第1章 二次函数 单元检测(A卷·夯实基础）-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第1章 二次函数 单元检测(A卷·夯实基础） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝x2﹣1 B．y＝ C．y＝ax2+bx+c D．y＝k2x+3 2．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3 ） D．（﹣2，3） 3．二次函数y＝2x2﹣8x+1的最小值是（　　） A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣9 4．已知A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 5．要得到抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1，可以将抛物线y＝2x2（　　） A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③b+2a＝0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＞0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y＝，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（　　） A．10m B．12m C．24m D．48m 8．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 9．已知二次函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k＜4 B．k≤4且k≠3 C．k＞4 D．k≤4 10．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（　　） ①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1； ③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0； ⑤当x＝1时，函数的最大值是4， A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 11．把二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 　 　． 12．已知y＝（m+1）x|m|+1+2x﹣3是二次函数，则m的值为 　 　． 13．已知关于x的二次函数y＝（x+2）2+1，当﹣3＜x＜4时，函数y的取值范围为 　 　． 14．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c≤n的解集是 　 　． 15．一小球从20米的高处落下，小球离地面的高度h（m）和下落时间t（s）大致有如下关系：h＝﹣5t2+20，那么小球经过 　 　秒落到地面． 16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论： ①若抛物线经过点（﹣5，0），则4a+b＝0；②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2； ③若a＞0，则方程ax2+bx+c＝2一定有两个不相等的实数根； ④若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当x＝x1+x2时，则y＝c． 其中正确的是 　 　（填写序号）． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3），B（2，﹣3）三点． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）． （1）求点B的坐标及m的值； （2）求出抛物线的顶点坐标，并画出此函数的示意图； （3）结合函数图象直接写出当y＞0时x的取值范围． 19．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3． （1）在平面直角坐标系中，用五点法画出该二次函数的图象； x … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … （2）根据图象回答下列问题： ①当y＜0时，x的取值范围是 　 　； ②当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是 　 　． 20．已知抛物线y＝a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0），且经过点A（﹣2，﹣）． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）该抛物线是否经过点B（2，﹣2）？若不经过．怎样沿x轴方向平移，才能使它经过点B？并写出平移后抛物线对应的函数表达式． 21．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根：　 　； （2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集：　 　； （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 　 　； （4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围：　 　． 22．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB＝20m，当水位上升3m时，水面宽CD＝10m．按如图所示建立平面直角坐标系． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以6km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥36km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.3m，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2m时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 23．为全面实现“乡村振兴”，某“枇杷合作社”带动村民大量栽种枇杷．现阶段枇杷陆续成熟，“枇杷合作社”为解决果农后顾之忧，于是邀请部分网络平台实现网络销售，每箱枇杷的成本是40元．某平台经过调查发现，当每箱枇杷的售价是80元时，每天可售出100箱．如果降价销售，每降价1元，每天可多售出10箱． （1）若该平台某天销售枇杷的利润为6000元，且使顾客得到最大优惠，求每箱枇杷的售价； （2）这批枇杷在市场一售而空，该平台又以同样的价格购进一批枇杷，当每箱枇杷的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？ 24．已知二次函数y＝x2﹣2ax﹣3（a为常数）． （1）若该二次函数的图象经过点（2，﹣3）． ①求a的值． ②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ （2）若点A（m，0），B（n，0），C（m+1，p），D（n+1，q）均在该二次函数的图象上，求证：p+q＝2． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次函数 单元检测(A卷·夯实基础） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝x2﹣1 B．y＝ C．y＝ax2+bx+c D．y＝k2x+3 【思路点拨】根据二次函数的定义分别判断即可． 【解析】解：A、y＝x2﹣1是二次函数，故此选项符合题意； B、y＝不是二次函数，故此选项不符合题意； C、y＝ax2+bx+c，当a＝0时，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、y＝k2x+3不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3 ） D．（﹣2，3） 【思路点拨】根据二次函数的顶点式即可得到抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3）． 【解析】解：抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3）． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，顶点式为y＝a（x+）2+，对称轴为直线x＝﹣，顶点坐标为（﹣，）． 3．二次函数y＝2x2﹣8x+1的最小值是（　　） A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣9 【思路点拨】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解． 【解析】解：∵二次函数有最小值， ∴＝﹣7， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最大（小）值公式是解题的关键． 4．已知A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2 【思路点拨】根据所给函数解析式，得出抛物线的对称轴及开口方向，再根据A，B，C三点离对称轴的远近即可解决问题． 【解析】解：因为二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+c， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向下， 则抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越小． 因为1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1，4﹣1＝3，且3＞2＞1， 所以y3＜y1＜y2． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 5．要得到抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1，可以将抛物线y＝2x2（　　） A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 【思路点拨】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 【解析】解：∵y＝2（x﹣4）2﹣1的顶点坐标为（4，﹣1），y＝2x2的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线y＝2x2向右平移4个单位，再向下平移1个单位，可得到抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标． 6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③b+2a＝0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＞0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】利用二次函数的图象和所给的条件解题，通过对称轴直线x＝1，可得到a、b的关系，再结合与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），可得另一个交点坐标，再结合函数图象解决问题即可． 【解析】解：由图象可知，图象与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故①正确； ∵对称轴为直线x＝1， ∵与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， ∴x2＝3，故②正确； ∴，即b+2a＝0，故③正确； 由函数图象可得，当y•＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；故④正确． 由图象可知，当x＞0时，y随x增大先增大后减小，故⑤错误． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，熟练理解掌握相应性质，并做到数形结合是解决此问题的关键． 7．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y＝，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（　　） A．10m B．12m C．24m D．48m 【思路点拨】根据正常水位时水面宽AB，求出当x＝18时y＝﹣9，再根据水位上升5米时y＝﹣4，代入解析式求出x即可． 【解析】解：∵AB＝36米， ∴当x＝18时，y＝﹣×182＝﹣9， 当水位上升5米时，y＝﹣4， 把y＝﹣4代入抛物线表达式得：﹣4＝﹣x2， 解得x＝±12， 此时水面宽CD＝24（m）， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是通过建立适当坐标系求出抛物线解析式． 8．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】对于每个选项，先根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【解析】解：A、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第一、三、四象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确； B、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误； C、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误； D、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系． 9．已知二次函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k＜4 B．k≤4且k≠3 C．k＞4 D．k≤4 【思路点拨】根据二次函数定义二次项系数非0，与x轴有交点Δ＝b2﹣4ac≥0，分别求解不等式取公共解即可． 【解析】依题意得：k﹣3≠0， 解得k≠3，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×（k﹣3）×1≥0， 解得k≤4， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数得概以及函数图象与坐标轴交点得判别；解题的关键是掌握概念和与x轴有交点得判别． 10．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（　　） ①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1； ③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0； ⑤当x＝1时，函数的最大值是4， A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案． 【解析】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的； ②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的； ③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的； ④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的； ⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的； 故选：A． 【点睛】考查了二次函数图象与x轴的交点问题，理解“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的意义，掌握“鹊桥”函数与y＝|ax2+bx+c|与二次函数y＝ax2+bx+c之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．把二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 　y＝﹣2（x+1）2+7　． 【思路点拨】利用完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2进行配方即可得． 【解析】解：y＝﹣2x2﹣4x+5 ＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+5 ＝﹣2（x2+2x+1）+2+5 ＝﹣2（x+1）2+7， 故答案为：y＝﹣2（x+1）2+7． 【点睛】本题考查了将二次函数的解析式化成顶点式，熟练掌握配方法是解题关键． 12．已知y＝（m+1）x|m|+1+2x﹣3是二次函数，则m的值为 　1　． 【思路点拨】直接利用二次函数的概念进行求解即可． 【解析】解：∵y＝（m+1）x|m|+1+2x﹣3是二次函数， ∴m+1≠0且|m|+1＝2， 解得m＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的概念，掌握形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数是二次函数是解题的关键． 13．已知关于x的二次函数y＝（x+2）2+1，当﹣3＜x＜4时，函数y的取值范围为 　1≤y＜37　． 【思路点拨】直接利用二次函数的性质结合二次函数图象上点的坐标特点，得出y的取值范围． 【解析】解：关于x的二次函数y＝（x+2）2+1，当x＝﹣2时，函数有最小值1， 当x＝4时，y＝37；当x＝﹣3时，y＝2， 故当﹣3＜x＜4时，函数y的取值范围为：1≤y＜37． 故答案为：1≤y＜37． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特点，正确得出二次函数最小值是解题关键． 14．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c≤n的解集是 　﹣2≤x≤4　． 【思路点拨】根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式ax2﹣mx+c≤n的解集，本题得以解决． 【解析】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点， ∴ax2+c≤mx+n的解集是﹣2≤x≤4． ∴不等式ax2﹣mx+c≤n的解集是﹣2≤x≤4． 故答案为：﹣2≤x≤4． 【点睛】本题考查二次函数与不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．一小球从20米的高处落下，小球离地面的高度h（m）和下落时间t（s）大致有如下关系：h＝﹣5t2+20，那么小球经过 　2　秒落到地面． 【思路点拨】求函数的自变量，令h＝0，解出t即可作答． 【解析】解：当小球落到地面时，h＝0， ∴﹣5t2+20＝0， 解得：t＝2或t＝﹣2（舍去）， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，关键是二次函数性质的熟练掌握． 16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论： ①若抛物线经过点（﹣5，0），则4a+b＝0；②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2； ③若a＞0，则方程ax2+bx+c＝2一定有两个不相等的实数根； ④若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当x＝x1+x2时，则y＝c． 其中正确的是 　②③④　（填写序号）． 【思路点拨】①由题意可得，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，即4a﹣b＝0，即①错误； ②若b＝c，则二次函数y＝cx2+bx+a的对称轴为直线：x＝﹣＝﹣，则＝﹣，解得m＝﹣2，即方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；故②正确； ③Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，方程ax2+bx+c＝2一定有两个不相等的实数根，故③正确； ④由题意可知，抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣，即x1+x2＝﹣，代入抛物线解析式即可判断④正确． 【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0， ∴（1，0）是抛物线与x轴的一个交点． ①∵抛物线经过点（﹣5，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣2， ∴﹣＝﹣2，即4a﹣b＝0，即①错误； ②若b＝c，则二次函数y＝cx2+bx+a的对称轴为直线：x＝﹣＝﹣， 且二次函数y＝cx2+bx+a过点（1，0）， ∴＝﹣，解得m＝﹣2， ∴y＝cx2+bx+a与x轴的另一个交点为（﹣2，0），即方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；故②正确； ③由题意得ax2+bx+c﹣2＝0，且a＞0，a+b+c＝0， ∴Δ＝b2﹣4a（c﹣2）＝（a﹣c）2+8a＞0， ∴方程ax2+bx+c＝2一定有两个不相等的实数根，故③正确； ④∵A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点， ∴抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣， ∴x1+x2＝﹣， ∴当x＝x1+x2时，y＝a（﹣）2+b×（﹣）+c＝c，故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根与系数的关系，二次函数图象与x轴的交点等问题，掌握相关知识是解题基础． 三．解答题（共8小题，共66分） 17．已知，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3），B（2，﹣3）三点． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【思路点拨】（1）由待定系数法即可求解； （2）由顶点坐标公式即可求解． 【解析】解：（1）由题意得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+x+3； （2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝， 当x＝时，y＝﹣2x2+x+3＝， 即顶点坐标为：（，）． 【点睛】本题考查的是函数图象点的特征，确定函数表达式是解题的关键． 18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）． （1）求点B的坐标及m的值； （2）求出抛物线的顶点坐标，并画出此函数的示意图； （3）结合函数图象直接写出当y＞0时x的取值范围． 【思路点拨】（1）先把A点坐标代入y＝mx2﹣2mx﹣3求出m得到抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，再解方程x2﹣2x﹣3＝0得B点坐标； （2）先把解析式配成顶点式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），利用描点法画出二次函数图象； （3）利用图象写出对应的x的范围． 【解析】解：（1）把A（3，0）代入mx2﹣2mx﹣3＝0得9m﹣6m﹣3＝0，解得m＝1， 抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， 所以B点坐标为（﹣1，0）； （2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）， 列表如下： x ..． ﹣1 0 1 2 3 ..． y ..． 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 ..． 描点、连线， （3）由函数图象可知，当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，即x的取值范围是x＜﹣1或x＞3． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 19．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3． （1）在平面直角坐标系中，用五点法画出该二次函数的图象； x … 　﹣3　 　﹣2　 　﹣1　 　0　 　1　 … y … 　0　 　3　 　4　 　3　 　0　 … （2）根据图象回答下列问题： ①当y＜0时，x的取值范围是 　x＜﹣3或x＞1　； ②当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是 　0＜y≤4　． 【思路点拨】（1）先列表，再描点连线即可； （2）观察图象即可得出结论． 【解析】解：（1）列表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … 描点、连线： （2）观察图象，①当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1； ②当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是0＜y≤4； 故答案为：x＜﹣3或x＞1；0＜y≤4． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，作出函数图象并利用图象是解题关键． 20．已知抛物线y＝a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0），且经过点A（﹣2，﹣）． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）该抛物线是否经过点B（2，﹣2）？若不经过．怎样沿x轴方向平移，才能使它经过点B？并写出平移后抛物线对应的函数表达式． 【思路点拨】（1）根据待定系数法即可得出二次函数的解析式． （2）代入B（2，﹣2）即可判断；根据题意设平移后的解析式为y＝﹣（x+1+m）2，代入B的坐标，求得m的植即可． 【解析】解：（1）∵二次函数y＝a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0）， ∴m＝1， ∴二次函数y＝a（x+1）2， 把点A（﹣2，﹣）代入得a＝﹣， 则抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2． （2）把x＝2代入y＝﹣（x+1）2得y＝﹣≠﹣2， 所以，点B（2，﹣2）不在这个函数的图象上； 根据题意设平移后的解析式为y＝﹣（x+1+m）2， 把B（2，﹣2）代入得﹣2＝﹣（2+1+m）2， 解得m＝﹣1或﹣5， 所以抛物线向右平移1个单位或平移5个单位，即可过点B， 平移后抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2或y＝﹣（x﹣4）2． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及图象与几何变换． 21．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题． （1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根：　1和3　； （2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集：　x＜1或x＞3　； （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 　x＞2　； （4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围：　k＜2　． 【思路点拨】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根； （2）找出函数值小于0时x的取值范围即可； （3）首先找出对称轴，然后根据图象写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； （4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围． 【解析】解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点， 则方程ax2+bx+c＝0的两个根为x＝1和x＝3， 故答案为：1和3； （2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0； 故答案为：x＜1或x＞3； （3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝2，开口向下， 即当x＞2时，y随x的增大而减小； 故答案为：x＞2． （4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值， 故答案为：k＜2． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大． 22．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB＝20m，当水位上升3m时，水面宽CD＝10m．按如图所示建立平面直角坐标系． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以6km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥36km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.3m，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2m时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【思路点拨】（1）根据题意可得B（20，0），C（5，3），然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案． 【解析】解：（1）由题意得，B（20，0），C（5，3）， 设抛物线解析式为y＝ax（x﹣20）， ∴5a（5﹣20）＝3， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）船行驶到桥下的时间为：36÷6＝6小时， 水位上升的高度为：0.3×6＝1.8m． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为（10，4）， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为4﹣1.8＝2.2m＞2m， ∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 23．为全面实现“乡村振兴”，某“枇杷合作社”带动村民大量栽种枇杷．现阶段枇杷陆续成熟，“枇杷合作社”为解决果农后顾之忧，于是邀请部分网络平台实现网络销售，每箱枇杷的成本是40元．某平台经过调查发现，当每箱枇杷的售价是80元时，每天可售出100箱．如果降价销售，每降价1元，每天可多售出10箱． （1）若该平台某天销售枇杷的利润为6000元，且使顾客得到最大优惠，求每箱枇杷的售价； （2）这批枇杷在市场一售而空，该平台又以同样的价格购进一批枇杷，当每箱枇杷的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？ 【思路点拨】（1）设每箱枇杷的售价为x元，根据每箱的利润×销售量＝利润列出方程，解方程求出x的值，取较小的值即可； （2）设每箱枇杷的售价为x元，销售利润为w元，根据每箱的利润×销售量＝利润列出函数解析式，由函数的性质求最值． 【解析】解：（1）设每箱枇杷的售价为x元， 根据题意，得[100+10（80﹣x）]（x﹣40）＝6000， 整理得 x2﹣130x+4200＝0， 解得x1＝60，x2＝70， ∵要使顾客得到最大优惠， ∴x＝60， 答：每箱枇杷的售价为60元； （2）设每箱枇杷的售价为x元，销售利润为w元， 依题意得，w＝[100+10（80﹣x）]（x﹣40）＝﹣10x+1300x﹣36000＝﹣10（x﹣65）2+6250， ∵﹣10＜0， ∴当x＝65 时，w有最大值，W最大＝6250， 答：当每箱的售价为65元时，每天可以获得最大利润，最大利润为6250元． 【点睛】此题考查了二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程． 24．已知二次函数y＝x2﹣2ax﹣3（a为常数）． （1）若该二次函数的图象经过点（2，﹣3）． ①求a的值． ②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ （2）若点A（m，0），B（n，0），C（m+1，p），D（n+1，q）均在该二次函数的图象上，求证：p+q＝2． 【思路点拨】（1）①依据题意，由二次函数y＝x2﹣2ax﹣3的图象经过点（2，﹣3），从而4﹣4a﹣3＝﹣3，计算即可得解； ②依据题意，由①得，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，又a＝1＞0，从而可以判断得解； （2）依据题意，由点A（m，0），B（n，0），可得抛物线的对称轴是直线x＝＝a，故抛物线为y＝x2﹣（m+n）x﹣3，又C（m+1，p），D（n+1，q），可得p＝（m+1）2﹣（m+n）（m+1）﹣3＝m﹣n﹣mn﹣2，q＝（n+1）2﹣（m+n）（n+1）﹣3＝n﹣m﹣mn﹣2，进而可得p+q＝﹣2mn﹣4，再结合A（m，0）在抛物线上，求出mn＝﹣3，最后计算可以得解． 【解析】（1）解：①由题意，∵二次函数y＝x2﹣2ax﹣3的图象经过点（2，﹣3）， ∴4﹣4a﹣3＝﹣3． ∴a＝1． ②由①得，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， 又a＝1＞0， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大． （2）证明：由题意，∵点A（m，0），B（n，0）， ∴抛物线的对称轴是直线x＝＝a． ∴抛物线为y＝x2﹣（m+n）x﹣3． 又C（m+1，p），D（n+1，q）， ∴p＝（m+1）2﹣（m+n）（m+1）﹣3＝m﹣n﹣mn﹣2，q＝（n+1）2﹣（m+n）（n+1）﹣3＝n﹣m﹣mn﹣2． ∴p+q＝﹣2mn﹣4． 又点A（m，0）在抛物线上， ∴m2﹣（m+n）m﹣3＝0． ∴mn＝﹣3． ∴p+q＝﹣2×（﹣3）﹣4＝2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$