第1章 二次函数 单元检测(B卷·能力提升）-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第1章 二次函数 单元检测(B卷·能力提升) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．二次函数y＝（x﹣3）（x+5）的图象的对称轴是（　　） A．直线x＝3 B．直线x＝﹣5 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝1 2．关于y＝（x+1）2+3的图象，下列叙述正确的是（　　） A．顶点坐标为（1，3） B．对称轴为直线x＝1 C．当x≥﹣1时，y随x的增大而增大 D．开口向下 3．将二次函数y＝（x+3）2﹣10的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移8个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+5）2﹣2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x+1）2﹣2 D．y＝（x﹣5）2+2 4．如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　） A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5 5．掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范图，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为（　　） A． B．3 C．8 D．10 6．二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7．已知抛物线y＝ax2+bx+c上某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … ﹣3 p 1 p m … 有以下几个结论： ①抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（0，﹣3）；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣2； ③关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和﹣1；④当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1． 其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（2，1），D（3，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　） A．2 B． C． D． 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论： ①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④＜0； ⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2． 其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 10．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数）在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11．已知y＝（m+1）x|m|+1+2x﹣3是二次函数，则m的值为 　 　． 12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点P是抛物线与x轴的一个交点，若点P的坐标为（4，0），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 　 　． 13．抛物线y＝4x2+2x+m的顶点在x轴上，则m＝　 　． 14．将抛物线y＝﹣2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，则平移后抛物线的表达式为 　 　（写成顶点式即可）． 15．中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面 　 　m． 16．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，下列结论：①当x＞2时，y随x的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；③若（﹣2024，y1），（2024，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．其中结论正确的是 　 　.（填序号） 三．解答题（共8小题，共66分） 17．已知二次函数y＝x2﹣2x+4． （1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标； （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？ （3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点P（1，﹣5），请说明理由． 18．在平面直角坐标系xOy中，（﹣1，m），（2，n）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）上的两点． （1）若m＝c，求该抛物线的对称轴； （2）若点（﹣2，y1），（1，y2），（4，y3）在抛物线上，且m＜n＜c，请比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 19．如图，已知二次函数经过点B（3，0）和点C（0，﹣3）， （1）求该二次函数的解析式； （2）如图，若一次函数y2＝kx+b经过B、C两点，直接写出不等式ax2﹣2x+c＜kx+b的解； （3）点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求△ABC的面积． 20．小明同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c图象时，由于粗心，他算错了一个y值，列出了下面表格（每个小格表示1个单位长度）： x … ﹣1 0 1 2 3 … y＝ax2+bx+c … 5 3 2 3 6 … （1）请指出这个错误的y值，并说明理由； （2）请在网格中画出此二次函数的图象； （3）结合图象回答： ①当﹣2＜x≤2时，y的取值范围是 　 　； ②当y≥3时，x的取值范围是 　 　． 21．水花消失术一直是跳水比赛的热门话题．当一名运动员在10米跳台进行跳水时，其身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线．如图，这是一名运动员的运行路线图，O为起跳点，A为入水点．以O为原点，建立平面直角坐标系，其高度y（m）与离起跳点O的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示．当运动员离起跳点O的水平距离为1m时，运动员达到最高点，当运动员离起跳点O的水平距离为3m时，运动员离水面的高度为7m． （1）求抛物线的表达式，并求该运动员离水面的最大高度． （2）当运动员完成所有的动作，入水时必须伸直手臂，垂直入水，使溅起的水花尽量小一些，一般情况下，当运动员离水面高度不小于1m时已调整好垂直姿势入水，则压水花成功．当该运动员离起跳点O的水平距离为4m时，已调整好垂直姿势入水，问该运动员是否成功压住水花，并说明理由． 22．【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝x m． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形ABCD的面积S与边长x（即AB的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可． （1）请用含有x的代数式表示BC的长； （2）花园的面积能否为192m2？若能，求出x的值，若不能，请说明理由； （3）求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大？ 23．已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，比较y1与y2的大小． 24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … m 2 n 2 p … （1）若m＝3，求二次函数的表达式； （2）当0≤x≤3时，y有最大值7，求n的值； （3）若|m|+|p|＝|n|，求a的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次函数 单元检测(B卷·能力提升) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．二次函数y＝（x﹣3）（x+5）的图象的对称轴是（　　） A．直线x＝3 B．直线x＝﹣5 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝1 【思路点拨】由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴， 【解析】解：∵y＝（x﹣3）（x+5）， ∴函数图象与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣5，0）， ∴函数图象的对称轴为直线x＝＝﹣1， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键． 2．关于y＝（x+1）2+3的图象，下列叙述正确的是（　　） A．顶点坐标为（1，3） B．对称轴为直线x＝1 C．当x≥﹣1时，y随x的增大而增大 D．开口向下 【思路点拨】利用抛物线的顶点式，根据二次函数的性质直接判断每个选项即可． 【解析】解：∵y＝（x+1）2+3 ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，3），对称轴直线为x＝﹣1，故选项A、B错误，不符合题意； ∵a＝1＞0， ∴抛物线的开口向上，有最小值为3，且当x≥﹣1时，y随x增大而增大，故选项C正确，符合题意，选项D错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 3．将二次函数y＝（x+3）2﹣10的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移8个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　） A．y＝（x+5）2﹣2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x+1）2﹣2 D．y＝（x﹣5）2+2 【思路点拨】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【解析】解：将二次函数y＝（x+3）2﹣10的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移8个单位长度，得到的函数解析式为：y＝（x+3﹣2）2﹣10+8，即y＝（x+1）2﹣2． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 4．如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　） A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5 【思路点拨】由抛物线的对称性及抛物线与x轴交点可得抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解． 【解析】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴交于（5，0）， ∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣1，0）， ∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与不等式的关系． 5．掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范图，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为（　　） A． B．3 C．8 D．10 【思路点拨】依据题意，根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可． 【解析】解：由题意，当y＝0时，则﹣x2+x+＝0， 解得x＝﹣2（舍去）或x＝10． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 6．二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【思路点拨】一元二次方程ax2+bx+1＝0的根即为二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象与直线y＝﹣1的交点的横坐标，结合图象即可得到答案． 【解析】解∵方程ax2+bx+1＝0可化为ax2+bx＝﹣1， ∴一元二次方程ax2+bx+1＝0的根即为二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象与直线y＝﹣1的交点的横坐标， 结合图象，可知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象与直线y＝﹣1有两个不同的交点，即方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 7．已知抛物线y＝ax2+bx+c上某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … ﹣3 p 1 p m … 有以下几个结论： ①抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（0，﹣3）；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣2； ③关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和﹣1；④当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1． 其中正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】依据题意，当x＝﹣3和x＝﹣1时的函数值均为p，可得抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣2，从而当x＝﹣4时的函数值与x＝﹣2+2＝0时的函数值相等，故当x＝0时，y＝﹣3，求得抛物线与y轴的交点坐标，即可判断①②；又关于x的方程ax2+bx+c＝0的根是函数y＝ax2+bx+c的函数值为0时对应的自变量的值，根据表格不能求出函数值为0的自变量的值，故可判断③；又当x＝﹣2时，y取最大值，所以当y＜0时，x的取值范围应该是两部分，故可以判断④． 【解析】解：由题意，∵当x＝﹣3和x＝﹣1时的函数值均为p， ∴抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣2． ∴当x＝﹣4时的函数值与x＝﹣2+2＝0时的函数值相等，即当x＝0时，y＝﹣3． ∴抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣3）． ∴①②均为正确． 由题意，顶点为（﹣2，1）， ∴可设抛物线为y＝a（x+2）2+1． 又抛物线过点（﹣4，﹣3）， ∴4a+1＝﹣3． ∴a＝﹣1． ∴抛物线为y＝﹣（x+2）2+1． 又令y＝0， ∴0＝﹣（x+2）2+1． ∴x＝﹣1或x＝﹣3． ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和﹣1，故③正确． 又当x＝﹣2时，y取最大值， ∴当y＜0时，x的取值范围应该是两部分，故④错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能求出抛物线的对称轴是关键． 8．在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（2，1），D（3，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　） A．2 B． C． D． 【思路点拨】待定系数法分别求出表达式比较a的大小即可． 【解析】解：设过A、B、C三点的抛物线表达式为：y＝ax2+bx+c，则有， ， 解得：， 设过A、B、D三点的抛物线表达式为：y＝ax2+bx+c，则有， ， 解得：， 设过A、C、D三点的抛物线表达式为：y＝ax2+bx+c，则有， ， 解得：， 设过B、C、D三点的抛物线表达式为：y＝ax2+bx+c，则有， ， 解得：， ∵， ∴a的值最大为：． 故选：B． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质和待定系数法求函数的解析式． 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论： ①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④＜0； ⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2． 其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【思路点拨】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时相应a、b、c之间的关系，进行综合判断即可． 【解析】解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣可得， 9a﹣3b+c＝0，﹣＝﹣，即a＝b，与x轴的另一个交点为（2，0），4a+2b+c＝0， 抛物线开口向下，a＜0，b＜0， 抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0， 所以，abc＞0，因此①正确； 由9a﹣3b+c＝0，而a＝b， 所以6a+c＝0，又a＜0， 因此3a+c＞0，所以②正确； 抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，因此当x＜﹣时，y随x的增大而增大，所以③不正确； 由于抛物线的顶点在第二象限，所以＞0，因此＜0，故④正确； 抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）（2，0）， 因此当y＝﹣3时，相应的x的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧， 因此m＜﹣3，n＞2，所以⑤正确； 综上所述，正确的结论有：①②④⑤， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，理解和掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是正确判断的前提． 10．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数）在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 【思路点拨】当h＜1≤x≤3时，二次函数在1≤x≤3上单调递增，进而得出x＝1时，y取得最小值5，进而求出h的值；当1≤x≤3＜h，二次函数在1≤x≤3上单调递减，进而得出x＝3时，y取得最小值5，进而求出h的值． 【解析】解：h的值不可能在1到3之间， 当h＜1≤x≤3时， 当x＝1时，y取得最小值5， （1﹣h）2+1＝5， h＝﹣1或h＝3（不合题意，舍去）， 当1≤x≤3＜h， 当x＝3时，y取得最小值5， （3﹣h）2+1＝5， h＝5或h＝1（不合题意，舍去）， 故选：B． 【点睛】本题主要是函数的单调性以及最值问题，正确理解二次函数的单调性是解题关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．已知y＝（m+1）x|m|+1+2x﹣3是二次函数，则m的值为 　1　． 【思路点拨】直接利用二次函数的概念进行求解即可． 【解析】解：∵y＝（m+1）x|m|+1+2x﹣3是二次函数， ∴m+1≠0且|m|+1＝2， 解得m＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的概念，掌握形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数是二次函数是解题的关键． 12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点P是抛物线与x轴的一个交点，若点P的坐标为（4，0），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 　x1＝4，x2＝﹣2　． 【思路点拨】根据函数的对称轴和点P的坐标可以得出另一交点坐标，从而得出结论． 【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，点P是抛物线与x轴的一个交点，坐标为（4，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝4，x2＝﹣2． 故答案为：x1＝4，x2＝﹣2． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是对二次函数性质的掌握和运用． 13．抛物线y＝4x2+2x+m的顶点在x轴上，则m＝　　． 【思路点拨】根据抛物线y＝4x2+2x+m的顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标是0，即＝0，代入数据计算即可得到m的值． 【解析】解：∵抛物线y＝4x2+2x+m的顶点在x轴上， ∴＝0， 解得，m＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 14．将抛物线y＝﹣2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，则平移后抛物线的表达式为 　y＝﹣2（x+3）2+1　（写成顶点式即可）． 【思路点拨】根据二次函数平移的法则进行解答即可． 【解析】解：∵将抛物线y＝﹣2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置， ∴抛物线向左平移3个单位，向上平移1个单位即可， ∴平移后抛物线的表达式为y＝﹣2（x+3）2+1． 故答案为：y＝﹣2（x+3）2+1． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数的顶点式，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 15．中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面 　11.25　m． 【思路点拨】首先建立直角坐标系，根据所给点的坐标求出解析式，可得点B的纵坐标． 【解析】解：如图，以水面所在的直线为x轴，以跳台支柱所在的直线为y轴建立直角坐标系， 由题意得：A（3，10），C（5，0），对称轴为直线x＝3.5， 设解析式为y＝a（x﹣3.5）2+k， 所以， 解得a＝﹣5，k＝11.25， 所以y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25， 所以B（3.5，11.25），点B距离水面11.25m． 故答案为：11.25． 【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意得出二次函数的解析式是解题关键． 16．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，下列结论：①当x＞2时，y随x的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；③若（﹣2024，y1），（2024，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．其中结论正确的是 　①③④　.（填序号） 【思路点拨】依据题意，由题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解析】解：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2）， ∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2． 又∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大， ∴a＜0，开口向下． ∴当x＞2＞x2时，y随x的增大而减小，故①正确； 又∵对称轴为直线x＝﹣＝，1＜m＜2， ∴0＜＜． 若（﹣2024，y1），（2024，y2）是函数图象上的两点，2024离对称轴近些， 又抛物线开口向下， 则y1＜y2，故③正确； 若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2， 又该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0）， ∴0＜≤． 解得1＜m≤，故④正确； ∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大， ∴a＜0． 若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am． ∵a＜0，1＜m＜2， ∴﹣1＜a＜﹣，故②错误； ∴①③④正确；②错误， 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．已知二次函数y＝x2﹣2x+4． （1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标； （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？ （3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点P（1，﹣5），请说明理由． 【思路点拨】（1）由a的符号即可确定抛物线的开口方向，把一般式化成顶点是即可求得顶点坐标； （2）根据二次函数的性质即可得到结论； （3）根据“左加右减，上加下减”的法则即可确定平移后的函数解析式，然后代入点P的坐标即可判断． 【解析】解：（1）∵y＝x2﹣2x+4中，a＝1＞0， ∴该抛物线的开口向上， ∵y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3， ∴顶点坐标为（1，3）； （2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小； （3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线为：y＝（x﹣1+3）2+3﹣7，即y＝（x+2）2﹣4， 当x＝1时，y＝（1+2）2﹣4＝5≠﹣5， ∴新抛物线不过点P（1，﹣5）． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，熟练二次函数的性质是解题的关键． 18．在平面直角坐标系xOy中，（﹣1，m），（2，n）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）上的两点． （1）若m＝c，求该抛物线的对称轴； （2）若点（﹣2，y1），（1，y2），（4，y3）在抛物线上，且m＜n＜c，请比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 【思路点拨】（1）依据题意，当x＝0时，y＝c，又m＝c，故当x＝﹣1时，y＝c，从而由对称性可以求出对称轴； （2）依据题意，设抛物线的对称轴是直线x＝t，再由抛物线过（﹣1，m），（0，c），（2，n），且m＜n＜c，又抛物线a＜0，即开口向下，故|t|＜|t﹣2|＜|t+1|，然后当点离对称轴越近函数值越大，求出t的范围，再点（﹣2，y1），（1，y2），（4，y3）三点到对称轴直线x＝t的距离，进而可以判断得解． 【解析】解：（1）由题意，当x＝0时，y＝c． 又m＝c， ∴当x＝﹣1时，y＝c． ∴抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣，即对称轴是直线x＝﹣． （2）由题意，设抛物线的对称轴是直线x＝t， ∵抛物线过（﹣1，m），（0，c），（2，n），且m＜n＜c， 又抛物线a＜0，即开口向下， ∴|t|＜|t﹣2|＜|t+1|． 下面对t进行分类讨论． ①当t＜﹣1时， ﹣t＜2﹣t＜﹣t﹣1． ∴此时无解． ②当﹣1≤t＜0时， ∴﹣t＜2﹣t＜t+1． ∴t＞，不合题意，无解． ③当0≤t≤2时， ∴t＜2﹣t＜t+1． ∴＜t＜1． ④当t＞2时， ∴t＜t﹣2＜t+1． ∴无解． 综上，＜t＜1． 又点（﹣2，y1），（1，y2），（4，y3）在抛物线上， ∴以上三点到对称轴直线x＝t的距离分别为|t+2|，|t﹣1|，|t﹣4|． ∵＜t＜1， ∴＜t+2＜3，﹣＜t﹣1＜0，﹣＜t﹣4＜﹣3． ∴＜|t+2|＜3，0＜|t﹣1|＜，3＜|t﹣4|＜． ∴|t﹣1|＜|t+2|＜|t﹣4|． 又抛物线开口向下，当点离对称轴越近函数值越大， ∴y2＞y1＞y3． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能根据抛物线开口向下时点离对称轴的距离判断函数的大小是关键． 19．如图，已知二次函数经过点B（3，0）和点C（0，﹣3）， （1）求该二次函数的解析式； （2）如图，若一次函数y2＝kx+b经过B、C两点，直接写出不等式ax2﹣2x+c＜kx+b的解； （3）点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求△ABC的面积． 【思路点拨】（1）根据待定系数法求解； （2）根据函数与不等式的关系求解； （3）根据三角形的面积公式求解． 【解析】解：（1）由题意得：9a﹣6﹣3＝0， 解得：a＝1， ∴该二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）由题意得：不等式ax2﹣2x+c＜kx+b的解集为：0＜x＜3； （3）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1， 根据抛物线的对称性得：A（﹣1，0）， ∴△ABC的面积为：＝6． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式组的关系，掌握待定系数法、理解函数与不等式的关系及三角形的面积公式是解题的关键． 20．小明同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c图象时，由于粗心，他算错了一个y值，列出了下面表格（每个小格表示1个单位长度）： x … ﹣1 0 1 2 3 … y＝ax2+bx+c … 5 3 2 3 6 … （1）请指出这个错误的y值，并说明理由； （2）请在网格中画出此二次函数的图象； （3）结合图象回答： ①当﹣2＜x≤2时，y的取值范围是 　2≤y＜11　； ②当y≥3时，x的取值范围是 　x≤0或x≥2　． 【思路点拨】（1）根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案． （2）描点、连线化成图象即可； （3）根据图象即可求得． 【解析】解：（1）由函数图象关于对称轴对称，得 （0，3），（1，2），（2，3）在函数图象上， 把（0，3），（1，2），（2，3）代入函数解析式， 得：， 解得：， 函数解析式为y＝x2﹣2x+3， x＝﹣1时y＝6， 故y错误的数值为5． （2）函数图象如图： ； （3）x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝11， 观察图象，①当﹣2＜x≤2时，y的取值范围是2≤y＜11； ②当y≥3时，x的取值范围是x≤0或x≥2． 故答案为：2≤y＜11；x≤0或x≥2． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 21．水花消失术一直是跳水比赛的热门话题．当一名运动员在10米跳台进行跳水时，其身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线．如图，这是一名运动员的运行路线图，O为起跳点，A为入水点．以O为原点，建立平面直角坐标系，其高度y（m）与离起跳点O的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示．当运动员离起跳点O的水平距离为1m时，运动员达到最高点，当运动员离起跳点O的水平距离为3m时，运动员离水面的高度为7m． （1）求抛物线的表达式，并求该运动员离水面的最大高度． （2）当运动员完成所有的动作，入水时必须伸直手臂，垂直入水，使溅起的水花尽量小一些，一般情况下，当运动员离水面高度不小于1m时已调整好垂直姿势入水，则压水花成功．当该运动员离起跳点O的水平距离为4m时，已调整好垂直姿势入水，问该运动员是否成功压住水花，并说明理由． 【思路点拨】（1）依题意，设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+k，把（0，0）和（3，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2+k，进行解方程，即可作答． （2）把x＝4代入y＝﹣（x﹣1）2+1，解出y＝﹣8，结合距离为10﹣8＝2＞1，进行作答即可． 【解析】解：（1）由题得对称轴为直线x＝1，设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+k， 当运动员离起跳点O的水平距离为3m时，运动员离水面的距离为7m，所以抛物线经过点（3，﹣3）， 把（0，0）和（3，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2+k， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+1． ∴该运动员离水面的最大距离为10+1＝11m； （2）该运动员能成功压住水花． 理由：由（1）可知y＝﹣（x﹣1）2+1，当x＝4时， y＝﹣（4﹣1）2+1＝﹣9+1＝﹣8， 所以该运动员离水面的距离为10﹣8＝2＞1，故该运动员能成功压住水花． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22．【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝x m． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形ABCD的面积S与边长x（即AB的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可． （1）请用含有x的代数式表示BC的长； （2）花园的面积能否为192m2？若能，求出x的值，若不能，请说明理由； （3）求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大？ 【思路点拨】（1）依据题意，由AB＝x m，总长28m，计算即可得解； （2）依据题意，结合（1）可列方程计算可以得解； （3）依据题意，结合（1）可得S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196（6≤x≤13），再由在点P与CD，AD的距离分别是15m和6m，可得x的范围；由所得s关于x的函数关系式，根据函数增减性进行计算可以得解． 【解析】解：（1）由题意，AB＝x m， ∴BC＝（28﹣x）m． （2）∵AB＝x，则 BC＝（28﹣x）， ∴x（28﹣x）＝192， 解得：x＝12或x＝16 （由于树与墙CD为15m，从而x＝16不合题意，舍去）， ∴花园的面积可等于192m2，此时x的值为12 m． （3）①S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196． ∵在点P与CD，AD的距离分别是15m和6m， ∴28﹣15＝13． ∴6≤x≤13． ∴面积S与x的函数解析式为：S＝（x﹣14）2+196（6≤x≤13）． ②∵﹣1＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝14， ∴当6≤x≤13时，S随x的增大而增大． ∴当x＝13时，S取到最大值＝﹣（13﹣14）2+196＝195， 即当x＝13m时，花园面积S最大，最大值为195m2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键． 23．已知二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a）（a为常数，且a≠0）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若点（0，y1），（3，y2）在函数图象上，比较y1与y2的大小． 【思路点拨】（1）令y＝0，则a（x﹣1）（x﹣1﹣a）＝0，可求出x1＝1，x2＝1+a，再根据1≠1+a，即得出方程a（x﹣1）（x﹣1﹣a）＝0有两个不相等的解，即说明该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）将（0，y1），（3，y2）代入y＝a（x﹣1）（x﹣1﹣a），得：，，从而可求出y1﹣y2＝3a（a﹣1），最后分类讨论解答即可． 【解析】（1）证明：令y＝0，即a（x﹣1）（x﹣1﹣a）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣1﹣a＝0， ∴x1＝1，x2＝1+a， ∵a≠0， ∴1≠1+a， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）解：∵点（0，y1），（3，y2）在函数图象上， ∴当x＝0时，， 当x＝3时，， ∴， ∴当a＜0或a＞1时，y1＞y2； 当a＝1时，y1＝y2； 当0＜a＜1时，y1＜y2． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，比较二次函数值大小，掌握二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为相关一元二次方程的解和二次函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键． 24．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … m 2 n 2 p … （1）若m＝3，求二次函数的表达式； （2）当0≤x≤3时，y有最大值7，求n的值； （3）若|m|+|p|＝|n|，求a的值． 【思路点拨】（1）利用待定系数法求出函数表达式； （2）根据点距离对称轴的远近，判断出当x＝3时，取得最大值7，从而求n的值，要注意a的分类讨论； （3）将a的取值范围进行分类讨论，去掉绝对值得出a的值． 【解析】解：（1）将x＝﹣1，y＝3；x＝0，y＝2；x＝2，y＝2代入y＝ax2+bx+c， 得：a＝，b＝，c＝2， ∴y＝x2x+2； （2）设y＝ax（x﹣2）+2， ∵x＝0，y＝2；x＝2，y＝2， 所以对称轴为直线x＝＝1， 当a＞0时，x＝3，y＝7， ∴a＝， ∴y＝， 当x＝1时，n＝； 当a＜0时，x＝1，y＝7， ∴a＝﹣5， ∴n＝7； 综上所述，n＝或7； （3）设y＝ax（x﹣2）+2， ∴m＝p＝3a+2，n＝a+2， 当a＜﹣2时，|m|+|p|＝|n|， ∴﹣2（3a+2）＝﹣（a+2）， a＝（舍去）； 当﹣2≤a≤时，|m|+|p|＝|n|， ∴﹣2（3a+2）＝a+2， a＝； 当a＞时，|m|+|p|＝|n|， ∴2（3a+2）＝a+2， a＝； 综上所述，a＝或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，函数的最值问题，掌握对称点式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$