第二章 有理数的运算 2.1有理数的加法与减法-2024-2025学年七年级上学期《七年级上册数学题型大全精讲》人教版

人教2024新版 七年级上册数学题型大全 第二章 有理数的运算 2.1有理数的加法与减法 学习目标 1.掌握有理数的加法法则，会进行有理数的加法运算； 2.理解有理数加法交换律和结合律，能运用加法运算律简化运算； 3.感受有理数加法法则的合理性及分类思想； 4.理解有理数的减法法则，能熟练利用法则进行运算； 5.能将有理数的加减混合运算统一成加法运算，熟练地进行有理数的加减混合运算。 思维导图 题型导览 人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 题型1——直接利用加法法则计算 题型2——利用加法运算律计算 题型3——有理数加法与数轴综合 题型4——有理数加法的实际应用 题型5——直接利用减法法则计算题型6——有理数的加减混合计算 题型7——有理数减法的实际应用 题型8——有理数加减法规律探究 题型9——有理数的新定义问题 典例大全 题型1 直接利用加法法则计算 例题1．计算： (1) (2) (3) (4)． 【变式训练】1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式训练】2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式训练】3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】4．计算： (1)； (2)； (3) (4) 题型2 利用加法运算律计算 例题2．用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式训练】1．简便计算 (1)． (2)； 【变式训练】2．用简便方法运算． (1)1.4+（-0.2）+0.6+（-1.8）； (2)． 【变式训练】3．用简便的方法计算： (1)； (2)． 【变式训练】4．用简便方法运算． (1)； (2)． 题型3 有理数加法与数轴综合 例题3．如图，与数轴上点表示的数相加，和为零的数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】1．若两个数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相加所得的和（    ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是0 D．以上都不对 【变式训练】2．数轴上的点，点分别表示数，，且原点为，则下列各式正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式训练】3．小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时墨迹盖住的整数之和为（    ） A．6 B．4 C．3 D．0 【变式训练】4．如果三个有理数，，的和为零，那么这三个数在数轴上表示的位置不可能是（    ） A．  B．   C．  D．   题型4 有理数加法的实际应用 例题4．为了保障社会秩序，在高邮市区的主要街道，每天都有治安巡逻车在巡逻．如图，现有一辆巡逻车P在市区某条街道上沿直线来回巡逻．若规定：直线上向右方向为正，向左方向为负，向右走3米记作米，向左走3米记作米，现巡逻车上午从0所对应的点出发，在街道上连续来回巡逻，直到巡逻结束．巡逻车运动的数据记录如下：（单位：千米），，，，，，． (1)巡逻结束后，巡逻车位于（    ）（填“0所对应点的左边”或“0所对应点的右边”或“0所对应点处”）． (2)在整个巡逻过程中，巡逻车离开出发地的最远距离是（    ）千米． (3)若巡逻车巡逻结束后回到了出发地，则这辆巡逻车这天一共走了多少千米？ 【变式训练】1．一只蜜蜂从蜂房出来采蜜，向东飞了2千米后，没有找到蜜源，又向东飞了1千米，结果仍没有找到蜜源，于是又向东飞了千米，终于找到了蜜源．此时蜜蜂在蜂房的哪个方向？它离蜂房多远？ 【变式训练】2．小虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负（单位：厘米）：，，，，，问： (1)小虫是否回到原点？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 【变式训练】3．某出租司机某天下午营运全是在东西走向的大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)该司机将最后一名乘客送到目的地时，距下午出发点的距离是多少千米？ (2)若汽车耗油量为升千米，这天下午汽车共耗油多少升？ 【变式训练】4．台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响，一突击队乘汽车抢修供电线路，南记为正，则北记为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：+8，﹣6，﹣2，+4，﹣5，+2 问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么位置？ ②若每千米耗油1.5升，则今天共耗油多少升？ 题型5 直接利用减法法则计算 例题5．计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6) 【变式训练】2．计算： (1) (2) (3) (4)． 【变式训练】3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】4．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 题型6 有理数的加减混合计算 例题6．计算： (1)． (2)． 【变式训练】1．计算： (1)； (2)． 【变式训练】2．计算： (1)； (2)． 【变式训练】3．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】4．计算： (1)； (2) (3)； (4) 题型7 有理数减法的实际应用 例题7．身体健康是人生最大的财富开学伊始，“重外教师跑团”正式成立，蔡蔡老师是其中的成员之一，天天坚持跑步锻炼他每天以米为标准，超过记为正数，不足记为负数下表记录了蔡蔡老师上周的跑步情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 跑步情况 (1)蔡蔡老师星期三跑了多少米？ (2)上周，蔡蔡老师跑步最多的一天比跑步最少的一天多跑了多少米？ 【变式训练】1．小明是位好学上进的学生，刚升入七年级他就定下目标：每次数学测验都必须超过分．以分为标准，他把超过的分数记为正，不足的分数记为负，记录了六次测验的成绩（单位：分）：，，，，，． (1)在这六次测验中，小明最高分比最低分高多少？ (2)请你帮小明算一算，他这六次数学测验的平均成绩是多少？ 【变式训练】2．小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）：． 问： (1)小虫是否回到原点O？ (2)小虫离开出发点O最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 【变式训练】3．某校足球队守门员小明练习折返跑，从守门员位置出发，向前记作正数，返回记作负，他的练习记录如下：（单位：m） ，，，，，，． (1)守门员小明是否回到原来的位置？ (2)守门员小明离开球门的位置最远是多少？ (3)守门员小明在这次练习中共跑了多少米？ 【变式训练】4．一口水井，水面比井口低，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了，却下滑了；第二次往上爬了，又下滑了；第三次往上爬了，又下滑了；第四次往上爬了，又下滑了；第五次往上爬了，没有下滑；第六次蜗牛又爬了，没有下滑．请回答： (1)第二次爬之前，蜗牛离井口还有 m，第四次爬之前，蜗牛离井口还有 m． (2)最后一次，蜗牛有没有爬到井口？如果没有，那么离井口有多少米？ 题型8 有理数加减法规律探究 例题8．探究规律，完成相关题目 小明说：“我在有理数内定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： 小红看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？请完成以下问题： (1)归纳*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时，__________ 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，__________ (2)计算：__________．（括号的作用与有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） (4)若有理数满足等式，则的值为__________． 【变式训练】1．若，，，…，照此规律试求： (1)______； (2)计算； (3)计算． 【变式训练】2．【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：_______． （3）简便的方法计算：． 【变式训练】3．（1）计算： ① ② （2）蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位…… ①按照这个规律，第1024次爬行后蚂蚁所在位置在原点左侧还是右侧？对应哪个数？ ②按照这个规律，第______次爬行后蚂蚁在数轴上表示751的位置． 【变式训练】4．在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：从左侧开始将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路某同学改编了下列几题： (1)计算： ①______； ②______． (2)蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，求出第2023次爬行后蚂蚁在数轴什么位置。 题型9 有理数的新定义问题 例题9．定义“※”运算，观察下列运算： ，； ，； ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳“※”运算的法则：两数进行“※”运算时，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；特别的，0与任何数进行“※”运算或任何数与0进行“※”运算，都得这个数的 ． (2)计算：； (3)计算：． 【变式训练】1．数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【变式训练】2．课堂上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫☆运算．”老师根据规律，写出了几组按照☆运算法则进行运算的式子： 第一组：；； 第二组：；； 第三组：；；；． 小明说：我知道老师定义的☆运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳☆运算法则： (1)归纳☆运算法则，填写下列空白部分： ①同号两个数进行☆运算时，结果的符号为负，数值部分取绝对值相加； ②异号两个数进行☆运算时，____________； ③特别地，0和任何数进行☆运算，或是任何数和0进行☆运算都等于______； (2)填空：______；______； (3)若，求的值． 【变式训练】3．对于任意的有理数a、b，定义一种新的运算，规定：，，等式右边是通常的加法、减法运算，如，时，，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【变式训练】4．借助有理数的运算，对任意有理数，定义一种新运算，规则如下： 例如，． (1)填空：___________；，则___________； (2)请验证等式是否成立． 题型检测 一、选择题（本大题共10小题） 1．计算的结果等于（   ） A．2 B． C．8 D． 2．两个数的和是正数，则这两个数是（  ） A．都是正数 B．至少有一个数是正数 C．都不是正数 D．一个正数，一个负数 3．算筹是中国古代的计算方法之一，宋代数学家用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数图中算式一表示的是，按照这种算法，算式二被盖住的部分（    ） A． B． C． D． 4．某一天凌晨的温度是，中午的气温是，从凌晨到中午气温上升了（    ） A． B． C． 5．已知，，，则的值为（   ） A． B． C．1或5 D．或 6．不改变原式的值，将中的减法改成加法并写成省略加号和的形式是（    ） A． B． C． D． 7．大于且小于的整数的和为（　　） A．0 B． C． D． 8．实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ） A． B． C． D． 9．设是有理数，用表示不超过的最大整数，则下列四个结论中，正确的是（    ） A． B．等于0或 C． D．等于0或1 10．将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题（本大题共10小题） 11．计算： ． 12．已知3与一个数的差为，则这个数为 ． 13．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是的计算过程，则下图2表示的算式是 ． 14．数轴上表示数和表示的两点之间离是( ) 15．陆上最高处是珠穆朗玛峰，海拔约为8844米，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，海拔约为米，两处的海拔相差 米． 16．在计算“”时，小明同学的做法如图所示，其中步骤①所运用的运算法则或运算律是 ． ①_________， 同号两数的加法法则 异号两数的加法法则 17．在数轴上，点A所表示的数为，那么到点A的距离等于5个单位长度的点所表示的数是 ． 18．如图，直径为1个单位的圆，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点从表示的点开始到达点，则点对应的实数是 ．（结果保留小数点后1位）． 19．对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定．则计算的值为 ． 20．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如表所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则表中△处的值为 ． △ c 0 a d b 三．解答题（本大题共8小题） 21．计算： (1)； (2)； (3) (4) 22．计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)． 23．简便计算： (1)； (2)； (3)； (4). 24．阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 25．定义“※”运算，观察下列运算： ，； ，； ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳“※”运算的法则：两数进行“※”运算时，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；特别的，0与任何数进行“※”运算或任何数与0进行“※”运算，都得这个数的 ． (2)计算：； (3)计算：． 26．小虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负（单位：厘米）：，，，，，问： (1)小虫是否回到原点？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 27．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了天中每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 (1)求出这天的行驶路程中最多的一天比最少的一天多行驶多少千米? (2)若每行驶需用汽油升，汽油每升元，计算小明家这天的汽油费用共是多少元? 28．课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． $$人教2024新版 七年级上册数学题型大全 第二章 有理数的运算 2.1有理数的加法与减法 学习目标 1.掌握有理数的加法法则，会进行有理数的加法运算； 2.理解有理数加法交换律和结合律，能运用加法运算律简化运算； 3.感受有理数加法法则的合理性及分类思想； 4.理解有理数的减法法则，能熟练利用法则进行运算； 5.能将有理数的加减混合运算统一成加法运算，熟练地进行有理数的加减混合运算。 思维导图 题型导览 人教新版2024版七年级上册题型大全 学科网▶数学梦工厂 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 题型1——直接利用加法法则计算 题型2——利用加法运算律计算 题型3——有理数加法与数轴综合 题型4——有理数加法的实际应用 题型5——直接利用减法法则计算题型6——有理数的加减混合计算 题型7——有理数减法的实际应用 题型8——有理数加减法规律探究 题型9——有理数的新定义问题 典例大全 题型1 直接利用加法法则计算 例题1．计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2)0.75 (3)0 (4) 【分析】本题考查了有理数的加法法则，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． （1）同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加； （2）（3）（4）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 【变式训练】1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4)100 【分析】（1）根据有理数加法法则进行计算即可； （2）根据有理数加法法则进行计算即可； （3）根据有理数加法法则进行计算即可； （4）运用加法的交换律和结合律进行计算即可； （5）运用加法的交换律和结合律进行计算即可； （6）先计算绝对值，再按照加法法则进行计算即可． 本题主要考查了有理数的加法运算．两个有理数相加时，直接运用加法法则进行计算即可，多个有理数相加时可以运用加法的交换律和结合律进行简便运算．熟练掌握有理数的加法法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ； 【变式训练】2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)8 (6) 【分析】本题考查有理数加法，掌握有理数加法的计算法则是正确计算的前提． （1）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （3）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （4）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （5）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （6）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【变式训练】3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加法运算； （1）根据有理数的加法进行计算即可求解； （2）根据有理数的加法进行计算即可求解； （3）根据有理数的加法进行计算即可求解； （4）根据有理数的加法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 【变式训练】4．计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数加法运算法则是解题的关键； （1）根据有理数加法法则求解即可； （2）根据有理数加法法则求解即可； （3）首先利用有理数加法运算律将原式转变为，然后根据有理数加法法则求解即可； （4）根据有理数加法法则求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型2 利用加法运算律计算 例题2．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)3 【分析】（1）根据有理数加法运算法则，结合加法运算律进行简便计算即可； （2）根据有理数加法运算法则，结合加法运算律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】1．简便计算 (1)． (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据有理数加法的交换律和结合律将和结合，和结合，再进行计算即可． （2）根据有理数加法的交换律和结合律将和结合，和结合，再进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式训练】2．用简便方法运算． (1)1.4+（-0.2）+0.6+（-1.8）； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）利用加法的运算律解答即可； （2）利用加法的运算律解答即可． 【详解】（1）解：1.4+（-0.2）+0.6+（-1.8） =（1.4+0.6）+（-0.2-1.8） =2+（-2） =0； （2）解： ． 【变式训练】3．用简便的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)0 【分析】（1）利用加法结合律计算即可； （2）将分数化为小数，再用加法结合律计算即可． 【详解】（1） ； （2） 【变式训练】4．用简便方法运算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照有理数的加减法运算法则和运算律进行计算即可； （2）按照有理数的加减法运算法则和运算律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型3 有理数加法与数轴综合 例题3．如图，与数轴上点表示的数相加，和为零的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了相反数的定义，能够正确根据数轴得到点所对应的实数，根据数轴得出表示的数为，然后求相反数即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义． 【详解】解：由数轴可知，表示的数为， ∴数轴上点表示的数相加，和为零， 则所求的数是的相反数，即为， 故选：． 【变式训练】1．若两个数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相加所得的和（    ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定是0 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加法法则，数轴的定义，根据两个有理数在数轴上的对应点分别在原点的两侧，可知这两个数一正一负，则这两个数相加有可能是正数， 也有可能是负数，也有可能是0． 【详解】解：∵两个有理数在数轴上的对应点分别在原点的两侧， ∴这两个数一正一负， ∴这两个数相加有可能是正数， 也有可能是负数，也有可能是0． 故选：D． 【变式训练】2．数轴上的点，点分别表示数，，且原点为，则下列各式正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴，利用数轴上的位置与表示数的大小之间的联系，可知，，，进一步分析判定得出答案即可． 【详解】解：根据数轴可知，，，， 则； 故选：D． 【变式训练】3．小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，如图所示，此时墨迹盖住的整数之和为（    ） A．6 B．4 C．3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查有理数与数轴．设覆盖区域的数为，由数轴可知，，求出该范围内的整数即可求解． 【详解】解：设覆盖区域的数为， 由数轴可知，， 是整数， 的值为，，，，，， 墨迹盖住的整数共有个， ， 故选：C． 【变式训练】4．如果三个有理数，，的和为零，那么这三个数在数轴上表示的位置不可能是（    ） A．  B．   C．  D．   【答案】C 【分析】根据原点左边的点表示的数是负数，原点右边的点表示的数是正数可知，三个数的和为0，则一定有一个正数和一个负数，分情况讨论：第三个数是正数或者负数两种情况，利用绝对值的意义对各个选项进行判断即可． 【详解】因为三个数的和为0，所以三个数中一定有一个正数和一个负数，若第三个数为负数，则两个负数表示的点到原点的距离之和等于正数到原点的距离；若第三个数为正数，则两个正数表示的点到原点的距离之和等于负数到原点的距离． 结合选项可得C选项中，，则，而，则， 故选：C． 题型4 有理数加法的实际应用 例题4．为了保障社会秩序，在高邮市区的主要街道，每天都有治安巡逻车在巡逻．如图，现有一辆巡逻车P在市区某条街道上沿直线来回巡逻．若规定：直线上向右方向为正，向左方向为负，向右走3米记作米，向左走3米记作米，现巡逻车上午从0所对应的点出发，在街道上连续来回巡逻，直到巡逻结束．巡逻车运动的数据记录如下：（单位：千米），，，，，，． (1)巡逻结束后，巡逻车位于（    ）（填“0所对应点的左边”或“0所对应点的右边”或“0所对应点处”）． (2)在整个巡逻过程中，巡逻车离开出发地的最远距离是（    ）千米． (3)若巡逻车巡逻结束后回到了出发地，则这辆巡逻车这天一共走了多少千米？ 【答案】(1)0所对应点的左边 (2)15 (3)58千米 【分析】本题考查了有理数的加减的混合运算、正负数的意义、绝对值，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）计算出即可得出答案； （2）分别计算出每次巡逻结束后距离出发地的距离，比较即可得出答案； （3）将每次巡逻路程的绝对值相加即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴巡逻结束后，巡逻车位于0所对应点的左边； （2）解：（米）， （米）， （米）， （米）， （米）， （米）， （米）， ∵， ∴在整个巡逻过程中，巡逻车离开出发地的最远距离是千米； （3）解：（千米）， 这辆巡逻车这天一共走了千米． 【变式训练】1．一只蜜蜂从蜂房出来采蜜，向东飞了2千米后，没有找到蜜源，又向东飞了1千米，结果仍没有找到蜜源，于是又向东飞了千米，终于找到了蜜源．此时蜜蜂在蜂房的哪个方向？它离蜂房多远？ 【答案】此时蜜蜂在蜂房的西边，离蜂房2千米． 【分析】此题考查了有理数加法的实际应用，根据题意列出算式求解即可． 【详解】根据题意得， ∴此时蜜蜂在蜂房的西边，离蜂房2千米． 【变式训练】2．小虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负（单位：厘米）：，，，，，问： (1)小虫是否回到原点？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫最后没回到出发点； (2)小虫离开出发点的最远为 (3)小虫共可得到粒芝麻 【分析】此题主要考查了正负数的意义及有理数的加法，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）把爬行记录相加，然后根据正负数的意义解答； （2）利用绝对值根据正负数的意义分别求出各记录时与出发点的距离，然后判断即可； （3）求出所有爬行记录的绝对值的和即可． 【详解】（1）解： ， 所以，小虫最后在原点左侧处，没回到出发点； （2）解：根据记录，小虫离开出发点的距离分别为，，，， 所以，小虫离开出发点的最远为； （3）解：根据记录，小虫共爬行的距离为：， 所以，小虫共可得到粒芝麻． 【变式训练】3．某出租司机某天下午营运全是在东西走向的大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)该司机将最后一名乘客送到目的地时，距下午出发点的距离是多少千米？ (2)若汽车耗油量为升千米，这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)该司机距下午出发点的距离是千米 (2)公升 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算；理解用代数求和还是绝对值求和是解题关键． （1）根据有理数的加法运算，可得答案； （2）根据行车就耗油，可得耗油量． 【详解】（1）解：（千米）， 该司机距下午出发点的距离是千米； （2）（升）， 这天下午汽车共耗油公升． 【变式训练】4．台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响，一突击队乘汽车抢修供电线路，南记为正，则北记为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：+8，﹣6，﹣2，+4，﹣5，+2 问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么位置？ ②若每千米耗油1.5升，则今天共耗油多少升？ 【答案】①最后他们没有回到出发点，在A地的正南方向，距A地1千米；②40.5 【分析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． （2）先算出总路程，再与每千米耗油1.5升相乘，即可作答． 【详解】解：①根据题意可得：南记为正，北记为负， 则距的距离为． 最后他们没有回到出发点，在地的正南方向，距地1千米． ②从地出发，汽车共走了； 故从地出发到收工时耗油量为（升． 题型5 直接利用减法法则计算 例题5．计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)3 【分析】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则计算即可， （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数的减法法则计算即可； （4）根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【变式训练】1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) (5) (6) 【分析】（1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）根据有理数的减法法则进行计算即可； （3）根据有理数的减法法则进行计算即可； （4）根据有理数的减法法则进行计算即可； （5）根据有理数的减法法则进行计算即可； （6）根据有理数的减法法则进行计算即可． 本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式训练】2．计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3)168 (4) 【分析】本题考查了有理数的减法运算，减法法则关键是抓住两变：一是运算变，即减法变为加法；二是减数变为其相反数．掌握有理数减法运算法则是解题的关键． （1）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成． （2）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成． （3）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成． （4）根据减法法则，把减法转化为加法，能简算的简算即可完成． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式训练】3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)10 (3)8 (4)0 【分析】本题考查有理数加减运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． （1）根据有理数加减运算法则求解即可得到答案． （2）根据有理数加减运算法则求解即可得到答案． （3）根据有理数加减运算法则求解即可得到答案． （4）根据有理数加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式训练】4．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4)8 【分析】本题主要考查了有理数减法运算，掌握减去一个有理数等于加上这个有理数的相反数成为解题的关键． （1）先化减为加，然后运用加法运算法则求解即可； （2）先化减为加，然后运用加法运算法则求解即可； （3）先化减为加，然后运用加法运算法则求解即可； （4）先化减为加，然后运用加法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型6 有理数的加减混合计算 例题6．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)20(2)5 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．熟练掌握化简符号，加法结合律，是解决问题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练】1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2)0 【分析】本题考查了有理数的加减运算，有理数加法的运算律． （1）先去括号，然后利用有理数加法的运算律和有理数的加减运算法则计算即可； （2）利用有理数加法的运算律和有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练】2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．熟练掌握有理数的加减混合运算是解题的关键． （1）先去括号，然后进行加减运算即可； （2）先去括号，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】3．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)1(3)(4) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）去掉括号，原式可化为，根据有理数的加减运算，即可求解本题； （2）去掉括号，原式可化为，根据有理数的加减运算，即可求解本题； （3）去掉括号，然后将同分母分数结合，即可求解； （4）去掉括号，将同分母分数结合，结合有理数的加减混合运算，即可求解本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练】4．计算： (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1)50 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键： （1）首先利用加法交换律进行运算，然后根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解． （2）根据有理数的加减法运算法则进行计算即可得解． （3）首先利用加法交换律进行运算，然后根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可得解． （4）首先利用加法交换律进行运算，然后根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可得解． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型7 有理数减法的实际应用 例题7．身体健康是人生最大的财富开学伊始，“重外教师跑团”正式成立，蔡蔡老师是其中的成员之一，天天坚持跑步锻炼他每天以米为标准，超过记为正数，不足记为负数下表记录了蔡蔡老师上周的跑步情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 跑步情况 (1)蔡蔡老师星期三跑了多少米？ (2)上周，蔡蔡老师跑步最多的一天比跑步最少的一天多跑了多少米？ 【答案】(1)2750米； (2)890米 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的减法的实际应用，理解表中数据的含义是关键． （1）利用3000米减去250米就是所求； （2）最大值与最小值的差就是跑得最多的一天比最少的一天多跑的距离． 【详解】（1）解：； 答：蔡蔡老师星期三跑了2750米； （2）解：； 答：跑得最多的一天比最少的一天多跑了890米． 【变式训练】1．小明是位好学上进的学生，刚升入七年级他就定下目标：每次数学测验都必须超过分．以分为标准，他把超过的分数记为正，不足的分数记为负，记录了六次测验的成绩（单位：分）：，，，，，． (1)在这六次测验中，小明最高分比最低分高多少？ (2)请你帮小明算一算，他这六次数学测验的平均成绩是多少？ 【答案】(1)小明最高分比最低分高分； (2)他这六次数学测验的平均成绩是分． 【分析】（）根据小明记录了六次测验的成绩最大值减最小值即可； （）根据小明记录了六次测验的成绩之和除以，再加上即可求出他这六次数学测验的平均成绩； 本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的除法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据小明记录了六次测验的成绩最大值为，最小值为， ∴小明最高分比最低分高； （2）解： ， 答：他这六次数学测验的平均成绩是分． 【变式训练】2．小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）：． 问： (1)小虫是否回到原点O？ (2)小虫离开出发点O最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫能回到出发点O (2)小虫离开出发点O最远为 (3)小虫共可得到54粒芝麻 【分析】本题考查了正负数的实际问题及有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）把小虫爬行的路程数据相加，根据结果为正还是负，即可得出小虫最后离原点的位置； （2）根据正负数的性质，求出每次爬行与O点的距离，即可进行判断； （3）把所有的爬行路程的绝对值相加，可得到小虫爬行的总路程，即可求出小虫共得芝麻的粒数． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 小虫能回到出发点O． （2）解：第一次爬行后的位置：， 第二次爬行后的位置：， 第三次爬行后的位置：， 第四次爬行后的位置：， 第五次爬行后的位置：， 第六次爬行后的位置：， 第七次爬行后的位置：， ， 小虫离开出发点O最远为12； （3）解： ， 小虫共爬行的距离为54，小虫共可得到54粒芝麻． 【变式训练】3．某校足球队守门员小明练习折返跑，从守门员位置出发，向前记作正数，返回记作负，他的练习记录如下：（单位：m） ，，，，，，． (1)守门员小明是否回到原来的位置？ (2)守门员小明离开球门的位置最远是多少？ (3)守门员小明在这次练习中共跑了多少米？ 【答案】(1)是回到原来的位置； (2)守门员离开球门的位置最远12米； (3)守门员小明在这次练习中共跑了米 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，注意相反意义的量的理解． （1）将所有记录数据相加，即可求出守门员离球门的位置，从而得出答案； （2）观察记录的数据并计算，取绝对值最大的作为守门员离开球门线最远距离； （3）将所有记录数据取绝对值，再相加即可． 【详解】（1）解：因为(米)， 所以守门员是回到了原来的位置； （2）解：守门员第一次跑动后离球门距离为：(米)； 守门员第二次跑动后离球门距离为：(米)； 守门员第三次跑动后离球门距离为：(米)； 守门员第四次跑动后离球门距离为： (米)； 守门员第五次跑动后离球门距离为： (米)； 守门员第次六跑动后离球门距离为： (米)； 守门员第七次跑动后离球门距离为： (米)； 所以守门员离开球门的位置最远12米； （3）解： (米)． 答：守门员小明在这次练习中共跑了米 【变式训练】4．一口水井，水面比井口低，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了，却下滑了；第二次往上爬了，又下滑了；第三次往上爬了，又下滑了；第四次往上爬了，又下滑了；第五次往上爬了，没有下滑；第六次蜗牛又爬了，没有下滑．请回答： (1)第二次爬之前，蜗牛离井口还有 m，第四次爬之前，蜗牛离井口还有 m． (2)最后一次，蜗牛有没有爬到井口？如果没有，那么离井口有多少米？ 【答案】(1)2.73，1.78 (2)蜗牛没有爬到井口，离井口有0.1米 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的应用，理解题意列出算式是解题的关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据题意列出算式计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：2.73，1.78； （2）解：， ， 蜗牛没有爬到井口，离井口有0.1米． 题型8 有理数加减法规律探究 例题8．探究规律，完成相关题目 小明说：“我在有理数内定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： 小红看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？请完成以下问题： (1)归纳*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时，__________ 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，__________ (2)计算：__________．（括号的作用与有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） (4)若有理数满足等式，则的值为__________． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；等于这个数的绝对值 (2) (3)加法的交换律仍然适用，结合律不适用，例子见解析 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，新定义： （1）首先根据※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式，归纳出（加乘）运算的运算法则即可；然后根据：；，可得：0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，等于这个数的绝对值． （2）先计算出，再计算即可得到答案； （3）加法有交换律和结合律，交换律在有理数的（加乘）运算中还适用，结合律不适用，并举例验证加法交换律适用即可； （4）根据（1）的结论可得m与同号，且，据此可得答案． 【详解】（1）解：归纳（加乘）运算的运算法则： 两数进行（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的绝对值， 故答案为：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值． （2）解： ， 故答案为：； （3）解：加法的交换律仍然适用， 例如：，， ∴， 故加法的交换律仍然适用． 结合律不适用， 举例：，， ∴， ∴结合律不适用． （4）解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练】1．若，，，…，照此规律试求： (1)______； (2)计算； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算及绝对值的意义．有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． （1）（2）（3）根据有理数的减法法则以及绝对值的意义计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式训练】2．【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：_______． （3）简便的方法计算：． 【答案】（1）①；②；③；④  （2）（3） 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键． （1）①②③④根据题目可得规律当时，；当时；当时，；运用规律可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． （3）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． 【详解】解：（1）由题目运算可得：当，时，；当时；当时，； ①∵ ∴； ②∵， ∴； ③∵， ∴； ④∵ ∴； 故答案为为：；；；． （2）， 故答案为：． （3） ． 【变式训练】3．（1）计算： ① ② （2）蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位…… ①按照这个规律，第1024次爬行后蚂蚁所在位置在原点左侧还是右侧？对应哪个数？ ②按照这个规律，第______次爬行后蚂蚁在数轴上表示751的位置． 【答案】（1）①；②；（2）①第1024次爬行后蚂蚁所在位置在原点左侧，；②750 【分析】（1）①由每两个数为一组、其和为-1，共1010组，据此可得；②由每两个数为一组、其和为-2，共505组，据此求解可得； （2）①根据题意列出算式：，每四个数为一组、其和为，共256组，据此求解可得．②找到小蚂蚁在正半轴爬行的规律，据此解答即可． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2）① 所以第1024次爬行后蚂蚁所在位置在原点左侧，对应的数为； ②小蚂蚁在正半轴爬行的规律为：第5次爬行到表示1的位置， 第6次爬行到表示的位置； 第9次爬行到表示1的位置， 第10次爬行到表示的位置； 第13次爬行到表示1的位置， 第14次爬行到表示的位置， 故小蚂蚁爬行第次均在表示1的位置， ∵， ∴第749次爬行到表示1的位置，第750次爬行到表示的位置． 故答案为：750 【变式训练】4．在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：从左侧开始将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路某同学改编了下列几题： (1)计算： ①______； ②______． (2)蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，求出第2023次爬行后蚂蚁在数轴什么位置。 【答案】(1)①，② (2)第2023次爬行后蚂蚁在原点处 【分析】（1）根据题目所给计算方法进行计算即可； （2）将向右爬行记为正，向左爬行记为负，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； ① ； ② 故答案为：，； （2）解：将向右爬行记为正，向左爬行记为负， ， ∴第2023次爬行后蚂蚁在原点处． 题型9 有理数的新定义问题 例题9．定义“※”运算，观察下列运算： ，； ，； ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳“※”运算的法则：两数进行“※”运算时，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；特别的，0与任何数进行“※”运算或任何数与0进行“※”运算，都得这个数的 ． (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)正，负，相加；相反数 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，有理数的加法，理解新定义是解答本题的关键． （1）观察已知运算的符号及数值，可归纳出运算法则； （2）按照（1）中归纳出的运算法则进行计算即可； （3）按照（1）中归纳出的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）归纳“※”运算的法则：两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别地，0和任何数进行“※”运算或任何数和0进行“※”运算，都得这个数的相反数； 故答案为：正，负，相加；相反数； （2）根据题意得， ； （3） ． 【变式训练】1．数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 【变式训练】2．课堂上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫☆运算．”老师根据规律，写出了几组按照☆运算法则进行运算的式子： 第一组：；； 第二组：；； 第三组：；；；． 小明说：我知道老师定义的☆运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳☆运算法则： (1)归纳☆运算法则，填写下列空白部分： ①同号两个数进行☆运算时，结果的符号为负，数值部分取绝对值相加； ②异号两个数进行☆运算时，____________； ③特别地，0和任何数进行☆运算，或是任何数和0进行☆运算都等于______； (2)填空：______；______； (3)若，求的值． 【答案】(1)结果的符号为正，数值部分取绝对值相加；该数的绝对值 (2)； (3)或1 【分析】（1）从题中分别观察同号运算，异号运算，以及与0进行运算时的结果，进行总结即可； （2）结合新定义的运算法则，求解即可； （3）分为负数、为正数和为0三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：归纳☆运算法则，填写下列空白部分： ①同号两个数进行☆运算时，结果的符号为负，数值部分取绝对值相加； ②异号两个数进行☆运算时，结果的符号为正，数值部分取绝对值相加； ③特别地，0和任何数进行☆运算，或是任何数和0进行☆运算都等于该数的绝对值． 故答案为：结果的符号为正，数值部分取绝对值相加；该数的绝对值； （2）； ． 故答案为：；； （3）若为负数，即， 则有， 解得； 若为正数，即， 则有， 解得； 若为0， 则有， 解得，不符合题意，舍去． 综上所述，的值为或1． 【变式训练】3．对于任意的有理数a、b，定义一种新的运算，规定：，，等式右边是通常的加法、减法运算，如，时，，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）按照题目规定的新运算法则求解即可； （2）按照题目规定的新运算法则可得关于x的方程，解方程即得答案． 【详解】（1）由题意，得： ． （2）由题意，得， 整理，得， 解得． 【变式训练】4．借助有理数的运算，对任意有理数，定义一种新运算，规则如下： 例如，． (1)填空：___________；，则___________； (2)请验证等式是否成立． 【答案】(1)3；1或 (2)不成立 【分析】根据新定义进行计算即可解答①；根据新定义得到方程，解方程即可解答②；先分别计算和，再比较结果是否相等即可解答（2）．本题考查了有理数的混合运算、解一元一次方程、绝对值的意义，理解题意，熟练掌握运算法则，准确进行计算是解此题的关键． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：3； ， ， ， ，， 的值为1或， 故答案为：1或； （2）解：，， ， 不成立． 题型检测 一、选择题（本大题共10小题） 1．计算的结果等于（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 依据有理数的加法法则计算即可. 【详解】解：． 故选：A 2．两个数的和是正数，则这两个数是（  ） A．都是正数 B．至少有一个数是正数 C．都不是正数 D．一个正数，一个负数 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的加法法则，根据加法法则进行分析判断即可． 【详解】解：根据有理数的加法法则可得， ①若这两个数都是正数，则它们的和为正数， ②若这两个数都是负数，则它们的和为负数， ③若这两个数中一个是正数，一个是负数，如果正数的绝对值较大，则它们的和为正数，如果负数的绝对值较大，则它们的和为负数． 综上可得，两个数的和是正数，则这两个数中至少有一个数是正数． 故选：B 3．算筹是中国古代的计算方法之一，宋代数学家用白色筹码代表正数，用黑色筹码代表负数图中算式一表示的是，按照这种算法，算式二被盖住的部分（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减，在做题时要注意，异号两数相加先判断符号，确定符号之后再进行运算．运用有理数的加减法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值即可得出． 【详解】解：图中算式二表示的是， 故选：D 4．某一天凌晨的温度是，中午的气温是，从凌晨到中午气温上升了（    ） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数减法的应用，熟练掌握有理数的减法法则是解题关键．利用中午的气温减去凌晨的气温即可得． 【详解】解：从凌晨到中午气温上升了， 故选：B． 5．已知，，，则的值为（   ） A． B． C．1或5 D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，首先根据：，，可得：，；然后根据，求出、的值是多少，再根据有理数的加法的运算方法，求出的值为多少即可．熟练掌握绝对值的定义是关键． 【详解】解：，， ，； ， ，， 或． 的值为或． 故选：． 6．不改变原式的值，将中的减法改成加法并写成省略加号和的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 7．大于且小于的整数的和为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数比较大小，先根据题意求出大于且小于的整数，再把这些整数求和即可． 【详解】解：大于且小于的整数有， ∴大于且小于的整数的和为， 故选：B． 8．实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，绝对值的化简．根据题意得到，结合，可得，由绝对值的意义即可化简． 【详解】解：根据题意得到， ， ， ， 故选：D． 9．设是有理数，用表示不超过的最大整数，则下列四个结论中，正确的是（    ） A． B．等于0或 C． D．等于0或1 【答案】B 【分析】本题考查有理数比较大小，有理数的加法运算，分为整数和不是整数两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：当为整数时：，， ∴， 当不是整数时，例如：， 则：，， ∴； 综上：等于0或； 故选B． 10．将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了整数运算的综合运用，解题的关键是明确三个田字格的所有数字之和中，有两个数被重复计算了．先求出所有数字之和，得出，且n为整数，则，进而推出当时，n有最大值，即可解答． 【详解】解：， ∵所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于， ∴，且n为整数， 整理得：， ∴当最大时，n有最大值， ∵n为整数， ∴当时，n有最大值， 此时， 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的减法，掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12．已知3与一个数的差为，则这个数为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了有理数减法运算，根据减数等于被减数减去差列式计算即可得解． 【详解】解： ． 故答案为：8． 13．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是的计算过程，则下图2表示的算式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算．由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算． 【详解】解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数， 图中表示的计算过程为． 故答案为：． 14．数轴上表示数和表示的两点之间离是( ) 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间距离的计算，根据两点之间距离的计算方法即可求解 ． 【详解】解：根据题意，两点之间的距离为， 故答案为： 15．陆上最高处是珠穆朗玛峰，海拔约为8844米，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，海拔约为米，两处的海拔相差 米． 【答案】9259 【分析】本题考查了有理数的减法是实际应用，将两处海拔相减即可． 【详解】解：（米）， 故答案为：9259． 16．在计算“”时，小明同学的做法如图所示，其中步骤①所运用的运算法则或运算律是 ． ①_________， 同号两数的加法法则 异号两数的加法法则 【答案】加法结合律 【分析】根据解题步骤可直接得出答案． 【详解】解：，这一步所运用的运算法则或运算律是加法结合律， 故答案为：加法结合律． 17．在数轴上，点A所表示的数为，那么到点A的距离等于5个单位长度的点所表示的数是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据数轴上两点之间距离的计算进行分类讨论，方法列出算式计算即可． 【详解】解：根据题意可得： 当点A在右边时：， 当点A在左边时：， 故答案为：或． 18．如图，直径为1个单位的圆，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点从表示的点开始到达点，则点对应的实数是 ．（结果保留小数点后1位）． 【答案】 【分析】本题考查的是数轴上点表示的数，将直径为1个单位长度的圆沿着数轴向右滚动一周，所以滚动的距离即为圆的周长，用加上圆的周长也就是A所表示的数； 【详解】解：由题意可得：滚动的距离即为圆的周长 点对应的实数是， 故答案是： 19．对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定．则计算的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算和绝对值，先根据新定义得到，再根据有理数的加减计算法则和绝对值的意义求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：6． 20．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如表所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则表中△处的值为 ． △ c 0 a d b 三．解答题（本大题共10小题） 21．计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数加法运算法则是解题的关键； （1）根据有理数加法法则求解即可； （2）根据有理数加法法则求解即可； （3）首先利用有理数加法运算律将原式转变为，然后根据有理数加法法则求解即可； （4）根据有理数加法法则求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 22．计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)3 【分析】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则计算即可， （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数的减法法则计算即可； （4）根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 23．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先通分，再计算加减运算即可； （2）把分数化为小数，再计算加减运算即可； （3）先把小数化为分数，结合运算律，再计算即可； （4）利用加法运算律，先计算和为的两个数的加法，再计算即可. 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） 24．阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （2）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1） ， ； （2） ， ． 25．定义“※”运算，观察下列运算： ，； ，； ，． (1)请你认真思考上述运算，归纳“※”运算的法则：两数进行“※”运算时，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；特别的，0与任何数进行“※”运算或任何数与0进行“※”运算，都得这个数的 ． (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)正，负，相加；相反数 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，有理数的加法，理解新定义是解答本题的关键． （1）观察已知运算的符号及数值，可归纳出运算法则； （2）按照（1）中归纳出的运算法则进行计算即可； （3）按照（1）中归纳出的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）归纳“※”运算的法则：两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别地，0和任何数进行“※”运算或任何数和0进行“※”运算，都得这个数的相反数； 故答案为：正，负，相加；相反数； （2）根据题意得， ； （3） ． 26．小虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负（单位：厘米）：，，，，，问： (1)小虫是否回到原点？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫最后没回到出发点； (2)小虫离开出发点的最远为 (3)小虫共可得到粒芝麻 【分析】此题主要考查了正负数的意义及有理数的加法，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）把爬行记录相加，然后根据正负数的意义解答； （2）利用绝对值根据正负数的意义分别求出各记录时与出发点的距离，然后判断即可； （3）求出所有爬行记录的绝对值的和即可． 【详解】（1）解： ， 所以，小虫最后在原点左侧处，没回到出发点； （2）解：根据记录，小虫离开出发点的距离分别为，，，， 所以，小虫离开出发点的最远为； （3）解：根据记录，小虫共爬行的距离为：， 所以，小虫共可得到粒芝麻． 27．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了天中每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 (1)求出这天的行驶路程中最多的一天比最少的一天多行驶多少千米? (2)若每行驶需用汽油升，汽油每升元，计算小明家这天的汽油费用共是多少元? 【答案】(1)； (2)元 【分析】本题考查了有理数运算的应用. 解题关键点：理解题意，列出算式，正确计算. （1）用减去即可得解； （2）先求出这天的总路程，进而即可得解。 【详解】（1）解：， 答：最多的一天比最少的一天多行驶； （2）解：天总共行驶的路程为： 汽油费用共为：（元）． 28．课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 【答案】（）；（）见解析；（）见解析，． 【分析】（）根据图中数据计算即可作答； （）先将已知的个数求和，再除以即可求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和，根据幻方的特点可知，已知的从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，据此填表即可； （）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （）， 即幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于， 根据幻方的特点可知：从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起， 即三阶幻方如下： （答案不唯一） （）解：将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为． $$