第1章《集合》同步单元必刷卷（培优卷）-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

第1章《集合》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 2．已知集合，，，则集合C中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（    ）名 A．7 B．8 C．9 D．10 4．设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，且，则（     ） A． B． C．或 D． 7．若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 8．已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（    ） A．若P有2个元素，则Q有3个元素 B．若P有2个元素，则有4个元素 C．若P有2个元素，则有1个元素 D．存在满足条件且有3个元素的集合P 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，，都有，，ab，（除数），则称P是一个数域．例如有理数集Q是一个数域；数集也是一个数域．下列关于数域的命题中是真命题的为（    ） A．0，1是任何数域中的元素 B．若数集M，N都是数域，则是一个数域 C．存在无穷多个数域 D．若数集M，N都是数域，则整数集 11．对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合或，，若，则实数的取值范围 ． 13．用列举法表示集合＝ ． 14．设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有 个元素. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 16．集合，集合. (1)当时，求，； (2)若，求实数m的取值范围. 17．集合，集合， (1)若，求实数的取值范围. (2)若，求实数的取值范围. 18．已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出A中其他所有元素． (2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数，再求出A中的元素． (3)根据（1）（2），你能得出什么结论？ 19．已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． (1)设，，，试判断，与A之间的关系； (2)任取，试判断，与A之间的关系． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章《集合》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由两集合相等，元素完全一样，则可列出等式，结合集合中元素满足互异性即可解出答案. 【详解】因为，所以或，解得或或， 又集合中的元素需满足互异性，所以， 则． 故选：C. 2．已知集合，，，则集合C中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由列举法列出集合的所有元素，即可得答案. 【详解】因为，，所以或或或， 故，即集合中含有个元素； 故选：C. 3．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（    ）名 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生. 【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人， 因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名， 只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人. 故选：D.    4．设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合是否为空集进行分类讨论可求的范围． 【详解】当时，，则，即， 当时，若，则或， 解得或， 综上，实数的取值范围为． 故选：D． 5．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可. 【详解】易知集合，， 则中前面的系数应为的最小公倍数，故排除A，B， 对于C，当时，集合为， 而令，可得不为整数，故不含有7， 可得中不含有7，故C错误， 故选：D 6．已知集合，且，则（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由题意可知，分和两种情况，解得，进而可得集合. 【详解】因为，可知， 若，则， 此时，，不合题意； 若，则， 此时，，符合题意； 综上所述：，，则. 故ABC错误，D正确. 故选：D. 7．若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，求出集合即可得解. 【详解】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为. 故选：B. 8．已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（    ） A．若P有2个元素，则Q有3个元素 B．若P有2个元素，则有4个元素 C．若P有2个元素，则有1个元素 D．存在满足条件且有3个元素的集合P 【答案】C 【分析】若集合中有个元素，设，根据集合中元素的特性和题设条件进行分析推导，可判断出选项ABC；假若有个元素，设，再根据题设条件推导分析，可得到中还有第四个元素，推出矛盾，从而可判断出D选项. 【详解】若有2个元素，设，则， 因为至少有个元素，所以中除外至少还有一个元素， 不妨设，，则， 若，则且， 所以，与假设矛盾，所以， 所以或， 当时，则，所以， 若，则，与矛盾，所以，同理可知， 所以此时，； 当时，则，所以， 若，则，与矛盾，所以，同理可知， 此时，； 由上可知，当有2个元素，则有个元素，有个元素，有个元素， 故A错误，B错误，C正确； 不妨假设有个元素，设，则为互不相等的正数， 由③可知：， 又因为为互不相等的正数，所以也为互不相等的正数， 由②可知：都是集合的元素， 因为为互不相等的正数，所以都是不等于的正数，所以， 又因为为互不相等的正数，所以， 考虑到和，若，则为互不相等的正数， 又因为，所以，所以是与不相等正数， 因为都是集合的元素，所以集合中至少有个元素，这与假设矛盾， 因此考虑的情况，所以，同理可得，所以， 所以，这与集合中元素的互异性矛盾，所以有个元素不可能成立，故D错误； 故选：C. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由，利用条件②和③判断选项AB；得，根据，由②得到，再根据，利用②判断选项C；根据，，利用②得到，再由③得到，，进而再由②判断. 【详解】因为，由②得，，，由③得，故A正确，B错误； 因为，由②得，所以，故C正确； 因为，，由②得，由③得，，由②得，由③得，由②得，故D正确； 故选：ACD 10．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，，都有，，ab，（除数），则称P是一个数域．例如有理数集Q是一个数域；数集也是一个数域．下列关于数域的命题中是真命题的为（    ） A．0，1是任何数域中的元素 B．若数集M，N都是数域，则是一个数域 C．存在无穷多个数域 D．若数集M，N都是数域，则整数集 【答案】ACD 【分析】AD选项，由数域定义可得答案；B选项，通过举反例判断选项正误；C选项，由题可知为素数为数域，据此可得答案. 【详解】A选项，根据定义，由，则，则0，1是任何数域中的元素，故A正确； B选项，若数集都是数域，不妨设， . 取，则，则不是一个数域，故B错误； C选项，由题可知，任何一个形如，是素数的集合都是数域，而素数有无穷多个，并且不同时集合也不同，故存在无穷多个数域，故C正确； D选项，由0，1是任何数域中的元素可得依次类推，整数集是任何数域的子集，若数集都是数域，则，则整数集，故D正确． 故选：ACD． 11．对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】AC 【分析】分别将各选项中式子或者集合变形，判断是否能变形成与集合M中元素一样的特征. 【详解】对于A，，则恒有， 即，则，故A选项正确； 对于B，，若，则存在使得， 即，又和同奇或同偶， 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数； 若和都是偶数，则能被4整除，而不一定能被4整除， 所以不能得到，故B选项错误； 如果，可设， 对于C，， 可得，故C选项正确； 对于D，， 不一定成立，不能得到，故D选项错误. 故选：AC 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合或，，若，则实数的取值范围 ． 【答案】或 【分析】根据，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围. 【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示， 或 要使，只需或，解得或． 所以实数的取值范围或. 故答案为：或 13．用列举法表示集合＝ ． 【答案】{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}. 【分析】利用题目条件，依次代入，使，从而确定出的值，即可得到答案 【详解】， 为的因数 则 则答案为 【点睛】本题主要考查了集合的表示法，理清题意，找出满足条件的因数是关键，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于基础题． 14．设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有 个元素. 【答案】 【分析】由题可知有4个元素，根据集合的新定义，设集合，且，，分类讨论和两种情况，并结合题意和并集的运算求出，进而可得出答案. 【详解】解：由题可知，，有4个元素， 若取，则，此时，包含7个元素， 具体如下： 设集合，且，， 则，且，则， 同理， 若，则，则，故，所以， 又，故，所以， 故，此时，故，矛盾，舍去； 若，则，故，所以， 又，故，所以， 故，此时， 若，则，故，故， 即，故， 此时，即中有7个元素. 故答案为：7. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 16．集合，集合. (1)当时，求，； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别求解两个集合，再求集合的交，并集； （2）由条件可知，，再分和两种情况，求实数的取值范围. 【详解】（1）解不等式，得， 所以， 当时，则， 所以，； （2）因为，所以 当时，，即，此时； 当时，，则，解得:， 综上所述，实数m的取值范围是. 17．集合，集合， (1)若，求实数的取值范围. (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分类讨论是否为空集，当时，根据子集关系列式，解不等式可得结果； （2）先求时，实数的取值范围，再求其补集即可得解. 【详解】（1）①当时，， 此时,解得， ②当时，为使，需满足，解得， 综上所述：实数的取值范围为. （2）先求时，实数的取值范围，再求其补集， 当时，由（1）知， 当时，为使，需满足或， 解得， 综上知，当或时，， 所以若，则实数的取值范围是. 18．已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出A中其他所有元素． (2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数，再求出A中的元素． (3)根据（1）（2），你能得出什么结论？ 【答案】(1)A中其他所有元素为，，2 (2)0不是A中的元素，答案见解析 (3)A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数． 【分析】（1）把代入，得出数值后再代入，直至出现重复数即可求解. （2）假设，计算并导出矛盾得0不是的元素，取，求出集合中元素即可. （3）由（2）可观察出中不能取的数，分析（1）（2）中的四个值的特点得出结论，进而由“若，则”推证即可. 【详解】（1）由题意，可知， 则，，，， 所以A中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是A中的元素． 取，则，，，， 所以当时，A中的元素是3，，，． （3）猜想：A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数． 由（2）知0，， 若，则，与矛盾， 则有，即，0，1都不在集合A中． 若实数，则，， ，． 结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素，，，且，． 显然，否则，即，无实数解． 同理，，即A中有4个元素． 所以A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数． 19．已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． (1)设，，，试判断，与A之间的关系； (2)任取，试判断，与A之间的关系． 【答案】(1)，，． (2)，． 【分析】（1）利用分母有理化和完全平方公式进行化简即可； （2）设,，然后将，表示出来，进行判断即可. 【详解】（1）∵，∴． ∵,∴． ∵，∴． 综上，，，． （2） 任取，设，， 则， 其中，，∴． ∵， 其中，，∴． 综上，，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$