第一单元分数乘法解决问题（讲义）-2024-2025学年六年级数学上册人教版

第一单元分数乘法-解决问题（单元讲义） 六年级数学上册人教版 知识梳理 精讲例题 专项练习 思维导图 答案详解 思维导图 知识梳理 【分数乘分数知识点归纳】 分数乘法的计算法则 1、整数和分数相乘：整数和分子相乘的积作分子，分母不变。 2、分数和分数相乘：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 3、注意：能约分的先约分，然后再乘，得数必须是最简分数。当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 【方法总结】 分数大小的比较： 1、一个数（0除外）乘以一个真分数，所得的积小于它本身。一个数（0除外）乘以一个假分数，所得的积等于或大于它本身。一个数（0除外）乘以一个带分数，所得的积大于它本身。 2、如果几个不为0的数与不同分数相乘的积相等，那么与大分数相乘的因数反而小，与小分数相乘的因数反而大。 【分数乘法知识点归纳】 分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算． 乘积是1的两个数叫做互为倒数． 分数乘法法则： （1）分数乘以整数或整数乘以分数：由于任何整数（0除外）都可以化成分母是1的假分数，分数乘以整数或整数乘以分数，都可以转化成分数乘以分数的形式．因此，在计算中，是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变．在乘的过程中，如果有可以约分的数，可以先约分，这样，可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便． （2）分数乘以分数：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母．为了使计算简便，在计算的过程中，能够约分的，要约分． （3）带分数乘法：先把带分数化成假分数，然后再乘．结果是假分数时，要把假分数化成带分数或整数． 分数乘法的运算定律： （1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变． （2）结合律：三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，或者先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，它们的积不变． （3）乘法分配律：两个分数的和与一个分数相乘所得的积，等于每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和． 精讲例题 【例题一】邻居李奶奶在卖水果，一袋苹果5千克。妈妈买了一袋苹果的，李奶奶又送给妈妈千克。妈妈一共买到了多少千克苹果？ 【答案】．5×＋ 【分析】将一袋苹果质量看作单位“1”，一袋苹果质量×妈妈买的对应分率＋李奶奶送给妈妈的质量＝妈妈一共买到的质量。 【详解】5×＋ ＝＋ ＝3（千克） 答：妈妈一共买到了3千克苹果。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数乘法的意义。 【例题二】一筐苹果有100个，李叔叔拿出送给小华。小华又分了送给王爷爷，小华最终留下了多少个苹果。 【答案】．20个 【分析】用苹果总数100个乘，求出小华的苹果数。用小华的苹果数乘（1－），求出小华最终留下的苹果数。 【详解】100××（1－） ＝40× ＝20（个） 答：小华最终留下了20个苹果。 【点睛】本题考查了分数乘法应用题，求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。 【例题三】聪聪调查了五（1）班50名同学最喜欢吃的水果情况。有的同学最喜欢吃香蕉，有的同学最喜欢吃苹果。最喜欢吃香蕉的和最喜欢吃苹果的一共有多少人？ 【答案】．35人 【分析】从题意可知，以五（1）班50名同学为单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算；据此分别求出最喜欢吃香蕉的和最喜欢吃苹果的有多少人，再求和即可。 【详解】50×＋50× ＝20＋15 ＝35（人） 答：最喜欢吃香蕉的和最喜欢吃苹果的一共有35人。 【例题四】彭家寨旅游地要铺设一条480米的石子路，第一天铺了，第二天铺了剩下的，第三天要全部铺完，问第三天要铺多少米？ 【答案】．128米 【分析】把这条石子路的全长看作单位“1”，第一天铺了全长的，根据求一个数的几分之几是多少，用全长乘，求出第一天铺的长度； 再用全长减去第一天铺的长度，即是还剩下的长度；已知第二天铺了剩下的，把还剩下的长度看作单位“1”，单位“1”已知，用剩下的长度乘，求出第二天铺的长度； 最后用全长分别减去第一天、第二天铺的长度，即是第三天铺的长度。 【详解】第一天铺了：480×＝160（米） 第二天铺了： （480－160）× ＝320× ＝192（米） 第三天铺了： 480－160－192 ＝320－192 ＝128（米） 答：第三天要铺128米。 【点睛】本题考查分数乘法的应用，找出单位“1”，区分两个单位“1”的不同，单位“1”已知，根据分数乘法的意义解答。 专项练习 1．县上举行美术作品比赛，六（1）班交了15件作品，六（2）班比六（1）班少交。六（2）班交了多少件作品？(只列式不计算) 2．小红已经读了一本书的，已知这本书有160页，小红已经读了多少页？ 3．地球上鸟类约有9000种，爬行动物是鸟类的，非哺乳动物又是爬行动物的，非哺乳动物约有多少种？ 4．水结成冰后，体积大约增加。现有30升的水，能结成多少立方分米的冰？ 5．李阿姨自己现榨果汁升来招待客人，每个玻璃杯的容量是200毫升，可以倒满几杯？ 6．李叔叔要把新生产的200千克食品包装起来，每袋装2千克，已经装好了，已经装了多少袋？ 7．一堆煤，第一天用去吨，第二天用去的是第一天的，第二天用去多少吨？ 8．一批水泥，用去l20吨，剩下的是用去的，这批水泥有多少吨？（用两种方法解答） 9．一项工程，甲做10天乙做20天完成，或甲做15天乙做12天也能完成。现在乙先做4天，问甲还要做多少天完成？ 10．甲、乙两个商场都以90元一套的价格批发同一批儿童运动装，甲商场在批发价的基础上加价30元出售，乙商场加价出售。哪个商场的出售价高？高多少？ 11．爸爸每月收入4600元,妈妈每月收入3400元｡全家每月生活费占爸妈总收入的,全家每月生活费是多少元? 12．一本故事书共210页。小明第一天看了28页，第二天看了22页，还要看多少页才能看完全书的？ 13．某修路队修一条长2400米公路，第一周修了全长的，剩下的第二周修完，第二周要修多少米？ 14．一条路80千米，第一次行了它的，第二次行了千米，还剩下多少千米？ 15．某种松鼠的体长在20cm到28cm之间，它的尾巴约占体长的，尾巴最长约有多长？ 16．公园新种植了960棵杜鹃花，种植的月季花棵数比杜鹃花少，种植的月季花有多少棵？ 17．4月23日是“世界读书日”，小星的班级在4月举行了“读书节”活动，班级图书角采购新的一批科技类、文学类书籍共100本，科技类占采购书籍的，文学类书籍有多少本？ 18．某工厂八月份产值是35万元，九月份比八月份增长了 ，九月份的产值是多少万元？ 19．青少年心跳每分钟约75次，婴儿每分钟心跳的次数比青少年多，婴儿每分钟心跳多少次？ 20．实验小学绘画组有63人，书法组的人数比绘画组少，书法组有多少人？ 21．甲、乙两地相距420km，一辆汽车上午7：30从甲地开往乙地，到上午11：30正好行驶了全程的。这辆汽车平均每小时行驶多少千米？ 22．你能把一个等边三角形分成大小，形状都相同的3个，4个，6个三角形吗？ 23．有一组互相咬合的齿轮，大齿轮有75个齿，小齿轮的齿数比大齿轮少，小齿轮有多少个齿？ 24．李师傅运进一批水果，苹果的重量是80千克，梨的重量是苹果的，香蕉的重量是梨的。运进的香蕉有多少千克？（先画图，再解答。） 画图： 列式解答： 25．1kg芝麻可以榨出kg芝麻油，1kg油菜籽榨出的菜籽油是1kg芝麻的，1kg油菜籽可以榨出多少千克菜籽油？ 26．某工厂上半年生产口罩约255万个，下半年生产口罩的数量是上半年。这个工厂今年口罩总产量大约多少万个？ 27．六年级三个班学生帮助图书室修补图书。一班修补了54本，二班修补的本数是一班的，三班修补的是二班的。三班修补图书多少本？ 28．读一本420页的课外书，第一周读了，第二周读了剩余的。第三周从第几页读起？ 29．慈溪市掌起镇每年举行“桃花节”活动，去年参加的游客总人数为20万人次，今年比去年增加．今年参加活动的游客有多少万人次？ 30．水凝结成冰后，冰的体积比水的体积增加．3.3立方分米的水凝结成冰后，冰的体积是多少立方分米？ 参考答案： 1．15×（1－） 2．60页 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用160乘即可。 【详解】160×＝60（页） 答：小红已经读了60页。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 3．2000种 【分析】求一个数的几分之几是多少用乘法计算，用9000乘是爬行动物的种类，用爬行动物的数量乘是非哺乳动物的种类。据此解答。 【详解】9000×＝6000（种） 6000×＝2000（种） 答：非哺乳动物约有2000种。 【点睛】本题主要考查了学生根据分数乘法的意义列式解答问题的能力。 4．33立方分米 【分析】根据1升＝1立方分米，可知30升＝30立方分米，水结成冰后，体积大约增加，则把水看作单位“1”，冰的体积是水的（1＋），根据分数乘法的意义，用30×（1＋）即可求出冰的体积。 【详解】30升＝30立方分米 30×（1＋） ＝30× ＝33（立方分米） 答：能结成33立方分米的冰。 【点睛】本题主要考查了分数乘法的应用，明确求比一个数多几分之几的数是多少，用乘法计算。 5．7杯 【分析】升＝1400毫升，用果汁的总升数除以每个玻璃杯的容量即可解答。 【详解】升＝1400毫升 1400÷200＝7（杯） 答：可以倒满7杯。 【点睛】解答本题的关键是先进行单位换算，再看1400毫升里面有多少个200毫升。 6．60袋 【分析】每袋装2千克，那么200千克里面有多少个2千克就是可以装多少袋，即袋，然后把总袋数看成单位“1”，已经装好了，用总袋数乘这个分率即可求出已经装了多少袋。 【详解】 （袋） 答：已经装了60袋。 【点睛】解决本题先根据除法的包含意义求出可以装的袋数，再根据分数乘法的意义求解。 7．答：第二天用去吨 【详解】×=（吨） 答：第二天用去吨 8．答：这批水泥有186吨 【详解】方法一 120 =120÷ =186（吨） 答：这批水泥有186吨 方法二 120+120× =120+66 =186（吨） 答：这批水泥有186吨 9．20天 【分析】甲10天＋乙20天＝1；甲15天＋乙12天＝1，所以工作量：甲10天＋乙20天＝甲15天＋乙12天，等式两端消去相等的工作量得：乙8天＝甲5天，即乙工作8天的工作量让甲去做只要5天就能完成，那么整个工程全让甲做要15＋12×＝22.5天．现在乙了4天就相当于甲做了4×＝2.5天，所以甲还要做20天。 【详解】甲10天＋乙20天＝甲15天＋乙12天， 等式两端同时减去甲10天，乙12天的工作量得： 乙8天＝甲5天，即乙的工作效率是甲的；则甲独做需要：15＋12×＝22.5（天） 乙独做4天后甲还要：22.5－4×＝20（天） 答：甲还要做20天。 【点睛】由“甲做10天乙20天完成，甲15天乙12也能完成”这个条件列出等量关系式推出甲乙的效率比是完本题的关键。 10．甲商场的售价高，高7.5元。 【分析】由题意可知，甲商场的售价为90＋30＝120元；根据求一个数的几分之几是多少，乙商场的售价为90×（1＋）元，据此分别求出两个商场的售价，再进行比较，最后再相减即可。 【详解】90＋30＝120（元） 90×（1＋） ＝90× ＝112.5（元） 120＞112.5 120－112.5＝7.5（元） 答：甲商场的售价高，高7.5元。 【点睛】本题考查求比一个数多几分之几的数是多少，明确用乘法是解题的关键。 11．3000元 【详解】(4600+3400)× =8000× =3000(元) 答:全家每月生活费是3000元｡ 12．40页 【分析】先算出这本书的是多少页，再用求出的页数减去第一天看的页数以及第二天看的页数，据此解答。 【详解】210×－28－22 ＝90－28－22 ＝62－22 ＝40（页） 答：还要看40页才能看完全书的。 【点睛】此题考查了分数乘法。要求熟练掌握并灵活运用。 13．1500米 【分析】把公路的全长看作单位“1”，，用公路的全长乘1减去第一周修的即可。 【详解】2400×（1－） ＝2400× ＝1500（米） 答：第二周要修1500米。 【点睛】本题考查分数混合运算及应用。 14．19千米 【详解】80×（1-）-=19（千米） 15．21厘米 【分析】将最长体长看作单位“1”，最长体长×尾巴对应分率即可。 【详解】28×＝21（厘米） 答：尾巴最长约有21厘米。 【点睛】关键是理解分数乘法的意义，整体数量×部分对应分率＝部分数量。 16．720棵 【分析】由题意可知，月季花的棵数是杜鹃花的（1－），再根据分数乘法的意义解答即可。 【详解】 ＝960× ＝720（棵）； 答：种植的月季花有720棵。 【点睛】明确月季花的棵数是杜鹃花的几分之几是解答本题的关键。 17．60本 【分析】把采购书籍的总本数看作单位“1”，已知科技类占采购书籍的，那么文学类书籍占采购书籍的（1－），单位“1”已知，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出文学类书籍的本数。 【详解】100×（1－） ＝100× ＝60（本） 答：文学类书籍有60本。 【点睛】本题考查分数乘法的应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义解答。 18．40万元 【详解】35+35× =35+5 =40(万元) 答：九月份的产值是40万元。 19．135次 【分析】由“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多”，把青少年心跳次数看作单位“1”，单位“1”知道用乘法解答。 【详解】75×（1＋） ＝75× ＝135（次） 答：婴儿每分钟心跳135次。 【点睛】本题运用解决“分数比多比少的”解答方法进行解答即可。 20．56人 【分析】把绘画组人数看作单位“1”，用绘画组人数乘（1－），就是书法组人数；据此解答即可。 【详解】63×（1－） ＝63× ＝56（人） 答：书法组有56人。 【点睛】本题主要考查了分数乘法应用题，解题的关键是正确找出单位“1”及对应的分率。 21．70km 【分析】上午7：30到上午11：30一共4个小时，用420×求出路程，速度＝路程÷时间。 【详解】420×÷4 ＝280÷4 ＝70（km） 答：这辆汽车平均每小时行驶70千米。 【点睛】此题考查速度的求法以及分数乘法的意义的应用，求一个数的几分之几是多少用分数乘法。 22．（1）分成3个： （2）分成4个： （3）分成6个： 【详解】试题分析：一个等边三角形分成3个：每个角作角的平分线，三条平分线交点是三角形的中心，以此交点连接三角形的三个顶点． 一个等边三角形分成4个：将三条边的中点连成一个新的三角形，同时将三角形平分4个． 一个等边三角形分成6个：每个角作角的平分线，三条平分线交点是三角形的中心，此交点连接三角形的三个顶点，再将中心点与三条边的中点相连． 解：分法见下图： （1）分成3个： （2）分成4个： （3）分成6个： 点评：等边三角形是一个轴对称的图形，它的3条边都相等，因此只要连接每边中点都可以把它分割成若干形状、大小相同的三角形． 23．45个 【分析】小齿轮的齿数比大齿轮少，则小齿轮齿数数是大齿轮齿数的1－。 【详解】75×（1﹣） ＝75× ＝45（个） 答：小齿轮有45个齿。 【点睛】此题考查分数乘法的计算以及分数乘法的意义的应用，求一个数的几分之几是多少用分数乘法。 24．作图见详解；48千克 【分析】将苹果质量看作单位“1”，画一条线段表示梨的质量，苹果质量平均分成5份，梨占这样的4份；再将香蕉质量看作单位“1”，香蕉占其中的3份，据此作图；苹果质量×梨的对应分率×香蕉对应分率＝香蕉质量，据此列式解答。 【详解】画图如下： 80×× ＝64× ＝48（千克） 答：运进的香蕉有48千克。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数乘法的意义。 25．kg 【详解】×=（kg） 答：1kg油菜籽可以榨出千克菜籽油 26．459万个 【分析】由题意可知，把上半年生产口罩数看作单位“1”，根据下半年生产口罩的数量是上半年，用乘法求出下半年生产口罩数量，再相加得解。 【详解】255＋255× ＝255＋204 ＝459（万个） 答：今年口罩总产量大约459万个。 【点睛】此题考查的是求一个数的几分之几是多少用乘法。 27．60本 【分析】用一班修补的54本乘，先求出二班修补的。再将二班修补的乘，求出三班修补的。 【详解】54×× ＝45× ＝60（本） 答：三班修补了60本。 【点睛】本题考查了分数乘法的应用，求一个数的几分之几是多少，用乘法。 28．169页 【分析】第一周读了420页的，即读了420×＝105页，余下420－105＝315页；第二周读了余下的，即读了315×＝63页；前2周共看了105＋63＝168页，所以第三周从168＋1＝169页看起。 【详解】420×＝105（页） （420－105）× ＝315× ＝63（页） 105＋63＋1 ＝168＋1 ＝169（页） 答：第三周从第169页读起。 【点睛】此题考查分数乘法应用题，解决此题的关键是两个单位“1”的不同，的单位“1”是全书的页数；的单位“1”是第一周读完剩下的页数。 29．25万人 【详解】20×（1+）=25（万人） 30．答：冰的体积是3.63立方分米 【详解】3.3×（1+）=3.3×=3.63（立方分米）； 答：冰的体积是3.63立方分米 学科网（北京）股份有限公司 $$