差为正数时，甲获胜，否则乙获胜，理由如下： ∵，， ∴， ∴这样的规则公平． 【变式3】（23-24九年级上·山东德州·期末）小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为的概率． (2)如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由． 【答案】(1)；(2)这个游戏规则对双方不公平，理由见解析． 【分析】（）列出表格，根据表格即可求解； （）分别求出和为奇数和偶数的概率即可判断求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，游戏的公平性，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：列表如下： 由表可知，共有种等结果，其中和为的结果有种， ∴这两数和为的概率为； （2）解：这个游戏规则对双方不公平，理由如下： 由表可得，，， ∵， ∴这个游戏规则对双方不公平． 一、单选题 1．（21-22七年级下·山西太原·期末）下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【答案】A 【详解】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确； B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误； C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误； D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误； 故选A． 【点评】本题考查等可能事件的判断，掌握等可能事件的定义是解题的关键． 2．（19-20七年级下·辽宁辽阳·期末）下列事件：①通常情况下，水往低处流；②随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是10；③车行到十字路口，正好遇上红灯；④早上的太阳从西方升起．下列作出的结论，错误的是（    ） A．①是必然事件 B．②是随机事件 C．③是随机事件 D．④不可能事件 【答案】B 【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件的概念逐项判断即得答案． 【详解】解：A、①通常情况下，水往低处流，是必然事件，故本选项结论正确，不符合题意； B、②随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是10，是不可能事件，故本选项结论错误，符合题意； C、③车行到十字路口，正好遇上红灯，是随机事件，故本选项结论正确，不符合题意； D、④早上的太阳从西方升起，是不可能事件，故本选项结论正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了确定事件和随机事件，属于应知应会题型，熟知确定事件和随机事件的概念是解题的关键． 3．（22-23八年级上·北京·单元测试）“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的可能性大小为P，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率的初步认识，确定此事件为必然事件是解题的关键．根据不可能事件的概率为，随机事件的概率大于而小于，必然事件的概率为1，即可判断． 【详解】解：∵一年有12个月，14个人中有12个人在不同的月份过生日，剩下的两人不论哪个月生日，都和前12人中的一个人同一个月过生日 ∴“14人中至少有2人在同一个月过生日”是必然事件， 即这一事件发生的概率为． 故选：C． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）下列说法中正确的是（  ） A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近 B．天气预报说每天下雪的概率是，所以明天将有一半的时间在下雪 C．彩票中奖的机会是，买张一定会中奖 D．“从一个只有红球的袋子里摸出白球”是随机事件 【答案】A 【分析】本题考查随机事件、概率的意义，掌握随机事件和概率的意义是正确判断的前提． 根据随机事件和概率的意义依次判断即可． 【详解】解：A. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近，说法正确； B. 天气预报说每天下雪的概率是，所以明天将有一半可能下雪，原说法错误； C. 彩票中奖的机会是，买张不一定会中奖，原说法错误； D. “从一个只有红球的袋子里摸出白球”是不可能事件，原说法错误； 故选：A． 5．（2024·贵州贵阳·模拟预测）九年级（2）班有名男生和名女生，现从中随机抽取一名同学去领取劳动工具，下列说法正确的是（     ） A．抽到男生的可能性较大 B．抽到男、女生的可能性一样大 C．抽到女生的可能性较大 D．抽到男、女生的可能性大小不能确定 【答案】C 【分析】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据题意，只要求出男生和女生当选的可能性，再进行比较即可解答． 【详解】∵九年级（2）班有名男生和名女生， ∴现从中随机抽取一名同学去领取劳动工具，抽到男生的可能性为， 抽到女生的可能性为， ∴抽到女生的可能性大于抽到男生的可能性． 故选：C． 6．（23-24九年级上·河南焦作·开学考试）如图，过矩形对角线的交点，且分别交、于、，矩形内的一个动点落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，矩形的性质．根据矩形的性质，得，再由△AOB与同底等高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论． 【详解】解：四边形为矩形， ， 在与中， ， ， 阴影部分的面积， 与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的， ． 矩形内的一个动点落在阴影部分的概率是， 故选：B． 7．（20-21九年级上·云南红河·期末）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个橡胶园，现在有一种橡胶树树苗，它的成活率如下表所示，则下面推断中，其中合理的是（    ）． 移植棵数 成活数 成活率 移植棵数 成活数 成活率 50 47 1500 1335 270 235 3500 3203 400 369 0.923 7000 6335 750 662 14000 12628 下面有四个推断： ①小张移植3500棵这种树苗，成活率肯定高于； ②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是； ③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵； ④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活率18000棵． A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可． 【详解】解：①当移植的树数是3500时，表格记录成活数率是0.915，且树苗成活的频率总在0.900附近摆动，这种树苗成活的概率不一定高于0.890，故错误； ②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确； ③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵，故正确； ④若小张移植20000棵这种树苗，则不一定成活18000棵，故错误． 故选C． 【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 8．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，搅均后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是（    ） A．摸到黄球 B．摸到红球 C．摸到白球 D．摸到黑球 【答案】A 【分析】分别求出摸到各种颜色的求的概率，再比较大小即可. 【详解】袋子中一共有个球，有1个白球，3个红球，4个黄球，没有黑球. ∴摸到白球的概率= 摸到黄球的概率= 摸到红球的概率= 摸到黑球的概率=0 ∴摸到黄球的概率最高. 故选：A 【点评】本题主要考查了概率的计算，事件A发生的概率=.掌握概率的计算方法是解题的关键. 9．（22-23七年级下·西藏·开学考试）某超市开展“迎藏历新年”大酬宾活动，凡购物满200元者，可参与一次转盘抽奖（如图1）．德吉购买了220元的物品，她最有可能抽中（    ） A．一等奖 B．二等奖 C．三等奖 D．谢谢惠顾 【答案】C 【分析】本题主要考查可能性的大小，理解面积大的转到的可能性就大是解题的关键．根据图示发现三等奖所占面积最大即可得到答案． 【详解】解：根据图示发现三等奖所占面积最大， 故她最有可能抽中三等奖． 故选C． 10．（2023·辽宁沈阳·二模）下面的四个命题中，真命题是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．抽签中奖的概率为，则每抽10次签，一定会有1次中奖 C．一组数据的方差越大，数据越稳定 D．400人中至少有两人的生日在同一天是必然事件 【答案】D 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及同位角性质、概率的意义、方差意义及必然事件等知识，根据相关知识点逐项判断即可得到答案，熟记同位角性质、概率的意义、方差意义及必然事件定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、两条直线被第三条直线所截，只有其中两条直线平行时才有同位角相等，原说法错误，不是真命题，不符合题意； B、抽签中奖的概率为，每抽10次签，也一定会有1次中奖，原说法错误，不是真命题，不符合题意； C、一组数据的方差越大，数据波动越大、越不稳定，原说法错误，不是真命题，不符合题意； D、一年365天，假设400人中365人分别出生在一年的每一天中，则还剩5人，无论这5人在哪一天出生，都至少有两人的生日在同一天，原说法是必然事件，是真命题，符合题意； 故选：D． 二、填空题 11．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从长桥畔爬行到古樟旁，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有______种不同的爬行路径． 【答案】64 【分析】根据题意，将路线分为5个步骤，分析每一步有几种走法，即可进行解答． 【详解】解：由图可知：第一步有2种走法，第二步有2种走法，第三步有4种走法，第四步有2种走法，第五步有2种走法； 共有：（种）， 故答案为：64． 【点评】本题主要考查了学生的数据分析能力，解题的关键是正确理解题意，用列举法分析出每一步有几种走法． 12．（2023·湖北孝感·三模）把10个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一共有______种不同的分法． 【答案】4 【分析】首先把10拆成3个数，因为每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一一列举即可． 【详解】解：首先把10拆成3个数，，，，， 共有4种分法， 故答案为：4． 【点评】本题考查数的组成，把10拆成3个数以及正确理解题意是关键． 13．（23-24七年级下·江苏南京·开学考试）要从甲、乙、丙、丁4人中抽签选出两人参加素质检测，恰好抽到甲、乙两人的可能性是______． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，列举出所有组合，再由概率公式求解即可． 【详解】解：4人中选2人，基本事件有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种，抽中甲乙只是其中的一种，所以抽中甲乙的概率： 故答案为：． 14．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）某校倡议全校学生周末回家任选一项家务劳动参加：①为父母做一次饭；②洗一次衣服；③倒一次生活垃圾．小宇和大明选择同一项家务劳动的概率是______． 【答案】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率． 【详解】解：列表如下： ①为父母做一次饭 ②洗一次衣服 ③倒一次生活垃圾 ①为父母做一次饭 ①① ①② ①③ ②洗一次衣服 ②① ②② ②③ ③倒一次生活垃圾 ③① ③② ③③ 由表知，共有9种等可能结果，其中小宇和大明选择同一项家务劳动的有3种结果， （选择一样）．故答案为：． 15．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）一个不透明的袋子中装有个小球，它们除分别标有的数字，，不同外，其他完全相同．任意从袋子中摸出一个球后放回并摇匀袋子中摸出一个球后放回并摇匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球所标数字之和为负数的概率是______． 【答案】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．熟练画出树状图或列表是解题的关键．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球所标数字之和为负数的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画树状图得： 共有种等可能的结果，其中两次摸出的球所标数字之和为负数的有种， 则两次摸出的球所标数字之和为负数的概率，故答案为：． 16．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）某路口的人行造交通信号灯每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到红灯的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了概率，根据题意和概率公式即可得，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：∵每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮5秒， ∴当小明到达该路口时，遇到红灯的概率：，故答案为：． 17．（23-24七年级下·山东东营·期末）暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为______． 【答案】 【分析】本题考查了频率的计算，用“水”字出现的次数除以总的字的个数即可求解，掌握频率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”，共有个字，其中“水”字出现的次数为次， ∴“水”字出现的频率为，故答案为：． 18．（2024·贵州贵阳·一模）一个不透明盒子中装有除颜色外均相同的10个白球和a个红球，从盒子中随机摸出1个球，记下颜色后放回去摇匀，再从中摸出一球，重复摸多次，统计出摸到红球的频率接近，则a的值约为______． 【答案】5 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】由题意可得，，解得，， 经检验是原方程的根． 故答案为：5． 19．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某水果销售网络平台以元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如表是平台销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为______元时（精确到元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润） 沃柑总质量 … 100 200 300 400 500 损坏沃柑质量 … 沃柑损坏的频率（精确到0.001） … 【答案】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、一元一次方程的应用等知识，正确确定沃柑的完好率是解题关键． 从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，易得沃柑的完好率应为．设每千克沃柑的实际售价定为元，根据题意列方程求解即可获得答案． 【详解】解：从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以沃柑的完好率应为， 设每千克沃柑的实际售价定为元， 则有，解得， 所以，可大约估计每千克沃柑的实际售价定为元时，可获得13000元利润．故答案为：． 20．（23-24九年级上·全国·单元测试）指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：   （1）掷一枚硬币，出现正面朝上； （2）买一张彩票中一百万； （3）； （4）任意买一张电影票，座位号是双号； （5）向空中抛一枚硬币，硬币从空中不往下掉． 必然事件是______；不可能事件是______；随机事件是______．（填序号） 【答案】 （3） （5） （1）（2）（4） 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，根据概念逐一判断，即可解题． 【详解】解：（1）掷一枚硬币，不一定出现正面朝上；故（1）是随机事件； （2）买一张彩票有可能中一百万；故（2）是随机事件； （3）；故（3）是必然事件； （4）任意买一张电影票，座位号不一定是双号；故（4）是随机事件； （5）向空中抛一枚硬币，硬币一定会从空中往下掉．故（5）是不可能事件； 综上所述：必然事件有（3），不可能事件有（5），随机事件有（1）（2）（4）， 故答案为：（3）；（5）；（1）（2）（4）． 三、解答题 21．（20-21九年级上·全国·课后作业）下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）太阳从西边落山； （2）a2+b2＝﹣1（其中a、b都是实数）； （3）水往低处流； （4）三个人性别各不相同； （5）一元二次方程x2+2x+3＝0无实数解； （6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯． 【答案】（1）、（3）、（5）是必然事件；（2）、（4）是不可能事件，（6）是随机事件． 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详解】（1）太阳从西边落山；属于必然事件 （2）a2+b2＝﹣1（其中a、b都是实数）；是不可能事件 （3）水往低处流；属于必然事件 （4）三个人性别各不相同；是不可能事件 （5）一元二次方程x2+2x+3＝0无实数解；属于必然事件 （6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；是随机事件 故答案是：（1）、（3）、（5）是必然事件；（2）、（4）是不可能事件，（6）是随机事件． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 22．（2024·广东清远·模拟预测）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【答案】（1）0.305，0.3；（2）估计整个封闭图形的面积是平方米 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据圆的面积公式得到圆的面积（平方米），利用圆的面积频率值圆的面积即可得到结论． 【详解】解：（1）， 随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3附近， 故答案为：0.305，0.3； （2）∵圆的面积（平方米）， ∴整个封闭图形的面积（平方米）， 答：估计整个封闭图形的面积是平方米． 23．（2022·山东青岛·模拟预测）在一次数学活动中，小明设计了一个配紫色的游戏．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除颜色以外其它均相同的4个小球，其中2个红球，2个蓝球．甲先从袋中随机摸出一个小球，乙再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球的颜色恰好能配成紫色（红色和蓝色可以配成紫色），则甲获胜；否则乙获胜． (1)用树状图或列表法求出甲获胜的概率； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)；(2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意先画出树状图，得出一共有12种情况，两个小球的颜色恰好能配成紫色的有8种情况，即可求出甲获胜的概率； （2）求出乙获胜的概率，再与甲比较即可． 【详解】（1）解：由题意，列表格得： 甲 乙 红1 红2 蓝1 蓝2 红1 （红1，红2） （红1，蓝1） （红1，蓝2） 红2 （红2，红1） （红2，蓝1） （红2，蓝2） 蓝1 （蓝1，红1） （蓝1，红2） （蓝1，蓝2） 蓝2 （蓝2，红1） （蓝2，红2） （蓝2，蓝1） ∵共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中甲获胜的有8种， ∴甲获胜的概率是：； （2）不公平，理由如下： 由（1）知， ∵，∴这个游戏不公平． 24．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． (1)用列表法或者画树状图法表示所有取牌的可能性； (2)现在甲、乙两人做游戏，目前有三种游戏方案． A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜； B方案：若两次抽得数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜； C方案：再拿一张红桃3，改变题目中的规则，现在一次性抽取两张牌，若这两张牌的数字分别是3和4，则甲胜，否则乙胜． 请问甲选择哪种方案获胜概率更高？乙选择哪种方案获胜概率更高？ 【答案】(1)见解析；(2)甲选择A方案获胜概率更高；乙选择C方案获胜概率更高 【分析】本题考查用列表法或者画树状图法求概率，游戏公平性； （1）列表找出所有的可能性及符合条件的数量，再求概率即可； （2）分别求出三种方案甲乙的获胜概率，再判断即可． 【详解】（1）列表如下： 红桃3 红桃4 黑桃5 红桃3 红桃3，红桃3 红桃4，红桃3 黑桃5，红桃3 红桃4 红桃3，红桃4 红桃4，红桃4 黑桃5，红桃4 黑桃5 红桃3，黑桃5 红桃4，黑桃5 黑桃5，黑桃5 （2）由（1）可得： 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， C方案画树状图如下（C方案不再看花色，因此列表时不再列举花色）： 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， 故甲选择A方案获胜概率更高；乙选择C方案获胜概率更高． 25．（2024·陕西咸阳·模拟预测）西安大唐不夜城以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，建有四大文化场馆，分别是A．西安音乐厅，B．陕西大剧院，C．西安美术馆，D．曲江太平洋电影城．春节期间，因时间有限，甲、乙两名同学准备分别从这4个场馆中随机选择一个进行参观，每个场馆被选择的可能性相同． (1)甲同学选择参观西安音乐厅的概率是__________； (2)请你用列表法或画树状图法，求甲、乙两名同学选择不同场馆参观的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用简单地概率公式计算即可； （2）利用列表法解答即可． 本题考查了简单地概率计算，列表法计算概率，熟练掌握列表法计算概率是解题的关键． 【详解】（1）解：一共有4种等可能性，西安音乐厅只有一种等可能性， 甲同学选择参观西安音乐厅的概率是． 故答案为：． （2）列表如下：                      由表可知共有16种等可能结果，其中甲、乙两名同学选择不同场馆参观的结果有12种， ∴甲，乙两名同学选择不同场馆参观的概率为． 26．（23-24九年级上·江苏常州·期末）常州地铁一号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2014年10月28日开工建设，于2019年9月21日开通运营，小张和小林准备利用课余时间，以问卷调查的方式对常州居民的出行方式进行调查．如图是常州地铁一号线的路线图（部分），小张和小林商量好准备从旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C）这三站中，各选不同的一站作为问卷调查的站点． (1)在这三站中，小张选取问卷调查的站点是森林公园站的概率是； (2)请你用画树状图或列表法分析，求小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率．（各站点可用相应的英文字母表示：旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C） 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，用画树状图或列表法求概率． （1）根据题意可知共有3个站，选取每个站都是等可能的，小张选取问卷调查的站点是森林公园站只有1种情况，然后根据概率公式计算概率即可． （2）列出表格，得出总的情况数，再得出小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：∵共有3个站，选取每个站都是等可能的，小张选取问卷调查的站点是森林公园站只有1种情况 ∴在这三站中，小张随机选取的站是森林公园站的概率是； （2）列表如下： A B C A (A，A) (B，A) (C，A) B (A，B) (B，B) (C，B) C (A，C) (B，C) (C，C) ∴共有9种等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的结果有4种， ∴小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率为． 27．（2024九年级下·江苏徐州·学业考试）徐州自古被称为“五省通衢”，是全国重要的交通枢纽之一．在徐州某高速公路收费站，当车辆驶出该收费站时，可随机选择“A”、“B”、“C”、“D”4个收费通道中的其中一人诵讨 (1)一辆车驶出此收费站时，选择“A”收费通道通过的概率是_______； (2)求两辆车驶出此收费站时，选择不同收费通道通过的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得出答案； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：一辆车驶出此收费站时，选择“A”收费通道通过的概率是； （2）解：设两辆车为甲、乙， 画出树状图为： ， 由图可得，共有16种等可能出现的结果，其中两辆车驶出此收费站时，选择不同收费通道通过的情况有种， ∴两辆车驶出此收费站时，选择不同收费通道通过的概率为． 28．（2024·宁夏银川·三模）某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩x A B C D E (1)本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，补全学生成绩频数分布直方图； (2)若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？ (3)本次成绩前四名有2名女生和2名男生，若从这四人中随机抽取2名同学代表学校参加比赛，请用画树状图或列表法求出全是女学生的概率． 【答案】(1)200，图见解析；(2)940人；(3) 【分析】（1）先根据等级B的的人数和所占百分比求出本次调查的人数，进而求出A和C的人数，然后补全频数分布直方图即可； （2）根据用样本评估总体的性质计算，即可得到答案． （3）根据题意画出正确的树状图，据此根据树状图进一步分析求解即可． 【详解】（1）根据题意，得等级B的学生人数为：40人，等级B的学生人数占比为： ， ∴本次调查随机抽取的学生总数为：（人）， ∵等级A的学生人数占比为：， ∴等级B的学生人数为：（人)，即 ， ∴等级C的学生人数为：(人)， 频数分布直方图如下： 故答案为：； （2）成绩在80分及以上的学生人数占比为： ， ∴全校学生成绩优秀的学生人． （3）画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能得结果，其中全是女学生的结果有2种， 所以全是女学生的概率． 【点评】本题考查了调查统计的知识，列表法或树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握频率分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体的性质，从而完成求解． 29．（22-23七年级下·河北保定·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率                     (1)下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． (2)求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； (3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可． 【答案】(1)①③；(2)估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率约为；(3)将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同 【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）根据频率可得的值，再利用频率来估计概率即可； （3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【详解】（1）解：①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误； 故答案为：①③． （2）解：， 故． （3）解：将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 30．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 【答案】(1)；(2)；(3)③④ 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）由表中的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】（1）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； （2）解：根据题意得：（个）， 故答案为：； （3）解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”的概率为，故此选项不符合题意； 从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； 在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：③④． ( 50 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25章 随机事件的概率 课程标准 学习目标 ①能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率； ②知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率。 1.理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念； 2.会用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小； 3.理解通过大量重复试验时频率可以作为该事件发生概率的估计值； 4.用公式法/列举法/列表法/树状图法求简单事件的概率. 知识点01 确定事件与不确定事件 1.确定事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件. 2.不确定事件 也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件. 【点拨】 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 【即学即练1】 （22-23七年级下·河南平顶山·期末）下列说法不正确的是（　　 ） A．“过一点可以作两条直线与已知直线垂直”是不可能事件 B．“三角形的一条中线平分三角形的面积”是必然事件 C．“以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件 D．“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是必然事件 知识点02 频率与概率 1.频率与概率的定义 频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率. 无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性. 概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P（A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 【点拨】 ①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必 然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. ②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 【即学即练2】 （23-24七年级下·河南郑州·期末）下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据： 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率mn 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 下列说法正确的是（　） A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小 B．随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5 C．试验50000次正面朝上的频率一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5 D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500 知识点03 概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （5）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （6）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 【即学即练3】 （23-24八年级上·全国·单元测试）气象预报员报道：“本市明天降雨的概率是．”这句话的意思是（    ） A．明天的时间要下雨 B．明天一定会下雨 C．明天 的时间不下雨 D．明天下雨的可能性是，但也有可能不下雨 知识点04 概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝ （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 【即学即练4】 （2023·浙江温州·一模）把一枚质地均匀的骰子（各个面上的点数为1~6）抛掷一次，落地后，朝上面的点数是奇数的概率为（   ）． A． B． C． D． 知识点05 几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度。 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 【即学即练5】 （22-23七年级下·山东泰安·期中）如图是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是_______． 知识点06 列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 【即学即练6】 （2024·陕西咸阳·模拟预测）科学实验是获取经验事实和检验科学假说、理论真理性的重要途径．某校为进一步培养学生实践创新能力，提高学生科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，并演示了以下四个科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．校团委组织了实验原理讲述的活动． (1)若晓丽从中随机抽取一个实验讲述原理，她抽到“A．自动升高的水”的概率是______； (2)若小敏和小东两人各从四个实验中随机选取一个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他们恰好选到同一个实验的概率． 知识点07 模拟试验 （1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验． （2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果． （3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可． 【即学即练7】 （22-23九年级上·广东·单元测试）盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 题型01 事件的分类 【典例1】（21-22九年级上·陕西渭南·期末）“一次抛三枚均匀的骰子，朝上一面的点数都为6”这一事件是（     ） A．必然事件 B．确定事件 C．随机事件 D．不可能事件 【变式1】（22-23七年级下·广东梅州·期末）下列成语，是必然事件的是（　 　） A．画饼充饥 B．不期而遇 C．水中捞月 D．旭日东升 【变式2】（23-24九年级下·陕西西安·开学考试）下列事件中，属于随机事件的是（     ） A．小明跑步的速度是30米/秒 B．冬冬一分钟跳绳66下 C．等腰三角形中有两边相等 D．任意抛掷一枚骰子，点数大于6 【变式3】（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）下列成语所描述的事件中是不可能事件的是__________，（填序号） ①守株待兔    ②瓮中捉鳖    ③百步穿杨    ④水中捞月 题型02 判断事件发生的可能性大小 【典例1】（23-24八年级上·全国·单元测试）一幅张的扑克牌（无大、小王），从中任意取出一张，共有种可能的结果． (1)说出抽到A的所有可能的结果； (2)求抽到梅花A的可能性的大小； (3)求抽到A的可能性大小； (4)求抽到梅花的可能性大小． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）个红球、个白球、个黑球放入一个不透明袋子里，从中摸出个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这个事件（     ） A．不太可能发生 B．不可能发生 C．很可能发生 D．必然发生 【变式2】（2024·贵州黔东南·二模）盒子里有10张卡片（除卡片正面上的图片不一样，其他都一样），其中有6张卡片上印有黄果树瀑布，3张卡片上印有梵净山，1张卡片上印有西江千户苗寨．小星从中随机摸出一张卡片，准备去卡片上的地方游玩，则下列说法正确的是（     ） A．一定会去梵净山 B．去黄果树瀑布的可能性最大 C．不可能去西江千户苗寨 D．去三个地方的可能性一样 【变式3】（23-24八年级上·全国·单元测试）事件发生的可能性越______，它的概率越接近；反之，事件发生的可能性越______，它的概率越接近． 事件 不可能事件 随机事件 必然事件 概率 0 1 题型03 改变条件使事件发生的可能性相同 【典例1】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）一只不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球， (1)会出现哪些可能的结果？ (2)事先能确定摸出的一定是红球吗？ (3)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？ (4)怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这些颜色的球的概率相等？ 【变式1】（2020·江西南昌·一模）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（     ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（21-22九年级上·江苏镇江·期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于_______． 【变式3】（22-23九年级上·广东·单元测试）盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 题型04 列举随机实验的所有可能结果. 【典例1】（23-24九年级下·江苏南京·期末）已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为_______． 【变式1】（2024九年级·全国·竞赛）在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 【变式2】（2024·北京·一模）学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设备加工三件工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下： ①每台设备同一时间只能加工一件工艺品； ②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工； ③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：）如下表所示：    （1） 若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20，请写出一种满足条件的加工方案_____________（按顺序写出工艺品的编号）； （2） A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要_______． 【变式3】（2024·北京大兴·二模）甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有_______种不同情况，其中甲是第4名有_______种可能情况． 题型05 概率及其意义 【典例1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（ ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）某商场利用摸奖开展促销活动，中奖率为，则下列说法正确的是（     ） A．连续摸奖两次，都不会中奖 B．连续摸奖两次，不会都中奖 C．只摸奖一次，也有可能中奖 D．摸奖三次，至少中奖一次 【变式2】（2024年福建省南平市初中毕业班综合练习数学试题（二））下列说法错误的是（    ） A．必然事件发生的概率为1 B．不确定事件发生的概率为0.5 C．不可能事件发生的概率为0 D．随机事件发生的概率介于0和1之间 【变式3】（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 题型06 频率与概率 【典例1】（22-23九年级下·山东日照·开学考试）抛掷一枚质地均匀的图钉，图钉落地后，可能针尖朝上，也可能针尖朝下数学小组的同学进行抛掷图钉实验，得到如表实验数据，下列说法错误的（    ） 实验次数 针尖朝上次数 针尖朝上频率 A．投掷次针尖朝上的次数是 B．投掷次的针尖朝上的频率是 C．任意投掷一枚图钉，针尖朝上的概率是 D．投掷次图钉，针尖朝上的次数大约有次 【变式1】（22-23八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【变式2】（2023·山西吕梁·一模）生物兴趣小组对某大豆杂交品种进行育苗试验，培育结果统计如下： 总粒数 黄色子叶粒数 青色子叶粒数 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的理论比率 246 187 59 3658 2738 920 7679 5781 1898 31213 23436 7777 根据上述培育结果，下列说法正确的是（    ） A．只要增加试验的粒数，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率就更加接近于 B．随着试验粒数的增加，黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于 C．培育该大豆杂交品种时，出现青色子叶粒数的概率为 D．培育该大豆杂交品种时，出现黄色子叶数的概率为 【变式3】（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（     ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 题型07 简单概率的计算 【典例1】（2024年湖南省娄底市初中学业水平考试模拟考试数学试题）从的整数中随机抽取一个数，抽到的数是素数的概率是______． 【变式1】（2024年安徽省合肥市多校联考中考最后一卷（三模）数学试题）全班共有名学生，其中有名女生，位男生，班级需选出一名女生参加升旗仪式，在女生中选到王芳的概率为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·贵州·模拟预测）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和白球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为 ，若白球有10个，则红球有______个. 【变式3】（23-24七年级下·江西鹰潭·期末）现有两个盒子，甲盒装有红球5个，白球2个和黑球3个，乙盒装有红球20个，白球20个和黑球10个． (1)如果随机取出1个黑球，从盒中抽取成功的机会大； (2)小明同学说：“从乙盒中取出10个红球后，乙盒中的红球个数比甲盒中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的机会大．”请利用概率的知识判断小明的说法是否正确． 题型08 几何概率 【典例1】（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，在正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2024·黑龙江·模拟预测）如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·河南郑州·期中）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是_______． 【变式3】（22-23九年级下·辽宁本溪·开学考试）如图，小球在菱形上自由地滚动，点，分别在，上，且，，点，在上，且，则小球最终停在阴影区域上的概率是_________． 题型09 列举法求概率 【典例1】（23-24八年级上·全国·单元测试）随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次反面朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·上海·单元测试）在一个盒子中有张形状、大小相同质地均匀的卡片，上面分别标着，，，这四个数字，从盒子里随机抽出两张卡片，则所得卡片上的两数之和是的概率是_____． 【变式3】（2024·辽宁·一模）如图，随机闭合开关中的两个，能够让灯泡发亮的概率是_______． 题型10 列表法或树状图法求概率 【典例1】（2024·河北邢台·模拟预测）嘉琪同学去文具店购买笔记本，购买情况如下表所示： 单价/元 6 8 10 数量/个 1 1 2 (1)求出所购买笔记本的平均价格； (2)若嘉琪已拿出一个6元笔记本． ①所剩的3个笔记本价格的中位数与原来4个笔记本价格的中位数是否相同？并说明理由； ②在剩余的3个笔记本中，若嘉琪同学先随机拿出一个笔记本后不放回，之后又随机拿一个笔记本，用列表法（如下表）求嘉琪两次都拿到不同价格的笔记本的概率． 先拿 后拿 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024年山西省大同市多学校中考数学预测信息题）以文促旅，以旅彰文．“非遗+旅游”已成为文旅融合发展的重要一环，让非遗产品通过旅游市场走进寻常百姓家，小文制作了“非遗”专题卡片，下图是其中的四张，这些卡片除图案外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则抽到的两张卡片恰好是徐沟背铁棍和翼城花鼓的概率是________． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容．为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团． (1)小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是______； (2)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 题型11 游戏的公平性 【典例1】（2024·山东青岛·模拟预测）在学校开展的数学活动课上，小明、小红和小刚制作了一个正三棱锥(质量均匀，4个面完全相同)，并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：小明和小刚投掷三棱锥各1次，并记录底面的数字，如果两次投掷所得底面数字相等，那么重新投掷；如果两次投掷所得底面数字的和小于5，那么小明赢；如果两次投掷所得底面数字的和等于5，那么小红赢；如果两次投掷所得底面数字的和大于5，那么小刚赢． (1)投掷1次，底面数字出现3是事件(填“不可能”“必然”或“随机”)；投掷两次，底面数字和为5的概率为． (2)请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中所有可能出现的结果，分别求出小明、小红和小刚赢的概率，并判断此游戏对三人是否公平． 【变式1】（23-24七年级上·河南南阳·开学考试）袋中有形状、大小都相同的8个球，上面依次写着2、3、4、5、6、7、8、9八个数字，小刚和小明两人玩摸球游戏，下面规则中对双方都公平的是（   ） A．任意摸一球，摸到质数小刚胜，摸到合数小明胜 B．任意摸一球，摸到2的倍数小刚胜，摸到3的倍数小明胜 C．任意摸一球，小于5小刚胜，大于5小明胜 D．任意摸一球，小于6小刚胜，大于6小明胜， 【变式2】（2023·山东青岛·一模）张相同的卡片分别写有数字，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为的个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． (1)求这两个数的差为的概率；（用列表法或树状图说明） (2)如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；当抽到的这两个数的差为非正数时，则乙获胜；你认为这样的规则公平吗？如果不公平，请设计一个你认为公平的规则，并说明理由． 【变式3】（23-24九年级上·山东德州·期末）小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为的概率． (2)如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由． 一、单选题 1．（21-22七年级下·山西太原·期末）下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 2．（19-20七年级下·辽宁辽阳·期末）下列事件：①通常情况下，水往低处流；②随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是10；③车行到十字路口，正好遇上红灯；④早上的太阳从西方升起．下列作出的结论，错误的是（    ） A．①是必然事件 B．②是随机事件 C．③是随机事件 D．④不可能事件 3．（22-23八年级上·北京·单元测试）“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的可能性大小为P，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）下列说法中正确的是（  ） A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近 B．天气预报说每天下雪的概率是，所以明天将有一半的时间在下雪 C．彩票中奖的机会是，买张一定会中奖 D．“从一个只有红球的袋子里摸出白球”是随机事件 5．（2024·贵州贵阳·模拟预测）九年级（2）班有名男生和名女生，现从中随机抽取一名同学去领取劳动工具，下列说法正确的是（     ） A．抽到男生的可能性较大 B．抽到男、女生的可能性一样大 C．抽到女生的可能性较大 D．抽到男、女生的可能性大小不能确定 6．（23-24九年级上·河南焦作·开学考试）如图，过矩形对角线的交点，且分别交、于、，矩形内的一个动点落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（20-21九年级上·云南红河·期末）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个橡胶园，现在有一种橡胶树树苗，它的成活率如下表所示，则下面推断中，其中合理的是（    ）． 移植棵数 成活数 成活率 移植棵数 成活数 成活率 50 47 1500 1335 270 235 3500 3203 400 369 0.923 7000 6335 750 662 14000 12628 下面有四个推断： ①小张移植3500棵这种树苗，成活率肯定高于； ②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是； ③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵； ④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活率18000棵． A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 8．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，搅均后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是（    ） A．摸到黄球 B．摸到红球 C．摸到白球 D．摸到黑球 9．（22-23七年级下·西藏·开学考试）某超市开展“迎藏历新年”大酬宾活动，凡购物满200元者，可参与一次转盘抽奖（如图1）．德吉购买了220元的物品，她最有可能抽中（    ） A．一等奖 B．二等奖 C．三等奖 D．谢谢惠顾 10．（2023·辽宁沈阳·二模）下面的四个命题中，真命题是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．抽签中奖的概率为，则每抽10次签，一定会有1次中奖 C．一组数据的方差越大，数据越稳定 D．400人中至少有两人的生日在同一天是必然事件 二、填空题 11．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从长桥畔爬行到古樟旁，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有______种不同的爬行路径． 12．（2023·湖北孝感·三模）把10个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一共有______种不同的分法． 13．（23-24七年级下·江苏南京·开学考试）要从甲、乙、丙、丁4人中抽签选出两人参加素质检测，恰好抽到甲、乙两人的可能性是______． 14．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）某校倡议全校学生周末回家任选一项家务劳动参加：①为父母做一次饭；②洗一次衣服；③倒一次生活垃圾．小宇和大明选择同一项家务劳动的概率是______． 15．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）一个不透明的袋子中装有个小球，它们除分别标有的数字，，不同外，其他完全相同．任意从袋子中摸出一个球后放回并摇匀袋子中摸出一个球后放回并摇匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球所标数字之和为负数的概率是______． 16．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）某路口的人行造交通信号灯每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到红灯的概率是______． 17．（23-24七年级下·山东东营·期末）暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为______． 18．（2024·贵州贵阳·一模）一个不透明盒子中装有除颜色外均相同的10个白球和a个红球，从盒子中随机摸出1个球，记下颜色后放回去摇匀，再从中摸出一球，重复摸多次，统计出摸到红球的频率接近，则a的值约为______． 19．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某水果销售网络平台以元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如表是平台销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为______元时（精确到元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润） 沃柑总质量 … 100 200 300 400 500 损坏沃柑质量 … 20．（23-24九年级上·全国·单元测试）指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：   （1）掷一枚硬币，出现正面朝上； （2）买一张彩票中一百万； （3）； （4）任意买一张电影票，座位号是双号； （5）向空中抛一枚硬币，硬币从空中不往下掉． 必然事件是______；不可能事件是______；随机事件是______．（填序号） 三、解答题 21．（20-21九年级上·全国·课后作业）下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）太阳从西边落山； （2）a2+b2＝﹣1（其中a、b都是实数）； （3）水往低处流； （4）三个人性别各不相同； （5）一元二次方程x2+2x+3＝0无实数解； （6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯． 22．（2024·广东清远·模拟预测）【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 23．（2022·山东青岛·模拟预测）在一次数学活动中，小明设计了一个配紫色的游戏．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除颜色以外其它均相同的4个小球，其中2个红球，2个蓝球．甲先从袋中随机摸出一个小球，乙再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球的颜色恰好能配成紫色（红色和蓝色可以配成紫色），则甲获胜；否则乙获胜． (1)用树状图或列表法求出甲获胜的概率； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 24．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． (1)用列表法或者画树状图法表示所有取牌的可能性； (2)现在甲、乙两人做游戏，目前有三种游戏方案． A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜； B方案：若两次抽得数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜； C方案：再拿一张红桃3，改变题目中的规则，现在一次性抽取两张牌，若这两张牌的数字分别是3和4，则甲胜，否则乙胜． 请问甲选择哪种方案获胜概率更高？乙选择哪种方案获胜概率更高？ 25．（2024·陕西咸阳·模拟预测）西安大唐不夜城以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，建有四大文化场馆，分别是A．西安音乐厅，B．陕西大剧院，C．西安美术馆，D．曲江太平洋电影城．春节期间，因时间有限，甲、乙两名同学准备分别从这4个场馆中随机选择一个进行参观，每个场馆被选择的可能性相同． (1)甲同学选择参观西安音乐厅的概率是__________； (2)请你用列表法或画树状图法，求甲、乙两名同学选择不同场馆参观的概率． 26．（23-24九年级上·江苏常州·期末）常州地铁一号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2014年10月28日开工建设，于2019年9月21日开通运营，小张和小林准备利用课余时间，以问卷调查的方式对常州居民的出行方式进行调查．如图是常州地铁一号线的路线图（部分），小张和小林商量好准备从旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C）这三站中，各选不同的一站作为问卷调查的站点． (1)在这三站中，小张选取问卷调查的站点是森林公园站的概率是； (2)请你用画树状图或列表法分析，求小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率．（各站点可用相应的英文字母表示：旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C） 27．（2024九年级下·江苏徐州·学业考试）徐州自古被称为“五省通衢”，是全国重要的交通枢纽之一．在徐州某高速公路收费站，当车辆驶出该收费站时，可随机选择“A”、“B”、“C”、“D”4个收费通道中的其中一人诵讨 (1)一辆车驶出此收费站时，选择“A”收费通道通过的概率是_______； (2)求两辆车驶出此收费站时，选择不同收费通道通过的概率． 28．（2024·宁夏银川·三模）某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩x A B C D E (1)本次调查一共随机抽取了______名学生的成绩，补全学生成绩频数分布直方图； (2)若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？ (3)本次成绩前四名有2名女生和2名男生，若从这四人中随机抽取2名同学代表学校参加比赛，请用画树状图或列表法求出全是女学生的概率． 29．（22-23七年级下·河北保定·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率                     (1)下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． (2)求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； (3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可． 30．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． ( 26 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$