3.2.1 双曲线及其标准方程7题型分类 (讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 3.2.1双曲线及其标准方程7题型分类 一、双曲线的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3．焦点：两个定点F1，F2. 4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 二、双曲线标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 （一） 双曲线定义的应用 1、双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． （2）定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 2、双曲线定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离． (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用． 题型1：双曲线的定义及应用 1-1．（2024高二下·四川德阳·阶段练习）已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024高三上·辽宁锦州·期末）双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（    ） A．7 B．9 C．1或9 D．3或7 1-3．（2024高二上·山东青岛·期末）若动点满足关系式，则点的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支 1-4．（2024高二下·安徽滁州·开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 （二） 求双曲线的标准方程 1、待定系数法求双曲线标准方程的方法： 2、求双曲线的标准方程 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解． (2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线． 题型2：求双曲线的标准方程 2-1．（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，点P在双曲线的右支上，若， 则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 2-2．（2024高二上·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点； (2)经过点和． 2-3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2-4．（2024高二上·全国·课后作业）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2-5．（2024高三下·贵州·阶段练习）已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 题型3：由双曲线的标准方程求参数 3-1．（2024高二上·全国·课后作业）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3-2．（2024高二下·内蒙古兴安盟·阶段练习）已知曲线是双曲线，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024高三下·湖南岳阳·开学考试）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（　　） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （三） 双曲线的焦点三角形问题 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出. ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式. ③通过配方，利用整体的思想求出的值. ④利用公式求得面积. （2）利用公式求得面积. （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积. 题型4：双曲线的焦点三角形问题 4-1．（2024高二下·上海浦东新·期中）已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则 ． 4-2．（2024高二下·福建莆田·阶段练习）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．3 4-3．（2024高二下·四川资阳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4-4．（2024高二下·江西宜春·期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 4-5．（2024·江西上饶·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，为的内切圆上一点，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型5：利用双曲线定义求点到焦点距离及最值 5-1．（2024高二上·北京丰台·期末）已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若，则（    ） A．1或9 B．3或7 C．9 D．7 5-2．（2024高二上·重庆渝中·期末）双曲线的左､右焦点是、，点在双曲线上，若，则（    ） A． B． C．或 D．或 5-3．（2024高二·全国·课后作业）已知双曲线在左支上一点M到右焦点的距离为18，N是线段的中点，O为坐标原点，则等于（    ） A．4 B．2 C．1 D． 题型6：双曲线的上的点到焦点和定点距离的和、差最值 6-1．（2024高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6-2．（2024·江西赣州·一模）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 6-3．（2024高三下·河南许昌·开学考试）已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．1 C． D． 6-4．（2024高三·全国·专题练习）过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为 ． （四） 双曲线的轨迹问题 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法 设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式； (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程； (3)相关点法(代入法) 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去． 题型7：求双曲线的轨迹方程 7-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为，设动点的轨迹为．求轨迹的方程； 7-2．（2024高二·全国·课后作业）已知中的两个顶点是，边与边所在直线的斜率之积是，求顶点的轨迹． 7-3．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求曲线的方程； 7-4．（2024高二上·广东广州·期末）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 7-5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024高二上·贵州毕节·阶段练习）若方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·全国·课后作业）若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 3．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为（    ） A．椭圆 B．椭圆和一条直线 C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支 4．（2024·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 5．（2024高二下·福建南平·阶段练习）已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（    ） A．8 B． C．10 D． 6．（2024高二上·山西晋中·期末）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 7．（2024高二上·山东济南·阶段练习）若点是双曲线：上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2024高三·全国·对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二上·北京石景山·期末）双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为（    ） A．5 B．6 C．9 D．11 10．（2024·四川达州·二模）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 11．（2024高二上·全国·课后作业）双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（　　） A．1或21 B．14或36 C．2 D．21 12．（2024高二上·全国·课后作业）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线 13．（2024·河南郑州·一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 14．（2024高二上·福建福州·期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 15．（2024·山东泰安·二模）已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 16．（2024高二上·吉林辽源·期末）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．24 B．15 C．12 D．30 17．（2024高二上·四川成都·期中）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 18．（2024高二下·甘肃金昌·期中）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题 19．（2024高二上·新疆克拉玛依·期中）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（    ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，则 C．当时曲线是焦点在轴上的椭圆 D．当时曲线不是椭圆 20．（2024高二上·湖南邵阳·期末）已知曲线（    ） A．表示两条直线 B．表示圆 C．表示焦点在轴上的双曲线 D．表示焦点在轴上的椭圆 21．（2024高二下·安徽安庆·开学考试）方程表示的曲线可以是（    ） A．圆 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的双曲线 22．（2024高一下·云南曲靖·期末）已知平面直角坐标系中，点、，点为平面内一动点，且，则下列说法准确的是（   ） A．当时，点的轨迹为一直线 B．当时，点的轨迹为一射线 C．当时，点的轨迹不存在 D．当时，点的轨迹是双曲线 23．（2024高二上·浙江湖州·期末）已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线可以表示圆 B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线 24．（2024高二下·安徽·开学考试）对于曲线C：，则下列说法正确的有（    ） A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线 C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线 25．（2024高二上·山西晋中·期末）关于、的方程表示的轨迹可以是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线 三、填空题 26．（2024高二上·浙江金华·阶段练习）设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 ． 27．（2024高二上·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 . 28．（2024高二下·上海徐汇·期中）已知双曲线，、是其两个焦点，点M在双曲线上，若，则的面积为 ． 29．（2024高二下·四川遂宁·期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ． 30．（2024高二·全国·课后作业）到点，的距离的差的绝对值等于6的点的双曲线的标准方程为 ． 31．（2024高二上·山东临沂·期末）一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是 ． 32．（2024高二上·全国·课后作业）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为 ． 33．（2024高二·全国·课后作业）动圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 34．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 35．（2024高二下·上海松江·期末）已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为 . 36．（2024高二上·全国·专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为 ． 37．（2024·北京西城·二模）已知两点．点满足，则的面积是 ；的一个取值为 ． 38．（2024高二上·河南南阳·阶段练习）已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为 . 39．（2024高二下·上海松江·期中）从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是 . 40．（2024·海南海口·模拟预测）已知点，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与该双曲线交于，两点（点位于第一象限），点是△内切圆的圆心，则 ；若的倾斜角为，△的内切圆面积为，△的内切圆面积为，则为 . 41．（2024·湖北十堰·二模）已知是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，的周长为，则 ，的面积为 ． 42．（2024高三下·上海虹口·期中）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 . 四、解答题 43．（2024高二上·全国·课后作业）求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 44．（2024高二·全国·专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 45．（2024高二·全国·专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于； (2)焦点在轴上，经过点和点． (3)经过点和． (4)已知与椭圆共焦点的双曲线过点 46．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，点的轨迹为.求的方程； 47．（2024高三·全国·专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程 学科网（北京）股份有限公司1 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1-3．（2024高二上·山东青岛·期末）若动点满足关系式，则点的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支 【答案】D 【分析】设，.由已知可得，根据双曲线的定义即可得出答案. 【详解】设，，则. 则由已知可得，，所以点的轨迹是双曲线的左支. 故选：D. 1-4．（2024高二下·安徽滁州·开学考试）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据双曲线定义即可解决问题. 【详解】由双曲线标准方程得：， 由双曲线定义得: 即， 解得（舍去）或， 故选：A. （二） 求双曲线的标准方程 1、待定系数法求双曲线标准方程的方法： 2、求双曲线的标准方程 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解． (2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线． 题型2：求双曲线的标准方程 2-1．（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，点P在双曲线的右支上，若， 则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合双曲线的焦距的概念和双曲线的定义列方程求，可得双曲线方程. 【详解】设双曲线的半焦距为， 因为，所以， 由双曲线定义可得，又， 所以， 所以， 所以，， 双曲线的方程为 故选：D. 2-2．（2024高二上·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点； (2)经过点和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意首先确定其焦点坐标为，设出标准方程将带入即可求得结果； （2）设双曲线方程的一般形式为，将两点代入解方程即可求得其标准方程为. 【详解】（1）易知椭圆短轴的两个端点坐标为； 所以双曲线焦点在轴上， 可设双曲线的标准方程为，且， 点在双曲线上，即，解得； 所以双曲线的标准方程为. （2）设双曲线方程为， 将两点代入可得，解得； 所以双曲线的标准方程为. 2-3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线方程为，由，可得，再代入点，求解即可. 【详解】解：依题意，设双曲线方程为， 因为，则， 显然圆O的半径为3， 又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分， 双曲线与圆O交于第一象限内的点为， 于是，解得， 所以双曲线的方程为. 故选：A 2-4．（2024高二上·全国·课后作业）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，，得到，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 2-5．（2024高三下·贵州·阶段练习）已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，连接，则有，，，，在直角三角形中，由可得，在直角三角形中，由可得，再结合，即可求得答案. 【详解】解：设，则， 由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：， 连接，则有，， 由于在以为直径的圆周上， ∴， ∵为平行四边形， ∥， ∴， 在直角三角形中，， 即， 解得， 所以，； 在直角三角形中，， 即，得， 又因为， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故选:D. 题型3：由双曲线的标准方程求参数 3-1．（2024高二上·全国·课后作业）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用方程为表示双曲线的条件，求得的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断条件和结论的关系. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以， 解得或， 因为由可推出或，，但是由或，不能推出， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件， 故选：A. 3-2．（2024高二下·内蒙古兴安盟·阶段练习）已知曲线是双曲线，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的方程列出不等式，解之即可求解. 【详解】因为曲线是双曲线， 所以，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：. 3-3．（2024高三下·湖南岳阳·开学考试）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程表示双曲线求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若方程表示双曲线，则，即， 由能推出，必要性成立， 由不能推出，充分性不成立， 故“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件. 故选：B. （三） 双曲线的焦点三角形问题 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出. ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式. ③通过配方，利用整体的思想求出的值. ④利用公式求得面积. （2）利用公式求得面积. （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积. 题型4：双曲线的焦点三角形问题 4-1．（2024高二下·上海浦东新·期中）已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据双曲线的性质计算得到，，，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】，，则，，， . 故答案为：. 4-2．（2024高二下·福建莆田·阶段练习）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】设，根据双曲线的定义及条件可得，再结合三角形面积公式即可得到答案. 【详解】∵为正三角形， 设，则，，又双曲线， 则根据双曲线定义得， ∴，即等边三角形的边长为4， 故的面积为. 故选：A. 4-3．（2024高二下·四川资阳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】结合双曲线的定义来解决即可. 【详解】双曲线的实半轴长， 由双曲线的定义，可得 所以， 则三角形的周长为. 故选：B 4-4．（2024高二下·江西宜春·期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用离心率定义，斜率公式，三角形面积表示，代入条件即可. 【详解】因为离心率为，则，则，所以双曲线方程为， 设，则①， 因为，所以， 所以②， 又因为的面积为，所以，即， 所以③，由②③得④， 将④③代入①得，，所以. 故选：D.    4-5．（2024·江西上饶·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，为的内切圆上一点，则取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据内切圆的性质以及双曲线的定义可得,进而根据斜率关系以及二倍角公式可得，进而得内切圆的半径的变化范围，由数量积的几何意义即可求解. 【详解】设的内切圆与相切于,圆心为, 由切线长的性质以及双曲线定义可得， 又，因此，所以, 设角,且为锐角，由于， 所以， 为内切圆的半径，不妨设， 故在中，， , 当共线时，此时， 当方向相同时，，当方向相反时，， 因此, 故选：C 【点睛】解析几何简化运算的常见方法： （1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算； （2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算； （3）巧用定义，简化运算. 题型5：利用双曲线定义求点到焦点距离及最值 5-1．（2024高二上·北京丰台·期末）已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若，则（    ） A．1或9 B．3或7 C．9 D．7 【答案】C 【分析】由题知点在双曲线靠近的那支上，进而根据双曲线的定义求解即可； 【详解】解：由题知，， 因为在双曲线上，且， 所以，点在双曲线靠近的那支上，由双曲线定义知，故； 所以， 故选：C 5-2．（2024高二上·重庆渝中·期末）双曲线的左､右焦点是、，点在双曲线上，若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】对点的位置进行分类讨论，结合双曲线的定义可求得的值. 【详解】在双曲线中，，，，设点，易知， 若点在双曲线的右支上，则， ， 由双曲线的定义可得，可得，不合乎题意； 若点在双曲线的左支上，则， ， 由双曲线的定义可得，可得，合乎题意. 综上所述，. 故选：A. 5-3．（2024高二·全国·课后作业）已知双曲线在左支上一点M到右焦点的距离为18，N是线段的中点，O为坐标原点，则等于（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】由双曲线的定义得，结合三角形中位线知识得. 【详解】因为双曲线左支上的点M到右焦点的距离为18， 所以M到左焦点的距离， N是的中点，O是的中点，所以. 故选：A. 题型6：双曲线的上的点到焦点和定点距离的和、差最值 6-1．（2024高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义及三角形三边关系判断最大时的位置关系，即可得结果. 【详解】若C为双曲线右焦点C(3,0)，则，|AC|=5, 而，仅当共线且在之间时等号成立， 所以，当共线且在之间时等号成立. 故选：D 6-2．（2024·江西赣州·一模）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义可以得出=，当三点共线时最小. 【详解】由双曲线得到,,，左焦点， 设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可. ===. 故选：C. 6-3．（2024高三下·河南许昌·开学考试）已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面几何性质得结论． 【详解】设双曲线C的实半轴长为，右焦点为， 所以， 当且仅当M为的延长线与双曲线交点时取等号. 故选：C． 6-4．（2024高三·全国·专题练习）过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，连接,连接，求得，由，得到，设，得到，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】如图所示，连接,设双曲线的右焦点为，连接，则， 由， 因为，所以， 设，则，． 可得函数在上单调递减，所以，即， 故的最大值为． 故答案为：． （四） 双曲线的轨迹问题 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法 设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式； (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程； (3)相关点法(代入法) 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去． 题型7：求双曲线的轨迹方程 7-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为，设动点的轨迹为．求轨迹的方程； 【答案】（） 【详解】 根据两点间斜率公式即可列方程求解轨迹方程，需要注意讨论斜率不存在的情况. 【分析】 设，当时，直线的斜率不存在； 当时，直线的斜率不存在． 于是且.此时，的斜率为，的斜率为. 由题意，有，化简可得， 故动点的轨迹的方程为（） 7-2．（2024高二·全国·课后作业）已知中的两个顶点是，边与边所在直线的斜率之积是，求顶点的轨迹． 【答案】去掉顶点的双曲线 【分析】设点，进而根据斜率之积直接计算即可得轨迹方程，再根据轨迹方程求解即可. 【详解】解：设点，因为中的两个顶点是， 所以，， 因为边与边所在直线的斜率之积是， 所以，整理得 所以，顶点的轨迹方程为， 所以，顶点的轨迹是以为焦点，实轴为，且去掉顶点的双曲线. 7-3．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求曲线的方程； 【答案】 【分析】 依题意由距离公式得到方程，整理即可得到动点的轨迹方程； 【详解】 由题设得， 即， 整理得. 所以曲线的方程为. 7-4．（2024高二上·广东广州·期末）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程. 【详解】圆N：的圆心为，半径为，且 设动圆的半径为，则，即. 即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为， 虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上， 故动圆圆心P的轨迹方程是 故选：A 7-5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与双曲线相切，推出，，再求出,消去可得结果. 【详解】因为双曲线与直线有唯一的公共点， 所以直线与双曲线相切， 联立，消去并整理得， 所以，即， 将代入，得， 得，因为，，所以， 所以，，即， 由可知， 所以过点且与垂直的直线为， 令，得，令，得， 则，， 由，得，， 代入，得，即， 故选：D 一、单选题 1．（2024高二上·贵州毕节·阶段练习）若方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程表示双曲线可得与异号，从而可求出的取值范围 【详解】由题意得，解得. 故选：C 2．（2024高二上·全国·课后作业）若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【分析】先由双曲线方程求出，再根据双曲线定义结合已知条件解方程组可得结果. 【详解】双曲线中，得，则， 由双曲线的定义可得， 因为，所以，解得， 故选：B 3．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为（    ） A．椭圆 B．椭圆和一条直线 C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支 【答案】D 【分析】首先设，根据圆同时与圆及相外切，得到，再结合双曲线的概念即可得到答案. 【详解】圆，，圆心，， 圆，，圆心，， 设，因为圆同时与圆及相外切， 所以， 即的轨迹是以为焦点，的双曲线的左支. 故选：D 4．（2024·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义表示，结合基本不等式求解最小值. 【详解】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点， 所以， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立； 因为，所以，所以成立，的最小值为16. 故选：A. 5．（2024高二下·福建南平·阶段练习）已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】根据三角形周长公式，结合双曲线的定义进行求解即可. 【详解】由题意知. 又，所以. 根据双曲线的定义可知， 所以， 解得，所以. 故选：D 6．（2024高二上·山西晋中·期末）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】由双曲线定义等于到右焦点的距离，而的最小值是（是圆半径），由此可得结论． 【详解】记双曲线的右焦点为，所以， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值． 故选：C． 7．（2024高二上·山东济南·阶段练习）若点是双曲线：上一点，，分别为的左、右焦点，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义和必要不充分条件的定义可得答案. 【详解】由题意可知，，，， 若，则，或12， 若，，， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：A． 8．（2024高三·全国·对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程表示双曲线求解实数k的取值范围即可. 【详解】曲线表示双曲线，所以即可. 解得或， 所以实数k的取值范围是：. 故选：B. 9．（2024高二上·北京石景山·期末）双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为（    ） A．5 B．6 C．9 D．11 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义可求解. 【详解】设双曲线的实轴长为，则， 由双曲线的定义知， ， 故选：D 10．（2024·四川达州·二模）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】 由双曲线的定义知，，则，即可得出答案. 【详解】双曲线C：，则，， 由双曲线的定义知：，， ， 所以 . 故选：C. 11．（2024高二上·全国·课后作业）双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（　　） A．1或21 B．14或36 C．2 D．21 【答案】D 【分析】利用双曲线定义得到，求出或，舍去不合要求的情况，得到答案. 【详解】设双曲线的左右焦点分别为，不妨设， 根据双曲线的定义知|，所以或， 而，， 双曲线右支上一点，，则， 则点到右焦点的距离为 ， 当时，取得最小值，最小值为2， 故不成立，舍去，满足要求， 所以点P到另一个焦点的距离为21， 故选：D 12．（2024高二上·全国·课后作业）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（    ） A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线 【答案】B 【分析】直接分析即可得结果. 【详解】如图： 设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为， 则若在线段（不包含两端点）上，有； 若在直线外，有； 若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点）， 则有. 故选：B 13．（2024·河南郑州·一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 结合双曲线定义数形结合判断取最小值时，三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q的坐标为，即可求解的值. 【详解】由双曲线定义得, 故 如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值， ，故方程为， 联立，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)， 故 故选：A 14．（2024高二上·福建福州·期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案. 【详解】由双曲线，则，即，且， 由题意， ， 当且仅当共线时，等号成立. 故选：C. 15．（2024·山东泰安·二模）已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积结合渐近线方程可得的值，再根据双曲线的定义转换可得当且仅当共线且在中间时取得最大值，进而联立直线与双曲线的方程求解即可. 【详解】设，则由三角形的面积为可得，即，又双曲线一条渐近线方程为，故，即，故，故，解得，故，双曲线. 又由双曲线的定义可得，当且仅当共线且在中间时取得等号. 此时直线的方程为，即，联立可得，解得，由题意可得在中间可得，代入可得，故. 故选：B 16．（2024高二上·吉林辽源·期末）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．24 B．15 C．12 D．30 【答案】A 【分析】利用双曲线定义求出的三边长度，根据余弦定理求出三角形的夹角，最后通过三角形正弦定理面积公式求出面积. 【详解】，根据双曲线定义：， ，，， 根据余弦定理：， 则，. 故选：A 17．（2024高二上·四川成都·期中）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知两圆圆心为双曲线的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得的最大值. 【详解】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点， 记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上， 所以，. 故选：B. 18．（2024高二下·甘肃金昌·期中）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心,再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离,即可求的最大值. 【详解】   则 故双曲线的两个焦点为, ,也分别是两个圆的圆心,半径分别为, 则的最大值为 故选：D 二、多选题 19．（2024高二上·新疆克拉玛依·期中）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（    ） A．曲线可能是圆 B．若为椭圆，则 C．当时曲线是焦点在轴上的椭圆 D．当时曲线不是椭圆 【答案】AD 【分析】根据椭圆标准方程满足的关系，分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可 【详解】若则方程为曲线表示圆，故A正确 若为椭圆，则 且，故B错误 若是焦点在轴上的椭圆，则 ，故错误 若则方程为表示双曲线，则曲线不是椭圆，故D正确， 故选：AD 20．（2024高二上·湖南邵阳·期末）已知曲线（    ） A．表示两条直线 B．表示圆 C．表示焦点在轴上的双曲线 D．表示焦点在轴上的椭圆 【答案】BCD 【分析】根据圆、双曲线、椭圆的标准方程逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，曲线为表示焦点在轴上的双曲线，故A错误； 对于B，当时，曲线为表示圆，故B正确； 对于C，当时，曲线为表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当时，，则曲线为表示焦点在轴上的椭圆，故D正确. 故选：BCD. 21．（2024高二下·安徽安庆·开学考试）方程表示的曲线可以是（    ） A．圆 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的双曲线 【答案】ABC 【分析】利用二元二次方程表示圆锥曲线的条件对选项逐一分析判断即可. 【详解】对于A，当，即时，方程可化为，该方程表示圆，故A正确； 对于B，当，即时，方程可化为，该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确； 对于C，当，即时，方程可化为，该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故C正确； 对于D，因为由得无解， 所以当方程化为时，由于，， 所以该方程无法表示焦点在x轴上的双曲线，故D错误. 故选：ABC. 22．（2024高一下·云南曲靖·期末）已知平面直角坐标系中，点、，点为平面内一动点，且，则下列说法准确的是（   ） A．当时，点的轨迹为一直线 B．当时，点的轨迹为一射线 C．当时，点的轨迹不存在 D．当时，点的轨迹是双曲线 【答案】AB 【分析】利用垂直平分线的定义可判断A选项；根据、直接判断出点的轨迹为射线，可判断BC选项；利用双曲线的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，则点的轨迹为线段的垂直平分线，A对； 对于B选项，当时，，则点的轨迹是一条射线， 且射线的端点为，方向为轴的正方向，B对； 对于C选项，当时，，则点的轨迹是一条射线， 且射线的端点为，方向为轴的负方向，C错； 对于D选项，当时，，且， 所以，点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，D错. 故选：AB. 23．（2024高二上·浙江湖州·期末）已知曲线的方程为，则（    ） A．曲线可以表示圆 B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆 D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线 【答案】CD 【分析】由椭圆、双曲线、圆的方程定义列式求解判断. 【详解】对A，若曲线表示圆，则有，无解，A错； 对BC，若曲线表示椭圆，则有，此时，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，C对B错； 对D，若曲线表示双曲线，则有，此时，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，D对. 故选：CD. 24．（2024高二下·安徽·开学考试）对于曲线C：，则下列说法正确的有（    ） A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线 C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线 【答案】BCD 【分析】根据无解判断；令，解之无解判断；根据和曲线方程可判断；根据曲线为双曲线的条件即可判断. 【详解】当曲线C为圆时，则，无解，故错误； 当曲线C为焦点在y轴上的双曲线时，则，无解，故正确； 若，则，，此时曲线C是椭圆，故正确； 若曲线C为双曲线，则，解得，故正确． 故选． 25．（2024高二上·山西晋中·期末）关于、的方程表示的轨迹可以是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线 【答案】BC 【分析】对实数的取值进行分类讨论，化简原方程，结合圆的方程以及圆锥曲线方程可得出结论. 【详解】当时，该方程表示的轨迹是直线； 当时，该方程表示的轨迹是直线； 当且时，原方程可化为. 当或时，，该方程表示的轨迹是双曲线； 当，又，则，此时方程为，该方程表示圆； 综上所述，方程所表示的曲线不可能是椭圆或抛物线. 故选：BC. 三、填空题 26．（2024高二上·浙江金华·阶段练习）设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，，用的坐标表示的坐标，再代入双曲线方程即可得答案. 【详解】设，， 则，即， 又，则， 整理得， 即点M的轨迹方程为. 故答案为： 27．（2024高二上·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用双曲线定义可将转化为，结合三角形三边关系可确定最小值为三点共线时的取值，由此可计算得到结果. 【详解】    由双曲线方程知：，，，则，， 由双曲线定义知：， （当且仅当在线段上时取等号）， 又，. 故答案为：. 28．（2024高二下·上海徐汇·期中）已知双曲线，、是其两个焦点，点M在双曲线上，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义、余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算作答. 【详解】双曲线的实半轴长，半焦距，有， 在中，由余弦定理得， 即有， 因此，解得， 所以的面积为. 故答案为：    29．（2024高二下·四川遂宁·期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据双曲线方程求出、、，再由双曲线的定义求出、，最后由余弦定理计算可得. 【详解】因为双曲线，则，，所以， 因为为双曲线右支上一点，所以，又， 所以，，， 由余弦定理， 即，解得，又， 所以. 故答案为： 30．（2024高二·全国·课后作业）到点，的距离的差的绝对值等于6的点的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义即可确定的值，由此可求得答案. 【详解】由题意可设双曲线方程为，焦距设为， 由题意可知所求双曲线的两焦点为，，故， 又双曲线上的点到点，的距离的差的绝对值等于6， 故，所以， 故双曲线标准方程为. 故答案为：. 31．（2024高二上·山东临沂·期末）一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】根据题意结合两圆的位置关系分析可得，再结合双曲线的定义求方程. 【详解】圆N：的圆心，半径， ∵， ∴点在圆N外，则圆P包含圆N， 设圆P的半径为， 由题意可得：，即，可得， 故动圆圆心P的轨迹是以为焦点的双曲线的右半支， 可得，则， 故动圆圆心P的轨迹方程是. 故答案为：. 32．（2024高二上·全国·课后作业）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据题意，利用双曲线的定义，求得，再由直线过焦点，求得，进而求得，结合双曲线的焦点的位置，即可求解双曲线的方程. 【详解】由题意，点为双曲线上一点，且， 可得，即，解得， 又由直线过双曲线的一个焦点， 当时，可得；当时，可得； 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即， 则，此时双曲线的方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即， 则，此时双曲线的方程为， 所以双曲线的方程为或. 故答案为：或 33．（2024高二·全国·课后作业）动圆过点，且与圆外切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】由题知，进而根据双曲线的定义求解即可. 【详解】解：设动圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为动圆过点，且与圆外切， 所以，，， 所以， 所以，由双曲线的定义得的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支， 因为实轴长为，焦点为， 所以，动圆圆心的轨迹方程是，即 故答案为： 34．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】 根据双曲线定义有，则，，，则得到最小值. 【详解】因为双曲线的焦点为, 圆的圆心,恰好为双曲线的左焦点, ， (当且仅当三点共线时取等号)， (当且仅当,,三点共线时取等号), ， 的最小值为. 故答案为：. 35．（2024高二下·上海松江·期末）已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为 . 【答案】6 【分析】结合双曲线的定义以及圆的几何性质求得正确答案. 【详解】双曲线，，， 圆的圆心为，半径， 在双曲线的左支上，， 所以， 根据圆的几何性质可知，的最小值是， 所以的最小值是. 故答案为： 36．（2024高二上·全国·专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为 ． 【答案】22 【分析】由双曲线的定义可得，，据此，再由两点的位置特征可得是双曲线的通径时，最小，从而可得答案. 【详解】根据双曲线，得，， 由双曲线的定义可得： ①， ②， ①+②可得：， 由于过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点， 可得，即有． 则，当是双曲线的通径时最小， 故. 故答案为：22 37．（2024·北京西城·二模）已知两点．点满足，则的面积是 ；的一个取值为 ． 【答案】 / （答案不唯一） 【分析】根据条件求出点的轨迹方程，联立方程后求点的坐标，即可求解面积和角的取值. 【详解】由点可知，，所以点在圆， 且，则点在双曲线的右支上，其中，，，则双曲线方程为， 联立，解得：或， 则的面积； 当时，，，， 当时，，，， 则其中的一个取值是. 故答案为：；（答案不唯一） 38．（2024高二上·河南南阳·阶段练习）已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由焦距为8，求得，即可得双曲线方程，进而可得，结合图形，只有当三点共线时，取最小值为，求出即得答案. 【详解】解：如图所示， 由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8， 所以，， 即，， 所以双曲线的方程为：， 所以，，， 由双曲线定义得， 所以 ， 当三点共线时，最小为 故. 故答案为：. 39．（2024高二下·上海松江·期中）从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是 . 【答案】/ 【分析】设出双曲线右焦点，连接，利用双曲线的定义和中位线进行解题. 【详解】 不妨将点置于第一象限. 设是双曲线的右焦点，连接. 分别为的中点，故. 又由双曲线定义得， 故. 故答案为： 40．（2024·海南海口·模拟预测）已知点，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与该双曲线交于，两点（点位于第一象限），点是△内切圆的圆心，则 ；若的倾斜角为，△的内切圆面积为，△的内切圆面积为，则为 . 【答案】 2 9 【分析】利用平面几何图形的性质解题，由同一点出发的圆的切线长相等，可得，再结合双曲线的定义得，从而可求得的内心的横坐标2，即有轴，在，中，运用解直角三角形知识，及正切函数的定义和二倍角公式化简即可得到直线的斜率． 【详解】由双曲线，可得，, 记的内切圆圆心为， 内切圆在边上的切点分别为， 易知两点横坐标相等，，    由，即， 得，即， 记点的横坐标为，则， 则，得． 记的内切圆圆心为，同理得内心的横坐标也为，则轴， 已知直线的倾斜角为，则， 设△的内切圆半径为，△的内切圆半径为 在中，， 同理，在中，， 所以，所以. 故答案为：2;9. 41．（2024·湖北十堰·二模）已知是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，的周长为，则 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】设设点在双曲线的右支上，利用双曲线的定义以及的周长可求得、，利用余弦定理可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】在双曲线中，，，则， 根据对称性，不妨设点在双曲线的右支上，则． 因为，的周长为，所以， 所以，． 在中，， 则， 所以，的面积为． 故答案为：；. 42．（2024高三下·上海虹口·期中）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，则，，解得，得到，，得到答案. 【详解】如图所示：设双曲线的左焦点为，连接，， ，则，四边形为矩形，. 故，，则， ，故，. 双曲线的方程为. 故答案为： 四、解答题 43．（2024高二上·全国·课后作业）求下列动圆的圆心的轨迹方程： (1)与圆和圆都内切； (2)与圆内切，且与圆外切； (3)在中，，，直线，的斜率之积为，求顶点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支，即可求出其轨迹方程； （2）依题意可得，根据双曲线的定义可知圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支，即可求出其轨迹方程； （3）设根据斜率公式得到方程，整理可得. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为上、下焦点的双曲线的下支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为.    （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为，由题意可得，所以， 所以圆心的轨迹是以点、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此圆心的轨迹方程为.    （3）设，则，， 根据题意有， 化简得 ∴顶点的轨迹方程为.    44．（2024高二·全国·专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设双曲线的标准方程为，将点代入双曲线的方程，求得，即可求解； （2）设双曲线的方程为，将点代入双曲线方程，求得的值，即可求解； （3）根据题意，设双曲线标准方程为，代入点，结合，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：因为，且双曲线的焦点在轴上， 可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （2）解：设双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线方程可得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （3）解：由题意知，椭圆的焦点坐标为， 所以可设双曲线标准方程为，其中， 代入点可得，联立解得； 所以双曲线标准方程为. 45．（2024高二·全国·专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于； (2)焦点在轴上，经过点和点． (3)经过点和． (4)已知与椭圆共焦点的双曲线过点 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据焦点坐标、双曲线的定义可得答案； （2）设双曲线的方程为，将两点代入可得答案； （3）设双曲线的方程为，将两点代入可得答案； （4）求出椭圆的焦点坐标可得双曲线的焦点坐标，设所求双曲线的标准方程为，代入点可得答案. 【详解】（1）由已知得，，即，∵，∴， ∵焦点在轴上，∴所求的双曲线的标准方程是； （2）设双曲线的方程为，则，所以， ∴双曲线方程为； （3）设双曲线方程为，将两点代入可得， 解得，所以双曲线的标准方程为； （4）设椭圆的半焦距为，则，∴， 所以椭圆的焦点坐标为，， 所以双曲线的焦点坐标为，， 设所求双曲线的标准方程为，则， 故所求双曲线方程可写为，∵点在所求双曲线上， ∴代入有，化简得，解得或； 当时， ，不合题意，舍去； ∴， ∴所求双曲线的标准方程为. 46．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，点的轨迹为.求的方程； 【答案】； 【分析】 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，从而得的值，即可得出轨迹的方程； 【详解】 因为，由双曲线的定义可知， 轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为，则，可得， ，即，所以， 所以轨迹的方程为. 47．（2024高三·全国·专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程 【答案】 【分析】 根据圆C与圆A、圆B外切，得到，再利用双曲线的定义求解. 【详解】 因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标，圆C半径为， 则，，所以， 所以点的轨迹是双曲线的一支， 又，，， 所以其轨迹方程为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$