第五单元圆（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

第五单元圆（单元讲义） 六年级数学上册人教版 知识梳理 精讲例题 专项练习 思维导图 答案详解 思维导图 知识梳理 一、认识圆形 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等. 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。 用字母表示为：d=2r或r=d÷2 8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。 10、只有1条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆;只有2条对称轴的图形是： 长方形;只有3条对称轴的图形是： 等边三角形;只有4条对称轴的图形是： 正方形;有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。 １１、画对称轴要用铅笔画，同时要用尺子（三角板）画出虚线，这条虚线两端要超出图形一点。 　二、圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。 3、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π(pai) 表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 (1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。 (2)、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。　 4、圆的周长公式： 圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示C= πd 或圆的周长等于２乘圆周率乘半径，用字母表示C=2πr (1)、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示d = C ÷π (2)、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的２倍字母表示 r = C ÷ 2π 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 6、区分周长的一半和半圆的周长： (1)、半圆弧的周长（周长的一半）：等于圆的周长÷2 计算方法：2π r ÷ 2 即C半= π r (2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：半圆的周长=5.14 r （推导过程C半=2π r ÷ 2+d=πr+d=πr+2r =5.14 r） 　三、圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。 2、圆面积公式的推导：(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。 (2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。 　　圆的半径 　　 = 　　长方形的宽 　　圆的周长的一半　 = 　　长方形的长 3、圆面积的计算方法：因为：长方形面积 = 长 ×宽 　所以：圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径 　即S圆 = Ｃ÷2× r＝πr × r＝πr 　圆的面积公式：S圆 =πr 4、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表示。 S环 = πR-πr或环形的面积公式：S环 = π(R-r)（建议用这个公式）。 5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大3的平方倍得到9倍。 6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如：两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9 7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π 8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。 9、常用各π值结果：π = 3.14；2π = 6.28 ；5π=15.7　 10、外方内圆（内切圆）公式S=S正-S圆或S=0.86r。 11、外圆内方（外切圆）：把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径，高是半径，公式S=S圆-S正=S圆-dr或S=1.14r 12、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。 S扇=S圆×；S扇环=S环× 求阴影部分的面积：S阴影=大图形的面积-小图形的面积，也可用割补法把阴影部分组合成一个图形。 精讲例题 【例题一】．通过计算，画出周长是15.7厘米的圆． 计算过程： 画图： 【答案】．如图 【详解】试题分析：先依据圆的周长公式求出圆的半径，再以任意一点为圆心，以求出的半径为半径，即可画出符合要求的圆． 解：因为15.7÷3.14÷2=2.5（厘米）， 所以以任意一点O为圆心，以2.5厘米为半径，画圆如下： ． 点评：此题主要考查圆的基本画法，关键是先求出圆的半径． 【例题二】．计算下面图中阴影部分的面积。已知大三角形高5厘米，面积是30平方厘米。（单位：厘米） 【答案】．26.52平方厘米 【分析】根据题意，用大三角形的面积乘2再除以高，求出底边BC的长度，也就是半圆的直径，进而求出半圆的半径，用半圆的面积减去大三角形的面积，就是阴影部分的面积；根据圆的面积公式：，解题即可。 【详解】30×2÷5÷2 ＝60÷5÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） 3.14×62÷2－30 ＝3.14×36÷2－30 ＝113.04÷2－30 ＝56.52－30 ＝26.52（平方厘米） 答：阴影部分的面积是26.52平方厘米。 【点睛】熟记三角形、圆的面积计算公式，是解答此题的关键。 【例题三】．一个圆形喷水池，半径8米，正中间有一个圆形小岛，半径6米。这个喷水池的水面面积是多少平方米？ 【答案】．87.92平方米 【分析】由题意可知，喷水池的水面面积等于整个喷水池的面积减去中间圆形小岛的面积，根据圆的面积公式进行计算即可。 【详解】3.14×82－3.14×62 ＝3.14×64－3.14×36 ＝3.14×（64－36） ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） 答：这个喷水池的水面面积是87.92平方米。 【点睛】本题考查圆的面积，熟记公式是解题的关键。 【例题四】．王阿姨要用绳子把两根圆柱形塑料管捆扎起来（如下图），塑料管的外直径是6cm，打结处需要15cm长的绳子。大约需要多少厘米长的绳子？（得数保留整数） 【答案】．46厘米 【分析】由图可知，绳子的总长＝圆的周长＋直径×2＋打结处绳子的长度，据此解答。 【详解】 3.14×6＋6×2＋15 ＝18.84＋12＋15 ＝30.84＋15 ≈46（厘米） 答：大约需要46厘米长的绳子。 【点睛】作辅助线分析绳子总长度的组成部分是解答题目的关键。 专项练习 1．地球赤道的半径大约是6400km．绕地球赤道走一圈，大约是多少千米？ 2．如下图，正方形的边长是4cm，四个同样大小圆的圆心分别是正方形的四个顶点，求阴影部分的面积。 3．学校STEAM活动中有两辆赛车模型进行比赛（轨道如图），A车跑内圈2个半圆，B车跑外圈一个大半圆。如果赛车的速度相同，哪辆赛车会赢？（提示：用算式、文字或其它方法解决问题） 4．一个圆形花坛的直径是20米，现在要在花坛周围修一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少？（结果保留整数） 5．如图所示，这个爱心图标是由一个正方形和两个完全一样的半圆拼成，已知正方形的边长是4，求这个爱心图标的面积。 6．一个圆形喷水池的周长是62.8m，在离水池边0.5m的外面围上栏杆．栏杆长多少米? 7．小明去广场玩的时候发现广场有一个周长为50.24米的圆形花坛，外面铺了一条宽为1米的石子路。你能帮小明算算石子路的面积有多大吗？ 8．“没有全民健康，就没有全面小康”，国家重视人民群众的身体健康，将全民健身上升到国家战略的新高度。小旭每天都会围着操场跑5圈（如图），他每天大约跑多少米？ 9．将直径是2cm的圆沿长方形内侧无滑动地滚动一圈（如图），求：   （1）圆心所经过的路线的长度。     （2）长方形内圆未经过部分的面积。 10．把4个半径是8厘米的圆柱形饮料瓶用绳子捆扎在一起（如图，只捆一圈），如果接头部分用去20厘米，共需要多少厘米绳子？ 11．光盘的银色部分是一个圆环，内直径是0.4分米，外半径是6厘米，光盘的面积是多少？ 12．一个正方形的边长为3厘米，在正方形内画一个最大的圆．这个圆的面积是多少？ 13．一台压路机的前轮直径是2.1米，如果前轮每分钟转动8周，压路机10分钟前进多远？ 14．在一个圆形亭子里，小丽沿着直径从一端走12步到达另一端，每步长大约是55cm。这个圆的周长大约是多少米？ 15．用一根铁丝围成一个正方形，它的边长是9.42cm．若用这根铁丝围成一个圆，则圆的面积是多少平方厘米？ 16．正方形ABCD的边长是8厘米，现在把正方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，那么点B经过的路线长多少厘米？ 17．（如图所示）圆与长方形的面积相等，长方形的长是12.56厘米。求阴影部分的面积是多少平方厘米？ 18．某广场半圆形大舞台的曲线长是50.24m．由于演出需要将这个半圆形大舞台的半径增加2m．请你算一算，增加半径后这个舞台的面积是多少平方米？ 19．有一个周长为62.8米的圆形花坛，要在其周围铺设2m宽的石头小路，这条石头小路的面积是多少平方米？ 20．用圆规可以画出许多美丽的图案．请仔细观察如图1的图案，想一想它们是怎样用圆规画出来的．你还能画出其他的图案吗？这些图案有什么特点？ 在方格纸上（如图2）试着画一画． 21．一个圆形花坛的直径是4米，在它的周围修一条宽1.2米的石子路，这条路的面积是多少平方米？（只列式不解答） 22．王爷爷靠墙用篱笆围了一个半圆形的鸡舍（如下图），篱笆的长是31.4米，这个鸡舍的占地面积是多少平方米？ 23．为美化校园环境，学校准备在半径是6米的花坛（如图）外围铺一条2米宽的环形小路。这条小路的面积是多少平方米？ 24．一家火锅店开张，店内特制的火锅（如图）直径是40厘米，现在要在火锅的周围配上宽的桌面。这张圆桌的面积有多大？ 25．一个运动场跑道的形状与大小如图．两边是半圆形，中间是长方形，这个运动场的占地面积是多少？ 26．（1）在下面的正方形内画一个最大的圆。 （2）在圆中画一个圆心角是120°的扇形，求出扇形的面积。 27．请将下面的直角三角形先分割成两部分，拼成一个已学过的四边形，然后再在这个四边形中画一个最大的圆．（若没有圆规，画出草图也可以） 28．下图是由两个正方形和一个圆组成的，已知大正方形的面积是，那么阴影部分的面积是多少？（圆周率取3.14） 参考答案： 1．40192千米 【详解】3.14×6400×2=40192（千米） 2．3.44平方厘米 【分析】根据题意，结合图形可知阴影部分的面积算式正方形的面积减去四个圆的面积（即一个圆形的面积）。根据正方形的面积公式S＝，圆的面积公式解答即可。 【详解】4÷2＝2（厘米） 4×4－3.14× ＝16－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（平方厘米） 答：阴影部分的面积是3.44平方厘米。 【点睛】此题考查了圆的面积公式和正方形的面积公式。 3．两车同时到达终点 【分析】A车跑的路程为一个小圆的周长，B车跑的路程为大圆周长的一半，赛车的速度相同，比较两车跑的路程，路程短的赛车会赢。 【详解】A车：3.14×4＝12.56（米） B车：2×3.14×4× ＝（3.14×4）×（2×） ＝12.56×1 ＝12.56（米） 因为A车路程＝B车路程，A车速度＝B车速度，所以两车同时到达终点。 答：两辆赛车同时到达终点。 【点睛】掌握圆的周长计算方法是解答题目的关键。 4．66平方米 【分析】求小路的面积也就是求环形的面积，找到大圆的半径和小圆的半径，直接带入环形的面积公式S＝π×（R²－r²）即可求解。 【详解】20÷2＝10（米） 10＋1＝11（米） 3.14×（11²－10²） ＝3.14×21 ＝65.94（平方米） ≈66（平方米） 答：小路的面积约是66平方米。 【点睛】掌握环形的面积公式是解决本题的关键。 5．28.56dm2 【分析】根据题意可知，这是个边长是4dm正方形和两个直径是4dm的半圆，求这个图形的面积就是正方形的面积+圆的面积，根据正方形面积公式和圆的面积公式，代入数据，即可解答。 【详解】4×4＋3.14×（4÷2）2 ＝16＋3.14×4 ＝16＋12.56 ＝28.56（dm2） 答：这个爱心图标的面积是28.56dm2。 【点睛】本题考查正方形面积公式和圆的面积公式的运用，熟记公式，灵活运用。 6．65.94米 【详解】3.14×(62.8÷3.14+0.5×2)=65.94(m) 7．53.38平方米 【分析】由题意可知，就是求圆环的面积，先求出小圆的半径，即50.24÷3.14÷2，加1米求出大圆的半径，再根据“”进行解答即可。 【详解】50.24÷3.14÷2 ＝16÷2 ＝8（米）； 8＋1＝9（米）； 3.14×（9²－8²） ＝3.14×17 ＝53.38（平方米）； 答：石子路的面积为53.38平方米。 【点睛】求出大圆和小圆的半径是解答本题的关键。 8．906米 【分析】 操场的周长＝圆的周长＋长方形的长×2，小旭跑的路程＝操场的周长×5；利用圆的周长公式，代入数据，据此解答。 【详解】（30×3.14＋43.5×2）×5 ＝（94.2＋87）×5 ＝181.2×5 ＝906（米） 答：他每天大约跑906米。 9．(1)22cm (2)6.86cm2 【详解】（1）10-2=8（cm） 5-2=3（cm） （8+3）×2=22（cm） 答：圆心经过的路线长22cm。 （2）（2÷2）2×3.14×=0.785（cm2）    （1-0.785）×4=0.86（cm2） 0.86+（10-4）×（5-4）=6.86（cm2） 答：长方形内圆未经过部分的面积是6.86cm2。 10．134.24厘米 【分析】 如图：，捆扎饮料瓶的绳子可以看成由4条线段、4段圆弧和接头部分组成。每条线段的长度刚好是2条半径之和，即1条直径，4段圆弧的长合起来刚好是圆的周长，绳子长度＝半径×2×4＋圆的周长＋接头长度，圆的周长＝2×圆周率×半径，据此列式计算。 【详解】8×2×4＋2×3.14×8＋20 ＝64＋50.24＋20 ＝134.24（厘米） 答：共需要134.24厘米绳子。 11． 100.48平方厘米 【分析】求银色部分的面积就是求圆环的面积．已知内圆直径和外圆的半径，用内直径除以2得到内圆半径，再把内直径的单位转化为厘米，根据圆环面积公式S环＝π（R2－r2）代入数据直接计算即可。 【详解】 （平方厘米） 答：光盘的面积是100.48平方厘米。 12．7.065平方厘米 【详解】3.14×（3÷2）2 ＝3.14×1.52 ＝3.14×2.25 ＝7.065（平方厘米） 答：这个圆的面积是7.065平方厘米． 13．527.52米 【分析】前轮直径是2.1米，则前轮转动一周前进2.1π米，再乘8求出1分钟前进的多少米，最后乘10求出10分钟前进多少米。 【详解】3.14×2.1×8×10 ＝6.594×8×10 ＝52.752×10 ＝527.52（米） 答：压路机10分钟前进527.52米。 14．20.724米 【分析】每步长度×步数＝直径，圆的周长＝πd，据此列式解答。 【详解】12×55＝660（厘米）＝6.6（米） 3.14×6.6＝20.724（米） 答：这个圆的周长大约是20.724米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长公式，注意统一单位。 15．围成圆形的面积是113.04平方厘米 【详解】试题分析：根据题意，围成的正方形的边长是9.42厘米，根据正方形的周长公式可计算出正方形的周长，把同等长度围成圆形，根据圆的周长公式计算出圆的半径，再根据圆的面积公式列式解答即可得到答案． 解：正方形的周长：9.42×4=37.68（厘米）， 圆的半径：37.68÷3.14÷2=6（厘米）， 圆的面积：3.14×62=113.04（平方厘米）； 答：围成圆形的面积是113.04平方厘米． 点评：解答此题的关键是计算出正方形的周长也是圆的周长，然后再根据圆的周长公式计算出圆的半径即可． 16．12.56厘米 【分析】根据题意，正方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，那么点B经过的路线长就是半径为8厘米的圆的周长，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算即可求解。 【详解】2×3.14×8× ＝3.14×4 ＝12.56（厘米） 答：点B经过的路线长12.56厘米。 【点睛】本题考查圆的周长公式的灵活运用，关键是弄清点B经过的路线的形状。 17．37.68平方厘米 【分析】因为圆与长方形的面积相等，则阴影部分面积＝圆面积－圆面积＝圆面积，长方形的长是12.56厘米，宽正好是圆的半径，设半径为r，得12.56×r＝πr2，进而求出半径，再运用圆面积公式即可解答。 【详解】12.56×r＝πr2 则：r＝12.56÷3.14＝4（厘米） 3.14×42× ＝50.24× ＝37.68（平方厘米） 答：阴影部分的面积是37.68平方厘米。 【点睛】此题考查的是阴影部分面积的计算，根据圆与长方形的面积相等求出圆的半径是解题关键。 18．508.68 【详解】(50.24×2÷3.14÷2＋2)²×3.14÷2＝508.68() 答：增加半径后这个舞台的面积是508.68． 19．138.16平方米 【分析】由题意可知，就是求圆环的面积，根据“S环形＝π（R2－r2）”进行解答即可；根据“r＝c÷π÷2”求出花坛（小圆）的半径，再加上2m即可求出大圆的半径，再代入公式解答即可。 【详解】62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（米）； 10＋2＝12（米）； 3.14×（122－102） ＝3.14×44 ＝138.16（平方米）； 答：这条石头小路的面积是138.16平方米。 【点睛】熟练掌握圆的周长公式并能灵活利用、圆环的面积公式是解答本题的关键。 20．如图 【详解】试题分析：图1中的第一个图形是先画一个大圆，再把圆周平均分为4份，再顺次连接4个点，得到一个正方形，中以正方形的边长为直径画圆；图1中的第二个图形是先画一个大圆，再把圆周平均分为4份，相对的两个点连接，再以连出的半径为直径画圆，最后以半径的一半为为直径画圆； 如下图：画出三个同心圆，且从内到外的圆的半径依次增加1倍，即可得出一个图形． 解：图1中的第一个图形是先画一个大圆，再把圆周平均分为4份，再顺次连接4个点，得到一个正方形，中以正方形的边长为直径画圆；图1中的第二个图形是先画一个大圆，再把圆周平均分为4份，相对的两个点连接，再以连出的半径为直径画圆，最后以半径的一半为为直径画圆； 画出三个同心圆，且从内到外的圆的半径依次增加1倍，即可得出一个图形． 点评：此题主要考查组合图形的画法，关键是明确这个图形是由哪几个图形组合而成的． 21．3.14×[（4÷2＋1.2）²－（4÷2）²] 【分析】由题意可知，就是求圆环的面积，先求出大圆的半径，即4÷2＋1.2，再根据“S环形＝π（R2－r2）”进行解答即可。 【详解】3.14×[（4÷2＋1.2）²－（4÷2）²] ＝3.14×[3.2²－2²] ＝3.14×6.24 ＝19.5936（平方米）； 答：这条路的面积是19.5936平方米。 【点睛】熟练掌握求圆环的面积公式是解答本题的关键。 22．157平方米 【分析】根据题意，圆的周长的一半是31.4米，根据圆的周长公式：C＝，则圆的周长的一半则为，代入即可求出圆的半径，再利用圆的面积公式：S＝，代入数据后，再除以2，即可求出鸡舍的占地面积。 【详解】31.4÷3.14＝10（米） 3.14×102÷2 ＝3.14×100÷2 ＝157（平方米） 答：这个鸡舍的占地面积是157平方米。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆的周长和圆的面积公式解决实际的问题。 23．87.92平方米 【分析】6米是内圆的半径，用内圆的半径加上环宽，就是外圆的半径，再利用圆环的面积公式：即可求出这条小路的面积。 【详解】6＋2＝8（米） 3.14×（82－62） ＝3.14×（64－36） ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） 答：这条小路的面积是87.92平方米。 【点睛】此题的解题关键是掌握圆环的面积的计算方法。 24． 【分析】火锅直径是40厘米，那么半径就是20厘米；又在火锅的周围配上宽的桌面，则整张桌面的半径就是（20＋30）厘米；因为半径已求出，则这张圆桌的面积就可求了。 【详解】40÷2＝20（厘米） 3.14×（20＋30）2 ＝3.14×502 ＝3.14×2500 ＝7850（平方厘米） 答：这张圆桌的面积是7850平方厘米。 【点睛】圆的面积与半径有关，所以要先确定其半径，再利用面积公式求它的面积。 25．6962.5平方米 【分析】用一个长方形的面积加上一个圆的面积就是这个组合图形的面积，列式计算即可． 【详解】3.14×（50÷2）2+100×50， =3.14×625+5000， =1962.5+5000， =6962.5（平方米）； 答：这个运动场的面积是6962.5平方米． 26．（1）图见详解 （2）2.355平方厘米 【分析】（1）以正方形的两条对角线的交点为圆心，以正方形的边长3厘米为直径画圆； （2）画出圆心角是120°的扇形，然后求面积即可。 【详解】（1）作图如下： （2）3.14×（3÷2）2× ＝3.14×1.52× ＝3.14×2.25× ＝7.065× ＝2.355（平方厘米） 答：扇形面积2.355平方厘米。 【点睛】本题主要考查了正方形及正方形里面的最大的圆的作法，以及扇形面积计算知识，结合题意分析解答即可。 27．如图 【详解】试题分析：过直角三角形斜边的中点向长4厘米的直角边作垂线，沿垂线切割后可拼成一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线的交点为圆心，以1厘米为半径画圆．据此解答． 解：根据分析画图如下： 点评：本题的关键是过直角三角形斜边的中点向长4厘米的直角边作垂线，这样能拼成一个正方形，再找出圆的圆心和半径画圆． 28．10.26平方厘米 【分析】根据图意可得：阴影部分的面积＝圆的面积－小正方形的面积，已知大正方形的面积是，36＝6×6，即大正方形的边长是6cm，也正是圆的直径；小正方形的对角线的长度是6cm，小正方形的面积是6×6÷2＝18（平方厘米）。据此解答即可。 【详解】36＝6×6 3.14×（6÷2）2－6×6÷2 ＝3.14×9－18 ＝28.26－18 ＝10.26（平方厘米） 答：阴影部分的面积是10.26平方厘米。 【点睛】本题属于求圆与组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可。 学科网（北京）股份有限公司 $$